中考數(shù)學常見幾何模型全歸納提分精練專題03手拉手模型(從全等到相似)(原卷版+解析)

專題03手拉手模型（從全等到相似）全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學幾何模塊中占據著重要地位。相似三角形與其它知識點結合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了．本專題就手拉手模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。模型1.手拉手模型（全等模型）【模型解讀】將兩個三角形繞著公共頂點（即頭）旋轉某一角度后能完全重合，則這兩個三角形構成手拉手全等，也叫旋轉型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等。【常見模型及證法】（等腰）（等邊）（等腰直角）公共頂點A記為“頭”，每個三角形另兩個頂點逆時針順序數(shù)的第一個頂點記為“左手”，第二個頂點記為“右手”。對應操作：左手拉左手（即連結BD），右手拉右手（即連結CE），得。1．(2023·青?！ぶ锌颊骖}）兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若和是頂角相等的等腰三角形，BC，DE分別是底邊.求證：；(2)解決問題：如圖2，若和均為等腰直角三角形，，點A，D，E在同一條直線上，CM為中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關系并說明理由.圖1

圖22．(2023·黑龍江·中考真題）和都是等邊三角形．(1)將繞點A旋轉到圖①的位置時，連接BD，CE并延長相交于點P（點P與點A重合），有（或）成立；請證明．(2)將繞點A旋轉到圖②的位置時，連接BD，CE相交于點P，連接PA，猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關系？并加以證明；(3)將繞點A旋轉到圖③的位置時，連接BD，CE相交于點P，連接PA，猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關系？直接寫出結論，不需要證明．3．(2023·吉林·九年級期末）如圖①，在中，，，點，分別在邊，上，且，此時，成立．（1）將繞點逆時針旋轉時，在圖②中補充圖形，并直接寫出的長度；（2）當繞點逆時針旋轉一周的過程中，與的數(shù)量關系和位置關系是否仍然成立？若成立，請你利用圖③證明，若不成立請說明理由；（3）將繞點逆時針旋轉一周的過程中，當，，三點在同一條直線上時，請直接寫出的長度．模型2.手拉手模型（旋轉相似模型）【模型解讀與圖示】旋轉放縮變換，圖中必有兩對相似三角形.1．(2023·四川達州·中考真題）某校一數(shù)學興趣小組在一次合作探究活動中，將兩塊大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如圖1的方式擺放，，隨后保持不動，將繞點C按逆時針方向旋轉（），連接，，延長交于點F，連接．該數(shù)學興趣小組進行如下探究，請你幫忙解答：(1)【初步探究】如圖2，當時，則_____；(2)【初步探究】如圖3，當點E，F(xiàn)重合時，請直接寫出，，之間的數(shù)量關系：_________；(3)【深入探究】如圖4，當點E，F(xiàn)不重合時，（2）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出推理過程；若不成立，請說明理由．(4)【拓展延伸】如圖5，在與中，，若，（m為常數(shù)）．保持不動，將繞點C按逆時針方向旋轉（），連接，，延長交于點F，連接，如圖6．試探究，，之間的數(shù)量關系，并說明理由．2．(2023·山東煙臺·中考真題）(1)【問題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請直接寫出的值．(3)【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．①求的值；②延長CE交BD于點F，交AB于點G．求sin∠BFC的值．3．(2023·山東·東營市一模）【提出問題】（1）如圖1，在等邊△ABC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結CN．求證：∠ABC=∠ACN．【類比探究】（2）如圖2，在等邊△ABC中，點M是BC延長線上的任意一點（不含端點C），其它條件不變，（1）中結論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請說明理由．【拓展延伸】（3）如圖3，在等腰△ABC中，BA=BC，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC．連結CN．試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關系，并說明理由．4．(2023·山西長治·九年級期末）問題情境：如圖1，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，點D，E分別在邊AB，AC上，且．數(shù)學思考：(1)在圖1中，的值為；(2)圖1中△ABC保持不動，將△ADE繞點A按逆時針方向旋轉到圖2的位置，其它條件不變，連接BD，CE，則（1）中的結論是否仍然成立？并說明理由；(3)拓展探究：在圖2中，延長BD，分別交AC，CE于點F，P，連接AP，得到圖3，探究∠APE與∠ABC之間有何數(shù)量關系，并說明理由；(4)若將△ADE繞點A按逆時針方向旋轉到圖4的位置，連接BD，CE，延長BD交CE的延長線于點P，BP交AC于點F，則（3）中的結論是否仍然成立，若成立，請說明理由；若不成立，請直接寫出∠APE與∠ABC之間的數(shù)量關系．課后專項訓練：1．(2023·湖南·中考真題）如圖，點是等邊三角形內一點，，，，則與的面積之和為（

）A． B． C． D．2．(2023·四川宜賓·中考真題）如圖，和都是等腰直角三角形，，點D是BC邊上的動點（不與點B、C重合），DE與AC交于點F，連結CE．下列結論：①；②；③若，則；④在內存在唯一一點P，使得的值最小，若點D在AP的延長線上，且AP的長為2，則．其中含所有正確結論的選項是（

）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④3．(2023·湖北·襄陽市樊城區(qū)青泥灣中學九年級階段練習）如圖，已知AOB和MON都是等腰直角三角形(OA<OM=ON)，∠AOB=∠MON=90°．(1)如圖①，連接AM，BN，求證：AOM≌BON；(2)若將MON繞點O順時針旋轉，①如圖②，當點N恰好在AB邊上時，求證：；②當點A，M，N在同一條直線上時，若OB=4，ON=3，請直接寫出線段BN的長．4．(2023·山西朔州·九年級期末）綜合與實踐問題情境：在數(shù)學課上老師出了這樣一道題：如圖1，在中，，求的長．(1)探究發(fā)現(xiàn)：如圖2，勤奮小組經過思考后，發(fā)現(xiàn)：把繞點A順時針旋轉得到，連接，，利用直角三角形的性質即可求解，請你根據勤奮小組的思路，求的長；(2)探究拓展：如圖3，縝密小組的同學在勤奮小組的啟發(fā)下，把繞點A順時針旋轉后得到，連接，交于點F，交于點G，請你判斷四邊形的形狀并證明；(3)奇異小組的同學把圖3中的繞點B順時針旋轉，在旋轉過程中，連接，發(fā)現(xiàn)的長度在不斷變化，直接寫出的最大值和最小值．5．(2023·湖北武漢·八年級期末）已知ABC中，∠BAC=60°，以AB和BC為邊向外作等邊ABD和等邊BCE．(1)連接AE、CD，如圖1，求證：AE=CD；(2)若N為CD中點，連接AN，如圖2，求證：CE=2AN(3)若AB⊥BC，延長AB交DE于M，DB=，如圖3，則BM=_______（直接寫出結果）6．(2023·湖南·長沙市湘郡培粹實驗中學八年級階段練習）如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，點D，E分別為邊AB，BC上的中點，且BD＝BE＝．(1)如圖2，將△BDE繞點B逆時針旋轉任意角度α，連接AD，EC，則線段EC與AD的關系是；(2)如圖3，DE∥BC，連接AE，判斷△EAC的形狀，并求出EC的長；(3)繼續(xù)旋轉△BDE，當∠AEC＝90°時，請直接寫出EC的長．7．(2023·廣東·惠州一中八年級期中）為等邊三角形，，于點．為線段上一點，．以為邊在直線右側構造等邊．連結，為的中點．（1）如圖1，與交于點，①連結，求線段的長；②連結，求的大?。?）如圖2，將繞點逆時針旋轉，旋轉角為．為線段的中點．連結、．當時，猜想的大小是否為定值，并證明你的結論．8．(2023?新鄉(xiāng)中考模擬）在△ABC中，CA＝CB＝m，在△AED中，DA＝DE＝m，請?zhí)剿鹘獯鹣铝袉栴}．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，若∠ACB＝∠ADE＝90°，點D，E分別在CA，AB上，則CD與BE的數(shù)量關系是，直線CD與BE的夾角為；【類比探究】（2）如圖2，若∠ACB＝∠ADE＝120°，將△AED繞點A旋轉至如圖2所示的位置，則CD與BE之間是否滿足（1）中的數(shù)量關系？說明理由．【拓展延伸】（3）在（1）的條件下，若m＝2，將△AED繞點A旋轉過程中，當B，E，D三點共線．請直接寫出CD的長．9．(2023?虹口區(qū)期中）如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE．（1）求證：△ABC∽△ADE；（2）判斷△ABD與△ACE是否相似？并證明．10．(2023?長垣市一模）在△ABC中，AB＝AC，點D為AB邊上一動點，∠CDE＝∠BAC＝α，CD＝ED，連接BE，EC．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，若α＝60°，則∠EBA＝，AD與EB的數(shù)量關系是；（2）類比探究：如圖②，當α＝90°時，請寫出∠EBA的度數(shù)及AD與EB的數(shù)量關系并說明理由；（3）拓展應用：如圖③，點E為正方形ABCD的邊AB上的三等分點，以DE為邊在DE上方作正方形DEFG，點O為正方形DEFG的中心，若OA＝，請直接寫出線段EF的長度．11．(2023·山西·壽陽縣教研室九年級期末）問題情境：如圖1所示，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點，DEBC，在圖1中將ADE繞A點順時針旋轉一定角度，得到圖2，然后將BD、CE分別延長至M、N，使DM=BD，EN=CE，得到圖3，請解答下列問題：(1)猜想證明：若AB=AC，請?zhí)骄肯铝袛?shù)量關系：①在圖2中，BD與CE的數(shù)量關系是_________．②在圖3中，猜想∠MAN與∠BAC的數(shù)量關系，并證明你的猜想；(2)拓展應用：其他條件不變，若AB=AC，按上述操作方法，得到圖4，請你繼續(xù)探究：∠MAN與∠BAC的數(shù)量關系？AM與AN的數(shù)量關系？直接寫出你的猜想．12．(2023·遼寧·東港市第七中學一模）如圖，在、中，，，設．連接，以、為鄰邊作，連接．(1)若，當、分別與、重合時（圖1），易得．當繞點順時針旋轉到（圖2）位置時，請直接寫出線段、的數(shù)量關系________；(2)若，當繞點順時針旋轉到（圖3）位置時，試判斷線段、的數(shù)量關系，并證明你的結論；(3)若為任意角度，，，，繞點順時針旋轉一周（圖4），當、、三點共線時，請直接寫出的長度．專題03手拉手模型（從全等到相似）全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學幾何模塊中占據著重要地位。相似三角形與其它知識點結合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的常考題型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了．本專題就手拉手模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。模型1.手拉手模型（全等模型）【模型解讀】將兩個三角形繞著公共頂點（即頭）旋轉某一角度后能完全重合，則這兩個三角形構成手拉手全等，也叫旋轉型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等?！境Ｒ娔Ｐ图白C法】（等腰）（等邊）（等腰直角）公共頂點A記為“頭”，每個三角形另兩個頂點逆時針順序數(shù)的第一個頂點記為“左手”，第二個頂點記為“右手”。對應操作：左手拉左手（即連結BD），右手拉右手（即連結CE），得。1．(2023·青?！ぶ锌颊骖}）兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若和是頂角相等的等腰三角形，BC，DE分別是底邊.求證：；(2)解決問題：如圖2，若和均為等腰直角三角形，，點A，D，E在同一條直線上，CM為中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關系并說明理由.

圖1

圖2【答案】(1)見解析(2)；【分析】（1）先判斷出∠BAD=∠CAE，進而利用SAS判斷出△BAD≌△CAE，即可得出結論；（2）同（1）的方法判斷出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出結論．【解析】(1)證明：∵和是頂角相等的等腰三角形，∴，，，∴，∴．在和中，，∴，∴．(2)解：，，理由如下：由（1）的方法得，，∴，，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴．∵，，∴．∵，∴，∴．∴．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形，等邊三角形，等腰直角三角形的性質，判斷出△ACD≌△BCE是解本題的關鍵．2．(2023·黑龍江·中考真題）和都是等邊三角形．(1)將繞點A旋轉到圖①的位置時，連接BD，CE并延長相交于點P（點P與點A重合），有（或）成立；請證明．(2)將繞點A旋轉到圖②的位置時，連接BD，CE相交于點P，連接PA，猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關系？并加以證明；(3)將繞點A旋轉到圖③的位置時，連接BD，CE相交于點P，連接PA，猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關系？直接寫出結論，不需要證明．【答案】(1)證明見解析(2)圖②結論：，證明見解析(3)圖③結論：【分析】（1）由△ABC是等邊三角形，得AB=AC，再因為點P與點A重合，所以PB=AB，PC=AC，PA=0，即可得出結論；（2）在BP上截取，連接AF，證明（SAS），得，再證明（SAS），得，，然后證明是等邊三角形，得，即可得出結論；（3）在CP上截取，連接AF，證明（SAS），得，再證明（SAS），得出，，然后證明是等邊三角形，得，即可得出結論：．(1)證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∵點P與點A重合，∴PB=AB，PC=AC，PA=0，∴或；(2)解：圖②結論：證明：在BP上截取，連接AF，∵和都是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴（SAS），∴，∵AC=AB，CP=BF，

∴（SAS），∴，，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴；(3)解：圖③結論：，理由：在CP上截取，連接AF，∵和都是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴（SAS），∴，∵AB=AC，BP=CF，∴（SAS），

∴，，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，即．【點睛】本題考查等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，熟練掌握等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．3．(2023·吉林·九年級期末）如圖①，在中，，，點，分別在邊，上，且，此時，成立．（1）將繞點逆時針旋轉時，在圖②中補充圖形，并直接寫出的長度；（2）當繞點逆時針旋轉一周的過程中，與的數(shù)量關系和位置關系是否仍然成立？若成立，請你利用圖③證明，若不成立請說明理由；（3）將繞點逆時針旋轉一周的過程中，當，，三點在同一條直線上時，請直接寫出的長度．【答案】（1）補充圖形見解析；；（2），仍然成立，證明見解析；（3）或．【分析】（1）根據旋轉作圖的方法作圖，再根據勾股定理求出BE的長即可；（2）根據SAS證明得AD=BE，∠1=∠2，再根據∠1+∠3+∠4=90°得∠2∠3+∠4=90°，從而可得出結論；（3）分兩種情況，運用勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）如圖所示，根據題意得，點D在BC上，∴是直角三角形，且BC=，CE=由勾股定理得，；（2），仍然成立.證明：延長交于點，∵，，，∴，又∵，，∴，∴，，在中，，∴，∴，∴.（3）①當點D在AC上方時，如圖1所示，同（2）可得∴AD=BE

同理可證在Rt△CDE中，∴DE=在Rt△ACB中，∴設AD=BE=x，在Rt△ABE中，∴解得,∴②當點D在AC下方時，如圖2所示，同（2）可得∴AD=BE

同理可證在Rt△CDE中，∴DE=在Rt△ACB中，∴設AD=BE=x，在Rt△ABE中，∴解得,∴.所以,AD的值為或【點睛】本題考查了旋轉的性質,全等三角形的判定與性質,勾股定理等知識，熟練解答本題的關鍵．模型2.手拉手模型（旋轉相似模型）【模型解讀與圖示】旋轉放縮變換，圖中必有兩對相似三角形.1．(2023·四川達州·中考真題）某校一數(shù)學興趣小組在一次合作探究活動中，將兩塊大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如圖1的方式擺放，，隨后保持不動，將繞點C按逆時針方向旋轉（），連接，，延長交于點F，連接．該數(shù)學興趣小組進行如下探究，請你幫忙解答：(1)【初步探究】如圖2，當時，則_____；(2)【初步探究】如圖3，當點E，F(xiàn)重合時，請直接寫出，，之間的數(shù)量關系：_________；(3)【深入探究】如圖4，當點E，F(xiàn)不重合時，（2）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出推理過程；若不成立，請說明理由．(4)【拓展延伸】如圖5，在與中，，若，（m為常數(shù)）．保持不動，將繞點C按逆時針方向旋轉（），連接，，延長交于點F，連接，如圖6．試探究，，之間的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)仍然成立，理由見解析(4)【分析】（1）根據等腰直角三角形的性質，可得，根據題意可得，根據等原三角形的性質可得平分，即可得，根據旋轉的性質可知；（2）證明，可得，根據等腰直角三角形可得，由，即可即可得出；（3）同（2）可得，過點，作，交于點，證明，，可得，即可得出；（4）過點作，交于點，證明，可得，，在中，勾股定理可得，即可得出．(1)等腰直角三角形和等腰直角三角形，，故答案為：(2)在與中，又重合，故答案為：(3)同（2）可得，過點，作，交于點，則，，在與中，，，，是等腰直角三角形，，，，，在與中，，，，，即，(4)過點作，交于點，，，，，，，，，，，，，，中，，，即．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質，旋轉的性質，全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，掌握全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．2．(2023·山東煙臺·中考真題）(1)【問題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請直接寫出的值．(3)【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．①求的值；②延長CE交BD于點F，交AB于點G．求sin∠BFC的值．【答案】(1)見解析(2)(3)①；②【分析】（1）證明△BAD≌△CAE，從而得出結論；（2）證明△BAD∽△CAE，進而得出結果；（3）①先證明△ABC∽△ADE，再證得△CAE∽△BAD，進而得出結果；②在①的基礎上得出∠ACE＝∠ABD，進而∠BFC＝∠BAC，進一步得出結果．(1)證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；(2)解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，，∠DAE＝∠BAC＝45°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，；(3)解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，，∴∠CAE＝∠BAD，∴△CAE∽△BAD，；②由①得：△CAE∽△BAD，∴∠ACE＝∠ABD，∵∠AGC＝∠BGF，∴∠BFC＝∠BAC，∴sin∠BFC．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質等知識，解決問題的關鍵是熟練掌握“手拉手”模型及其變形．3．(2023·山東·東營市一模）【提出問題】（1）如圖1，在等邊△ABC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結CN．求證：∠ABC=∠ACN．【類比探究】（2）如圖2，在等邊△ABC中，點M是BC延長線上的任意一點（不含端點C），其它條件不變，（1）中結論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請說明理由．【拓展延伸】（3）如圖3，在等腰△ABC中，BA=BC，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC．連結CN．試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）成立，理由見解析；（3）∠ABC=∠CAN，理由見解析．【分析】（1）利用SAS可證明△BAM≌△CAN，繼而得出結論．（2）也可以通過證明△BAM≌△CAN，得出結論，和（1）的思路完全一樣．（3）首先得出∠BAC=∠MAN，從而判定△ABC∽△AMN，得到，根據∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，從而判定△BAM∽△CAN，得出結論．【詳解】解：（1）證明：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．∴∠BAM=∠CAN．∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS）．∴∠ABC=∠ACN．（2）結論∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．∴∠BAM=∠CAN．∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC=∠ACN．（3）∠ABC=∠ACN．理由如下：∵BA=BC，MA=MN，頂角∠ABC=∠AMN，∴底角∠BAC=∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴，又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，∴∠BAM=∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC=∠ACN．4．(2023·山西長治·九年級期末）問題情境：如圖1，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，點D，E分別在邊AB，AC上，且．數(shù)學思考：(1)在圖1中，的值為；(2)圖1中△ABC保持不動，將△ADE繞點A按逆時針方向旋轉到圖2的位置，其它條件不變，連接BD，CE，則（1）中的結論是否仍然成立？并說明理由；(3)拓展探究：在圖2中，延長BD，分別交AC，CE于點F，P，連接AP，得到圖3，探究∠APE與∠ABC之間有何數(shù)量關系，并說明理由；(4)若將△ADE繞點A按逆時針方向旋轉到圖4的位置，連接BD，CE，延長BD交CE的延長線于點P，BP交AC于點F，則（3）中的結論是否仍然成立，若成立，請說明理由；若不成立，請直接寫出∠APE與∠ABC之間的數(shù)量關系．【答案】(1)(2)（1）中結論仍然成立，理由見解析(3)∠APE=∠ABC，理由見解析(4)結論不成立，∠APE+∠ABC=180°，理由見解析【分析】（1）根據平行線分線段成比例定理求解即可；（2）根據旋轉的性質得到∠BAD=∠CAE，由（1）可證明△BAD∽△CAE，從而可證∠APE+∠ABC得到；（3）由（2）可證∠ABD=∠ACE，證明△AFB∽△PFC和△AFP∽△BFC即可得到結論；（4）證明∠ABD=∠ACE，推出A、B、C、P四點共圓即可得到結論；（1）解：∵，∴，∴；（2）解：中結論仍然成立，理由如下：∵旋轉的性質，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴，在圖2中，由旋轉的性質可知，∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴；（3）解：∠APE=∠ABC，理由如下：由（2）得△BAD∽△CAE，∴∠ABD=∠ACE，又∵∠AFB=∠PFC，∴△AFB∽△PFC，∴，∴，又∵∠AFP=∠BFC，∴△AFP∽△BFC，∴∠CBF=∠PAF，∵∠APE=∠ACE+∠PAF，∠ABC=∠ABF+∠CBF，∴∠APE=∠ABC；（4）解：（3）結論不成立，∠APE+∠ABC=180°，理由如下：由（2）知，△BAD∽△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∴A、B、C、P四點共圓，∴∠APE+∠ABC=180°．【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例，旋轉的性質，相似三角形的性質與判定，圓內接四邊形的性質等等，熟練掌握相關三角形的性質與判定是解題的關鍵．課后專項訓練：1．(2023·湖南·中考真題）如圖，點是等邊三角形內一點，，，，則與的面積之和為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將繞點B順時針旋轉得，連接，得到是等邊三角形，再利用勾股定理的逆定理可得，從而求解．【詳解】解：將繞點順時針旋轉得，連接，，，，是等邊三角形，，∵，，，，與的面積之和為．故選：C．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質，勾股定理的逆定理，旋轉的性質等知識，利用旋轉將與的面積之和轉化為，是解題的關鍵．2．(2023·四川宜賓·中考真題）如圖，和都是等腰直角三角形，，點D是BC邊上的動點（不與點B、C重合），DE與AC交于點F，連結CE．下列結論：①；②；③若，則；④在內存在唯一一點P，使得的值最小，若點D在AP的延長線上，且AP的長為2，則．其中含所有正確結論的選項是（

）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【答案】B【分析】證明，即可判斷①，根據①可得，由可得四點共圓，進而可得，即可判斷②，過點作于,交的延長線于點，證明，根據相似三角形的性質可得，即可判斷③，將繞點逆時針旋轉60度，得到，則是等邊三角形，根據當共線時，取得最小值，可得四邊形是正方形，勾股定理求得，根據即可判斷④．【詳解】解：和都是等腰直角三角形，，故①正確；四點共圓，故②正確；如圖，過點作于,交的延長線于點，,，,設，則，，則AH∥CE，則；故③正確如圖，將繞點逆時針旋轉60度，得到，則是等邊三角形，，當共線時，取得最小值，此時，此時，，，，，，，平分，，四點共圓，

，又,，，則四邊形是菱形，又，四邊形是正方形，，則，，，，

，，則，，，，故④不正確，故選B．【點睛】本題考查了旋轉的性質，費馬點，圓內接四邊形的性質，相似三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，勾股定理，解直角三角形，正方形的性質與判定，掌握以上知識是解題的關鍵．3．(2023·湖北·襄陽市樊城區(qū)青泥灣中學九年級階段練習）如圖，已知AOB和MON都是等腰直角三角形(OA<OM=ON)，∠AOB=∠MON=90°．(1)如圖①，連接AM，BN，求證：AOM≌BON；(2)若將MON繞點O順時針旋轉，①如圖②，當點N恰好在AB邊上時，求證：；②當點A，M，N在同一條直線上時，若OB=4，ON=3，請直接寫出線段BN的長．【答案】(1)見解析；(2)①見解析；②或．【分析】（1）利用SAS定理證明即可；（2）①連接，證明，即可證；②當點N在線段上時，連接，在中構造勾股定理的等量關系；當點M在線段上時，同理即可求得．（1）證明：，，即．和是等腰直角三角形，，(SAS)．（2）解：①證明：如圖，連接．，，即．和是等腰直角三角形，，，，．是等腰直角三角形，，．②或．∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OB=4，ON=3，∴．當點N在線段上時，如圖，連接，設，由(1)可知．∴，．∴，∴，∴是直角三角形，．又∵，∴，解得：（舍去）∴；當點M在線段上時，如圖，連接，設，由(2)①可知．∴，．∴，∴，∴是直角三角形，．又∵，∴，解得：（舍去）∴綜上所述：的長為或．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質，三點共線分類討論，對幾何題目的綜合把握是解題關鍵．4．(2023·山西朔州·九年級期末）綜合與實踐問題情境：在數(shù)學課上老師出了這樣一道題：如圖1，在中，，求的長．(1)探究發(fā)現(xiàn)：如圖2，勤奮小組經過思考后，發(fā)現(xiàn)：把繞點A順時針旋轉得到，連接，，利用直角三角形的性質即可求解，請你根據勤奮小組的思路，求的長；(2)探究拓展：如圖3，縝密小組的同學在勤奮小組的啟發(fā)下，把繞點A順時針旋轉后得到，連接，交于點F，交于點G，請你判斷四邊形的形狀并證明；(3)奇異小組的同學把圖3中的繞點B順時針旋轉，在旋轉過程中，連接，發(fā)現(xiàn)的長度在不斷變化，直接寫出的最大值和最小值．【答案】(1)的長是，見解析；(2)四邊形是菱形，見解析；(3)的最大值是，的最小值是，見解析．【分析】（1）過點B作交的延長線于點H．由旋轉性質進一步得是等邊三角形，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，，在中由勾股定理，，在中，．在中，求得，進而得解；（2）利用旋轉的性質得到相關結論，進一步證明四邊形是平行四邊形．又有，得證四邊形是菱形；（3）作AH⊥BD于點H，則，利用解直角三角形求得BF的長，分兩種情況進行分析，即可得解．（1）解：如圖4，延長CB、DE交于點H.∵繞點A順時針旋轉得到∴，，∠H=90°，∴=6，=6，，∵，∴△ABC是等腰三角形，∴，∵

∴是等邊三角形∴，∴∴是等腰直角三角形∴．∵，．∴是等腰直角三角形，．在中，由勾股定理，得．∴=36．∴HE2=HB2=18∴．在中，，．在中，．∴．

在中，，∴，∴．∴．∵，∴的長是．（2）解：四邊形是菱形．理由如下：∵繞點A順時針旋轉得到，，，∴，．∴，，．∴．∴△ACE是等腰三角形∴．同理可得：．∵．∴，．∴在中，．∴，．∴，．∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形．（3）如圖5，作AH⊥BD于點H，則∵繞點A順時針旋轉得到，∴，∴=6∴△ABD是等腰三角形∴BH=DH=BD∴．在Rt△ABH中，∠AHB=90°，∠ABH=30°，AB=6∵∴BH=3∴BD=2BH=6由（2）知四邊形是菱形∴DF=AD=6

∴BF=BD-DF=6－6當繞點B順時針旋轉，在旋轉過程中，當旋轉到A、B、F第一次三點共線時，如圖6，∴此時AF有最小值，此時AF==AB-=AB-BF=6-（6－6）=12－6當旋轉到A、B、F第二次三點共線時，如圖7，，∴此時AF有最大值，此時AF=AB+=AB+BF=6+6－6=6故的最大值是，的最小值是【點睛】本題以圖形的變換——旋轉為載體考查了全等三角形的性質和判定，菱形的判定，線段長度的最值問題等知識點，綜合性較強，準確作出輔助線是解題的關鍵．5．(2023·湖北武漢·八年級期末）已知ABC中，∠BAC=60°，以AB和BC為邊向外作等邊ABD和等邊BCE．(1)連接AE、CD，如圖1，求證：AE=CD；(2)若N為CD中點，連接AN，如圖2，求證：CE=2AN(3)若AB⊥BC，延長AB交DE于M，DB=，如圖3，則BM=_______（直接寫出結果）【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）先判斷出∠DBC=∠ABE，進而判斷出△DBC≌△ABE，即可得出結論；（2）先判斷出△ADN≌△FCN，得出CF=AD，∠NCF=∠AND，進而判斷出∠BAC=∠ACF，即可判斷出△ABC≌△CFA，即可得出結論；（3）先判斷出△ABC≌△HEB(ASA)，得出，，再判斷出△ADM≌△HEM(AAS)，得出AM=HM，即可得出結論．（1）解：∵△ABD和△BCE是等邊三角形，∴BD=AB，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，∴∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC，∴∠DBC=∠ABE，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴AE=CD；（2）解：如圖，延長AN使NF=AN，連接FC，∵N為CD中點，∴DN=CN，∵∠AND=∠FNC，∴△ADN≌△FCN(SAS)，∴CF=AD，∠NCF=∠AND，∵∠DAB=∠BAC=60°∴∠ACD+∠ADN=60°∴∠ACF=∠ACD+∠NCF=60°，∴∠BAC=∠ACF，∵△ABD是等邊三角形，∴AB=AD，∴AB=CF，∵AC=CA，∴△ABC≌△CFA(SAS)，∴BC=AF，∵△BCE是等邊三角形，∴CE=BC=AF=2AN；（3）解：∵△ABD是等邊三角形，∴，∠BAD=60°，在Rt△ABC中，∠ACB=90°－∠BAC=30°，∴，如圖，過點E作EH//AD交AM的延長線于H，∴∠H=∠BAD=60°，∵△BCE是等邊三角形，∴BC=BE，∠CBE=60°，∵∠ABC=90°，∴∠EBH=90°－∠CBE=30°=∠ACB，∴∠BEH=180°－∠EBH－∠H=90°=∠ABC，∴△ABC≌△HEB(ASA)，∴，，∴AD=EH，∵∠AMD=∠HME，∴△ADM≌△HEM(AAS)，∴AM=HM，∴∵，，∴．故答案為：．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質，含30°角的直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，構造出全等三角形是解本題的關鍵．6．(2023·湖南·長沙市湘郡培粹實驗中學八年級階段練習）如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，點D，E分別為邊AB，BC上的中點，且BD＝BE＝．(1)如圖2，將△BDE繞點B逆時針旋轉任意角度α，連接AD，EC，則線段EC與AD的關系是；(2)如圖3，DE∥BC，連接AE，判斷△EAC的形狀，并求出EC的長；(3)繼續(xù)旋轉△BDE，當∠AEC＝90°時，請直接寫出EC的長．【答案】(1)EC＝AD，EC⊥AD(2)等腰三角形，(3)【分析】（1）延長CE交AD于F，交AB于O，證明△ABD≌△CBE（SAS），得∠BCE＝∠BAD，CE＝AD，再由∠AOF＝∠BOC，可得∠AFC＝∠ABC＝90°，即可得到結論；（2）設DE與AB的交點為H，可得AB是DE的垂直平分線，利用勾股定理可求出AE的長，由（1）知CE＝AD，從而得出答案；（3）分當點E在BC上方時和當點E在BC下方時，分別畫圖，利用勾股定理計算即可．(1)EC與AD垂直且相等，理由如下：延長CE交AD于F，交AB于O，∵△BDE和△ABC都是等腰直角三角形，∴BD＝BE，AB＝BC，∠DBE＝∠ABC＝90°，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴∠BCE＝∠BAD，CE＝AD，∵∠AOF＝∠BOC，∴∠AFE＝∠ABC＝90°，∴AD⊥CE，∴故答案為：EC＝AD，EC⊥AD；(2)設DE與AB的交點為H，∵DE∥BC，∴∠AHE＝∠ABC＝90°，∵BD＝BE，∴AB是DE的垂直平分線，∴AD＝AE，由（1）知AD＝CE，∴AE＝CE，∴△ACE是等腰三角形，∵BE＝，∴BH＝HE＝1，∴AH＝AB﹣BH＝4﹣1＝3，在Rt△AHE中，由勾股定理得：AE＝，∴CE＝AE＝；(3)如圖4，當點E在BC上方時，過點B作BG⊥DE于G，∵∠AEC＝90°，CE⊥AD，∴A、E、D三點共線，∴AG＝，∴AD＝AG+DG＝，∴CE＝AD＝+1；如圖，當點E在BC下方時，同理可得CE＝CG﹣GE＝﹣1．綜上：CE＝+1或﹣1．【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，旋轉的性質，勾股定理等知識，根據前面探索的結論解決新的問題是解題的關鍵．7．(2023·廣東·惠州一中八年級期中）為等邊三角形，，于點．為線段上一點，．以為邊在直線右側構造等邊．連結，為的中點．（1）如圖1，與交于點，①連結，求線段的長；②連結，求的大?。?）如圖2，將繞點逆時針旋轉，旋轉角為．為線段的中點．連結、．當時，猜想的大小是否為定值，并證明你的結論．【答案】（1）①；②；（2），證明見解析【分析】（1）①根據等邊三角形的性質，，可得，是斜邊上的中線，勾股定理在中可求得的長，進而求得的長；②根據①的結論可得，根據，即可求得的度數(shù)；（2）連接，證明，進而可得，則，進而根據為的中點，為的中點，為的中點，根據三角形中位線定理可得，進而可得【詳解】（1）①是等邊三角形，，是等邊三角形，為的中點②如圖，連接，；（2），理由如下，如圖，連接，為等邊三角形，,則為的中點，為的中點，為的中點【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，勾股定理，三線合一，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的，勾股定理，中位線定理，三角形全等的性質與判定，旋轉的性質，綜合運用以上知識是解題的關鍵．8．(2023?新鄉(xiāng)中考模擬）在△ABC中，CA＝CB＝m，在△AED中，DA＝DE＝m，請?zhí)剿鹘獯鹣铝袉栴}．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，若∠ACB＝∠ADE＝90°，點D，E分別在CA，AB上，則CD與BE的數(shù)量關系是，直線CD與BE的夾角為；【類比探究】（2）如圖2，若∠ACB＝∠ADE＝120°，將△AED繞點A旋轉至如圖2所示的位置，則CD與BE之間是否滿足（1）中的數(shù)量關系？說明理由．【拓展延伸】（3）在（1）的條件下，若m＝2，將△AED繞點A旋轉過程中，當B，E，D三點共線．請直接寫出CD的長．【分析】（1）根據等腰直角三角形的性質得到AB＝AC＝m，AE＝AD＝m，計算即可；（2）過點C作CH⊥AB于H，延長CD、BE交于點F，根據直角三角形的性質得到AB＝AC，AE＝AD，證明△CAD∽△BAE，根據相似三角形的性質解答即可；（3）分點E在線段BD上、點D在線段BE上兩種情況，根據相似三角形的性質計算即可．【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠ADE＝90°，CA＝CB，DA＝DE，∴∠A＝∠B＝∠DEA＝45°，∴AB＝AC＝m，AE＝AD＝m，∴CD＝AC﹣AD＝m，BE＝AB﹣AE＝m，∴BE＝CD，∵∠A＝45°，∴直線CD與BE的夾角為45°，故答案為：BE＝CD，45°；（2）不滿足，BE＝CD，直線CD與BE的夾角為30°，理由如下：如圖2，過點C作CH⊥AB于H，延長CD、BE交于點F，∵CA＝CB，∴AH＝HB，∵∠ACB＝∠ADE＝120°，CA＝CB，DA＝DE，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∠DAE＝∠DEA＝30°，∴AC＝2CH，∠CAD＝∠BAE，由勾股定理得：AH＝AC，∴AB＝AC，同理可得：AE＝AD，∴＝，∵∠CAD＝∠BAE，∴△CAD∽△BAE，∴＝＝，∠ACD＝ABE，∴BE＝CD，∠F＝∠CAB＝30°，∴BE＝CD，直線CD與BE的夾角為30°；（3）如圖3，點E在線段BD上，∵m＝2，∴AD＝DE＝1，AB＝2，由勾股定理得：BD＝＝，∴BE＝BD﹣DE＝﹣1，∴CD＝BE＝，如圖4，點D在線段BE上，BE＝BD+DE＝+1，∴CD＝BE＝，綜上所述：當B，E，D三點共線．CD的長為或．【點評】本題考查的是相似三角形的判定和性質、直角三角形的性質、等腰三角形的性質，掌握相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．9．(2023?虹口區(qū)期中）如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE．（1）求證：△ABC∽△ADE；（2）判斷△ABD與△ACE是否相似？并證明．【分析】（1）由∠BAD＝∠CAE，可得∠BAC＝∠DAE，又有∠ABC＝∠ADE，即可得出相似；（2）有（1）中可得對應線段成比例，又有以對應角相等，即可判定其相似．【解答】證明：（1）∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE，∵∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE．（2）△ABD∽△ACE．證明：由（1）知△ABC∽△ADE，∴，∴AB×AE＝AC×AD，∴，∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE．【點評】本題主要考查了相似三角形的判定及性質問題，應熟練掌握．10．(2023?長垣市一模）在△ABC中，AB＝AC，點D為AB邊上一動點，∠CDE＝∠BAC＝α，CD＝ED，連接BE，EC．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，若α＝60°，則∠EBA＝，AD與EB的數(shù)量關系是；（2）類比探究：如圖②，當α＝90°時，請寫出∠EBA的度數(shù)及AD與EB的數(shù)量關系并說明理由；（3）拓展應用：如圖③，點E為正方形ABCD的邊AB上的三等分點，以DE為邊在DE上方作正方形DEFG，點O為正方形DEFG的中心，若OA＝，請直接寫出線段EF的長度．【分析】（1）證明△ACD≌△BCE（SAS），得AD＝EB，∠CBE＝∠A＝60°，則∠EBA＝∠ABC+∠CBE＝120°；（2）證△DEC∽△ABC，∠BCE＝∠ACD，得，再證△BCE∽△ACD，得∠EBC＝∠DAC＝90°，＝，則∠EBA＝∠EBC+∠ABC＝135°，進而得出結論；（3）連接BD，①當AE＝AB時，證△AOD∽△BED，得，求出AB＝3＝AD，則AE＝1，在Rt△AED中，由勾股定理求出ED＝即可；②當BE＝AB時，同①得：，求出AB＝6＝AD，則AE＝4，在Rt△AED中，由勾股定理得ED＝2即可．【解答】解：（1）∵α＝60°，∴∠ABC＝α＝60°，∠CDE＝α＝60°，∵AB＝AC，CD＝ED，∴△ABC和△CDE是等邊三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ABC＝∠ACB＝∠A＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝EB，∠CBE＝∠A＝60°，∴∠EBA＝∠ABC+∠CBE＝120°，故答案為：120°，AD＝EB；（2）∠EBA＝135°，EB＝AD，理由如下：∵α＝90°，∴∠CDE＝∠BAC＝90°，∵CD＝ED，AB＝AC，∴∠DEC＝∠DCE＝∠ABC＝∠ACB＝45°，∴△DEC∽△ABC，∠BCE＝∠ACD，∴，∴，∴△BCE∽△ACD，∴∠EBC＝∠DAC＝90°，，∴∠EBA＝∠EBC+∠ABC＝90°+45°＝135°，∵，∴，∴EB＝AD；（3）連接BD，分兩種情況：①當AE＝AB時，如圖③所示：∵四邊形DEFG是正方形，∴EF＝ED，對角線FD與EG互相垂直平分，∴△DEO是等腰直角三角形，∴＝sin45°＝，在Rt△ABD中，＝sin45°＝，∴，∵∠ODA+∠ADE＝45°＝∠BDE+∠ADE，∴∠ODA＝∠BDE，∴△AOD∽△BED，∴，∴，∵OA＝，∴AB＝3＝AD，∴AE＝AB＝1，在Rt△AED中，由勾股定理得：ED＝＝＝，∴EF＝ED＝；②當BE＝AB時，如圖④所示：同①得：，∴，∵OA＝，∴AB＝6＝AD，∴AE＝AB＝4，在Rt△AED中，由勾股定理得：ED＝＝＝2，∴EF＝ED＝2；綜上所述，線段EF的長度為或2．【點評】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質、等邊三角形的判定與