考點(diǎn)18統(tǒng)計(jì)與概率（原卷版）-2024年新高考藝體生一輪復(fù)習(xí)

考點(diǎn)18統(tǒng)計(jì)與概率一．抽樣方法（一）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣1.概念：一般地，從元素個(gè)數(shù)為N的總體中逐個(gè)不放回地抽取容量為n的樣本，如果每一次抽取時(shí)總體中的各個(gè)個(gè)體有相同的可能性被抽到，這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．2.最常用的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法（重點(diǎn)掌握隨機(jī)數(shù)表法的讀數(shù)）3.適用范圍是：總體中的個(gè)體性質(zhì)相似，無(wú)明顯層次；總體容量較小，尤其是樣本容量較小.（二）分層抽樣1.概念：當(dāng)總體由有明顯差別的幾部分組成時(shí)，為了使抽取的樣本更好地反映總體的情況，常采用分層抽樣，將總體中各個(gè)個(gè)體按某種特征分成若干個(gè)互不交叉的幾部分，每一部分叫做層，在各層中按層在總體中所占比例進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣，這種抽樣方法叫做分層抽樣．2.應(yīng)用范圍是：總體由差異明顯的幾部分組成的情況；分層后，在每一層抽樣時(shí)可采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣．3.特征：等比例抽樣二．頻率分布直方圖（表）1.縱軸表示eq\f(頻率,組距)，2.頻率：數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各長(zhǎng)長(zhǎng)方形的面積表示3.各小長(zhǎng)方形的面積總和等于1．4.分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖．隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率分布折線圖就會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑的曲線，統(tǒng)計(jì)中稱之為總體密度曲線，它能夠更加精細(xì)的反映出總體的分布規(guī)律．三．樣本的數(shù)字特征特征數(shù)具體數(shù)字算法頻率分布直方圖（表）眾數(shù)次數(shù)出現(xiàn)最多的數(shù)字頻率最大或最高組的中間值中位數(shù)樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按大小排列，位于最中間的數(shù)據(jù)．如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，就取當(dāng)中兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù)頻率等于0.5時(shí)的橫坐標(biāo)平均數(shù)所有數(shù)字之和除以總個(gè)數(shù)每個(gè)小矩形面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和方差s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2]．平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)波動(dòng)的大小．標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定四．事件的分類(1)隨機(jī)事件一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來(lái)表示．為了敘述方便，我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件．隨機(jī)事件一般用大寫字母A，B，C…表示．在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件A發(fā)生．(2)必然事件Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以Ω總會(huì)發(fā)生，我們稱Ω為必然事件．(3)不可能事件空集?不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，我們稱?為不可能事件．五．兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算事件的關(guān)系或運(yùn)算含義符號(hào)表示圖形表示包含A發(fā)生(導(dǎo)致)B發(fā)生A?B并事件(和事件)A與B至少一個(gè)發(fā)生A∪B或A＋B交事件(積事件)A與B同時(shí)發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)A與B不能同時(shí)發(fā)生A∩B＝?互為對(duì)立A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生A∩B＝?，A∪B＝Ω(2)準(zhǔn)確把握互斥事件與對(duì)立事件的概念：①互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的事件，但也可以同時(shí)不發(fā)生；②對(duì)立事件是特殊的互斥事件，特殊在對(duì)立的兩個(gè)事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個(gè)發(fā)生．六．古典概型1.概念具有以下特征的試驗(yàn)叫做古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型．(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．2．古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Ω包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)．3．概率的性質(zhì)性質(zhì)1：對(duì)任意的事件A，都有0≤P(A)≤1；性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0；性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)，由性質(zhì)可得，對(duì)于任意事件A，因?yàn)??A?Ω，所以0≤P(A)≤1.性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．七．相互獨(dú)立事件1.概念：對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱為獨(dú)立．2.性質(zhì)：若事件A與B相互獨(dú)立，那么A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也都相互獨(dú)立．考點(diǎn)一隨機(jī)抽樣【例11】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知某中學(xué)初二年級(jí)共有學(xué)生668人，為了了解該年級(jí)學(xué)生的近視情況，學(xué)校決定利用隨機(jī)數(shù)法從中抽取80人進(jìn)行成績(jī)抽樣統(tǒng)計(jì)，先將這668名學(xué)生按001，002，003，…，668進(jìn)行編號(hào)．（下面摘取了隨機(jī)數(shù)表的第7行至第9行）844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954如果從第7行第1列的數(shù)開始向右讀，則第6個(gè)被抽取的號(hào)碼是（

）A．633 B．502 C．217 D．506【例12】（2023·江西上饒·統(tǒng)考二模）為了支持民營(yíng)企業(yè)發(fā)展壯大，幫助民營(yíng)企業(yè)解決發(fā)展中的困難，某市政府采用分層抽樣調(diào)研走訪各層次的民營(yíng)企業(yè).該市的小型企業(yè)、中型企業(yè)、大型企業(yè)分別有900家、90家、10家.若大型企業(yè)的抽樣家數(shù)是2，則中型企業(yè)的抽樣家數(shù)應(yīng)該是（

）A．180 B．90 C．18 D．9【變式】1．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在北京冬奧會(huì)期間，共有1.8萬(wàn)多名賽會(huì)志愿者和20余萬(wàn)人次城市志愿者參與服務(wù)．據(jù)統(tǒng)計(jì)某高校共有本科生1600人，碩士生600人，博士生200人申請(qǐng)報(bào)名做志愿者，現(xiàn)用分層抽樣方法從中抽取博士生30人，則該高校抽取的志愿者總?cè)藬?shù)為（

）A．300 B．320 C．340 D．3602．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）現(xiàn)有300名老年人，500名中年人，400名青年人，從中按比例用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取人，若抽取的老年人與青年人共21名，則的值為（

）A．15 B．30 C．32 D．363（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）為實(shí)現(xiàn)鄉(xiāng)村生態(tài)振興，走鄉(xiāng)村綠色發(fā)展之路，鄉(xiāng)政府采用按比例分層抽樣的方式從甲村和乙村抽取部分村民參與環(huán)保調(diào)研，已知甲村和乙村人數(shù)之比是，被抽到的參與環(huán)保調(diào)研的村民中，甲村的人數(shù)比乙村多8人，則參加調(diào)研的總?cè)藬?shù)是（

）A．16 B．24 C．32 D．404．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考二模）已知某班共有學(xué)生46人，該班語(yǔ)文老師為了了解學(xué)生每天閱讀課外書籍的時(shí)長(zhǎng)情況，決定利用隨機(jī)數(shù)表法從全班學(xué)生中抽取10人進(jìn)行調(diào)查．將46名學(xué)生按01，02，…，46進(jìn)行編號(hào)．現(xiàn)提供隨機(jī)數(shù)表的第7行至第9行：8442175331

5724550688

7704744767

2176335025

83921206766301637859

1695565719

9810507175

1286735807

44395238793321123429

7864560782

5242074438

1551001342

9966027954若從表中第7行第41列開始向右依次讀取2個(gè)數(shù)據(jù)，每行結(jié)束后，下一行依然向右讀數(shù)，則得到的第8個(gè)樣本編號(hào)是（

）A．07 B．12 C．39 D．445．（2023·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）福利彩票“雙色球”中紅球的號(hào)碼可以從01，02，03，…，32，33這33個(gè)兩位號(hào)碼中選取，小明利用如下所示的隨機(jī)數(shù)表選取紅色球的6個(gè)號(hào)碼，選取方法是從第1行第9列的數(shù)字開始，從左到右依次讀取數(shù)據(jù)，則第四個(gè)被選中的紅色球號(hào)碼為（）第1行:2976341328414241第2行:8303982258882410第3行:5556852661668231A．10 B．22 C．24 D．26考點(diǎn)二特征數(shù)【例21】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）為調(diào)研某地空氣質(zhì)量，測(cè)得該地連續(xù)10天PM2.5（PM2.5是衡量空氣質(zhì)量的重要指標(biāo)，單位：）的日均值，依次為，則（

）A．中位數(shù)為31或33 B．第60百分位數(shù)與眾數(shù)相同C．前4天的極差大于后4天的極差 D．前4天的方差小于后4天的方差【例22】（2023·廣東廣州）（多選）某市實(shí)行居民階梯電價(jià)收費(fèi)政策后有效促進(jìn)了節(jié)能減排．現(xiàn)從某小區(qū)隨機(jī)調(diào)查了200戶家庭十月份的用電量（單位：kW·h），將數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出如圖所示的頻率分布直方圖，則（

）A．圖中a的值為0.015B．樣本的第25百分位數(shù)約為217C．樣本平均數(shù)約為198.4D．在被調(diào)查的用戶中，用電量落在內(nèi)的戶數(shù)為108【例23】（2024·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至10月8日在中國(guó)杭州舉行，中國(guó)代表團(tuán)共獲得201枚金牌，111枚銀牌，71枚銅牌，共383枚獎(jiǎng)牌的歷史最好成績(jī).某個(gè)項(xiàng)目的比賽的六個(gè)裁判為某運(yùn)動(dòng)員的打分分別為95，95，95，93，94，94，評(píng)分規(guī)則為去掉六個(gè)原始分的一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，剩下四個(gè)有效分的平均分為該選手的最后得分，設(shè)這六個(gè)原始分的中位數(shù)為，方差為，四個(gè)有效分的中位數(shù)為，方差為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【變式】1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）甲、乙兩位射擊愛好者，各射擊10次，甲的環(huán)數(shù)從小到大排列為4，5，5，6，6，7，7，8，8，9，乙的環(huán)數(shù)從小到大排列為2，5，6，6，7，7，7，8，9，10，則（

）A．甲、乙的第70百分位數(shù)相等B．甲的極差比乙的極差小C．甲的平均數(shù)比乙的平均數(shù)大D．甲的方差比乙的方差大2．（2024·江西）（多選）已知一組數(shù)據(jù)：，若去掉12和45，則剩下的數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比，下列結(jié)論正確的是（

）A．中位數(shù)不變 B．平均數(shù)不變C．方差不變 D．第40百分位數(shù)不變3．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）某地發(fā)起“尋找綠色合伙人——低碳生活知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng)，選取了人參與問卷調(diào)查，將他們的成績(jī)進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），得到如圖所示的頻率分布直方圖，且成績(jī)落在的人數(shù)為10，則（

）A．B．C．若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，則問卷調(diào)查成績(jī)的平均數(shù)低于70D．問卷調(diào)查成績(jī)的80%分位數(shù)的估計(jì)值為854．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）某校某年級(jí)為了測(cè)試該年級(jí)1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，組織了一次數(shù)學(xué)測(cè)試，將這1000名學(xué)生的成績(jī)分成了六組，分別為，并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結(jié)論正確的是（

）A．該年級(jí)學(xué)生成績(jī)落在的人數(shù)為300B．該年級(jí)學(xué)生成績(jī)的第一四分位數(shù)為110分C．該年級(jí)學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)為135分D．該年級(jí)學(xué)生成績(jī)的平均分為121分5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知一個(gè)樣本容量為7的樣本的平均數(shù)為6，方差為2，現(xiàn)在樣本中插入三個(gè)新數(shù)據(jù)5，6，7，若新樣本的平均數(shù)為，方差為，則（

）A．， B．， C．， D．，考點(diǎn)三統(tǒng)計(jì)圖【例31】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖是某兩位體育愛好者的運(yùn)動(dòng)素養(yǎng)測(cè)評(píng)圖，其中每項(xiàng)能力分為三個(gè)等級(jí)，“一般”記為4分，“較強(qiáng)”記為5分，“很強(qiáng)”記為6分，把分值稱為能力指標(biāo)，則下列判斷不正確的是（

）A．甲、乙的五項(xiàng)能力指標(biāo)的平均值相同B．甲、乙的五項(xiàng)能力指標(biāo)的方差相同C．如果從長(zhǎng)跑、馬術(shù)、游泳考慮，甲的運(yùn)動(dòng)素養(yǎng)高于乙的運(yùn)動(dòng)素養(yǎng)D．如果從足球、長(zhǎng)跑、籃球考慮，甲的運(yùn)動(dòng)素養(yǎng)高于乙的運(yùn)動(dòng)素養(yǎng)【例32】（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考一模）將某年級(jí)600名學(xué)生分配到甲、乙、丙、丁、戊這5個(gè)社區(qū)參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)人只能到一個(gè)社區(qū).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，將到各個(gè)社區(qū)參加志愿者活動(dòng)的學(xué)生人數(shù)繪制成如下不完整的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖，則分到戊社區(qū)參加活動(dòng)的學(xué)生人數(shù)為（

）A．30 B．45 C．60 D．75【變式】1．（2024·陜西咸陽(yáng)·?？寄M預(yù)測(cè)）小張分別在A，B兩個(gè)地塊培育同一種樹苗5棵，一周后觀察它們的高度如圖所示，則（

）A．B地塊樹苗高度的眾數(shù)小于A地塊樹苗高度的眾數(shù)B．B地塊樹苗高度的方差等于A地塊樹苗高度的方差C．B地塊樹苗高度的平均值大于A地塊樹苗高度的平均值D．B地塊樹苗高度的中位數(shù)等于A地塊樹苗高度的中位數(shù)2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知圖1為20142022年中國(guó)游戲用戶規(guī)模（單位：百萬(wàn)人）及其同比增長(zhǎng)率的統(tǒng)計(jì)圖，圖2為20102022年中國(guó)國(guó)產(chǎn)游戲獲批版號(hào)數(shù)量（單位：個(gè)）的統(tǒng)計(jì)圖，則下列結(jié)論正確的是（

）A．20142022年中國(guó)游戲用戶規(guī)模逐年增長(zhǎng)B．20142022年中國(guó)游戲用戶規(guī)模同比增長(zhǎng)率的中位數(shù)為C．20102022年中國(guó)國(guó)產(chǎn)游戲獲批版號(hào)數(shù)量的極差是223D．20102022年中國(guó)國(guó)產(chǎn)游戲獲批版號(hào)數(shù)量的平均數(shù)超過(guò)15003．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖為2022年全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格漲跌幅統(tǒng)計(jì)圖，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．環(huán)比的極差小于同比的極差 B．環(huán)比的中位數(shù)為C．環(huán)比的方差小于同比的方差 D．同比的平均數(shù)約為4．（2023·廣東廣州·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃ǘ噙x）2023年11月15日國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)公布的規(guī)模以上工業(yè)增加同比增長(zhǎng)速度數(shù)據(jù)如圖（其中2023年1月與2月合為一個(gè)數(shù)據(jù)），則（

）A．12個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為B．12個(gè)數(shù)據(jù)的極差為C．2022年10月到2023年5月的增長(zhǎng)速度方差比2023年6月到2023年10月的方差大D．從小于的數(shù)據(jù)中任取兩個(gè)數(shù)，其和大于的概率為考法四古典概型【例4】（2023·湖南）有編號(hào)互不相同的五個(gè)砝碼，其中3克、1克的砝碼各兩個(gè)，2克的砝碼一個(gè)，從中隨機(jī)選取兩個(gè)砝碼，則這兩個(gè)砝碼的總重量超過(guò)4克的概率為（

）A． B． C． D．【變式】1．（2024·黑龍江哈爾濱）從1，2，3，4，5這5個(gè)數(shù)中任取2個(gè)，則這2個(gè)數(shù)字之積大于5的概率為（

）A． B． C． D．2．（2023·北京）一個(gè)學(xué)習(xí)小組有5名同學(xué)，其中2名女生，3名男生.從這個(gè)小組中任意選出2名同學(xué)，則選出的同學(xué)中女生人數(shù)不少于男生人數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．3．（2023·陜西安康）某班舉辦趣味數(shù)學(xué)活動(dòng)，規(guī)則是：某同學(xué)從分別寫有1至9這9個(gè)整數(shù)的9張卡片中隨機(jī)抽取兩張，將卡片上較大的數(shù)作為十位數(shù)字，較小的數(shù)作為個(gè)位數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù).若這個(gè)兩位數(shù)與將它的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字調(diào)換后得到的兩位數(shù)的差為45，就視為該同學(xué)獲獎(jiǎng).若該班同學(xué)參加這項(xiàng)活動(dòng)，則他獲獎(jiǎng)的概率為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)五獨(dú)立事件【例51】（2023·遼寧）兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件．加工為一等品的概率分別為和，兩個(gè)零件是否加工為一等品相互獨(dú)立，則這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為A． B． C． D．【例52】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2次，設(shè)“第1次正面朝上”為事件，“第2次反面朝上”為事件，“2次朝上結(jié)果相同”為事件，有下列三個(gè)命題：①事件與事件相互獨(dú)立；②事件與事件相互獨(dú)立；③事件與事件相互獨(dú)立．以上命題中，正確的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【變式】1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知一場(chǎng)長(zhǎng)跑訓(xùn)練中，隊(duì)員甲不及格的概率為0.3，隊(duì)員乙及格的概率為0.6，這兩名隊(duì)員是否及格相互獨(dú)立，則同一場(chǎng)訓(xùn)練中甲、乙兩人至少有一人及格的概率為（

）A．0.12 B．0.88 C．0.42 D．0.582．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）為了豐富同學(xué)們的業(yè)余生活，增強(qiáng)體質(zhì)，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)意識(shí)，甲、乙兩校舉行乒乓球比賽．比賽采取5局3勝制．假設(shè)每局比賽甲校勝乙校的概率都為，沒有平局，且各局比賽的結(jié)果互不影響，則甲校以3：0獲勝或以3：1獲勝的概率為（

）A． B． C． D．3．（2023廣東）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（

）A．甲與丙相互獨(dú)立 B．甲與丁相互獨(dú)立C．乙與丙相互獨(dú)立 D．丙與丁相互獨(dú)立考點(diǎn)六互斥與對(duì)立事件【例6】（2023·廣東清遠(yuǎn)）下列說(shuō)法：①必然事件的概率為．②如果某種彩票的中獎(jiǎng)概率為，那么買張這種彩票一定能中獎(jiǎng)．③某事件的概率為．④互斥事件一定是對(duì)立事件．其中正確的說(shuō)法是（

）A．①②③④ B．① C．③④ D．①④【變式】1．（2024·上海）袋內(nèi)有質(zhì)地均勻且大小相同的3個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中有放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，則A與B是（

）A．互斥事件 B．相互獨(dú)立事件 C．對(duì)立事件 D．不相互獨(dú)立事件2．（2024上·遼寧遼陽(yáng)）一副撲克牌（含大王、小王）共54張，A，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K各4張，從該副撲克牌中隨機(jī)取出兩張，事件“取出的牌有兩張6”，事件“取出的牌至少有一張黑桃”，事件“取出的牌有一張大王”，事件“取出的牌有一張紅桃6”，則（

）A．事件A與事件互斥 B．事件與事件互斥C．事件與事件互斥 D．事件A與事件互斥3．（2024上·上海長(zhǎng)寧）擲一枚骰子，設(shè)事件：落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)；：落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)；：落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是2；：落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是2的倍數(shù)，則下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（

）A．和有可能同時(shí)發(fā)生 B．和是對(duì)立事件C．和是對(duì)立事件 D．和是互斥事件考點(diǎn)七事件的關(guān)系與運(yùn)算【例71】（2023·河南信陽(yáng)）同時(shí)擲兩枚硬幣，“向上的面都是正面”為事件，“向上的面至少有一枚是正面”為事件，則有()A． B． C． D．與之間沒有關(guān)系【例72】（2023上·四川成都）（多選）一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，擲一次骰子并觀察向上的點(diǎn)數(shù)．A表示事件“骰子向上的點(diǎn)數(shù)大于等于3”，B表示事件“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，則（

）A． B．C． D．【變式】1．（2024上·上海黃浦）擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察朝上的點(diǎn)數(shù)，若A表示事件“點(diǎn)數(shù)大于3”，B表示事件“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則事件“點(diǎn)數(shù)為5”可以表示為（

）A． B． C． D．2．（2023上·湖北）下列有關(guān)事件與概率的說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若，則B．若，則A與B不獨(dú)立C．若A與B對(duì)立，則與互斥D．若，則A與B對(duì)立3．（2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知事件滿足，，則（

）A．若，則B．若與互斥，則C．若與相互獨(dú)立，則D．若，則與不相互獨(dú)立4．（2023上·四川瀘州·）（多選）將一枚骰子向上拋擲一次，設(shè)事件{向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)}，事件{向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)2}，事件{向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于4}，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．B．{向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3}C．{向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于3}D．{向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2}5．（2023·廣東佛山）（多選）已知隨機(jī)事件、發(fā)生的概率分別為，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若與互斥，則B．若與相互獨(dú)立，則C．若，則事件與相互獨(dú)立D．若，則1.（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)實(shí)行個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除制度，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息、住房租金、贍養(yǎng)老人等多項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除．某單位老年、中年、青年員工分別有90人、270人、180人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取6人調(diào)查專項(xiàng)附加扣除的情況，再?gòu)倪@6人中任選2人，則選取的2人中恰有一名是中年員工的概率為（

）A． B． C． D．2．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）從某班名同學(xué)中選出人參加戶外活動(dòng)，利用隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本時(shí)，先將名同學(xué)按、、、進(jìn)行編號(hào)，然后從隨機(jī)數(shù)表第一行的第列和第列數(shù)字開始往右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出的第個(gè)同學(xué)的編號(hào)為（

）0347437386369647366146986371629774246292428114572042533237321676（注：表中的數(shù)據(jù)為隨機(jī)數(shù)表第一行和第二行）A． B． C． D．3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖是2023年5月1日至5月7日某旅游城市每天最高氣溫與最低氣溫實(shí)況記錄的網(wǎng)絡(luò)截圖，則關(guān)于這7天的氣溫，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）日期最高氣溫最低氣溫2023－05－0127℃15℃2023－05－0227℃18℃2023－05－0322℃18℃2023－05－0424℃19℃2023－05－0518℃14℃2023－05－0621℃11℃2023－05－0719℃9℃A．這7天最高氣溫的眾數(shù)是27℃ B．這7天最低氣溫的中位數(shù)為15℃C．這7天最低氣溫的極差為10℃ D．這7天最高氣溫的平均數(shù)為22℃4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖為一組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，已知該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為，去掉，，，這4個(gè)數(shù)據(jù)后，所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則（

）A．， B．，C．， D．，5．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）為更好地滿足民眾個(gè)性化、多元化、便利化的消費(fèi)需求，豐富購(gòu)物體驗(yàn)和休閑業(yè)態(tài)，某市積極打造夜間經(jīng)濟(jì).為不斷創(chuàng)優(yōu)夜間經(jīng)濟(jì)發(fā)展環(huán)境、推動(dòng)消費(fèi)升級(jí)，有關(guān)部門對(duì)某熱門夜市開展“服務(wù)滿意度調(diào)查”，隨機(jī)選取了100名顧客進(jìn)行問卷調(diào)查，對(duì)夜市服務(wù)進(jìn)行評(píng)分(滿分100分)，根據(jù)評(píng)分情況繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，估計(jì)這組數(shù)據(jù)的第55百分位數(shù)為（

）A．65 B．72 C．72.5 D．756．（2023·陜西咸陽(yáng)·?？寄M預(yù)測(cè)）在某區(qū)高三年級(jí)第一學(xué)期期初舉行的一次質(zhì)量檢測(cè)中，某學(xué)科共有2000人參加考試.為了解本次考試學(xué)生的該學(xué)科的成績(jī)情況，從中抽取了名學(xué)生的成績(jī)（成績(jī)均為正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，成績(jī)均在內(nèi)，按照的分組作出頻率分布直方圖（如圖所示）.已知成績(jī)落在內(nèi)的人數(shù)為16，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．估計(jì)全體學(xué)生該學(xué)科成績(jī)的平均分約為70.6分D．若成績(jī)低于60分為不及格，估計(jì)全體學(xué)生中不及格的人數(shù)約為320人7．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某校高一（3）班的40位同學(xué)對(duì)班委會(huì)組織的主題班會(huì)進(jìn)行了評(píng)分（滿分100分），并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．評(píng)分在區(qū)間內(nèi)的有2人 B．評(píng)分的中位數(shù)在區(qū)間內(nèi)C．評(píng)分的眾數(shù)是90分 D．評(píng)分的平均數(shù)大于90分8．（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）甲、乙兩個(gè)口袋中均裝有1個(gè)黑球和2個(gè)白球，現(xiàn)分別從甲、乙兩口袋中隨機(jī)取一個(gè)球交換放入另一口袋，則甲口袋的三個(gè)球中恰有兩個(gè)白球的概率為（

）A． B． C． D．9．（2023上·上?！じ呷虾Ｊ行兄袑W(xué)?？计谥校┐嬖趦蓚€(gè)事件A和B，且，，若A與B是兩個(gè)①事件，則；若A與B是兩個(gè)②事件，則；其中（

）A．（1）互斥（2）獨(dú)立 B．（1）互斥（2）對(duì)立C．（1）獨(dú)立（2）互斥 D．（1）對(duì)立（2）互斥10．（2023·廣東清遠(yuǎn)）拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件“點(diǎn)數(shù)為大于2小于5”，“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則表示的事件為（

）A．“點(diǎn)數(shù)為4” B．“點(diǎn)數(shù)為3或4”C．“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)” D．“點(diǎn)數(shù)為大于2小于5”11．（2023·江西南昌）某一電子集成塊有三個(gè)元件a，b，c并聯(lián)構(gòu)成，三個(gè)元件是否有故障相互獨(dú)立.已知至少1個(gè)元件正常工作，該集成塊就能正常運(yùn)行.若每個(gè)元件能正常工作的概率均為，則在該集成塊能夠正常工作的概率為（

）.A． B． C． D．12．（2023·河南·校聯(lián)考二模）某知識(shí)問答競(jìng)賽需要三人組隊(duì)參加，比賽分為初賽、復(fù)賽、決賽三個(gè)階段，每個(gè)階段比賽中，如果一支隊(duì)伍中至少有一人通過(guò)，則這支隊(duì)伍通過(guò)此階段.已知甲、乙、丙三人組隊(duì)參加，若甲通過(guò)每個(gè)階段比賽的概率均為，乙通過(guò)每個(gè)階段比賽的概率均為，丙通過(guò)每個(gè)階段比賽的概率均為，且三人每次通過(guò)與否互不影響，則這支隊(duì)伍進(jìn)入決賽的概率為（

）A． B． C． D．13．（2023·江蘇南京·南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在一段時(shí)間內(nèi)，若甲去參觀市博物館的概率0.6，乙去參觀市博物館的概率為0.5，且甲乙兩人各自行動(dòng)，則在這段時(shí)間內(nèi)，甲乙兩人至少有一個(gè)去參觀博物館的概率是（

）A．0.3 B．0.32 C．0.8 D．0.8414．（2023·廣東東莞）（多選）小明參加唱歌比賽，現(xiàn)場(chǎng)8位評(píng)委給分分別為:15，16，18，20，20，22，24，25.按比賽規(guī)則，計(jì)算選手最后得分成績(jī)時(shí)，要先去掉評(píng)委給分中的最高分和最低分.現(xiàn)去掉這組得分中的最高分和最低分后，下列數(shù)字特征的值不會(huì)發(fā)生變化的是（

）A．平均數(shù) B．極差 C．中位數(shù) D．眾數(shù)15．（2024·江西贛州·南康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）某科技攻關(guān)青年團(tuán)隊(duì)共有10人，其年齡（單位：歲）分布如下表所示，則這10個(gè)人年齡的（

）年齡454036322928人數(shù)121321A．中位數(shù)是34 B．眾數(shù)是32C．第25百分位數(shù)是29 D．平均數(shù)為34.316．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）2023年是共建“一帶一路”倡議提出十周年．某校組織了“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，將學(xué)生的成績(jī)（單位：分，滿分：120分）整理成如圖的頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表），則（

）A．該校競(jìng)賽成績(jī)的極差為70分B．的值為0.005C．該校競(jìng)賽成績(jī)的平均分的估計(jì)值為90.7分D．這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為8117．（2024·浙江溫州·統(tǒng)考一模）（多選）在一次數(shù)學(xué)考試中，某班成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．圖中所有小長(zhǎng)方形的面積之和等于1 B．中位數(shù)的估計(jì)值介于100和105之間C．該班成績(jī)眾數(shù)的估計(jì)值為97.5 D．該班成績(jī)的極差一定等于4018．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）（多選）從樹人小學(xué)二年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們的身商（單位：cm）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖如圖，則（

）A．B．估計(jì)樹人小學(xué)這100名二年級(jí)學(xué)生的平均身高為124.5cmC．估計(jì)樹人小學(xué)這100名二年級(jí)學(xué)生的平均身高的中位數(shù)為122.5cmD．估計(jì)樹人小學(xué)這100名二年級(jí)學(xué)生的平均身高的眾數(shù)為120cm20．（2023·廣東廣州·華南師大附中?？家荒＃ǘ噙x）下圖為某地2014年至2023年的糧食年產(chǎn)量折線圖，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．這10年糧食年產(chǎn)量的極差為15B．這10年糧食年產(chǎn)量的第65百分位數(shù)為33C．這10年糧食年產(chǎn)量的中位數(shù)為29D．前5年的糧食年產(chǎn)量的方差大于后5年糧食年產(chǎn)量的方差21．（2023·山東濟(jì)寧）（多選）若，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．事件A與B不互斥C．事件A與B相互獨(dú)立 D．事件與B不一定相互獨(dú)立22．（2023上·貴州六盤水）（多選）下列關(guān)于概率的命題，正確的是（

）A．對(duì)于任意事件A，都有B．必然事件的概率為1C．如果事件A與事件B對(duì)立，那么一定有D．若A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則23．（2023上·安徽）（多選）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．互斥的事件一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件不一定是互斥事件B．互斥的事件不一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件C．已知，，若，則D．若，，則事件A，B相互獨(dú)立與A，B對(duì)立可以同時(shí)成立24．（2023上·重慶北碚）（多選）某家商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，小聰?小明兩人共同前去抽獎(jiǎng)，設(shè)事件“兩人都中獎(jiǎng)”；“兩人都沒中獎(jiǎng)”；“恰有一人中獎(jiǎng)”；“至少一人沒中獎(jiǎng)”.下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．25．（2023·上海）已知在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，定義兩個(gè)隨機(jī)事件，，且，，，則.26．（2023上·廣東佛山）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件“向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，事件“向上的點(diǎn)數(shù)超過(guò)4”，則概率．27．（