2023-2024學(xué)年江西省部分校高二數(shù)學(xué)上學(xué)期12月考試卷附答案解析

2023-2024學(xué)年江西省部分校高二數(shù)學(xué)上學(xué)期12月考試卷

（試卷滿分150分，考試時間120分鐘）2023.12

本試卷主要考試內(nèi)容：北師大版選擇性必修第一冊第一章至第五章計數(shù)原理中的排列組合（不考二項式定

理）.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.直線'+回+2=°的傾斜角為（）

A.150°B.120°C.60°D.30°

2.已知尸4=（21，-3）,尸8=（T,2,3）,PC=（九6,-9）,若人，B,C四點(diǎn)共面,則兒=（）

A.3B.-3C.7D.-7

3.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：V=2x的焦點(diǎn)，p為拋物線c上一點(diǎn)，若療司=匕則do廠的面

積為（）

_V6V7V7

A.aB.2c.2D.4

4.已知正方體四四一4用GA的棱長為a,點(diǎn)P是平面ABCD內(nèi)的動點(diǎn)，若點(diǎn)P到直線的距離與到

直線CD的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡為（）

A.拋物線B.橢圓C.雙曲線D.圓

5.手工課可以提高學(xué)生的動手能力、反應(yīng)能力、創(chuàng)造力.某小學(xué)生在一次手工課上制作了一座漂亮的房子

模型，它可近似地看成是一個直三棱柱和一個正方體的組合體.其直觀圖如圖所示，&F=B\F=2母,

AB=AAl=AD=4tp）QM）N分別是棱AB,r,BBX；4尸的中點(diǎn)，則異面直線PQ與MN所成角

的余弦值是（）

244而

C.”D.15

6.某學(xué)校派出五名教師去三所鄉(xiāng)村學(xué)校支教，其中有一對教師夫婦參與支教活動.根據(jù)相關(guān)要求，每位教

師只能去一所學(xué)校參與支教，并且每所學(xué)校至少有一名教師參與支教，同時要求教師夫婦必須去同一所學(xué)

校支教，則不同的安排方案有（）

A.18種B.24種C.36種D.48種

7.如圖，正方體48co一4用GA的棱長為2,點(diǎn)E,F分別是AB,BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)口，E,F的平面截

該正方體所得的截面記為則截面。的面積為（）

b

'nn

3V174后叵1后

A.2B.3C.2D.6

8.曲率半徑可用來描述曲線在某點(diǎn)處的彎曲變化程度，曲率半徑越大，則曲線在該點(diǎn)處的彎曲程度越小，

3

4+4=1（?>z?>0）p（xy）R=a2b2》+條

已知橢圓C：。。上任意一點(diǎn)（。'幾1處的曲率半徑公式為V".若橢圓

C上任意一點(diǎn)相應(yīng)的曲率半徑的最大值為2夜，最小值為1,則橢圓0的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

X22?-1

彳+廣=1Hi

A.2B.42c.4D.164

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全選

對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列排列組合數(shù)中，正確的是（）

AA；+A：+A：+A：=84BC；+C：+C；+C：=35

C.C；=C1"N+,D.加（m；"N,,?>2）

10.已知圓C：/+/=21,直線［:ax+（｝-2a）y+3a-2=0（aeR）；下列說法正確的是（）

A.無論a取何值，直線1與圓C相交

B.直線1被圓C截得的最短弦長為4

C.若”=1,則圓C關(guān)于直線1對稱的圓的方程為（“+1）-+（了一1）-二21

D.直線1的方程能表示過點(diǎn)（L2）的所有直線的方程

11.在棱長為2的正方體奶8一48GA中，M,N兩點(diǎn)在線段4G上運(yùn)動，且MN=1,Q在線段8。上

運(yùn)動，則下列結(jié)論正確的是（）

2

272

A.三棱錐片一肱汨的體積為定值了

B.在平面℃℃內(nèi)存在點(diǎn)P,使得尸0〃平面BMN

C.E點(diǎn)在正方形44aA（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動，且直線DE與直線"4成30。角，則線段EM長度的最小

值為血-1

D.G0與平面4Go所成角的正弦值的取值范圍為13'3-

12.已知拋物線丁=2?（P>°）上任意一點(diǎn)（X。/。）處的切線方程可以表示為％》=加+刀。.直線口￡

,3分別與該拋物線相切于點(diǎn)“（龍”弘），2（馬，％）,C（W，％）,4,4相交于點(diǎn)D,‘3與4,72分別相交于點(diǎn)

P,Q,則下列說法正確的是（）

A.點(diǎn)D落在一條定直線上

尸［力

B.若直線AB過該拋物線的焦點(diǎn)12人貝/I%

C.\AF\-\BF\=\DF^

AP_PC

D.南二百

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.圓G：/+必+4%=°與圓G：/+了2_2》-8了+1=0的位置關(guān)系是

兀

14.已知空間向量方，PB,定的模長分別為2,2,3,且兩兩夾角均為點(diǎn)G為“BC的重心，則

15.2023年10月11日，習(xí)近平總書記在江西省上饒市考察，他來到婺源縣秋口鎮(zhèn)王村石門自然村了解推

進(jìn)鄉(xiāng)村振興等情況.其中婺源“曬秋”展開的是一幅鄉(xiāng)村振興新圖景.當(dāng)?shù)匕傩詹粌H要晾曬農(nóng)產(chǎn)品使其得到

更好的保存和售賣，更要考慮曬出獨(dú)一無二的“中國最美的符號”.當(dāng)?shù)匕傩宅F(xiàn)將“金色南瓜”“白色扁豆”“紅

色辣椒”“黃色皇菊”四種農(nóng)產(chǎn)品全部曬入如圖所示的5個小區(qū)域中，規(guī)定每個區(qū)域只能曬一種農(nóng)產(chǎn)品，且相

鄰區(qū)域的農(nóng)產(chǎn)品不能相同，則不同的晾曬方案種數(shù)為.（用數(shù)字作答）

3

16.已知直線y=x-2與雙曲線c：//-1(°>0/>0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A,B(不重合)線

段的垂直平分線過點(diǎn)(4，°),則雙曲線C的離心率為

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.用數(shù)字1,2,3,4,5,6組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù).

(1)偶數(shù)不能相鄰，則不同的六位數(shù)有多少個？(結(jié)果用數(shù)字表示)

(2)若數(shù)字1和2之間恰有一個奇數(shù)，沒有偶數(shù)，則不同的六位數(shù)有多少個？(結(jié)果用數(shù)字表示)

18.已知圓C的圓心在直線X7T=°上，且與直線2》+3夕-15=°相切于點(diǎn)尸(3,3).

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若過點(diǎn)°(3")的直線1被圓C截得的弦長為6,求直線1的方程.

19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB_L平面PAD,AB//DC,E為線段PD的中點(diǎn)，已知尸/=/。=4,

AB=CD=2,/尸/。=120°.

(1)證明：P8〃平面ACE.

(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值.

二上T

20.已知雙曲線C：/b2(a>0,i>0)的漸近線方程為y=±氐，實軸長為2.

⑴求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線1與雙曲線C相切，且與雙曲線C的兩條漸近線相交于P,Q兩點(diǎn)，求APOQ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的

面積.

21.如圖，在四棱臺74s8-中，底面ABCD是菱形，=244]=24R=2,ZABC=60°,M1

⑴證明：BD1CC>.

(2)棱BC上是否存在一點(diǎn)E,使得二面角￡-'2一。的余弦值為4?若存在，求線段CE的長；若不存在,

4

請說明理由.

1+V-1

22.已知A,B分別是橢圓C：/十爐一(a>b>0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，根臺上石，直線AB的斜率

1

為一5.

(1)求橢圓c的方程.

7Z1

11用,抬=一

(2)已知P,Q是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線AP的斜率為左，直線AQ的斜率為與，且滿足-2.過點(diǎn)A

作“",尸0,垂足為H,試問平面上是否存在定點(diǎn)T,使得線段TH的長度為定值？若存在，求出該定點(diǎn);

若不存在，請說明理由

1.A

【分析】將直線方程由一般式轉(zhuǎn)化為斜截式，從而可得直線斜率，由斜率即可得直線的傾斜角.

【詳解】將直線x+百了+2=o的方程轉(zhuǎn)化為斜截式方程得'一一W一亍

所以直線X+傷+2=°的斜率為3,故傾斜角為150。.

故選：A.

2.C

【分析】利用空間向量四點(diǎn)共面性質(zhì)求解即可.

【詳解】由P,A,B,C四點(diǎn)共面，可得沙，PB,無共面,

設(shè)尸C=xPA+yPB=(2x-y,x+2y,-3x+3y)=(2,6,-9)

2x-y=Ax=4

<x+2y=6{>=1

則"+39,解得b=7.

故選：c.

3.D

Ipp\—AS=—|O7^||jVp|

【分析】由‘門一4,利用拋物線的定義求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得縱坐標(biāo)，然后由21I求解.

【詳解】因為拋物線c：/=2x,

17

IPFI=X+—=4X=—

故由P2,解得P2,

所以1詞=7^=夜，

5=；|四|力|=乎

所以APOF的面積為

5

故選：D

4.A

【分析】利用拋物線的定義求解.

【詳解】

點(diǎn)P到直線的距離即為AP.

在平面ABCD內(nèi)，

點(diǎn)P到直線CD的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離相等，滿足拋物線的定義，

所以點(diǎn)P的軌跡是以A為焦點(diǎn)，直線CD為準(zhǔn)線的拋物線，

故選:A.

5.B

【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解線線角即可.

【詳解】如圖，以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由AXF=B1F=2V2AB=AAl=AD=4

得尸（4,2,0）,Q（0,3,5）,M（4,4,2）,N（4,l,5）

所以苑=（一4,1,5）,MV=（0,-3,3）

反訴\_西?際一12_2亞

COS

所以

2向

即異面直線PQ與MN所成角的余弦值是〒

故選：B

6.C

【分析】分兩步進(jìn)行分析：先將五名教師按要求分成三組，再將分好的三組全排列，分別求出每一步的種

數(shù)，由分步計數(shù)原理計算可得答案.

【詳解】分兩類，第一類，只有教師夫婦兩人去同一所學(xué)校有18種，

6

第二類，教師夫婦兩人另加一位教師去同一所學(xué)校有C；A；=18種，所以總共有36種.

故選：C.

7.D

【分析】本題考查空間幾何體的表面積與體積，首先根據(jù)作出圖像，延長EF分別交DA,DC于M,N兩

點(diǎn)，連接2”,分別交/4,℃于H,做五邊形2〃或7G.然后根據(jù)正方體性質(zhì)進(jìn)行計算最終得截

面面積.

【詳解】如圖，延長直線EF,分別交DA,DC于M,N兩點(diǎn)，連接口“，°河分別交G。于H,G

兩點(diǎn)，過點(diǎn)鼻，E,F的截面即為五邊形。戶跖G.

因為該正方體的棱長為2,點(diǎn)E,F分別是AB,BC的中點(diǎn)，

AMAHCNCG11

SSS

所以礪一函一§,~DN~~DDX~3^HE=AFNG=-^MN

S_3后

又因為的三邊長分別為布，后，3也，所以物“N一2,

=巫

則截面。的面積為19>46?

故選：D

8.B

江+近一囁2?1幺豆

【分析】根據(jù)給定條件，將//化為a4b2°廿，構(gòu)造函數(shù)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得出//的范圍,

芯■+武=〃222

再令//,得出關(guān)于％的函數(shù)的單調(diào)性，即可得出及的最值，結(jié)合已知列式聯(lián)立即可解出

?,即可得出答案.

【詳解】因為點(diǎn)‘卜。'幾）在橢圓。上

+=1yo

則。2b2,即

7

.y'W：a52J_

所以//一￡b2a4b2°b2,

a2-b21

,2y----7~；-1H——

令'=%,構(gòu)造函數(shù),a4b2b2,

'：a>b>0f

a2-b2

<0

’」一_a*+爐在定義域上單調(diào)遞減，

因為OVx；Va,

a2-b1+1

所以當(dāng)x；=°時，即x°二°時，a%2取得最大值,

江+武

xO+14

即/￡取得最大值，最大值為乎a%2b2b2,

江+區(qū)=/2

令//,則關(guān)于〃的函數(shù)y=a%%2在其定義域上單調(diào)遞增,

3

(22、5

且+近±火=//W+普

則當(dāng)//取得最大值/時，I""J取得最大值,

3

最大值為

因為橢圓C上任意一點(diǎn)相應(yīng)的曲率半徑的最大值為2夜,

2

幺=2血

所以b,

22

a~bx211

當(dāng)x；="時，04b②**b2取得最小值，

2222222

x?yla-b21a-b1-a+b+a1

—-i--------------Q-?zzz------------1----------------—

即a""取得最小值，最小值為a*b2a2b2b2a2b2a2,

3

(2

其+區(qū)J_R=a2b2言+普

則當(dāng)//取得最小值〃2時，J取得最小值，

8

3

“皆臼2上

最小值為I。)。，

因為橢圓C上任意一點(diǎn)相應(yīng)的曲率半徑的最小值為1,

b

22a=2

b}\b.\

所以。，聯(lián)立〔a,解得【。一"，

“Il

則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：42.

故選：B.

9.BCD

【分析】根據(jù)排列數(shù)與組合數(shù)的計算公式與性質(zhì)逐項判斷即可.

【詳解】A選項，A；+Aj+A：+A：=4+4x3+4x3x2+4x3x2xl=64,故人錯誤;

B選項,C；+C；+C；+C：=l+4+10+20=35,故B正確;

Cm_n,I_nI_C?n

C選項，由于"F（…）!一（〃-加）!（〃-（〃-砌！一"，故c正確;

n\m'n\n\

二m?

^n-ni）!加（加一1）!（〃一m）!（加一］（〃—耳!

D選項，左邊

(〃-1)!n\

J

即左邊=右邊，所以加(m,"eN+,?>2),故D正確.

故選：BCD.

10.AC

【分析】由直線1恒過的定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷A；借助圓的性質(zhì)求出最短弦長判斷B；求出原點(diǎn)關(guān)于

直線1的對稱點(diǎn)坐標(biāo)判斷C；舉例說明即可判斷D.

fx-2y+3=0(x=l

【詳解】對于A,直線1變形為a(x-2y+3)+(y-2)=0,由［尸2=0,解得［y=2,

即直線1恒過定點(diǎn)顯然該定點(diǎn)在圓C內(nèi)，因此直線1與圓C相交，A正確；

對于B,定點(diǎn)“(10與圓心°(°⑼的距離為石，由圓的性質(zhì)知，當(dāng)口。時，直線1被圓C截得的弦長

最短為2"二？=8,B錯誤;

9

對于c,當(dāng)。=1時，直線1為x7+i=o,設(shè)圓心（°，°）關(guān)于直線x-〉+i=°對稱的點(diǎn)為尸（九嘰

mn.［加=—1

--------1-1=0J

則〔22，解得［"=1即「（TJ）,則圓c關(guān)于直線1對稱的圓方程為（X+I）2+&T）2=2I,c正確;

對于D,直線1了+3=0過點(diǎn)（1,2）,該直線不能被直線/：傘-2了+3）+（了-2）=0的方程表示，口錯誤.

故選：AC

11.BD

【分析】根據(jù)線面關(guān)系，結(jié)合三棱錐等體積轉(zhuǎn)化求解三棱錐用一跖出的體積即可判斷A；根據(jù)面面平行,

線線平行關(guān)系，確定C"http://平面84G,從而可得尸c與平面WN平行，即可判斷B；根據(jù)線面關(guān)系，線線

關(guān)系即可得E的運(yùn)動軌跡，從而可得EM長度的最小值，即可判斷c；利用三棱錐2-4G。等體積轉(zhuǎn)化確

定點(diǎn)2到平面4CQ的距離h,從而可得點(diǎn)Q到平面的距離，即可求GO與平面所成角的正弦

值的取值范圍可判斷D.

【詳解】對于A,連接8Q交4G于點(diǎn)O,則連接用"，B\N,

所以50為△4MN的高，且用。=；3自=應(yīng)，所以=；MN.Bp=LlxV2=旦

~Y

]J2

又平面所以％2/心=聲鵬幽=丁，所以A錯誤;

對于B,連接皿14,8。1

平面BMN與平面24G為同一個平面,

10

在正方體48co一4片°。1中，有g(shù)//BC,AR=BC,所以四邊形為平行四邊形，所以CR//B4,

又。2°平面84。],4'<=平面24G,所以co"/平面'4G,即c。//平面創(chuàng)亞

所以當(dāng)點(diǎn)P在cn上時，總有PC〃平面84G,從而有PC〃平面BMN,所以B正確；

對于C,因為直線DE與直線成30。角，乂4〃叫所以直線DE與直線成30。角，

又因為E點(diǎn)在正方形481GA（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動，且該正方體的棱長為2,

273]_

所以E在正方形44GA（包括邊界）內(nèi)的運(yùn)動軌跡是以口為圓心，以3為半徑的]段圓弧,

,Q2摳

而M點(diǎn)在線段4c上運(yùn)動，所以線段EM長度的最小值為3,所以c錯誤；

對于D,因為正方體48co一4用GA的棱長為2,

所以正的面積以3=VXQ四『=26

連接42交4G于。點(diǎn)，顯然點(diǎn)o是線段42的中點(diǎn),

則點(diǎn)用到平面"Q的距離等于點(diǎn)2到平面4GD的距離從

在三棱錐2-4G。中，由七一4GD二,得戶3"一存的?即，即2百〃=2x2,解得h~3

273

可知點(diǎn)Q到平面"CQ的距離為3.

在RMB"中，點(diǎn)￡與斜邊3。上的點(diǎn)Q的距離C'Qe[①2],

.八2GPV3yf6~

sin0-----G—,—

所以直線GO與平面4ao所成角。的正弦值3aoL3^」，所以口正確.

故選：BD.

12.BCD

11

【分析】根據(jù)已知得出直線4，，4的方程，根據(jù)已知聯(lián)立方程組求解得出2尸，。的坐標(biāo)，即可判斷A項；

7P

y=kx-\2KK

設(shè)直線45的方程為2,聯(lián)立直線48與拋物線的方程，得出西々=一0,進(jìn)而求解化簡勺軟，即可

判斷B；根據(jù)拋物線的定義得出恒外忸用40用，代入即可判斷C；根據(jù)4尸，°都在4上，化簡即可得出

AP再—x3PC

PDCQx-x

.進(jìn)而即可得出32,進(jìn)而得出D項.

xx=py+py,/:xx=py+py

【詳解】由題知幻^=py+pylf,2.22333

xx^py+py口

xxx{+x2x1x2

xx=py+py解得兩直線的交點(diǎn)為2，不

聯(lián)立方程組22；

X+x再入3x+%3XX

P13223

2FQ2，后

同理

項+xxx

D212

2，不

對于A,點(diǎn)不在一條定直線上運(yùn)動，A錯誤;

對于B,若直線AB過拋物線的焦點(diǎn)

7P

y—kxH—

設(shè)直線AB斜率為k,直線N8的方程為2,

=7P

VKXH------

2

聯(lián)立直線與拋物線的方程，有卜2=20

可得龍2-20辰-/?2=0

2

又48是兩個交點(diǎn)，所以不，三是方程的兩個解，則占％=-，，

"4*1女.生=五三=2

%1X芭/PP

所以2

\AF\-\BF\=-%

對于C,因為

12

xxpx,222

{2IX；+2芯%2+2?項五中214

~2p~^244P2~~F4

網(wǎng).阿|平里?正確;

所以

對于D,因為an。都在4上,

3+%3

M尸卜不一

所以2

1+4

AP2xx-x3

PD%一工3

—X3

所以,2

,2

PCx{-x34P

PD

"fl

同理P，c，Q都在13上，所以有,2故D正確.

［詳解］圓J/+必+人=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程：(x+2)2+y2=4

則其圓心G(-2,0),半徑12,

22.(X-1)2+(J-4)2=16

圓G：x+y-2x-Sy+1=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程:

則其圓心°，4),半徑2=4,

則兩圓心距離<”1+2)。+4-=5<r2+斗，故兩圓相交,

故答案為：相交.

13

叵L后

14.3##3

【分析】由向量的線性運(yùn)算結(jié)合向量在幾何中的應(yīng)用可得答案.

AG=-（AB+AC]

【詳解】因為G為“3c的重心，所以3'）,

PG_PA=l（PB-PA+PC-PA\=lpB+lpc-^PA

所以3、；333.

JG=LJA+-PB+-PC

所以333

=—x|4+4+9+2x2x2x-+2x2x3x—

9122

所嚴(yán)T

V33

故答案為：亍

15.48

【分析】分2、4顏色相同和2、4顏色不相同兩種情況進(jìn)行討論，由分類加法計數(shù)原理可得答案.

分兩類：第一類，2、4顏色相同有C；C；C；C；=24種;

第二類，2、4顏色不相同有C；CC；C；C；=24種.共24+24=48種，

故答案為：48.

273

16.3

【分析】由已知結(jié)合直線垂直的斜率關(guān)系和直線過的點(diǎn)根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得出線段的垂直平分線的

方程，即可聯(lián)立兩直線得出的中點(diǎn)坐標(biāo)為RR,設(shè)/（再，%），8（%，%）,分別代入雙曲線方程后作差

整理得出再+%玉-%CT；再根據(jù)線段中點(diǎn)與端點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系與兩點(diǎn)的斜率公式得出再+%=2,

22

-2=ibb

M+%=6玉一吃,即可得出在根據(jù)雙曲線離心率公式變形后代入/即可得出答案.

14

【詳解】直線V=x-2與線段的垂直平分線垂直,

則線段N8的垂直平分線的斜率為-1,

線段AB的垂直平分線過點(diǎn)（4°）

線段N8的垂直平分線為：＞即x+y_4=0,

y=x-2x=3

聯(lián)立X+尸4=0,解得:)=1

即的中點(diǎn)坐標(biāo)為（3」）,

匿一或=0%+為必一%--

設(shè)/（占,“），，（%,%）,則〔小b2,兩式作差可得再+Z再一馬力，

的中點(diǎn)坐標(biāo)為（事），的斜率為1,

21ZA_1〃_21

,M+%=6,%!-x2，貝|J/63,

所以雙曲線C的離心率

273

故答案為：3.

17.（1）144（2）96

【分析】（1）利用插空法可解；

（2）首先將1、2全排列，再將3、5選一個數(shù)插入中間位置，組成一個大元素，再與其他3個數(shù)字全排列

即可

【詳解】（1）首先將奇數(shù)全排列，再利用插空法，可得：

當(dāng)偶數(shù)不能相鄰時，不同的六位數(shù)有=144個.

（2）首先將1、2全排列，再將3、5選一個數(shù)插入中間位置，組成一個大元素，所以數(shù)字1和2之間恰有

一個奇數(shù)，沒有偶數(shù)的不同的六位數(shù)有人汜次：=96個.

18.⑴（xT）+/=13⑵3x-4y+7=0或工=3

【分析】⑴根據(jù)已知求出過點(diǎn)尸（二3）,且與直線2x+3y-15=°垂直的直線的方程與直線x-y-l=°聯(lián)

立即可得出圓心，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得出半徑；

15

d」2"4|

（2）當(dāng)斜率存在，根據(jù)點(diǎn)斜式方程得出直線方程.進(jìn)而由點(diǎn)到直線的距離公式得出爐力，根據(jù)垂徑

定理得出方程，求解得出人的值，代入方程即可得出答案；當(dāng)斜率不存在時，得出直線方程，驗證即可得

出答案.

【詳解】（1）設(shè)過點(diǎn)尸（'3）,且與直線2x+3y-15=°垂直的直線的方程為3x-2y+加=0,

又該直線過點(diǎn)尸03,所以3x3-2x3+m=0,

所以加=-3,即直線方程為3x-2y-3=0,

根據(jù)圓的性質(zhì)可知，該直線經(jīng)過圓心.

（3x-2y-3=0Jx=1

由卜一了一1=0,解得L=°,

所以圓心C（l，°）,半徑r=J（「3『+（。-3）、而

故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-lf+V=13.

（2）①若斜率存在，則設(shè)過點(diǎn)。（工4）的直線1的斜率為匕

則直線1的方程為了一4二無（》一3）,即日一尸3左+4=0,

心。

所以圓心到直線1的距離爐力.

又I，4=6,尸二^/f^

八［四］［aM\32.13

由垂徑定理可得（2J,即,

k=）

整理得必-3=0,解得4,此時直線1的方程為3》-4了+7=0；

②若斜率不存在，則直線1的方程為》=3,弦心距為2,半徑「=厲,

弦長為Ji㈣2=6,符合題意.

綜上，直線1的方程為3X-"+7=°或》=3.

V5

19.（1）證明見解析（2）5

【分析】（1）由線面平行的判定定理證明即可；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解即可.

16

【詳解】（1）證明：如圖1,連接BD交AC于點(diǎn)H,連接HE.

圖1

因為AB〃DC,AB=CD,所以四邊形ABCD是平行四邊形,

所以H是AC的中點(diǎn)，又E為線段PD的中點(diǎn)，

所以HE〃BD.又成u平面ACE,必0平面ACE,

所以PB〃平面ACE.

（2）解：因為ABL平面PAD,所以作AxLAP,建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系.

圖2

由已知尸/=/。=4,AB=CD=2,N尸40=120°,

得3（0,0,2）尸（0,4,0）。（2后一2,0）〃2百,一2,2）

P5=（0,-4,2）麗=（2后-6,0）CD=（0,0,-2）

n-CD=0_

設(shè)平面PCD的法向量為"=（"*）,即［力。=0,不妨取"=（"J，。）.

cos<函n>=］竺口；=--

所以附H5,

出

所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為行.

Y一片=1

20.(1)5⑵

【分析】（1）根據(jù)漸近線和實軸長，求出可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）討論直線的斜率是否存在，且當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)雙曲線

與直線相切，找到參數(shù)之間的關(guān)系，再利用弦長公式求得，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出三角形的高，最

后求得面積.

17

【詳解】(1)(1)由題意得匕"=2,解得N=石，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x一行

(2)(2)當(dāng)直線1的斜率不存在時，不妨設(shè)直線1與雙曲C的右支相切，

此時尸(1詞,%。。=石

當(dāng)直線1的斜率存在時，直線1的方程可設(shè)為kb+",，設(shè)尸(和乂)，0(%，%),

y=kx+m

<_￡_°

聯(lián)立方程組「2一行,，得(5一公卜2_2初zx-4-5=0

斤2一5片0

<

因為直線1與雙曲線C相切，所以［八二°,所以公一切2=5.

］卜=息+加工:m=j5m_

聯(lián)立方程組1夕=6”,解得"6-左'必逃-左，

［了=息+加x-m后

同理聯(lián)立方程組1?=一氐，解得“曲+戶y/5+k,

點(diǎn)O到直線1的距離

2MM+左?\m\

V二；|尸0|以'/'（Xi—工2）+5,I~=

Q&POQ卜-丹火忑隸

所以

12MM+左2120同J1+4,

-X--；-----；--

2卜-丹2X—pi-

綜上所述，△尸°。的面積為0.

21.(1)證明見解析

1CET.巫

(2)BC上存在點(diǎn)E使得二面角石一42-D的余弦值為4,5

18

【分析】(1)利用題設(shè)條件證明線面垂直即得結(jié)論；

(2)通過建系，表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出二面角的兩個半平面的法向量，利用空間兩向量夾角的余弦公式求

得參數(shù)，即得線段長.

/3

//、￥??；

M.--

【詳解】(1)

證明：如圖，連接AC,4G,

因為想力-43cB為棱臺，所以44,G，C四點(diǎn)共面，

又因為四邊形ABCD為菱形，所以BDLAC.

因為“4J■平面ABCD,ADu平面ABCD,所以/4,瓦乙

又因為N4n/c=N且44,/Cu平面Need,所以BD,平面/CG4.

因為CC|U平面/CG4,所以8"CC|.

(2)取BC中點(diǎn)Q,連接AQ,

因為底面ABCD是菱形，且NN8C=60。，所以^ABC是正三角形，所以AQLBC,即AQLAD.

又44,平面ABCD,所以以A為原點(diǎn)，分別以AQ,AD,"4所在直線為x軸、y軸和z軸，建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系，

則2(0,0,0),4(0,0,1),A(0,1,1),以6,0,0)

假設(shè)點(diǎn)E存在，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(8'4°),其中TW4W1,

可得運(yùn)=(84°),期=(0/，1).