2024年“極光杯”線上測試（二） 試題

2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試適應(yīng)性測試

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在

答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共7小題，每小題5分，共35分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.若2=sin工+icos二,貝！

33

A.1B.-1C.iD.-i

2.設(shè)｛%｝是公差不為0的等差數(shù)列,。2，〃4，為成等比數(shù)列，貝

a5

A.3B.—D.2

2

3.已知正方體4BCO-4與。14，平面4月。與平面的交線為/,則

A.IllA、DB.IllBXDC.l//C{DD.l//DxD

4.若函數(shù)/(%)=b4、+(2"1).2%有最小值，貝心的取值范圍是

A.(0,萬)B.(0,—]C.(—,+oo)D.[—,+oo)

5.設(shè)x,y,zG(0,—)，(sinx+cosx)(siny+2cosy)(sinz+3cosz)=10,貝！J

TCTC7TTC

A.—<x<y<zB.—=x<y<zC.—>x>y>zD.-=x>y>z

4444

6.向量a,8滿足傳|=1,<?+/>,?+26)=30°,貝lj|a|的取值范圍是

A.[V2-1,V2+1]B.[V3-1,V3+1]C.[V5-1,75+1]D.[76-1,76+1]

7.暗箱中有編號(hào)為1,2的2個(gè)球，現(xiàn)從中隨機(jī)摸1個(gè)球，若摸到2號(hào)球，則得2分,

并停止摸球；若摸到1號(hào)球，則得1分，并將此球放回，重新摸球.記摸球停止時(shí)

總得分為X,則E(X)=

A.3B.4C.5D.6

數(shù)學(xué)試題第1頁（共4頁）

二、選擇題：本題共3小題，每小題5分，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的，少選擇1個(gè)正

確選項(xiàng)得3分，少選擇2個(gè)正確選項(xiàng)得1分，否則得0分。

8.對(duì)于數(shù)集Z,B,它們的Descartes積4x3={(x,y)|X?4了e團(tuán)，則

A.AxB=BxAB.若貝U(4x3)屋(CxB)

C./x(8nC)=(/x3)n(/xC)D.集合{0}xR表示了軸所在直線

E.集合/x/表示正方形區(qū)域(含邊界)

9.已知直線y=?x-l)經(jīng)過拋物線C:/=2px(p>0)的焦點(diǎn)尸，與C交于M,N兩

點(diǎn)，與C的準(zhǔn)線交于尸點(diǎn)，若|荷|,|而|而|成等差數(shù)列，則

A.p=2B.FP^NF

C.FN=3MFD.k=43

E.|而|=8

10.存在定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x)滿足

A./(x)是增函數(shù)，/[/(x)]也是增函數(shù)

B./(x)是減函數(shù)，/[/(x)]也是減函數(shù)

C.對(duì)任意的aeR,f(a)手a,但/"(x)]=x

D./(x)是奇函數(shù)，但/"(x)]是偶函數(shù)

E./(x)的導(dǎo)函數(shù)r(x)的定義域也是R,且/[/(x)]=-x

三、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分。

11.曲線y=Vi二I在點(diǎn)(jf處的切線方程是.

12.寫出一個(gè)正整數(shù)〃>1,使得(盯+己)”的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)：.

yjX

2

13.設(shè)雙曲線。:一一4=1(°>0)的左、右焦點(diǎn)分別為公，尸2，出廠,|=6,點(diǎn)尸在C

a

的右支上，當(dāng)期，桃時(shí)，|「片川桃匚________；當(dāng)尸運(yùn)動(dòng)時(shí)，|因|+^^的

IPF]I

最小值為.

數(shù)學(xué)試題第2頁(共4頁)

14.已知某圓臺(tái)的側(cè)面是一個(gè)圓環(huán)被圓心角為90。的扇形所截得的扇環(huán)，且圓臺(tái)的側(cè)面

積為2兀，則該圓臺(tái)體積的取值范圍是.

四、解答題：本題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(10分)

在/\ABC中，sin(4+—)sin(5+—)=cosAcosB.

44

(1)求C；

(2)若AB=C,求5-在的最小值.

16.(10分)

已知數(shù)列｛an｝和｛6“｝滿足sina“+]=sinan+cos”,cos6?+1=cosbn-sin%.

2222

(1)證明：sinan+l+cosbn+l=2(sinan+cosbn)；

(2)是否存在內(nèi),*使得數(shù)列｛sin2a,+cos26“｝是等比數(shù)列？說明理由.

17.(15分)

設(shè)a>0,函數(shù)/(x)=x"Inx.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(x)Wx,求。的取值范圍；

(3)若f'(x)<1,求a.

18.(15分)

已知二面角a-/-夕，點(diǎn)尸ea,尸與棱/的距離為相，與半平面力所在平面的距

離為3.

(1)求二面角a-1-/的余弦值；

(2)設(shè)Bel,AB=\,動(dòng)點(diǎn)Qe夕，滿足尸。=5.

(i)求。運(yùn)動(dòng)軌跡的長度；

(ii)求四面體P-Q/3體積的最大可能值.

數(shù)學(xué)試題第3頁(共4頁)

19.(15分)

設(shè)離散型隨機(jī)變量￡和丫有相同的可能取值，它們的分布列分別為尸(X=。斤)=/，

nn

P(Y=ak)=yk,丫女>0,yk>0,k=1,2,…，n,2、左=2y后指標(biāo)0(X||y)可

k=ik=i

用來刻畫x和y的相似程度，其定義為。(XIIy)=In至.

Myk

設(shè)X?B(n,p),0<p<l.

(1)若丫?5(〃應(yīng)),0<q<l,求Z)(X||y)；

(2)若"=2,尸(y=左一i)=g,k=\,2,3,求D(x||y)的最小值；

(3)對(duì)任意與X有相同可能取值的隨機(jī)變量y,證明：D(X\\Y)>0,并指出取等

號(hào)的充要條件.

20.（15分）

本題分I、n兩部分，考生任選其中一部分作答.若多選，則按照I部分計(jì)分.

I.(1)如圖1,點(diǎn)/在直線/外，僅利用圓規(guī)和無刻度直尺，作直線(保留作

圖痕跡，不需說明作圖步驟).

(2)證明：一簇平行直線被橢圓所截弦的中點(diǎn)的軌跡是一條線段(不含端點(diǎn))；

(3)如圖2是一個(gè)橢圓C,僅利用圓規(guī)和無刻度直尺，作出C的兩個(gè)焦點(diǎn)，簡要

說明作圖步驟.

22

II.已知點(diǎn)/(4,7),集合5={(》/)|上+1-?1},點(diǎn)尸€5,且對(duì)于S中任何異于尸的

1612

點(diǎn)。，都有標(biāo)?所>0.

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(