高中數(shù)學橢圓的經(jīng)典知識總結

高中數(shù)學橢圓的經(jīng)典知識總結

橢圓知識點總結

1.橢圓的定義：1,2

⑴橢圓：焦點在X軸上時提+/=1（/=尸+。2）=6二孩制（參數(shù)方程，其中0為

22

參數(shù)），焦點在y軸上時=+==1（。>人>0）。方程-2+與，2=。表示橢圓的充要條件是什么？

ab

（ABCWO,且A,B,C同號，AWB）。

2.橢圓的幾何性質：

22

（1）橢圓（以一=1（。>Z?>0）為例）：①范圍：—。〈尤Ka,—Z?<y<Z?；②焦點：兩個

ab

焦點（土c,O）；③對稱性：兩條對稱軸x=O,y=O,一個對稱中心（0,0）,四個頂點（±a,0）,（0,功）,

其中長軸長為2〃，短軸長為2心④準線：兩條準線x=土且；⑤離心率：e=￡，橢圓<=>0<e<l,

ca

e越小，橢圓越圓；e越大，橢圓越扁。⑥通徑空

a

2.點與橢圓的位置關系：⑴點PCX。,打）在橢圓外=國■+共>1；

ao

（2）點在橢圓上o存+匕=1；

a~b

22

（3）點P（x。,%）在橢圓內=烏+烏<1

a'b~

3.直線與圓錐曲線的位置關系：

（1）相交：A>0o直線與橢圓相交；（2）相切：A=0o直線與橢圓相切；（3）相離：A<0o

直線與橢圓相離；

22

如:直線y—kx—l=0與橢圓上+上~=1恒有公共點，則m的取值范圍是_______（答：［1,5）

5m

U（5,+8））；

4、焦半徑（圓錐曲線上的點P到焦點F的距離）的計算方法：利用圓錐曲線的第二定義，轉

化到相應準線的距離，即焦半徑/其中d表示P到與F所對應的準線的距離。

如（1）已知橢圓上一點P到橢圓左焦點的距離為3,則點P到右準線的距離為一（答:

2516

10/3）；

22

（2）橢圓?+（_=1內有一點2（1,一1）,F為右焦點，在橢圓上有一點M,使阿月+2〃月之值

最小，則點M的坐標為（答：（半,一））；

5、焦點三角形（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形）問題：S=02tang=c|y0|,

當I%1=6即P為短軸端點時，Sm”的最大值為be；

6、弦長公式：若直線了=丘+人與圓錐曲線相交于兩點A、B,且和馬分別為A、B的橫坐標,

則1ABi=-訃若X，%分別為A、B的縱坐標，則AM=Jl+/5-力|，若弦AB所

在直線方程設為x=0+）,則|AB|=Vi7淳"-%］。特別地，焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦

長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。

7、圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解。在橢圓

W+E=l中，以P（x0,y。）為中點的弦所在直線的斜率k=一4工；

a'h-a-y0

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如（1）如果橢圓土+乙=1弦被點A（4,2）平分，那么這條弦所在的直線方程是（答:

369--------

22

x+2y-8=0）；（2）已知直線y=—x+1與橢圓；■+￡=1（。＞。＞。）相交于A、B兩點，且線段AB

的中點在直線L：x—2y=0上，則此橢圓的離心率為（答：半）；（3）試確定m的取值范

圍，使得橢圓［+］=1上有不同的兩點關于直線y=4x+機對稱（答：卜誓，誓））；

特別提醒：因為A＞0是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關弦長、對稱問

題時，務必別忘了檢驗△＞（）!

橢圓知識點

1.如何確定橢圓的標準方程？

任何橢圓都有一個對稱中心，兩條對稱軸。當且僅當楠圓的對稱中心在坐標原點，對稱軸是坐標軸，橢圓的

方程才是標準方程形式。此時，橢圓焦點在坐標軸上。

確定一個桶圓的標準方程需要三個條件：兩個定形條件一個定位條件焦點坐標，由焦點坐標的形式確

定標準方程的類型。

2.橢圓標準方程中的三個量a,"C的幾何意義

橢圓標準方程中，a/,c三個量的大小與坐標系無關，是由橢圓本身的形狀大小所確定的。分別表示橢圓的

長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關系為：(a>b>0),(?>c>0),且

(?2=b2+c2)?

可借助右圖理解記憶：

顯然：恰構成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直

角邊。

3.如何由橢圓標準方程判斷焦點位置一C；橢圓的

焦點總在長軸上，因此己知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看一,一/V的分母

的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標軸上。?

4.方程Av?+為2=C(A,8,C均不為零)是表示橢圓的條件

方程=?？苫癁樯?+2二=1,即1+竺=1,所以只有A、B、C同號，且AHB時，方

cccC

7萬

程表示橢圓。當上c〉士c時，橢圓的焦點在x軸上；當C時C，橢圓的焦點在y軸上。

ABAB

5.求橢圓標準方程的常用方法：

①待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點的位置，從而確定橢圓方程的類型，設出標準方程，再由條件確定方程

中的參數(shù)a,b,c的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；

②定義法：由已知條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。

6.共焦點的橢圓標準方程形式上的差異

2222

共焦點，則C相同。與橢圓0+4=1(a>8>0)共焦點的橢圓方程可設為T—+—=1(〃?>-b2),

a"b~a~+mb~+m

此類問題常用待定系數(shù)法求解。

7.判斷曲線關于x軸、y軸、原點對稱的依據(jù)：

①若把曲線方程中的x換成-X,方程不變，則曲線關于y軸對稱;

②若把曲線方程中的y換成-y,方程不變，則曲線關于x軸對稱；

③若把曲線方程中的x、y同時換成-％、-y,方程不變，則曲線關于原點對稱。

8.如何求解與焦點三角形△PFR(P為橢圓上的點)有關的計算問題？

思路分析：與焦點三角形△PFR有關的計算問題時，?？紤]到用橢圓的定義及余弦定理(或勾股

定理)、三角形面積公式4叼3=；|P用x|p周xsin/￡P8相結合的方法進行計算解題。

將有關線段|尸耳卜|尸闖、閨閭，有關角N耳PB(NFfB茨/￡5尸2)結合起來，建立|產制十|P用、

伊片儼儼周之間的關系.

9.如何計算橢圓的扁圓程度與離心率的關系？

長軸與短軸的長短關系決定橢圓形狀的變化。離心率e=￡(O<e<l),因為。2=/一/，”>，>(),

a

用a、/?表示為e=J1一(I](0<e<1)。

顯然：當2b越小時，e(0<e<l)越大，橢圓?_形狀越扁；當巳h越大，e(0<e<l)越小，橢圓形狀越趨

aa

近于圓。

橢圓

題型1:橢圓定義的運用

%2V2

例1、已知￡，月為橢圓三三+天-=1的兩個焦點，過6的直線交橢圓于A、B兩點若|母1|+但q=12,則

y

|明=—。

例2、橢圓有這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，

今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點A、B是它的焦點，長軸長為2a,焦距為2c,靜放在點A的小球(小球

的半徑不計)，從點A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點A時，小球經(jīng)過的路程是

例3、如果方程x2+ky2=2表示焦點在x軸的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是.

2222

例4、已知P為橢圓蕓+汽=1上的一點，"”分別為圓(％+3)-+>2=1和圓(％-3)+<=4上的點,

則+|PN|的最小值為

題型2：求橢圓的標準方程

例1、求滿足下列各條件的橢圓的標準方程.

(1)經(jīng)過兩點4(亞-2)、

(2)經(jīng)過點(2,—3)且與橢圓9x2+4V=36具有共同的焦點.

(3)一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，且此焦點與長軸上較近的端點距離為4及一4.

題型3:求橢圓的離心率(或范圍)

例I、/VLBC中，.4=30°,|陰=2,5叢8°=、/3若以4笈為焦點的橢圓經(jīng)過點。，則橢圓的離心率

為.

例2、過橢圓的一個焦點B作橢圓長軸的垂線交橢圓于P，若居為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為一

題型4:橢圓的其他幾何性質的運用(范圍、對稱性等).L

例1、已知實數(shù)滿足?+春=1,則V+V—x的范圍為------

例2、已知P是橢圓￡+m=1上一點，片，鳥是橢圓的兩個焦點，求歸耳卜|尸鳥|的最大值與最小值

X2y2一一

例3、已知點A,8是橢圓二下+==1上兩點，且AO=XB。,則；1=

m"n

22

例4、如上圖，把橢圓工+二=1的長軸AB分成8等份，過每個分點作8軸的垂線交橢圓的上半部分于

2516

4,6，6線,兄,打七個點，尸是橢圓的一個焦點，則麻

題型5：焦點三角形問題

22

例1、已知K，K為橢圓三+：=1的兩個焦點，p為橢圓上的一點，已知P,￡,入為一個直角三角形的三個頂

點，且|「目＞|尸國，求耨的值;

22

例2、己知耳，心為橢圓?：5+?=1的兩個焦點，在C上滿足_LP馬的點的個數(shù)為

22

例3、若可，工為橢圓方+寧=1的兩個焦點，p為橢圓上的一點，當N6PK為鈍角時，點P橫坐標的取值范

圍為—

3

例4、已知橢圓的焦點是耳（0,-1）,尸2（0,1）,且經(jīng)過點（I，5）①求橢圓的方程；②設點P在橢圓上，且

忸6|T。閭=1,求cosN耳尸乃.

題型6:三角代換的應用

22

例1、桶圓土?+匕=1上的點到直線l：x+y—9=0的距離的最小值為.

169-

22

例2、橢圓上+二=1的內接矩形的面積的最大值為

169

題型7：直線與橢圓的位置關系的判斷

2y2

例1、當陽為何值時，直線y=x+m與橢圓X一+乙=1相交？相切？相離？

-169

例2、若直線丁=h:+1伏6/?)與橢圓工+工=1恒有公共點，求實數(shù)加的取值范圍；

5m

題型8：弦長問題

22

例3.求直線y=2x-4被橢圓」4x一+y乙=1所截得的弦長.

99

2

例4、已知橢圓；+=1的左右焦點分別為F|,F2,若過點P(0,-2)及FI的直線交橢圓于A,B兩點，求/ABF2

的面積；

題型9：中點弦問題

2

尤V

例5、求以橢圓一2+1=1內的點A(2,-1)為中點的弦所在的直線方程。

85

例6、中心在原點，一個焦點為4(0,廊)的橢圓截直線y=3x-2所得弦的中點橫坐標為g,求橢圓的方程.

例7、橢圓如2+盯2=1,與直線x+y=l相交于月、B兩點，C是的中點.若叫=20，斜

率為也(0為原點)，求橢圓的方程.

2

題型10：橢圓與向量、解三角形的交匯問題

例6、設過點P(x,y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于4、8兩點，點。與點尸關于y軸對稱,

。為坐標原點，若BP=2PA,且0Q-A8=l,求尸點的軌跡方程；

五

15.如圖，在Rt^ABC中，ZCAB=90°,AB=2,AC=—?一曲線E過點C,動點P在曲線E上運動，且保

2

持|PA|+|PB|的值不變，直線1經(jīng)過A與曲線E交于M、N兩點。

(1)建立適當?shù)淖鴺讼?，求曲線E的方程；

(2)設直線1的斜率為k,若/MBN為鈍角，求k的取值范圍。

8

基礎鞏固訓練

3.橢圓a+二=1的一條弦被4(4,2)平分，那么這條弦所在的直線方程是

4.在△ABC中，ZA=90,tanB=-.若以A,B為焦點的橢圓經(jīng)過點C,則該橢圓的離心率e=___

4

5.若耳，工為橢圓的兩個焦點,P為橢圓上一點，若/尸耳尸2：/尸工大：N環(huán)尸工=1:2:3,則此橢圓的離心率為_

222

6.在平面直角坐標系中，橢圓*?+/=1(。>/?>0)的焦距為2,以0為圓心，。為半徑的圓，過點(??,())作

圓的兩切線互相垂直，則離心率6=

綜合提高訓練

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7、已知橢圓=+4=1(。>。〉0)與過點A(2,0),B(0,1)的直線1有且只有一個公共點T,且橢圓的離心率

ab

e=