有理數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第二章：有理數(shù)

1.1正數(shù)與負(fù)數(shù)

在以前學(xué)過的0以外的數(shù)前面加上負(fù)號(hào)“—”的數(shù)叫負(fù)數(shù).

與負(fù)數(shù)具有相反意義，即以前學(xué)過的0以外的數(shù)叫做正數(shù)（根據(jù)需要，有時(shí)在正數(shù)前面也加上“+”）.【說明】1.有理數(shù)由“符號(hào)”和“數(shù)值”兩部分組成.（符號(hào)問題是我們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)中經(jīng)常忘記的問題.）2.正數(shù)前面的符號(hào)可以省略，負(fù)數(shù)前面的符號(hào)不能省略.3.正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù).4.0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù).5.正、負(fù)數(shù)通常表示相反意義的量，這些量包括：向東與向西；收入與支出；盈利與虧損；（溫度）零上與零下；（水位）上升與下降；高于與低于（水平面）；（出口）增長(zhǎng)與減少……例如：向東走2米，記作：+2米；那么向西走3米，記作—3米.6.用正負(fù)數(shù)表示加工允許誤差例如：①圖紙上注明一個(gè)零件的直徑是mm，表示零件的直徑標(biāo)準(zhǔn)是30mm，但是，在生產(chǎn)的過程中，由于生產(chǎn)工藝存在的誤差，因此直徑可以比30mm大0.2mm，也可以比30mm小0.3mm.即零件的直徑在29.7mm~30.2mm之間都合格.但在這個(gè)范圍以外的就不合格了.1.2有理數(shù)1.2.1有理數(shù)有理數(shù)的概念：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù).分類：（1）按定義分類：（2）按性質(zhì)符號(hào)分類：（掌握分類方法應(yīng)注意兩點(diǎn)：=1\*GB3①不重復(fù)：即同一事物不能歸納到兩個(gè)類別中；=2\*GB3②不疏漏：即某一事物不能在所有類別中找不到.）【說明】1.整數(shù)分為正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù).2.分?jǐn)?shù)分為正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù).3.無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，它可以化成分?jǐn)?shù).如0.333…=閱讀材料：教材95頁《無限循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)》.4.無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，如：π.5.沒有最大的有理數(shù)，也沒有最小的有理數(shù).6.最大的負(fù)整數(shù)是-1，最小的正整數(shù)是1。7.幾個(gè)常見的概念：非負(fù)數(shù)：指正數(shù)和零；非正數(shù)：負(fù)數(shù)和零；1.2.2數(shù)軸規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸；【說明】1.數(shù)軸有三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度。2.數(shù)軸的畫法：=1\*GB3①先畫一條水平的直線；=2\*GB3②在直線的右邊畫箭頭，表示正方向；=3\*GB3③在直線上任取一點(diǎn)，作為原點(diǎn)，表示數(shù)0；=4\*GB3④以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度作為單位長(zhǎng)度，在原點(diǎn)的左右兩邊分別標(biāo)出刻度.3.數(shù)軸的性質(zhì)：=1\*GB3①數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；=2\*GB3②正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；=3\*GB3③數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)從左往右依次增大，從右往左依次減小。=4\*GB3④數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)有2個(gè)，一個(gè)在原點(diǎn)左邊，一個(gè)在原點(diǎn)右邊，他們互為相反數(shù).4.利用數(shù)軸比較數(shù)的大小：數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)，右邊的總比左邊大.5.數(shù)軸上點(diǎn)的移動(dòng)用數(shù)形結(jié)合的思維方法，通過畫圖分析，解決問題.6.數(shù)軸是非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和直線上的點(diǎn)建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系，它揭示了數(shù)和形之間的內(nèi)在聯(lián)系，為我們研究問題提供了新的方法，同時(shí)也為下學(xué)期學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).1.2.3相反數(shù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)。或者說：如果兩個(gè)數(shù)只有符號(hào)不同，那么其中一個(gè)數(shù)就叫另一個(gè)數(shù)的相反數(shù)；【說明】1.正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)；0的相反數(shù)是0.注：一個(gè)數(shù)的相反數(shù)為非負(fù)數(shù)，那么這個(gè)數(shù)是（）2.相反數(shù)的代數(shù)意義：互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加，和為0.3.相反數(shù)的幾何意義：互為相反的兩上數(shù)，在數(shù)軸上位于原點(diǎn)的兩則，并且與原點(diǎn)的距離相等.4.相反數(shù)的讀法：-(-2)讀作負(fù)2的相反數(shù).從數(shù)軸上看-2的相反數(shù)是2，因此-(-2)=2.5.一般地，數(shù)a的相反數(shù)是-a.6.有關(guān)相反數(shù)的化簡(jiǎn)，遵循符號(hào)法則：同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù).1.2.4絕對(duì)值在數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值.【說明】1.幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示該數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.2.代數(shù)意義：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；0的絕對(duì)值是0；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，可用字母a表示如下：注：即：如果a＞0，那么=a；如果a＜0，那么=-a；如果a=0，那么=0如果=-a那么a滿足什么條件？=a，那么a滿足什么條件？3.絕對(duì)值等于a（a≠0）的數(shù)有兩個(gè)，一個(gè)在原點(diǎn)左邊，一個(gè)在原點(diǎn)右邊，它們互為相反數(shù).例如：|a|=2，則（）.4.|a|是重要的非負(fù)數(shù)，即|a|≥0；5.理解：；；6.兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小.7.理解幾個(gè)特殊的絕對(duì)值所表示的意義：若，則ab≥0；（表示a、b同號(hào)或至少其中一個(gè)為0）.若，則ab≤0；（表示a、b異號(hào)或至少其中一個(gè)為0）.若，則ab=0；（表示a、b至少其中一個(gè)為0）.1.3有理數(shù)的加減法1.3.1有理數(shù)的加法加法法則：①同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；②絕對(duì)值不等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值；互為相反的兩個(gè)數(shù)相加得0；③一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)?！菊f明】1.進(jìn)行有理數(shù)加法，先要判斷兩個(gè)加數(shù)是同號(hào)還是異號(hào)，有一個(gè)加數(shù)是否為零；再根據(jù)兩個(gè)加數(shù)符號(hào)的具體情況，選用某一條加法法則．進(jìn)行計(jì)算時(shí)，通常應(yīng)該先確定“和”的符號(hào)，再計(jì)算“和”的絕對(duì)值.加法的交換律：兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變.用字母表示：.加法的結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變.用字母表示：(a+b)+c=a+(b+c).用加法的運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算的基本思路是：先把互為相反數(shù)的數(shù)相加；把同分母的分?jǐn)?shù)先相加；把符號(hào)相同的數(shù)先相加；把相加得整數(shù)的數(shù)先相加.1.3.2有理數(shù)的減法減法法則：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù).【說明】1.“兩變”：一是減法變?yōu)榧臃?；二是減數(shù)變?yōu)槠湎喾磾?shù)．2.有理數(shù)減法常見的錯(cuò)誤：①?zèng)]有注意結(jié)果的符號(hào)；尤其是當(dāng)結(jié)果為負(fù)時(shí)，往往會(huì)忘記“－”；②仍用小學(xué)計(jì)算的習(xí)慣，不把減法變加法；③只改變運(yùn)算符號(hào)，不改變減數(shù)的符號(hào)，沒有把減數(shù)變成它的相反數(shù).幾個(gè)正數(shù)或負(fù)數(shù)的和稱為代數(shù)和．加減混合運(yùn)算可以統(tǒng)一為加法運(yùn)算，寫成代數(shù)和的形式.例如：.可以讀作：a加b減c，也可以讀作：a，b，-c的代數(shù)和.有理數(shù)加減混合運(yùn)算：先把減法變成加法，再按有理數(shù)加法法則進(jìn)行運(yùn)算.1.4有理數(shù)的乘除法1.4.1有理數(shù)的乘法乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；任何數(shù)與0相乘都得0.倒數(shù)的定義：乘積是1的兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù).若ab=1，則a和b互為倒數(shù).幾個(gè)不是0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積是正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，積是負(fù)數(shù).乘法運(yùn)算律：乘法交換律：兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等.用字母表示為：ab=ba.乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積相等.用字母表示為：(ab)c=a(bc).乘法交換律：一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，再把積相加.用字母表示為：a(b+c)=ab+ac.【說明】1.常見錯(cuò)誤仍是符號(hào)問題，做題時(shí)，先定符號(hào)，再定值.2.求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)的方法：①求一個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，就是把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母顛倒位置.②求一個(gè)整數(shù)的倒數(shù)：可以把整數(shù)看成是分母為1的分?jǐn)?shù)，再把分子、分母顛倒位置.③帶分?jǐn)?shù)要先畫成假分?jǐn)?shù)，再將分子、分母顛倒位置.1.4.2有理數(shù)的除法除