平面向量與其運(yùn)算

平面向量與其運(yùn)算匯報(bào)人：XX2024-01-26XXREPORTING目錄向量基本概念與性質(zhì)向量的線性運(yùn)算向量的點(diǎn)積與叉積向量的投影與正交分解平面向量基本定理與坐標(biāo)表示向量與矩陣的關(guān)系及應(yīng)用PART01向量基本概念與性質(zhì)REPORTINGXX向量是具有大小和方向的量，常用帶箭頭的線段表示，線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭的指向表示向量的方向。向量可以用小寫(xiě)字母加粗表示，如a、b等；也可以用起點(diǎn)和終點(diǎn)的兩個(gè)大寫(xiě)字母表示，如AB（起點(diǎn)為A，終點(diǎn)為B）。向量的定義及表示方法表示方法定義向量的模是指向量的長(zhǎng)度，記作|a|。對(duì)于二維向量a=(x,y)，其模為|a|=√(x2+y2)；對(duì)于三維向量a=(x,y,z)，其模為|a|=√(x2+y2+z2)。向量的模向量的方向由向量所在直線的傾斜程度決定。在平面直角坐標(biāo)系中，可以通過(guò)向量與x軸正方向的夾角來(lái)描述向量的方向。向量的方向向量的模與方向長(zhǎng)度為0的向量稱為零向量，記作0。零向量沒(méi)有方向，與任何向量都平行。零向量長(zhǎng)度為1的向量稱為單位向量。對(duì)于任意非零向量a，其單位向量為a/|a|。單位向量如果兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等且方向相同，則稱這兩個(gè)向量為相等向量。相等向量零向量、單位向量及相等向量向量加法向量的加法滿足平行四邊形法則或三角形法則。即兩個(gè)向量相加時(shí)，將第一個(gè)向量的終點(diǎn)與第二個(gè)向量的起點(diǎn)相連，所得的新向量的起點(diǎn)為第一個(gè)向量的起點(diǎn)，終點(diǎn)為第二個(gè)向量的終點(diǎn)。向量減法向量的減法滿足三角形法則。即兩個(gè)向量相減時(shí)，將減數(shù)向量的終點(diǎn)與被減數(shù)向量的起點(diǎn)相連，所得的新向量的起點(diǎn)為被減數(shù)向量的起點(diǎn)，終點(diǎn)為減數(shù)向量的終點(diǎn)。向量的加法與減法運(yùn)算PART02向量的線性運(yùn)算REPORTINGXX定義：數(shù)乘向量是指一個(gè)標(biāo)量與一個(gè)向量的乘積，其結(jié)果仍為向量。具體地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)$k$和向量$\vec{a}$，數(shù)乘向量的結(jié)果記作$k\vec{a}$。數(shù)乘向量的定義及性質(zhì)性質(zhì)1.$1vec{a}=vec{a}$2.$(k+l)vec{a}=kvec{a}+lvec{a}$數(shù)乘向量的定義及性質(zhì)3.$(kl)vec{a}=k(lvec{a})$4.$k(vec{a}+vec)=kvec{a}+kvec$5.當(dāng)$k>0$時(shí)，$kvec{a}$與$vec{a}$方向相同；當(dāng)$k<0$時(shí)，$kvec{a}$與$vec{a}$方向相反。6.$|kvec{a}|=|k||vec{a}|$01020304數(shù)乘向量的定義及性質(zhì)對(duì)于向量$vec{a}$和$vec$，以及任意實(shí)數(shù)$x$和$y$，向量$xvec{a}+yvec$稱為向量$vec{a}$和$vec$的線性組合。線性組合如果存在實(shí)數(shù)$x$和$y$使得向量$vec{c}=xvec{a}+yvec$，則稱向量$vec{c}$可以由向量$vec{a}$和$vec$線性表示。線性表示向量的線性組合與線性表示向量共線兩個(gè)向量$vec{a}$和$vec$共線的充要條件是存在不全為零的實(shí)數(shù)$x$和$y$，使得$xvec{a}+yvec=vec{0}$。向量共面三個(gè)向量$vec{a}$、$vec$和$vec{c}$共面的充要條件是存在不全為零的實(shí)數(shù)$x$、$y$和$z$，使得$xvec{a}+yvec+zvec{c}=vec{0}$。向量共線與共面的條件伸縮數(shù)乘向量在幾何上表現(xiàn)為向量的伸縮。當(dāng)標(biāo)量大于1時(shí)，數(shù)乘后的向量比原向量長(zhǎng)；當(dāng)標(biāo)量小于1時(shí)，數(shù)乘后的向量比原向量短；當(dāng)標(biāo)量為負(fù)時(shí)，數(shù)乘后的向量與原向量方向相反。平移向量的加法運(yùn)算在幾何上表現(xiàn)為向量的平移。即，向量$vec{a}+vec$可以看作是將向量$vec$的起點(diǎn)平移到向量$vec{a}$的終點(diǎn)后得到的向量。旋轉(zhuǎn)向量的線性組合可以表示向量的旋轉(zhuǎn)。例如，通過(guò)調(diào)整兩個(gè)不共線向量的系數(shù)，可以得到這兩個(gè)向量所在平面內(nèi)的任意向量，從而實(shí)現(xiàn)向量的旋轉(zhuǎn)。線性運(yùn)算的幾何意義PART03向量的點(diǎn)積與叉積REPORTINGXX定義對(duì)于兩個(gè)向量$vec{A}=(A_1,A_2)$和$vec{B}=(B_1,B_2)$，它們的點(diǎn)積定義為$vec{A}cdotvec{B}=A_1B_1+A_2B_2$。$vec{A}cdotvec{B}=vec{B}cdotvec{A}$。$(vec{A}+vec{B})cdotvec{C}=vec{A}cdotvec{C}+vec{B}cdotvec{C}$。$(kvec{A})cdotvec{B}=k(vec{A}cdotvec{B})$，其中$k$是標(biāo)量。$vec{A}cdotvec{A}geq0$，當(dāng)且僅當(dāng)$vec{A}=vec{0}$時(shí)取等號(hào)。交換律與標(biāo)量的結(jié)合律非負(fù)性分配律點(diǎn)積的定義及性質(zhì)點(diǎn)積的幾何意義與應(yīng)用計(jì)算兩向量的夾角。應(yīng)用幾何意義：$vec{A}cdotvec{B}=ABcostheta$，其中$theta$是$vec{A}$和$vec{B}$之間的夾角。點(diǎn)積反映了兩個(gè)向量在方向上的相似度。判斷兩向量是否垂直：$vec{A}cdotvec{B}=0$當(dāng)且僅當(dāng)$vec{A}$垂直于$vec{B}$。計(jì)算向量的投影長(zhǎng)度。定義：在二維空間中，向量$vec{A}$和$vec{B}$的叉積是一個(gè)標(biāo)量，定義為$vec{A}timesvec{B}=A_1B_2-A_2B_1$。性質(zhì)反交換律：$vec{A}timesvec{B}=-vec{B}timesvec{A}$。分配律：$(vec{A}+vec{B})timesvec{C}=vec{A}timesvec{C}+vec{B}timesvec{C}$。與標(biāo)量的結(jié)合律：$(kvec{A})timesvec{B}=k(vec{A}timesvec{B})$，其中$k$是標(biāo)量。若$vec{A}$和$vec{B}$共線，則$vec{A}timesvec{B}=0$。叉積的定義及性質(zhì)幾何意義：$vec{A}timesvec{B}$的絕對(duì)值等于以$vec{A}$和$vec{B}$為鄰邊的平行四邊形的面積。其符號(hào)表示了從$vec{A}$到$vec{B}$的旋轉(zhuǎn)方向（順時(shí)針或逆時(shí)針）。應(yīng)用判斷兩向量是否共線。判斷點(diǎn)相對(duì)于向量的位置（如在直線的哪一側(cè)）。計(jì)算多邊形的面積。叉積的幾何意義與應(yīng)用PART04向量的投影與正交分解REPORTINGXX投影的定義向量在直線上的投影是指向量在直線方向上的分量，可以通過(guò)向量與直線方向向量的點(diǎn)積求得。投影的計(jì)算公式若向量$vec{a}$在直線$L$上的投影為$Proj_{vec{u}}vec{a}$，其中$vec{u}$是直線$L$的方向向量，則$Proj_{vec{u}}vec{a}=frac{vec{a}cdotvec{u}}{vec{u}cdotvec{u}}vec{u}$。投影的性質(zhì)向量在直線上的投影是標(biāo)量，其值等于向量與直線方向向量的點(diǎn)積除以直線方向向量的模的平方。向量在直線上的投影投影的定義01向量在平面上的投影是指向量在平面方向上的分量，可以通過(guò)向量與平面法向量的點(diǎn)積求得。投影的計(jì)算公式02若向量$vec{a}$在平面$Pi$上的投影為$Proj_{vec{n}}vec{a}$，其中$vec{n}$是平面$Pi$的法向量，則$Proj_{vec{n}}vec{a}=vec{a}-frac{vec{a}cdotvec{n}}{vec{n}cdotvec{n}}vec{n}$。投影的性質(zhì)03向量在平面上的投影是向量，其方向與平面平行，大小等于原向量與平面法向量的點(diǎn)積除以平面法向量的模的平方。向量在平面上的投影正交分解定理及應(yīng)用正交分解定理任意一個(gè)向量可以唯一地分解為兩個(gè)互相垂直的向量之和，這兩個(gè)向量分別平行于給定的兩個(gè)互相垂直的向量。正交分解的應(yīng)用正交分解定理在解析幾何、力學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，如力的合成與分解、速度的合成與分解等。通過(guò)正交分解，可以將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)化為兩個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的問(wèn)題進(jìn)行處理。PART05平面向量基本定理與坐標(biāo)表示REPORTINGXX

平面向量基本定理平面向量基本定理如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2。不共線的等價(jià)說(shuō)法兩個(gè)向量不平行，兩個(gè)向量不成比例。平面向量基本定理說(shuō)明平面向量可以沿任意指定的兩方向分解，且分解是唯一的。在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底。任作一個(gè)向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，使得a=xi+yj。因此把實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a=(x,y)。其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，上式叫做向量的坐標(biāo)表示。向量的坐標(biāo)表示法設(shè)P1(x1,y1)，P2(x2,y2)是平面上的兩點(diǎn)，則向量P1P2的坐標(biāo)表示為(x2-x1,y2-y1)。01向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示法向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示法如下02向量加法：已知向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，則a+b=(x1+x2,y1+y2)。03向量減法：已知向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，則a-b=(x1-x2,y1-y2)。04向量數(shù)乘：已知向量a=(x,y)和實(shí)數(shù)λ，則λa=(λx,λy)。05PART06向量與矩陣的關(guān)系及應(yīng)用REPORTINGXX矩陣是一個(gè)由數(shù)值組成的矩形陣列，其大小由行數(shù)和列數(shù)確定。矩陣的加法、減法、數(shù)乘等運(yùn)算遵循一定的規(guī)則。矩陣有一些特殊的性質(zhì)，如轉(zhuǎn)置、可逆、對(duì)稱等。