2023年江蘇中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 訓(xùn)練第17講 圖形的相似(解析版)

第17講圖形的相似2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題訓(xùn)練（江蘇專(zhuān)用）

一、單選題

1.（2022?徐州）如圖，若方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,則陰影部分的面積為（）

2.（2022?鎮(zhèn)江）如圖，點(diǎn)4、B、C、。在網(wǎng)格中小正方形的頂點(diǎn)處，與BC相交于點(diǎn)0,小正方形的

邊長(zhǎng)為1,則4。的長(zhǎng)等于（）

3.（2022?鹽城）“跳眼法”是指用手指和眼睛估測(cè)距離的方法

步驟：

第一步：水平舉起右臂，大拇指緊直向上，大臂與身體垂直；

第二步：閉上左眼，調(diào)整位置，使得右眼、大拇指、被測(cè)物體在一條直線上；

第三步：閉上右眼，睜開(kāi)左眼，此時(shí)看到被測(cè)物體出現(xiàn)在大拇指左側(cè)，與大拇指指向的位置有一段

橫向距離，參照被測(cè)物體的大小，估算橫向距離的長(zhǎng)度；

第四步：將橫向距離乘以10（人的手臂長(zhǎng)度與眼距的比值一般為10）,得到的值約為被測(cè)物體離觀

測(cè)，點(diǎn)的距離值.

如圖是用“跳眼法”估測(cè)前方一輛汽車(chē)到觀測(cè)點(diǎn)距離的示意圖，該汽車(chē)的長(zhǎng)度大約為4米，則汽車(chē)到

觀測(cè)點(diǎn)的距離約為（)

睜開(kāi)左眼時(shí),

被測(cè)區(qū)\大拇指指向

物體od的他置

坨測(cè)物體離觀

布點(diǎn)的距離

大拇抗

手臂長(zhǎng)度

左眼1右眼

眼距

A.40米B.60米C.80米D.100米

4.（2022?揚(yáng)州）如圖,在ZL4BC中,AB<AC,將AABC以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE,點(diǎn)。在BC

邊上，DE交4c于點(diǎn)F.下列結(jié)論：①UFEYDFC；②ZM平分NBQE；（3）ZCDF=/.BAD,其中所有

正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A

A.①②B.②③C.①③D.①②③

5.（2022?連云港）如圖，將矩形ABCD沿著GE、EC、GF翻折，使得點(diǎn)A、B、D恰好都

落在點(diǎn)。處，且點(diǎn)G、。、C在同一條直線上，同時(shí)點(diǎn)E、。、F在另一條直線上.小煒同

學(xué)得出以下結(jié)論：

①GF||EC；（2）AB=誓A。；③GE=瓜DF;@OC=2?OF;⑤&COFCEG.

A.①②③B.①③④C.①④⑤D.②③④

6.（2022?連云港）AABC的三邊長(zhǎng)分別為2,3,4,另有一個(gè)與它相似的三角形DEF,其最長(zhǎng)邊為

12,則4DEF的周長(zhǎng)是（）

A.54B.36C.27D.21

7.（2022?泗陽(yáng)模擬）兩個(gè)相似三角形，其周長(zhǎng)之比為3：2,則其面積比為（）

A.V3：V2B.3：2C.9：4D.不能確定

8.（2022?泗陽(yáng)模擬）如圖，在△ABC中，CH1AB,CH=h,AB=c,若內(nèi)接正方形DEFG的邊長(zhǎng)是x,

則h、c、x的數(shù)量關(guān)系為（）

9.（2021?無(wú)錫）如圖，D、E、F分別是XABC各邊中點(diǎn)，則以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.4BDE和LDCF的面積相等

B.四邊形AEDF是平行四邊形

C.若AB=BC,則四邊形AEDF是菱形

D.若乙4=90。，則四邊形AEDF是矩形

10.（2021?姑蘇模擬）如圖，AB為。O的直徑，弦CD與AB交于點(diǎn)E.若AC=AE,CE=4,DE=6,

則靄的值為（）

二、填空題

11.（2022?常州）如圖,在RtAABC中，ZC=90°,AC=9,BC=12.在RtADEF中，ZF=90°,DF=3,

E尸=4.用一條始終繃直的彈性染色線連接CF,Rt/SOEF從起始位置（點(diǎn)。與點(diǎn)B重合）平移至終止位

置（點(diǎn)E與點(diǎn)A重合），且斜邊DE始終在線段4B上，則內(nèi)△ABC的外部被染色的區(qū)域面積是.

12.（2022?揚(yáng)州模擬）如圖，在ZkABC中，DE〃BC,若AD=1,DB=2,則柜的值為.

13.（2022?泗洪模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,在邊BC上取點(diǎn)P,使NDAP的平分

線過(guò)DC的中點(diǎn)Q,則線段BP的長(zhǎng)等于.

14.（2022?惠山模擬）如圖，D、E分別是^ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，H.DE||BC,BE、CD相交于

點(diǎn)0,若SADOE：SAEOC=1：9,則當(dāng)SAADE=1時(shí)，四邊形DBCE的面積是.

15.（2021?徐州）如圖，在AABC中，點(diǎn)D,E分別在邊BA,BC上，且罌=j|=|，ADBE與

四邊形ADEC的面積的比為.

B

16.（2021?無(wú)錫）下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為.

①所有的正方形都相似

②所有的菱形都相似

③邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)菱形都相似

④對(duì)角線相等的兩個(gè)矩形都相似

17.（2021?鎮(zhèn)江）如圖，點(diǎn)D,E分別在AABC的邊AC,AB上，AADE^AABC,M,N分別是DE,

BC的中點(diǎn)，若舞=義，則^DE=

AN2、AARC

18.（2021?宿遷）如圖，在AABC中，AB=4,BC=5,點(diǎn)D、E分別在BC、AC±,CD=2BD,CF=2AF,

BE交AD于點(diǎn)F,則ZXAFE面積的最大值是.

19.（2021?揚(yáng)州）如圖，在△力BC中，AC=BC,矩形DEFG的頂點(diǎn)D、E在48上，點(diǎn)F、G分

別在BC、4C上，若CF=4,BF=3,且DE=2EF,則EF的長(zhǎng)為.

20.（2021?建湖模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似

中心的位似圖形，且相似比為1：3,點(diǎn)A、B、E在x軸上，若正方形BEFG的邊長(zhǎng)為6,則C點(diǎn)坐標(biāo)

為

三、綜合題

21.（2021?泰州）如圖，在。O中，AB為直徑，P為AB上一點(diǎn)，PA=1,PB=m（m為常數(shù)，且m>

0）.過(guò)點(diǎn)P的弦CDLAB,Q為寬上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B不重合），AH±QD,垂足為H.連接AD、BQ.

①求證：ZOAD=60°；

②求器的值；

（2）用含m的代數(shù)式表示盎，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果；

Un

（3）存在一個(gè)大小確定的。O,對(duì)于點(diǎn)Q的任意位置，都有BQ2-2DH2+PB?的值是一個(gè)定值，求

此時(shí)/Q的度數(shù).

22.（2021?無(wú)錫）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。0,4C是。。的直徑，AC與BD交于點(diǎn)E,

PB切。。于點(diǎn)B.

(1)求證：乙PBA=乙0BC；

(2)若/.PBA=20°，/.ACD=40°，求證：4OABFCDE.

23.（2022?鎮(zhèn)江）已知，點(diǎn)E、F、G、H分別在正方形ABC。的邊AB、BC、CD、AD上.

(1)如圖1,當(dāng)四邊形EFG”是正方形時(shí)，求證：AE+AH=AB；

(2)如圖2,已知=CF=CG,當(dāng)AE、CF的大小有關(guān)系時(shí)，四邊形EFGH是矩

形；

(3)如圖3,AE=DG,EG、FH相交于點(diǎn)。，OE：OF=4：5.已知正方形4BC0的邊長(zhǎng)為16,FH

長(zhǎng)為20,當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)，判斷四邊形EFGH是怎樣的四邊形？證明你的結(jié)論.

24.(2022?無(wú)錫)如圖，邊長(zhǎng)為6的等邊三角形ABC內(nèi)接于。0,點(diǎn)D為AC上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)A、C除外)，

BD的延長(zhǎng)線交。O于點(diǎn)E,連接CE.

(1)求證4CEDSXBAD；

(2)當(dāng)DC=2AD時(shí)，求CE的長(zhǎng).

25.(2022?泗陽(yáng)模擬)如圖，/.BAD=Z.CAE,Z.B=Z.D.

(1)AABC與△ADE相似嗎？為什么？

(2)如果力B=24Z),BC=4,那么DE的長(zhǎng)為多少？

26.(2022?錫山模擬)【學(xué)習(xí)概念】有一組對(duì)角互余的凸四邊形稱(chēng)為對(duì)余四邊形，連接這兩個(gè)角的頂點(diǎn)

的線段稱(chēng)為對(duì)余線.

(1)【理解運(yùn)用】

如圖1,對(duì)余四邊形中，AB=5,BC=6,CD=4,連接AC,若AC=AB,貝!!cos/ABC=

sinZCAD=.

(2)如圖2,凸四邊形中，AD=BD,AD±BD,當(dāng)2CD?+CB?=CA?時(shí)，判斷四邊形ABCD是否

為對(duì)余四邊形，證明你的結(jié)論.

圖2

(3)【拓展提升】

在平面直角坐標(biāo)中，A(-1,0),B(3,0),C(1,2),四邊形ABCD是對(duì)余四邊形，點(diǎn)E在對(duì)余

線BD上，且位于^ABC內(nèi)部，ZAEC=90°+NABC.設(shè)需=u，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為3請(qǐng)?jiān)谙路綑M線

上直接寫(xiě)出u與t的函數(shù)表達(dá)，并注明t的取值范圍-

27.(2021?豐縣模擬)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(4,0),

(4,3),動(dòng)點(diǎn)M,N分別從O,B同時(shí)出發(fā).以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng).其中，點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A

運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)M作MPLOA,交AC于P,連接NP,已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒.

(1)P點(diǎn)的坐標(biāo)為多少(用含x的代數(shù)式表示)；

(2)試求ANPC面積S的表達(dá)式，并求出面積S的最大值及相應(yīng)的x值;

(3)當(dāng)x為何值時(shí)，aNPC是一個(gè)等腰三角形？簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.

答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：如圖:

VCD//AB,

/.△ABE^ACDE,

.AE_AB_4_0

，，CE=CD=27Z,

:?S陰影=lSAABC=|x|x4x4=^.

故答案為：C.

【分析】對(duì)圖形進(jìn)行點(diǎn)標(biāo)注，易證△ABEsaCDE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得弟=縹=2,根據(jù)同高

CECD

三角形的面積之比等于底之比得SWSK=|SAABC,然后結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算.

2.【答案】A

【解析】【解答】解：AD=6+42=5，AB=2,CD=3,

?.?AB〃DC,

.'.△AOB^ADOC,

.AO_AB_2

=CD=3'

???設(shè)AO=2x,則OD=3x,

VAO+OD=AD,

2x+3x=5.

解得：x=l,

:.AO=2.

故答案為：A.

【分析】利用勾股定理可得AD的值，由圖形可得AB=2,CD=3,易證△AOBsaDOC,根據(jù)相似三

角形的性質(zhì)可得第=器=|,設(shè)AO=2x,則OD=3x,根據(jù)AO+OD=AD可得x的值，據(jù)此解答.

3.【答案】C

【解析】【解答】解：由“跳眼法”的步驟可知被測(cè)物體與觀測(cè)點(diǎn)的距離是橫向距離的10倍.

觀察圖形，橫向距離大約是汽車(chē)長(zhǎng)度的2倍，為8米，

所以汽車(chē)到觀測(cè)點(diǎn)的距離約為80米.

故答案為：C.

【分析】由“跳眼法'’的步驟可知被測(cè)物體與觀測(cè)點(diǎn)的距離是橫向距離的1()倍，觀察圖形可得橫向距離

大約是汽車(chē)長(zhǎng)度的2倍，據(jù)此解答.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：:?將4ABC以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到4ADE,

△ADE=△ABC9

???乙E=Z.C,

,:Z.AFE=(DFC,

：.△AFE-△DFC,故①正確；

??,△ADE=△ABC,

:.AB=AD9Z-ADE=Z-ABC

???Z.ABD=Z.ADBf

:.Z-ADB=Z.ADE,

平分/BDE,故②正確；

ADE=△ABC,

:.Z.BAC=Z-DAE,

???乙BAD=乙CAE,

*.,△AFE~&DFC,

Z-CAE=乙CDF,

:.乙CDF=Z.BAD,

故③正確

故答案為：D.

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得4ADE四△ABC,則NE=NC,根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)可得/AFE=NDFC,

然后根據(jù)相似三角形的判定定理可判斷①；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AB=AD,ZADE=ZABC,由

等腰三角形的性質(zhì)可得/ABD=NADB,貝Ij/ADB=/ADE,據(jù)此判斷②；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可

得NBAC=NDAE,則NBAD=NCAE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得NCAE=NCDF,據(jù)此判斷③.

5.【答案】B

【解析】【解答】解：???矩形ABCD沿著GE、EC、GF折疊，使得點(diǎn)A、B、D恰好落在點(diǎn)O處，

.*.DG=OG=AG,AE=OE=BE,OC=BC,ZDGF=ZFGO,ZAGE=ZOGE,ZAEG=ZOEG,

ZOEC=ZBEC,

NFGE=NFGO+NOGE=90°,NGEC=NOEG+/OEC=90°,

.?.ZFGE+ZGEC=180°,

???GF〃CE,

?,?①符合題意；

設(shè)AD=2a,AB=2b,則DG=OG=AG=a,AE=OE=BE=b,

，CG=OG+OC=3a,

在RtZkAGE中，由勾股定理得GE2=AG2+AE2,即GE2=a?+b2,

在RtAEBC中,由勾股定理得CE2=EB2+BC2,即CE2=b2+(2a)2,

在RtACGE中，由勾股定理得CG2=GE2+CE2,

(3a)2=:a2+b2+b2+(2a)2,

整理，解得：b=V2a,

r.AB=V2AD,

.?.②不符合題意；

設(shè)OF=DF=x,則CF=2b-x=2V2a-x,

在RSCOF中，由勾股定理得OF2+OC2CF2,

.,.x2+(2a)2=(2a-x)2,

解得：x=等,

，OF=DF=&

2

*'?V6DF=V5a,

又：GE2=a2+b2,

GE=V3a,

.?.GE=V6DF,

③符合題意；

2V2OF=2&x爭(zhēng)=2a,

.\OC=2V2OF,

???④符合題意；

:無(wú)法證明/FCO=/GCE,

，無(wú)法判斷ACOFsACEG,

...⑤不符合題意；

,正確的有①③④.

故答案為：B.

【分析】由矩形性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得DG=OG=AG,AE=OE=BE,OC=BC,ZDGF=ZFGO,

NAGE=NOGE,NAEG=NOEG,NOEC=NBEC,從而可得NFGE=NFGO+NOGE=90。，ZGEC

=NOEG+NOEC=90°,得NFGE+NGEC=180°,可判定GF〃CE；設(shè)AD=2a,AB=2b,貝ijDG=

OG=AG=a,AE=OE=BE=b,得CG=OG+OC=3a,由勾股定理得GE2=a2+b?,CE2=b2+(2a)2,

CG2=GE?+CE2,即得(3a)2=a2+b2+b?+(2a)2,解得b=V^a,從而得AB=V^AD；設(shè)OF=DF=x,

則CF=2b-x=2夜a-x,由勾股定理得OF2+OC2=CF2,即x?+(2a)』(2a-x)2,解得x=^a,從而

得OF=DF=^a,進(jìn)而求得GE=V^DF；又2V^OF=2在x學(xué)a=2a,從而可得...OC=2加OF；因條件不

足，無(wú)法證明NFCO=NGCE,因而無(wú)法判斷ACOFsacEG.據(jù)此逐項(xiàng)分析即可得出正確答案.

6.【答案】C

【解析】【解答】??,△ABCS/XDEF,相似比唱=熱

.N8C的周長(zhǎng)廠1

?'△DEF的周長(zhǎng)一可

.,.△DEF的周長(zhǎng)=3(2+3+4)=27.

故答案為：C.

【分析】先求出AABCS/^DEF的相似比馬，從而得出歿笑罌=看即可得出ADEF的周長(zhǎng)=3

3ADEF的周長(zhǎng)3

(2+3+4)=27.

7.【答案】C

【解析】【解答】解：；相似三角形的周長(zhǎng)比是3：2

...這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊之比為3：2

,這兩個(gè)三角形面積比為9：4

故答案為：C.

【分析】根據(jù)相似三角形的相似比等于周長(zhǎng)比，面積比等于相似比的平方進(jìn)行解答.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：設(shè)CH與GF交于點(diǎn)M,

???正方形DEFG,

GF||DE,乙GDE=乙DGF=90°,

:.ACGF?ACAB,

GF_CM

^AB=CHf

???CHA.AB,

:.乙DHM=90°,

???四邊形DHMG是矩形，

???DG=MH,

?:CH=h,4B=c,正方形DEFG的邊長(zhǎng)是x,

：?MH=%,

ACM=CH-MH=h—x,

x_h—x

Ac=_/T,

整理得工=《+工

xhc

故答案為：D.

【分析】設(shè)CH與GF交于點(diǎn)M,根據(jù)正方形性質(zhì)得GF〃DE,ZGDE=ZDGF=90°,證△CGFs/iCAB,

易得四邊形DHMG是矩形，得到DG=MH,由題意可得MH=x,CM=h-x,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

進(jìn)行解答.

9.【答案】C

【解析】【解答】解：???點(diǎn)D、E、F分別是AABC三邊的中點(diǎn)，

...DE、DF為^ABC得中位線，

，ED〃AC,且ED=1AC=AF；同理DF〃AB,且DF=|AB=AE,

.??四邊形AEDF一定是平行四邊形，故B正確；

△BDEBCA,△CDFCBA

?9^^BDE=^^BCA'_1

S〉CDF=4sABCA9

：.△BDE和△DCF的面積相等，故A正確;

9：AB=BC,

；.DF=1AB=AE,

四邊形AEDF不一定是菱形，故C錯(cuò)誤；

VZA=90°,則四邊形AEDF是矩形，故D正確；

故答案為：C.

【分析】根據(jù)三角形中位線定理可得ED〃AC,且ED=1AC=AF,DF〃AB,且DF=1AB=AE,

可證四邊形AEDF一定是平行四邊形，由/A=90。,可證四邊形AEDF是矩形;根據(jù)平行線可證4BDE?

△BCA,4CDFFCBA,利用相似三角形的性質(zhì)可得.據(jù)此判

SABDE=|sAec4.SACDF=|SABC4

斷A、B、D；由AB=BC,可得DF=1AB=AE,從而得出四邊形AEDF不一定是菱形，據(jù)此判斷

C.

10.【答案】A

【解析】【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OHLCD于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)A作AMCD于點(diǎn)M

B

VDE=6,CEM

ACD=10

VOH±CD

ADH=CH=1CD=5

???HE=1

VAE=AC,AMICE

.'EM=CM=1CE=2

VOH1CD,AM±CD

AOH//AM

.HE_0E_1

^EM=AE=2

設(shè)OE=x,貝ljAE=2x

VOB=OA=3x

BE=OE+OB=3x+x=4x

.AE_2x_1

,"BE~4x~2

故答案為：A.

【分析】過(guò)點(diǎn)O作OHLCD于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)A作AMLCD于點(diǎn)M,根據(jù)線段間的和差關(guān)系求出CD的

長(zhǎng)，然后根據(jù)垂徑定理求出DH的長(zhǎng)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出EM的長(zhǎng)，根據(jù)OH〃AM,列出比

例式，設(shè)OE=x,貝i」AE=2x,OB=3x,再根據(jù)線段間的和差關(guān)系求出BE=4x,最后求比值即可.

11.【答案】21

【解析】【解答】解：過(guò)點(diǎn)F作AB的垂線交于G,同時(shí)在圖上標(biāo)出M、N、F如下圖：

???zC=90°,AC=9,BC=12,

AB=\/AC2+BC2=15，

在RtaDEF中，NF=90°,DF=3,EF=4.

DE=yjDF2+FE2=5，

vAE=AB-DE=15-5=10,

?：EF//AF',EF=AF'，

.??四邊形ZEFF，為平行四邊形，

AE=FF'=10,

11

VShDEF=/F?EF=專(zhuān)DE-GF=6,

解得：G/=第，

vDF11AC.

???Z.DFM=44cM,乙FDM=NCAM，

???△DFMACM,

DM_DF_1

^AM~AC=39

1115

???DM="M==*，

???BC//AF\

同理可證：AANF'FDNC,

AFAN1

FF=T

345

???DN=34N==￥，

451530

???MN=DN-DM=券一詈=券

Rt△ABC的外部被染色的區(qū)域面積為S廨修MNF'F=④x（素+10）x導(dǎo)=21,

故答案為：21.

【分析】過(guò)點(diǎn)F作AB的垂線交于G,同時(shí)在圖上標(biāo)出M、N、F",利用勾股定理可得AB、DE,由

AE=AB-DE可得AE,推出四邊形AEFF為平行四邊形，得至UAE=FF=10,根據(jù)三角形的面積公式可得

GF,證明ADFMs/\ACM,AANF^ADNC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得DM、DN,由MN=DN-DM

可得MN,然后根據(jù)RtAABC的外部被染色的區(qū)域面積為S怫般MNFF結(jié)合梯形的面積公式進(jìn)行計(jì)算.

12.【答案】|

【解析】【解答】解：「DE〃BC

/.△ADE^AABC

ADDE^

：AB=~BC

故答案為：I.

【分析】由平行于三角形一邊的直線，截其它兩邊，所截的三角形與原三角形相似得△ADEsaABC,

進(jìn)而根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得需=器,據(jù)此計(jì)算.

13.【答案埒

【解析】【解答】解：如圖，延長(zhǎng)BC,AQ交于點(diǎn)E,

???點(diǎn)Q是CD中點(diǎn)，

；.CQ=DQ,

???四邊形ABCD是矩形，

；.BC〃AD,BC=AD=3,

.,.△CQE^ADQA,

.CQ_CE__

"DQ~AD~

，CE=AD=3,

，BE=6,

VAQ平分NPAD,

，NPAQ=NDAQ,

?；BC〃AD,

.,.NE=NDAQ,

/.ZE=ZPAQ,

???AP=PE,

在RtZkABP中，AP2=AB2+BP2,

J(6-BP)2=4+BP2,

故答案為：I

【分析】延長(zhǎng)BC,AQ交于點(diǎn)E,根據(jù)中點(diǎn)的概念可得CQ=DQ,根據(jù)矩形的性質(zhì)可得BC〃AD,BC

=AD=3,證明ACQEsaDQA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得CE=AD=3,則BE=6,由角平分線的

概念可得/PAQ=/DAQ,由平行線的性質(zhì)可得/E=/DAQ,推出AP=PE,接下來(lái)利用勾股定理計(jì)

算即可.

14.【答案】8

【解析】【解答】解：

.?.△DOEs△COB,AADE^AABC,

?竺_絲_匹

"OF-OC-BC）

.尊一冠）P

.DE_0D_1

,'fiC=OC=3'

,S4ADE—2_1

??曙嬴一（反）-9'

,4ABe=9sUDE—9,

:四邊形BCED=SA4BC-SAADE=8,

故答案為：8.

【分析】由DE||BC,得出AADE-AABC,得出緇=黑=蓋,再由舞器=(罌,=

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出照=罌=：,結(jié)合相似比等于面積比的平方，求出AABC的面積，即

可求出四邊形DBCE的面積.

15.【答案】±

【解析】【解答】解：???第=需=|,

.BD_BE_2

^AD=EC=3

.BD_BE_2

??近一前一弓

VZB=ZB,

△BDEBAC，

?S&BDE一沖22：_4

??立嬴T兩）一（5）-25

J.ADBE與四邊形ADEC的面積的比=4.

故答案是：言.

【分析】證明△BOE-ABZC，可得江郎=（第;，據(jù)此即可求出結(jié)論.

S&ABCBA

16.【答案】①

【解析】【解答】解：所有的正方形都相似，所以①正確；

所有的菱形不一定相似，所以②錯(cuò)誤；

邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)菱形，形狀不一定相同，即：邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)菱形不一定相似所以③錯(cuò)誤;

對(duì)角線相等的兩個(gè)矩形，對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，即不一定相似，所以④錯(cuò)誤；

故答案是：①.

【分析】根據(jù)相似多邊形的定義逐一判斷即可.

17.【答案】1

【解析】【解答】解：??"，N分別是DE,BC的中點(diǎn)，

AAM.AN分別為AADE、ZkABC的中線，

VAADE^AABC,

.DE_AM_1

''BC~AN~21

.S/ADE_/DE、2=1

SAABCBC4'

故答案為：1.

【分析】根據(jù)相似三角形的中線比等于相似比得出錯(cuò)的比值，再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比

DC

的平方，即可解答.

18.【答案】1

【解析】【解答】解：如圖，連接DF,

VCD=2BD,CF=2AF,

.CF_CD_2

^CA=CB=3'

vzc=zc,

ACDF^ACBA,

,,彩=黑=:'ZCFD=ZCAB,

，DF〃BA,

/.ADFE^AABE,

.DF_DE_2

"AB=AE=3'

?3

?,SA4EF=耳$44。尸'

VCF=2AF,

.1

?*S^ADF=J^ATIDC'

._1

?^^AEF='

VCD=2BD,

?2

??S/^4DC=4SAABC，

?2

「△ABC中，ABM,BC=5,

當(dāng)ABJ_BC時(shí)，AABC面積最大，為/x4x5=10，

此時(shí)zkAFE面積最大為iox1=1.

故答案為：|

【分析】連接DF,由算=黑=看，/C=/C,易得ACDFSACBA,可得/CFD=NCAB,即可得

LACDD

DF〃BA,即△DFES^ABE,可得黑=器=|，根據(jù)^AEF與^ADF同高，可得S^AEF=阻.，

j

同理可得S^ADp=^SA4DCS&4DC=；SA48C，可得SMEF=^SMBC，當(dāng)aABC面積最大時(shí)，AAFE

面積最大，當(dāng)ABJ_BC時(shí)，aABC面積最大，可得結(jié)果.

19.【答案】等

【解析】【解答】解：：DE=2EF,設(shè)EF=x,則DE=2x,

?.?四邊形DEFG是矩形，

，GF〃AB,

二ACGF^ACAB,

.GF_CF_4_4日n2%_4

,?而F=M=7'即AB=7'

???AABn=7%f

AAD+BE=AB-DE=^-2x=1x,

VAC=BC,

AZA=ZB,XDG=EF,ZADG=ZBEF=90°,

.'.△ADG^ABEF（AAS）,

，AD二BE二'1x=,

zL4

在^BEF中，BE2+EF2=BF2,

r,Q2

即（4%）+x2=32>

解得：x=等或-導(dǎo)（舍），

.12

■EF=耳'

故答案為：普.

【分析】設(shè)EF=x,貝ijDE=2x,證明△CGFs^CAB,利用相似三角形的性質(zhì)求出48=與，從而求出

AD+BE=AB-DE=|x,證明AADG絲4BEF（AAS）,可得AD=BE=%,在ABEF中，BE2+EF2=

2

BF,可得（|X）+X2=32,求出X值即可.

20.【答案】（3,2）

【解析】【解答】解：正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)0為位似中心的位似圖形，且位似

比為|.

BC_OB_1

"EF"OF"3'

而B(niǎo)E=EF=6,

,BC_OB_1

A~6=OF+6=3'

?*BC=2,OB=3,

???C（3,2）.

故答案為：（3,2）.

【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)得出等=器=：,從而得出等=溪^=%求出BC,OB的長(zhǎng)，即可

得出點(diǎn)C的坐標(biāo).

21.【答案】（1）解：①如圖，連接OD,則OA=OD

VAB=PA+PB=1+3=4

i

??0A=2aB=2

.\OP=AP=1

即點(diǎn)P是線段OA的中點(diǎn)

VCD1AB

??.CD垂直平分線段OA

AOD=AD

AOA=OD=AD

即40AD是等邊三角形

???ZOAD=60°

②連接AQ

：AB是直徑

/.AQ1BQ

根據(jù)圓周角定理得：ZABQ=ZADH,

?'cos乙4BQ=cosZ-ADH

VAH±DQ

在RtAABQ和RtAADH中

BQDH

COS/.ABQ=前=cosZ-ADH=

AD

.BQ_AB

''DH=AD

：AD=0A=2,AB=4

.BQ_AB_4_

''DH-Ab-2-2

(2)解：連接AQ、BD

與(i)中的②相同，有器=瑞

；AB是直徑

AAD1BD

.??NDAB+NADP=NDAB+NABD=90。

AZADP=ZABD

RtAAPD^RtAADB

.PA_AD

^AD=AB

VAB=PA+PB=l+m

.\AD=y/PA-AB=V1+m

.BQ^_AB__1+m

=V14-m

,DHADJl+m

(3)解：由(2)知，=V1+ni

ABQ=

即BQ2=(1+m)DH2

BQ2-2DH2+PB2=(1+rri)DH2—2DH2+m2=(m-1)DH2+m2

當(dāng)m=l時(shí)，，BQ2-2DH2+PB?是一個(gè)定值，且這個(gè)定值為1,此時(shí)PA二PB=1,即點(diǎn)P與圓心O重合

VCD±AB,OA=OD=1

???△AOD是等腰直角三角形

JNOAD=45。

ZOAD與NQ對(duì)著同一條弧

.?.ZQ=ZOAD=45°

故存在半徑為1的圓，對(duì)于點(diǎn)Q的任意位置，都有BQ?-2DH2+PB2的值是一個(gè)定值1,此時(shí)NQ的度

數(shù)為45.

【解析】【分析】(1)①連接OD,可得AB=4,0A=2,OP=AP=1,從而得出CD垂直平分線段OA,

證明

△OAD是等邊三角形，可得NOAD=6()。；②連接AQ,由圓周角定理可得AQ_LBQ,ZABQ=ZADH,

即得cos乙4BQ=器=cos^ADH=耨代入相應(yīng)數(shù)據(jù)即得結(jié)論；

⑵連接AQ、BD,同(1)中的②相同，有器=祭，證明RSAPDSRJADB,可得益=翳

由AB=PA+PB=l+m；可求出AD=yJPA-AB=VTTm，代入器=條即可求出結(jié)論；

222

(3)由(2)得BQ=即BQ2=(1+爪)?！?,從而求出BQ2_2DH+PB=(1+m)DW-

2DH2+m2=(m-1)Z)W2+m2,可知當(dāng)m=l時(shí)，BQ?-ZDfF+PB?是一個(gè)定值，且這個(gè)定值為1,

此時(shí)PA=PB=1,即點(diǎn)P與圓心O重合，證出^AOD是等腰直角三角形，可得/Q=

NOAD=45。，據(jù)此即得結(jié)論.

22.【答案】(1)證明：..FC是。0的直徑，

.,.ZABC=90°,

；PB切。。于點(diǎn)B,

.,.ZOBP=90°,

：.Z.PBA+Z.ABO=乙OBC+Z.ABO=90°,

：.^PBA=乙OBC；

(2)證明：'J/.PBA=20°,Z.PBA=^OBC,

：.^OBC=20°,

VOB=OC,

:.乙OCB=Z.OBC=20°,

.../AOB=20°+20°=40°,

VOB=OA,

二ZOAB=ZOBA=(180°-40°)4-2=70°,

，NADB=JZAOB=20°,

,：AC是(DO的直徑，

.,.ZADC=90°,

.,.ZCDE=90°-20°=70°,

.\ZCDE=ZOAB,

ZACD=40°,

：.Z.ACD=Z.AOB=40°,

△OABCDE.

【解析】【分析】(1)根據(jù)圓周角定理且切線的性質(zhì)可得NABO90。，NOBP=9()。，從而可得上PBA+

乙48。=乙。8C+乙4B。=90°,根據(jù)余角的性質(zhì)即得結(jié)論；

(2)由三角形外角的性質(zhì)得出NAOB=NACB+NOBC=40。，從而得出NAOB=NACD,由圓周角定理

可得NCDE=NOAB,根據(jù)兩角分別相等可證△04B?△CDE.

23.【答案】(1)證明：???四邊形ABCD為正方形，

?"A=ZS=90°,

C.LAEH+Z-AHE=90°.

???四邊形EFGH為正方形，

：.EH=EF,乙HEF=90°,

：.^AEH+^BEF=90°,

，乙BEF=(AHE.

在AAEH和XBFE中，

VZ./1=ZB=90°,Z.AHE=乙BEF,EH=FE,

:.〉A(chǔ)EH王ABFE.

：.AH=BE.

：.AE+AH=AE+BE=AB；

(2)AE=CF

(3)解：???四邊形ABCD為正方形，

：.AB||CD.

9：AE=DG,AE||DG,

???四邊形AEGD為平行四邊形.

：.AD||EG.

：.EG||BC.

過(guò)點(diǎn)“作“M工BC,垂足為點(diǎn)M,交EG于點(diǎn)N,

.HN_HO

??麗二麗*

?：0E：09=4：5,

設(shè)OE=4%,0F=5x,HN=九，貝ij/=,

A/i=4(4—x).

:.s=1?OF-W/V=1-4x-4(4-x)=-8(久-2)24-32.

.?.當(dāng)％=2時(shí)，4OEH的面積最大，

11

，OE=4x=8=尹G=OG,OF=5%=10=加尸=OH,

???四邊形EFGH是平行四邊形.

【解析】【解答］解：(2)AE二CF,證明如下：

???四邊形ABCD為正方形，

：.z.A=ZF=90°,AB=BC二AD=CD,

VAE=AH,CF=CG,AE=CF,

.\AH=CG,

:.〉A(chǔ)EH三AFCG,

???EH=FG.

VAE=CF,

???AB—AE=BC—CF,即BE二BF,

???4BEF是等腰直角三角形，

AZBEF=ZBFE=45°,

VAE=AH,CF=CG,

.\ZAEH=ZCFG=45°,

/.ZHEF=ZEFG=90°,

.??EH〃FG,

???四邊形EFGH是矩形.

【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得NA=NB=90。，EH=EF,NHEF=90。，根據(jù)同角的余角相等可得

ZBEF=ZAHE,證明△AEHgZ\BFE,得到AH=BE,據(jù)此證明；

(2)同理證明△AEHgZ\FCG,得到EH=FG,根據(jù)線段的和差關(guān)系可得BE=BF,推出AEBF是等腰直

角三角形，得至ijNBEF=NBFE=45。，易得NAEH=NCFG=45。，則NHEF=NEFG=90。，推出EH〃FG,

然后根據(jù)矩形的判定定理進(jìn)行解答；

(3)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB〃CD,易得四邊形AEGD為平行四邊形，則AD〃EG,過(guò)點(diǎn)H作HM

1BC,垂足為點(diǎn)M,交EG于點(diǎn)N,設(shè)0E=4x,0F=5x,HN=h,根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)可得

h,由三角形的面積公式可得S,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得S的最大值以及對(duì)應(yīng)的x的值，進(jìn)而求出

OE、OF,然后結(jié)合平行四邊形的判定定理進(jìn)行解答.

24.【答案】(I)證明：?.?此所對(duì)的圓周角是乙4,乙E，

:?LA—LE,

又乙BDA=乙CDE,

/.△CEDBAD

(2)解：:AABC是等邊三角形，

：.AC=AB=BC=6

°：DC=2AD,

=3AD,

???4D=2,DC=4,

:ACED?ABAD,

.AD_BD_AB

=CD=CE'

.2_BD

??詼=丁'

:.BDDE=8；

連接AE,如圖，

9：AB=BC,

：.AB=KC

AZBAC=/.BEA,

又NABD=乙EBA,

ABD?AEBA,

.AB_PD

?,BE=AB'

：.AB2=BD?BE=BD?(BD+DE)=BD2+BD-DE,

A62=BD2+8,

?'?BD-2\/7(負(fù)值舍去)

?6_2"

''CE=~T'

解得，CE=^y/7

【解析】【分析】(1)根據(jù)圓周角定理可得NA=NE,由對(duì)頂角的性質(zhì)可得NBDA=NCDE,然后根據(jù)

相似三角形的判定定理進(jìn)行證明；

(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AC=AB=BC=6,結(jié)合已知條件可得AC=3AD,貝AD=2,DC=4,然后

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得BD-DE=8,連接AE,由圓周角定理可得/BAC=/BEA,證明AABDS4

EBA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得BD、CE的值.

25.【答案】(DM：VZBAD=ZCAE,

二ZBAD+ZCAD=ZCAE+ZCAD,

即NBAC=NDAE,

在^ABC和ZkADE中

(Z.BAC=Z.DAE

INB=ND

.,.△ABC^AADE；

(2)解：VAABC^AADE,

.AD_DE

-'AB=BC，

VAB=2AD,BC=4,

.DE_1

?F=2'

；.DE=2,

即DE的長(zhǎng)為2.

【解析】【分析】(1)根據(jù)/BAD=NCAE結(jié)合角的和差關(guān)系可得/BAC=NDAE,然后根據(jù)兩組角對(duì)

應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似進(jìn)行證明；

(2)根據(jù)AB=2AD,BC=4結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可得DE的長(zhǎng).

26.【答案】(1)|；A|

(2)解：如圖②中，結(jié)論：四邊形ABCD是對(duì)余四邊形.

理由：過(guò)點(diǎn)D作DM_LDC,使得DM=DC,連接CM.

???四邊形ABCD中，AD=BD,AD±BD,

/.ZDAB=ZDBA=45O,

NDCM=NDMC=45。，

JZCDM=ZADB=90°,

???NADC=NBDM,

\?AD=DB,CD=DM,

.,.△ADC^ABDM(SAS),

，AC=BM,

,.?2CD2+CB2=CA2,CM2=DM2+CD2=2CD2,

ACM2+CB2=BM2,

AZBCM=90°,

.,.ZDCB=45°,

.??NDAB+NDCB=90。，

???四邊形ABCD是對(duì)余四邊形.

(3)U=y(0<t<4)

【解析】【解答］解：(1)過(guò)A作AELBC于E,過(guò)C作CFLAD于F

VAB=AC,AE±BC

圖①

JcosNABC=AB=F5

?/四邊形ABCD是對(duì)余四邊形,

???NB+ND=90。

又???NB+NBAE=90。

AZD=ZBAE

又「ZCFD=ZAEB=90°

/.△ABE^ADCF

.AB_BE

^CD=CF

?5_3

?,4=CF

：.CF=導(dǎo)

???sin/CAD=益嗯

故答案為：稱(chēng)，n;

(3)如圖③中，過(guò)點(diǎn)D作DH，x軸于H.

AOA=1,OB=3,AB=4,AC=BC=2y/2，

AAC2+BC2=AB2,

.,.ZACB=90°,

???NCBA=NCAB=45。，

???四邊形ABCD是對(duì)余四邊形,

.\ZADC+ZABC=90o,

AZADC=45°,

?.,ZAEC=90°+ZABC=135°,

???NADC+NAEC=180。，

AA,D,C,E四點(diǎn)共圓，