高三數(shù)學月考試卷（解析版）

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計40分.在每小題給出的四個選項中,

只有一個是符合題目要求的，請把答案添涂在答題卡相應位置上）

1.已知集合4={x||x|<1},B={x\2x<1},則有（）

A.71nF={x|—1<%<0}B.AuB=R

C.4UB={x\x>1）D.AC\B—<p

【答案】A

2.已知復數(shù)z滿足（2-i）z=l+2i（i為虛數(shù)單位），那么z的虛部為（）

A.1B.-1C.0D.i

【答案】A

3.已知向量胃=（1,2）,'a-b=5,|^-fe|=2V5,則等于（）

A.V5B.2V5C.25D.5

【答案】D

4.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且〃x+4）=—“X）,當2,0）時,

f（x）=ex,則〃2018）+〃2021）+/（2022）等于（）

11

A.-B.——C.~eD.e

ee

【答案】A

5.函數(shù)/（》）=上兇史在區(qū)間（-工，色）上的圖象的大致形狀是（）

e+122

6.若雙曲線C：3■-2=1（a>0,Z?>0）的一條漸近線被圓（x—2p+y2=4所截得

a"b~

的弦長為2,則C的離心率為（)

D音

A.2B.小C.0

【答案】A

7.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝中，公比4G（0」），若%+%=5，々“6=4,

2=log,a,，數(shù)列也｝的前〃項和為S“，則墾+*+L+&取最大值時，〃的值為（）

12n

A.8B.9C.17D.8或9

【答案】D

【詳解】

。3+%=5(

%=4

由題意可知。3＞。5，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，a2a6=a3a5=4，解得<

%=1

q>a5

a/=4q=i6i

所以<q/=i,解得.q=L，,a"=Wi=[6xQJ25-",勿=log?a“=5-/2,

0<<7<l

則數(shù)列｛0,,｝為等差數(shù)列，S?="（4；"）=9mt,

(9一九

n\4A+—

.Sn_9-n2

'.?.縣+2+L+MI2〃(17-〃)117i+289,

n2?~16~

12n24--4

S]+S

因此，當〃=8或9時,-j-H—2+L+口取最大值，故選D.

2n

8.已知aABC的面積為S,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2s=(a+b)2-c2,則tanC

的值是（)

4433

A.-B.C.一D.——

3344

【答案】B

二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分.在每小題給出的四個選項中，

至少有兩個是符合題目要求的，請把答案添涂在答題卡相應位置上）

9.設橢圓C:J+V=1的左右焦點為士，F(xiàn)2,尸是。上的動點，則下列結論正確的是（）

A.\PFt\+\PF2\=2y/2B.若/耳「招=60°，則AP￡鳥的面積為半

C.離心率e=^D.以線段EK為直徑的圓與直線x+y—及=0相切

【答案】ABD

10.卜面命題正確的是

A.“a>1“是‘<1”的充分不必要條件

a

B.在aABC中，"sinA+cosA=sinB+cosB”是“A=B”的充要條件

C.設x,yeR,則“忘2且心2”是“爐十產(chǎn)出”的必要而不充分條件

D.設a,heR,貝『力翔''是""翔’’的必要不充分條件

【答案】AD

11.下列說法正確的是

A.若x,y>0,x+y=2,則2"+2'的最大值為4

B.若x<L,則函數(shù)y=2x+」一的最大值為-1

22x-l

C.若x,y>0,x+y+xy=3,則孫的最小值為1

14

D.函數(shù)y=——+—「的最小值為9

sin-xcosx

【答案】BD

12.如圖，已知在棱長為1的正方體ABCD—AIBIGDI中，點E,F,H分別是AB,DD1,

BG的中點，則下列結論中正確的是

A.AC」平面BDAi.

B.直線EF與BCi所成的角為30。.

C.三棱錐D—BAiG的體積為9

D.若M,N是線段BiDi上的兩個動點，且MN=1,則三棱錐A—BMN的體積為定值.

【答案】ABD

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分.請把答案填寫在答題卡相應位置

上）

13.設等比數(shù)列｛a,｝的前6項和$6=6,且1一多■為%的等差中項，則。7+65+49=

【答案】8

33,

14.若/(x)=mlnx-x，+萬X2-4x+4在(2,+8)上單調(diào)遞減，則實數(shù)m取值范圍

是.

【答案】怔20

15.已知圓O：/+y2=16,點p為直線1+3丁+8=0上一動點，過點P向圓。引兩天切

線P4和PB,A、B為切點、,則直線A3恒過定點.

【答案】(-2,6)

16.已知正三棱錐S—ABC的側棱長為4百，底面邊長為6,則該正三棱錐外接球的表面

積是.

【答案】64n

四、解答題(本大題共6小題，共計70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時應寫出文

字說明、證明過程或演算步驟)

17.(10分)請從下面三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并作答.①

sinA-sinCsinA-sinB…八一?,.與…

=；?2ccosC-acosB+bcosA；③，ABC的面積為

b-----a+c

」c(asinA+6sin6-csinC).已知，ABC的內(nèi)角A，B.C的對邊分別為a,b,c,

2

且________.

(1)求C；

(2)若。為AB中點，且c=2,CD=6求a，b.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】(1)方案一：選條件①

sinA-sinCsinA-sinBa-c_a-b

,由正弦定理可得,

ba+cha+c

BPcr-c2=ab-b2，?*-a2+/72-c2=ab^

由余弦定理可得：cosC=匕+b￡C=-.

2ab23

方案二：選條件②

(1),**2ccosC-acosB+/?cosA,

?■?根據(jù)正弦定理可得，2sinCcosC=sinAcosB+sinBcosA,

..171

2sinCcosC=sin(A+B),2sinCcosC=sinC.**?cosC=—,C=—.

23

方案三：選條件③

(1)由題意知，；absinC=；c(asinA+萬sinB-csinC),

???由正弦定理可得，abc^c(a2+b2-c2),：.a2+b2-c2=ab

...由余弦定理可得，cosC="=1,：,c=-........................4，

lab23

(2)由題意知，AD=BD=1，CD=y/3>

在AACD中，AC2=AD2+CD2-2AD-CD-cosZADC>

即〃=4-273cosZADC-

在「BCD中，BC2=BD2+CD2-2BDCD-cosNBDC，

即Y=4一26cos/BDC，

ZADC+ZBDC=TI,：.cosZADC=—cosZ.BDC>Aa1+b2=8.

2?22i

由(1)知，cosC=------—=—,a2+b2=c2+6/Z?=4+tzZ??

2ab2

\a2+b~=8

?,.Q/?=4,由〈，解得a=〃=2..........................10'

ab=4

18.已知三棱柱ABC-AAG(如圖所示)，底面;AHC是邊長為2的正三角形，側棱

CG，底面A5C，CC1=4,E為與G的中點.

（1）若G為45的中點，求證：GG_L平面4g氏4；

（2）證明：AC"/平面4EB；

（3）求三棱錐A-EB4的體積.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）空.

3

【解析】

（1）連接CG,由Cq_L底面ABC,且CJ//831,可得8月_1底面AAG，

又由GGu底面AgG，所以C|G，AB,

又因為G為正4A4G邊4片的中點，所以GG，A4，

因為A48片=4，且AA，84u平面44明，

所以GGJ■平面44區(qū)4..............4，

（2）連接用A交AQ與G,則。為48的中點，連接E0,則EO//AG.

因為EOu平面EAB,AC1<Z平面

所以ACJ/平面EA|B..............8，

（2）因為匕-ABE=瞑-從研，S&AB%=]XABxAA,=4.

取G4的中點尸，連接瓦?則族//。。，可得歷_1_平面A43A,

即EF為三棱錐E-A%的高，￡/=（。]6=；"萬=亭，

三棱錐A-EB4的體積

X=X4X=

VA-A,BE=%-ABA,=??

19.設數(shù)列｛4｝的前〃項和為s.，q=-3,4=-1?若數(shù)列■，為等差數(shù)列?

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式?！埃?/p>

(2)設數(shù)列］—1—1的前〃項和為北，若對V〃eN*都有1>機成立，求實數(shù)俄的取

值范圍.

2

【答案】(1)4=2〃—5；(2)m<--.

【解析】

⑴由。I二-3,a2=-\,

得，=一3,S2=-4,｝=一3,當=一2，

???數(shù)列｛｝｝為等差數(shù)列，則首項為-3,公差為1,

s

則一=-3+(〃-1)?1=〃-4,

n

s“=n(n-4),

當〃N2時，4=S“一S"T=2〃-5,

當〃=1時，。“=2〃-5也成立，

=2n-5.

1_11_______

an-an+i(2〃一5)(2〃-3)2(2〃-52n-32J

"+'~n=2(2n-3

???當?shù)?1時,Tn+}<Tn,即當v7J；

當〃22時，Tn+]>Tnf即(之5；

.2

V/i￡N*，Tn>T2=--,

Y^neN：都有相成立，

,,2

??m<—.

3

20.如圖，四棱錐P—A3C。中，Q4_L底面A8CD,底面ABC。是直角梯形，

ZADC=90°,AD!IBC,AB1AC,AB=AC=后，點E在AD上，且AE=2￡D.

（I）已知點尸在BC上，且CF=2FB,求證：平面PEE_L平面PAC；

（II）當二面角A—必—E的余弦值為多少時，直線尸。與平面B鉆所成的角為45°?

【答案】（1）見解析；（11）當二面角4一尸8-￡的余弦值為逑時，直線尸。與平面加?

3

所成的角為45°.

【解析】

(1)AB1AC,AB=AC,AZACB=45°,

?.?底面ABC。是直角梯形，ZADC=90°,ADIIBC,

AZACD=45°,即AD=CZ）,

?*-BC=叵AC=2AD-

*：AE=2ED，CF=2FB,：.AE=BF=^AD,

3

???四邊形ABEE是平行四邊形，則AB//E/L

ACA.EF,

?..如，底面A8CD,...9_LEE,

,/PAoAC=A,

???放平面PAC,；u平面PEF，

平面PEF，平面PAC..............6,

(II)解：VPAIAC,ACLAB,：,AC_L平面Q4B,則NAPC為直線PC與平面

所成的角，

若PC與平面E鉆所成夾角為45°,則tan/APC=——=1,即PA=AC=正，

PA

取BC的中點為G,連接AG,則AGJ_BC,以A為坐標原點建立如圖所示的空間直角

坐標系A一孫z,

則3（1,-1,0）,C（1,1,O）,Efo,1,OL網(wǎng)0,0,⑹,

/、n-EB=0,3

設平面P6E的法向量〃=（x,y,z）,則｛即｛,

〃EP=Q-|y+0z=O,

令y=3,則x=5,z=V5，,〃=0，3,夜），

???AC=(1,1,0)是平面E鉆的一個法向量,

述

亍

即當二面角A-PB-E的余弦值為迪時，直線PC與平面Q48所成的角為45°.….12,

3

22/T

21.已知橢圓C：?+#=l（a>b>0）的左、右焦點為耳，耳，離心率為號，點P在橢

圓。上，且APE鳥的面積的最大值為

（1）求橢圓。的方程;

（2）已知直線/:y=H+l（Z>0）與橢圓C交于不同的兩點M,N,若x在軸上存在點

（加）得卜求實數(shù)用的取值范圍.

G,0|GM|GN|,、

221⑵卜制

【答案】（1）—+^-

327

【解析】

由題，當點P在上下頂點時，三角形的面積最大，可得。C=加，

be=^2

a=5/3

C6

即可得《—二:，解得b=6

a3

C=1

er=b2+c2

22

???橢圓C的方程為三+匯=1.

32

y-kx+\

（2）由消去了整理（2+322）/+6區(qū)一3=0得,

----1----=1

[32

且36女？+12（2+3攵2）=24（1+3%2）>0

設A/（Xi，X）,N（X2，y2），線段MN的中點為。（毛,%）

-6k-3

則為+x

22+3公,

M+修-3k.12

亍=系記,i+1=5

在X軸上存在G（〃?,o）點，使得|GM|=|GN|,:.GQ±MN,

2

-''kGQ-kMN=——.k=-l,即2kle-k=-l,

x.-m-3k

u(F一

2+3/

k1

/.-m=-----7=-----

2+3公2+3%

k

因為z〉o

1<1r-

A<2二=當且僅當：=3左且%>0,即2=農(nóng)時等號成立.

：+342、二3kk3

kU

,V6,,R.

/.0<-m<——，故----W〃？<0，

1212

rn

二實數(shù)m的取值范圍為—一，0..............12'

L12

22.已知函數(shù)/(%)=:%2一a]nx-a(lWx<e),g(x)=ex-x-\,其中aeR,e為自

然對數(shù)的底數(shù).

(1)求函數(shù)〃x)的最小值；

(2)若對于任意的玉w[0,l],都存在唯一的々€"4,使得g(%)=/(w)，求實數(shù)。的

取值范圍.

【答案】(1)當aWl時，“X)最小值為i一。，當a*?時，最小值為2a,當l<a<e

1ci