重慶市永川中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)試題（三）

重慶市永川中學(xué)高2026屆高一（上）期末復(fù)習(xí)題3數(shù)學(xué)試題卷一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.下列函數(shù)中是奇函數(shù)且在區(qū)間上是增函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，并結(jié)合具體函數(shù)討論各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，為指數(shù)函數(shù)，是非奇非偶函數(shù)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)是對(duì)勾函數(shù)，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)得函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)為偶函數(shù)，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)為正弦函數(shù)，是奇函數(shù)，且在為增函數(shù)，故D選項(xiàng)正確.故選：D.2.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由二倍角公式化簡(jiǎn)，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，且，則，故選:B3.用二分法求函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的近似值，經(jīng)驗(yàn)證有，取區(qū)間的中點(diǎn)，計(jì)算得，則此時(shí)零點(diǎn)滿足（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理即可得出答案.【詳解】解：由題意，因?yàn)?，所以函?shù)在區(qū)間上一定存在零點(diǎn)，即函數(shù)的零點(diǎn)滿足.故選：C.4.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式確定集合后，由交集定義計(jì)算．【詳解】由題意得：，，即，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5.函數(shù)在區(qū)間的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】判斷函數(shù)非奇非偶函數(shù)，排除選項(xiàng)A、B，在計(jì)算時(shí)的函數(shù)值可排除選項(xiàng)D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，且，所以既不是奇函?shù)也不是偶函數(shù)，排除選項(xiàng)A、B，因?yàn)?，排除選項(xiàng)D，故選：C【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.6.17世紀(jì)德國(guó)著名的天文學(xué)家開普勒曾經(jīng)這樣說過：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個(gè)是勾股定理，另一個(gè)是黃金分割.如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦.”黃金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認(rèn)為是最美的三角形，它是一個(gè)頂角為的等腰三角形(另一種是頂角為108°的等腰三角形).例如，五角星由五個(gè)黃金三角形與一個(gè)正五邊形組成，如圖所示，在其中一個(gè)黃金中，.根據(jù)這些信息，可得（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出，再根據(jù)二倍角余弦公式求出，然后根據(jù)誘導(dǎo)公式求出.【詳解】由題意可得：，且，所以，所以，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角的余弦公式和誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.7.實(shí)數(shù)，滿足，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.取值范圍是B.取值范圍是C.取值范圍是D.取值范圍是【答案】D【解析】【分析】利用條件得出，結(jié)合選項(xiàng)逐個(gè)求解可得答案.【詳解】由，得（），對(duì)于A，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)；當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)；所以取值范圍是，A正確．對(duì)于B，，由A可得取值范圍是，B正確．對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)；當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)；C正確．對(duì)于D，，從而D錯(cuò)誤．故選：D8.已知是定義在R上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（）A.2 B.1 C. D.0【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的條件，探討函數(shù)的周期性，再結(jié)合函數(shù)解析式計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，則，且，又為偶函數(shù)，則，于是得，，因此函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則，，所以.故選：C【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，必須把握好兩個(gè)問題：(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要非充分條件；(2)或是定義域上的恒等式．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，選錯(cuò)或不選得0分.）9.將函數(shù)圖象向右平移φ個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)為奇函數(shù)，則φ的可能值為（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】先由平移變換得到，再根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，由求解.【詳解】解：函數(shù)圖象向右平移φ個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，解得，所以φ的可能值為或，故選：AC10.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有5個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值可以為（）A. B. C. D.【答案】ABCD【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可知關(guān)于的一元二次方程根的分布，根據(jù)一元二次根的分布列出不等式求解即可．【詳解】作出函數(shù)的圖象如下：因?yàn)殛P(guān)于的方程有5個(gè)不同的實(shí)根，令，則方程有2個(gè)不同的實(shí)根，則，解得或，若，則或，令，或，解得，得；當(dāng)時(shí)解得，此時(shí)，解得，，不符合題意，故舍去；綜上可得.故選：ABCD.11.函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)在單調(diào)遞減B.函數(shù)圖象關(guān)于中心對(duì)稱C.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象D.若在區(qū)間上的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)圖象可得函數(shù)的解析式，再根據(jù)整體法或代入法可判AB的正誤，利用圖像變換可判斷C的正誤，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷D的正誤.詳解】由圖象可得，且，故即，而，故，因?yàn)?，故，故，?duì)于A，當(dāng)，，而在上為減函數(shù)，故在為減函數(shù)，故A正確.對(duì)于B，，故為函數(shù)圖象對(duì)稱軸，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)椋剩?，故D正確.故選：AD.12.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果?duì)任意的，存在，使得（為常數(shù)），則稱函數(shù)在上的均值為，下列函數(shù)中在其定義域上的均值為的有（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程是否存在有解問題，然后逐個(gè)分析判斷即可【詳解】由題意可得，則，即，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程是否存在有解問題，對(duì)于A，的定義域?yàn)?，則對(duì)于任意，關(guān)于的方程為，則，，方程一定有解，所以A正確，對(duì)于B，的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則對(duì)于任意，總存在，使得，所以B正確，對(duì)于C，的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，此時(shí)不存在，使，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，，定義域?yàn)?，值域?yàn)椋瑒t對(duì)于任意，關(guān)于的方程為，整理得，則總存在滿足上式，所以D正確，故選：ABD三、填空題（本大題4小題，每小題5分，共20分）13.如圖，在中，，以為圓心、為半徑作圓弧交于點(diǎn)．若圓弧等分的面積，且弧度，則=________.【答案】【解析】【詳解】設(shè)扇形的半徑為，則扇形的面積為，直角三角形中，，，面積為，由題意得，∴，∴，故答案為.點(diǎn)睛：本題考查扇形的面積公式及三角形的面積公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題；設(shè)出扇形的半徑，求出扇形的面積，再在直角三角形中求出高，計(jì)算直角三角形的面積，由條件建立等式，解此等式求出與的關(guān)系，即可得出結(jié)論.14.已知，，，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)a，b，c用“”連接的順序?yàn)開_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及正弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合“媒介”數(shù)比較大小作答.【詳解】因?yàn)?，則有，，，因此，所以.故答案為：15.已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為__________.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)定義域求出的值，再結(jié)合復(fù)合函數(shù)求出單調(diào)區(qū)間.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，所以是方程的兩個(gè)根，所以，解得，即.令，，則為減函數(shù)，函數(shù)是開口向下，對(duì)稱軸為的二次函數(shù)，且時(shí)，為減函數(shù)；所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.故答案為：.16.定義在R上的單調(diào)函數(shù)滿足：，若在上有零點(diǎn)，則a的取值范圍是______________【答案】【解析】【分析】利用是奇函數(shù)且在R上的單調(diào)，轉(zhuǎn)化為在上有解，再進(jìn)行參數(shù)分離求解即可.【詳解】令,則,則；再令則有，且定義域?yàn)镽.是奇函數(shù).在上有零點(diǎn).在上有解；在上有解；又∵函數(shù)是R上的單調(diào)函數(shù),在上有解.，；；令,則；在上單調(diào)遞減,，.故答案為：.四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.（1）求值：；（2）若，化簡(jiǎn).【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可；（2）先變形得，然后利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及三角函數(shù)值的符號(hào)進(jìn)行整理化簡(jiǎn).【詳解】（1）;（2）若，則，18.已知函數(shù)，其最小正周期為.（1）求的值及函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的值域.【答案】（1），單調(diào)遞增區(qū)間；（2）.【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)得，再根據(jù)最小正周期得，進(jìn)而整體代換求解得的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）根據(jù)題意得，由于，故，故，，進(jìn)而得函數(shù)值域.【詳解】（1）因?yàn)?所以，即，，令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）向右平移個(gè)單位得到，當(dāng)時(shí)，，所以，，所以函數(shù)的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)恒等變換，三角函數(shù)的性質(zhì)等，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)得函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解.19.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)的邊際函數(shù)定義為，某公司每月最多生產(chǎn)10臺(tái)光刻機(jī)的某種設(shè)備，生產(chǎn)臺(tái)（，）這種設(shè)備的收入函數(shù)為（單位千萬元），其成本函數(shù)為（單位千萬元）.（以下問題請(qǐng)注意定義域）（1）求收入函數(shù)的最小值；（2）求成本函數(shù)的邊際函數(shù)的最大值；（3）求生產(chǎn)臺(tái)光刻機(jī)的這種設(shè)備的的利潤(rùn)的最小值.【答案】19.48千萬元20.21.（千萬元）【解析】【分析】（1）利用基本不等式求解函數(shù)最小值即可.（2）求出邊際函數(shù)解析式，然后利用函數(shù)的單調(diào)性求解最值.（3）求出利潤(rùn)函數(shù)的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值.【小問1詳解】∵，，.∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.∴當(dāng)時(shí)，（千萬元）.【小問2詳解】，，.∴，，.由函數(shù)單調(diào)性可知：在，單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，.【小問3詳解】，∴，，.當(dāng)時(shí)，即，解得或，∴當(dāng)或時(shí)，（千萬元）.20.函數(shù)部分圖象如圖所示，已知.再?gòu)臈l件①?條件②?條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求的單調(diào)增區(qū)間.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）先由求出，分三種情況討論求解，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求出，從而得到解析式；（2）先求的解析式，整體代換可求的單調(diào)增區(qū)間.【小問1詳解】因?yàn)?，由圖可知，所以.所以.若選擇條件①②，即，.因?yàn)?由圖可知，，即.因?yàn)?，所以，所?又因?yàn)椋?，所?若選擇條件①③，即，.因?yàn)?由圖可知，，即.因?yàn)?，所以，所?又因?yàn)?，所以，所?若選擇條件②③，即，.因?yàn)?，由圖可知，當(dāng)時(shí)，取得最大值，即，，由，得，，因?yàn)?，所?又，所以，所以.【小問2詳解】，故的單調(diào)增區(qū)間即為的單調(diào)遞減區(qū)間.由，，得，.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.21.已知是偶函數(shù)，是奇函數(shù)．（1）求，的值；（2）用定義證明的在上單調(diào)遞增；（3）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可求，的值；（2）利用定義法，按照設(shè)元、作差、變形、判斷符號(hào)、下結(jié)論的步驟完成即可；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式在上恒成立，進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可求實(shí)數(shù)的取值范圍．【小問1詳解】解：因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，即，則，即，所以，即，解得．若是奇函數(shù)，又定義域?yàn)?，則，即，解得；此時(shí)，則，符合題意；【小問2詳解】設(shè)任意的且，則，因?yàn)椋?，所以，則，所以，即的在上單調(diào)遞增.【小問3詳解】解：由（2）知單調(diào)遞增，則不等式在上恒成立，等價(jià)于在上恒成立，即在上恒成立，則，設(shè)，，因?yàn)?、、在定義域上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，∴，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．22.若函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)值，在其定義域內(nèi)都存在，使成立，則稱該函數(shù)為“圓滿函數(shù)”.已知函數(shù)；（1）判斷函數(shù)是否為“圓滿函數(shù)”，并說明理由；（2）設(shè)，證明：有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且.【答案】（1）不是“圓滿函數(shù)”，理由見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）取特殊值，代入“圓滿函數(shù)”的定義，判斷是否有實(shí)數(shù)能滿足；（2）當(dāng)時(shí)，利用零點(diǎn)存在性定理討論存在零點(diǎn)，以及當(dāng)時(shí)，證明在上沒有零點(diǎn)，再