2024年中考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)模型33旋轉(zhuǎn)-奔馳模型-原卷版+解析

旋轉(zhuǎn)模型（三十三）——奔馳模型◎結(jié)論：如圖,等邊△ABC，PA=3，PB=4，PC=5，則①∠APB=150o，②S△ABC＝34AB2＝關(guān)鍵：旋轉(zhuǎn)可以讓線段動(dòng)起來(lái)①【證明】以AP為邊向左側(cè)作等邊△APD，連接BD,∵△ABC,△ADP為等邊三角形∴∠DAB＝60°-∠BAP,∠PAC＝60°-∠BAP∴∠DAB＝∠PAC可得△DAB≌△PAC∴DB＝PC＝5∵DP2＋BP2＝DB2，∴∠DPB＝90°，∠APB＝150°②過(guò)B作BQ⊥AP于Q,∵∠APB＝150°∴∠BPQ＝30°，BP＝4，BQ＝2∴PQ＝BP2?BQ2＝23∴AB2＝AQ2＋BQ2＝25＋123∴34AB2＝各種旋法：超酷炫又實(shí)用：S=34a1．（2023·黑龍江佳木斯·九年級(jí)期中）如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將△ACP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABQ，若PA＝2，PB＝4，，則四邊形APBQ的面積為（

）A． B． C． D．2．（2023·貴州畢節(jié)·八年級(jí)期末）如圖，P是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，且，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則以下結(jié)論中不正確是（

）A． B． C． D．3．（2023·廣西桂林·八年級(jí)期末）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn)，，，，則的度數(shù)為（

）A．160° B．155° C．150° D．145°4．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)P到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離PA=3，PB=4，PC=5，則∠APB的大小是（

）A．150° B．120° C．100° D．以上都不對(duì)1．（2023·遼寧·丹東第九中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，則的度數(shù)為_(kāi)_____．2．（2023·浙江溫州·八年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)P到等邊三角形ABC各頂點(diǎn)的距離分別是PA＝2，PB＝1.5，PC＝2.5．若將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連接BQ．則∠APB的度數(shù)是______度．3．（2023·廣東順德德勝學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，等邊三角形內(nèi)有一點(diǎn)P，分別連接、、，若，，．(1)則線段、、構(gòu)成的三角形是______三角形（填“鈍角、直角、銳角”）；(2)將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的，并由此求出的度數(shù)；(3)求三角形的面積．1．（1）如圖，在等邊三角形內(nèi)有一點(diǎn)，且，，，冰墩墩同學(xué)作了如圖的輔助線，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)、如圖所示，連接，請(qǐng)你按照冰墩墩的方法求出的度數(shù)．（2）如圖，在正方形內(nèi)有一點(diǎn)，且，，，類(lèi)比第（1）題的方法．求的度數(shù)；與的面積之和．（3）如圖，在（2）的基礎(chǔ)上請(qǐng)求出正方形的面積．2．如圖，點(diǎn)是等邊三角形外一點(diǎn)，，，．將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到．(1)求證：是直角三角形；(2)求的面積．旋轉(zhuǎn)模型（三十三）——奔馳模型◎結(jié)論1：如圖,等邊△ABC，PA=3，PB=4，PC=5，則①∠APB=150o，②S△ABC＝34AB2＝關(guān)鍵：旋轉(zhuǎn)可以讓線段動(dòng)起來(lái)①【證明】以AP為邊向左側(cè)作等邊△APD，連接BD,∵△ABC,△ADP為等邊三角形∴∠DAB＝60°-∠BAP,∠PAC＝60°-∠BAP∴∠DAB＝∠PAC可得△DAB≌△PAC∴DB＝PC＝5∵DP2＋BP2＝DB2，∴∠DPB＝90°，∠APB＝150°②過(guò)B作BQ⊥AP于Q,∵∠APB＝150°∴∠BPQ＝30°，BP＝4，BQ＝2∴PQ＝BP2?BQ2＝23∴AB2＝AQ2＋BQ2＝25＋123∴34AB2＝各種旋法：超酷炫又實(shí)用：S=34a1．（2023·黑龍江佳木斯·九年級(jí)期中）如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將△ACP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABQ，若PA＝2，PB＝4，，則四邊形APBQ的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，連接PQ．由題意△PQA是等邊三角形，利用勾股定理的逆定理證明∠PQB＝90°即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，連接PQ．∵△ACP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABQ，∴AP＝AQ＝2，PC＝BQ＝2，∠PAQ＝60°，∴△PAQ是等邊三角形，∴PQ＝PA＝2，∵PB＝4，∴，∴∠PQB＝90°，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理的逆定理，熟練掌握相關(guān)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．2．（2023·貴州畢節(jié)·八年級(jí)期末）如圖，P是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，且，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則以下結(jié)論中不正確是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)以及勾股定理的逆定理，即可判斷A、D；依據(jù)△BPQ是等邊三角形，即可得到∠QPB=∠PBQ=∠BQP=60°，進(jìn)而得出∠BPA=∠BQC=60°+90°=150°，即可判斷C、B選項(xiàng)．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∵將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△CBQ位置，∴△BQC≌△BPA，∴∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，∴△BPQ是等邊三角形，△BPQ的面積=，故A正確，D錯(cuò)誤；∴PQ=BP=4，∵，，∴，∴∠PQC=90°，即△PQC是直角三角形，△PQC的面積=×3×4=6，故C正確，∵△BPQ是等邊三角形，∴∠QPB=∠PBQ=∠BQP=60°，∴∠BPA=∠BQC=60°+90°=150°，故B正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的逆定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理．3．（2023·廣西桂林·八年級(jí)期末）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn)，，，，則的度數(shù)為（

）A．160° B．155° C．150° D．145°【答案】C【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠PAE=60°，AP=AE=3，CP=BE=4，∠AEB=∠APC，可證△PAE是等邊三角形，可得PE=AE=3，∠AEP=60°，由勾股定理的逆定理可求∠PEB=90°，即可求解．【詳解】解：如圖，將△ACP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ABE，連接PE，∴△ACP≌△ABE，∠PAE=60°，∴AP=AE=3，CP=BE=4，∠AEB=∠APC，∴△PAE是等邊三角形，∴PE=AE=3，∠AEP=60°，∵=25，+=9+16=25，∴=+，∴∠PEB=90°，∴∠AEB=150°=∠APC，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理逆定理，熟練利用勾股定理逆定理得出是解題關(guān)鍵．4．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)P到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離PA=3，PB=4，PC=5，則∠APB的大小是（

）A．150° B．120° C．100° D．以上都不對(duì)【答案】A【分析】將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△BEA，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，則△BPE為等邊三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，根據(jù)勾股定理的逆定理可得到△APE為直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度數(shù)【詳解】解：∵△ABC為等邊三角形，∴BA=BC，可將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△BEA，如圖②，連接EP，∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，∴△BPE為等邊三角形，∴PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，∴AE2=PE2+PA2，∴△APE為直角三角形，且∠APE=90°，∴∠APB=90°+60°=150°．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的逆定理．1．（2023·遼寧·丹東第九中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，則的度數(shù)為_(kāi)_____．【答案】##150度【分析】將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，可得為等邊三角形，由勾股定理的逆定理可得，即可求解．【詳解】解：如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的．≌，，，為等邊三角形，，，，，，為直角三角形，，；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理的逆定理得到為直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江溫州·八年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)P到等邊三角形ABC各頂點(diǎn)的距離分別是PA＝2，PB＝1.5，PC＝2.5．若將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連接BQ．則∠APB的度數(shù)是______度．【答案】150【分析】連接PQ，如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠BAC＝60°，AB＝AC，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AP＝PQ＝2，∠PAQ＝60°，則可判斷△APQ為等邊三角形，所以PQ＝AP＝2，接著證明△APC≌△ABQ得到PC＝QB＝2.5，然后利用勾股定理的逆定理證明△PBQ為直角三角形，于是得到結(jié)論．【詳解】連接PQ，如圖，∵△ABC為等邊三角形，AP=2，PB=1.5，PC=2.5，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，∴AP＝AQ＝2，∠PAQ＝60°，∴△APQ為等邊三角形，∠APQ＝60°，∴PQ＝AP＝2，∵∠CAP＋∠BAP＝60°，∠BAP＋∠BAQ＝60°，∴∠CAP＝∠BAQ，在△APC和△AQB中，∴△APC≌△AQB（SAS），∴PC＝QB＝2.5，∵在△BPQ中，，，，而，∴△PBQ為直角三角形，∠BPQ＝90°，∴∠APB＝90°＋60°＝150°．故答案為：150．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；還考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理以及等邊三角形的知識(shí)．證明△BPQ是直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023·廣東順德德勝學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，等邊三角形內(nèi)有一點(diǎn)P，分別連接、、，若，，．(1)則線段、、構(gòu)成的三角形是______三角形（填“鈍角、直角、銳角”）；(2)將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的，并由此求出的度數(shù)；(3)求三角形的面積．【答案】(1)直角；(2)；(3)．【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，證明是等邊三角形，，進(jìn)而可得的度數(shù)；（3）將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，根據(jù)是等邊三角形，是直角三角形，求出＝，同理，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，可得＝，＝，求出的面積，進(jìn)而根據(jù)得出答案．（1）解：∵，，，∴，，∴，∴線段、、構(gòu)成的三角形是直角三角形，故答案為：直角；（2）解：如圖，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，點(diǎn)與點(diǎn)C重合，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，∴是等邊三角形，∴，，由（1）可知，∴，∴，∴；（3）解：如圖，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，點(diǎn)與點(diǎn)C重合，由（2）可得是等邊三角形，是直角三角形，，，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥，則BH＝，∴PH＝，∴，∴＝，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，同理可得，是以PC＝10為邊的等邊三角形，是以6、8、10為邊的直角三角形，＝，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，同理可得，是以AP＝6為邊的等邊三角形，是以6、8、10為邊的直角三角形，＝，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理及其逆定理的應(yīng)用等知識(shí)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出等邊三角形和直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．1．（1）如圖，在等邊三角形內(nèi)有一點(diǎn)，且，，，冰墩墩同學(xué)作了如圖的輔助線，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)、如圖所示，連接，請(qǐng)你按照冰墩墩的方法求出的度數(shù)．（2）如圖，在正方形內(nèi)有一點(diǎn)，且，，，類(lèi)比第（1）題的方法．求的度數(shù)；與的面積之和．（3）如圖，在（2）的基礎(chǔ)上請(qǐng)求出正方形的面積．【答案】（1）150°；（2）①135°；②；（3）5【分析】（1）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖，連接，可得△是等邊三角形，而△又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證），所以，而；（2）①求出，根據(jù)勾股定理的逆定理求出，推出；②由（1）知，，，，，即可求出答案．（3）過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求出，，關(guān)鍵勾股定理即可求出，即可求出答案．【詳解】解：（1）是等邊三角形，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得出，，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，則△是直角三角形；；（2）①如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，與（1）類(lèi)似：可得：，，，，，，在中，由勾股定理得：，，，，；②由①知，，，，，，與的面積之和為；（3）由（2）知，，，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)；，，；在中，由勾股定理，得；正方形的面積為5．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理及逆定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性