數(shù)學：第三章《空間向量與立體幾何》測試(蘇教版選修2-1)

第3章空間向量與立體幾何單元測試〔總分150分，測試時間120分鐘〕一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分，在每題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的。1．給出以下關于互不相同的直線m、l、n和平面α、β的四個命題： ①假設； ②假設m、l是異面直線，； ③假設； ④假設其中為假命題的是 〔〕 A．① B．② C．③ D．④2．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B—AC—D，那么四面體ABCD的外接球的體積為 〔〕 A． B． C． D．3．直線m、n與平面，給出以下三個命題：①假設②假設③假設其中真命題的個數(shù)是 〔〕 A．0 B．1 C．2 D．34．集合M={直線的傾斜角}，集合N={兩條異面直線所成的角}，集合P={直線與平面所成的角}，那么下面結論中正確的個數(shù)為〔〕 ① ② ③ ④ A．4個 B．3個 C．2個 D．1個5．在長方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別是棱BB1，B1C1的中點，假設∠CMN=90°，那么異面直線AD1與DM所成的角為〔 A．30° B．45° C．60° D．90°6．長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=4，CC1=2，那么直線BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值為 〔 A． B． C． D．7．，且的夾角為鈍角，那么的取值范圍是〔〕A．B．C．D．8．正方形ABCD，沿對角線BD折成直二面角后不會成立的結論是〔〕 A．AC⊥BD B．△ADC為等邊三角形C．AB、CD所成角為60° D．AB與平面BCD所成角為60°9．在以下關于直線l、m與平面α、β的命題中,真命題是〔〕 A．假設lβ且α⊥β,那么l⊥α. B．假設l⊥β且α∥β,那么l⊥α. C．假設l⊥β且α⊥β,那么l∥α. D．假設α∩β=m且l∥m,那么l∥α.10．．長方體中，點E、F、G分別是的中點，那么異面直線所成的角是〔〕A．B．C．D．二、填空題：本大題共6小題，每題5分，共30分，把答案填在題中橫線上。11．PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°且PA＝AC＝BC＝a。那么異面直線PB與AC所成角的正切值等于_________；12．正三棱柱的底面邊長為4，過BC的一個平與底面成30°二面角，交側棱于D，那么AD的長等于；13．在三棱錐P—ABC中，PA=PB=PC=BC，且，那么PA與底面ABC所成角為；14．四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD為正方形，側棱與底面邊長均為2且，那么側棱AA1和截面B1D1DB的距離是；15．過正三棱錐的側棱與底面中心作截面，截面是等腰三角形，假設側面與底面所成的角為，那么的值是___________；16．邊長為a的等邊三角形內任一點到三邊距離之和為定值，這個定值為_______；推廣到空間，棱長為a的正四面體內任一點到各面距離之和為_________．三、解答題：本大題共5小題，共70分，解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟．ＮＭＮＭＤＣＢＡ是平行六面體．〔=1\*ROMANI〕在圖上標出式子的結果；〔=2\*ROMANII〕設Ｍ是底面ＡＢＣＤ的中心，Ｎ是側面對角線上的分點，設，試求的值．１８．〔本小題總分值12分〕直四棱柱中，，底面ABCD是直角梯形，A是直角，AB||CD，AB=4，AD=2，DC=1，求異面直線與DC所成角的大?。?9．〔本小題總分值14分〕如圖，在三棱錐P-ABC中，，，點Ｏ，Ｄ分別是的中點，底面.〔Ｉ〕求證//平面；〔II〕求直線與平面所成角的大小。C1ABCDA1B120．〔本小題總分值15分〕斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是直角三角形，∠C=90°，側棱與底面所成的角為α〔0°＜C1ABCDA1B1〔Ⅰ〕求證：AC⊥平面BB1C〔Ⅱ〕當α為何值時，AB1⊥BC1，且使D恰為BC中點？〔Ⅲ〕假設α=arccoseq\f(1,3)，且AC=BC=AA1時,求二面角C1—AB—C的大小．21．〔本小題總分值15分〕在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1〔Ⅰ〕P、Q分別是B1D1、A1B上的點且，〔如圖1〕.求證PQ//平面AA1D1D；〔Ⅱ〕M、N分別是A1B1、BB1的中點〔如圖2〕求直線AM與CN所成的角；〔Ⅲ〕E、F分別是AB、BC的中點〔如圖3〕，試問在棱DD1上能否找到一點H，使BH⊥ 平面B1EF？假設能，試確定點H的位置，假設不能，請說明理由.參考答案1.Ｃ．２．B．３．Ｃ．４．Ｃ５．Ｄ．６．Ｃ．７．Ａ．８．Ｄ．９．Ｂ．１０．Ｄ．１．１２．２．１３．．１４．．１５．或．１６．．１７．〔１〕略，〔２〕．１８．以D為坐標原點，分別以AD、DC、DD1所在直線為x、y、z軸建立直角坐標系.那么C1〔0，1，2〕，B〔2，4，0〕所成的角為，那么∴異面直線BC1與DC所成角的大小為：BCPDAo１９．平面BCPDAo以為原點，射線為非負軸，建立空間直角坐標系(如圖)，設那么,,.設,那么(I)D為的中點，＝，又,＝-平面.(II),,=,可求得平面的法向量,設與平面所成的角為,那么與平面所成的角為。．２０．B1D⊥平面ABC，AC平面ABC，∴ B1D⊥AC,又AC⊥BC,BC∩B1D=D． ∴AC⊥平面BB1C1C要使AB1⊥BC1，D是BC的中點，即=0，|eq\o(BB1,\s\up6(→))|=|eq\o(B1C,\s\up6(→))|，∴，=0，∴．∴，故△BB1C為正三角形，∠B1BC=60°；∵B1D⊥平面ABC，且D落在BC上，∴∠B1BC即為側棱與底面所成的角．故當α=60°時，AB1⊥BC1，且D為BC中點．〔Ⅲ〕以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，經(jīng)過C點且垂直于平面ABC的直線為z軸建立空間直角坐標系，那么A〔a，0，0〕，B〔0，a，0〕，C〔0，－，a〕，平面ABC的法向量n1=〔0，0，1〕，設平面ABC1的法向量n2=〔x，y，z〕．由n2=0，及n2=0，得eq\b\lc\{(\a\al(－x＋y=0，,－eq\f(4,3)y＋eq\f(2eq\r(2),3)z=0.))∴n2=〔，，1〕．cos<n1,n2>＝eq\f(1,eq\r(eq\f(1,2)+eq\f(1,2)+1))=eq\f(eq\r(2),2)，故n1,n2所成的角為45°，即所求的二面角為45°．２１．〔１〕以D為原點，如圖建立空間直角坐標系，那么以下各點的坐標為：D1〔0，0，1〕B1〔1，1，1〕A1〔1，0，1〕B〔1，1，0〕由P在A1D1，AA1上取點P1，Q1：A1P1：A1D1=1：3AQ1：AA1=1：3那么P1〔Q1〔1，0，〕∴PQ//平面AA1D1D〔２〕以D為原點如圖建立空間直角坐