高中數(shù)學 向量的應用 考點梳理及習題訓練

9.4向量的應用

【考點梳理】

考點一向量方法解決平面幾何問題的步驟

用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：

⑴建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為囪量問

題.

(2)通過向量運算,研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題.

⑶把運算結(jié)果“翻建”成幾何關(guān)系.

考點二向量方法解決物理問題的步驟

用向量方法討論物理學中的相關(guān)問題，一般來說分為四個步驟：

⑴問題轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題.

⑵建立模型，即建立以向量為載體的數(shù)學模型.

⑶求解參數(shù)，即求向量的模、夾角、數(shù)量積等.

(4)回答問題，即把所得的數(shù)學結(jié)論回歸到物理問題.

技巧：(1)用向量法求長度的策略

①根據(jù)圖形特點選擇基底，利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化，用公式|a|2=a2求解.

②建立坐標系，確定相應向量的坐標，代入公式：若a=(x,y),則|a|=Nx2+y2.

⑵用向量法解決平面幾何問題的兩種思想

①幾何法：選取適當?shù)幕?基底中的向量盡量已知?；驃A角)，將題中涉及的向量用基底表示，利用

向量的運算法則、運算律或性質(zhì)求解.

②坐標法：建立平面直角坐標系，實現(xiàn)向量的坐標化，將幾何問題中的長度、垂直、平行等問題轉(zhuǎn)化

為代數(shù)運算.

【題型歸納】

題型一：用向量證明線段垂直問題

1.（2021春?浙江?高一期末）已知點。為△ABC所在平面內(nèi)一點，＞OA2+BC=OB+CA2=OC+AB）則。一

定為△ABC的（）

A.外心B.內(nèi)心C.垂心D.重心

2.（2022春.四川成都.高一統(tǒng)考期末）已知平面四邊形ABCD中,\AB\=\AD\=2\D^\=2,\BC\=y/3,向量AB,A。的

夾角為

（1）求證：AB1BC;

（2）點E是線段BC中點，求EAZD的值.

3.（2022春?全國?高一期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是的中點，尸,G是AD,BC的三等分點

22

(AF=-AD,BG=-BC),^AB=a，AD=b.

⑴用a,b表示EG；

（2）如果卜卜gW，用向量的方法證明：EF1EG.

題型二：用向量解決夾角問題

4.（2022春?福建廈門?高一福建省同安第一中學?？茧A段練習）在，。出中，OA=OB=2,AB=2代,動點尸位于

直線。4上，當己.而取得最小值時，的正弦值為（）

&3幣277「國n◎

A.---D.----C.---D.---

77143

5.（2022春?福建福州?高一福建省福州第一中學校考期中）已知梯形ABC。中，AB//CD,AB=2CD,E為BC的

中點，尸為BO與AE的交點，AD=AAB+nAE.

（1）求2和〃的值；

⑵若AB=2a,BC=6,XABC=45°,求助與83所成角的余弦值.

6.（2021春?重慶?高一校聯(lián)考期末）如圖，在14ABe中，已知N54c=120。，AB=2,AC=4,點。在BC上，且

BD=2DC,點E是AC的中點，連接AD,BE相交于。點.

（1）求線段AD,BE的長;

（2）求/EOD的余弦值.

題型三：用向量解決線段的長度問題

7.（2022春?遼寧錦州?高一統(tǒng)考期末）已知」.A5C,AB=1,AC=2,44c=60。，點。在BC邊上且2。=,

則AD長度為（）

A.73B.3C.也D.空

233

8.（2022春?福建福州?高一福州四中?？计谀┢矫鎯?nèi)不同的三點O,A,2滿足|。4卜,q=4,若加40,1],

打。8-04+（1-7力）80-；84的最小值為比?,則例=（）

A.瓜B.C.26D.4石

9.（2022春?新疆烏魯木齊?高一烏魯木齊市第70中校考期末）如下圖，在中，尸為邊43上的一點,

BP=2PA,|OA|=6,|OB|=2,且OA與08的夾角為60°.

B

（1）求。尸的模長

⑵求OPAB的值.

題型四：向量與幾何最值問題

10.（2022春.遼寧沈陽?高一沈陽二十中校聯(lián)考期末）如下圖，在平面四邊形中，AB1BC,AD1.CD,

ABCD=—,CB=CD=2A/3.若點Af為邊上的動點，則AA/-DW的最小值為（）

TT

11.（2022春?廣西柳州?圖一?？茧A段練習）在ABC中，C4=6,AB=8,^BAC=-,。為邊BC中點.

⑴求A?C8的值；

⑵若點尸滿足CP=2C4（2eR）,求PBPC的最小值；

12.（2022?浙江?高一校聯(lián)考期中）在△ABC中，已知鉆=3,AC=\,ABAC=-1，設(shè)點尸為邊8C上一點，點Q

為線段C4延長線上的一點，且AQ=tAC（"O）.

⑴當f=-l且尸是邊3c上的中點時，設(shè)與A3交于點求線段CM的長；

（2）若P4PQ+3=AP-AB,求卜。|的最小值.

題型五：向量在物理中的應用

13.（2022春?山東煙臺?高一煙臺二中校聯(lián)考期中）一條東西方向的河流兩岸平行，河寬2506m,河水的速度為向

正東3km/h.一艘小貨船準備從河南岸碼頭P處出發(fā)，航行到河對岸。（PQ與河的方向垂直）的正西方向并且與。

相距250m的碼頭M處卸貨，若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為5km/h,則當小貨船的航程最短

時，小貨船航行速度的大小為（）

A.36km/hB.6km/hC.7km/hD.3面km/h

14.（2022?全國?高一假期作業(yè)）長江某地南北兩岸平行，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸.假設(shè)游船在靜水

中的航行速度片的大小為同=10km/h,水流的速度匕的大小為同=4km/h.設(shè)匕和％的夾角為。（0°<6<180。），

北岸的點A'在A的正北方向，則游船正好到達A處時，cos。等于（）

A.叵B.一叵C,2D.二

5555

15.（2022春?吉林長春?高一長春外國語學校?？茧A段練習）一只鷹正以與水平方向成30角的方向向下飛行，直撲

獵物，太陽光垂直于地面照射下來，鷹在地面上影子的速度是50m/s,則鷹的飛行速度為（）

.50050A/3,「100A/3,?100

A.—m/sB.-------m/sC.--------m/sD.-----m/s

3333

題型六：平面向量應用的綜合問題

16.（2022春?上海浦東新?高一上海師大附中?？计谀┰谔菪蜛5co中，ABIICD,AB=BC=2,CD=1,ZBCD=120°,

p,Q分別為直線BC,8上的動點.

⑴當P,Q為線段上的中點，試用AB和AO來表示。尸；

（2）若=求|AP|；

4

（3）若B-=〃2。,￡>0=%￡>6\/1>0,〃>0。為八4尸。的重心，若。,G,8在同一條直線上，求砂的最大值.

17.（2022春.山東棗莊?高一統(tǒng)考期末）在中，AB=2,AC=4,cosZBAC=；,r>是線段BC的靠近點B的三等

4

分點.

⑴用ARAC表示AO；

⑵求AD的長度.

18.（2022春?上海浦東新?高一上海市建平中學?？计谀┮阎冗吶切?BC的邊長為2,P為三角形ABC所在

平面上一點.

uun/Uiruur、

(1)若尸C=-(P4+尸B),求ARLB的面積；

?uiruinnI

(2)若鹿PC=0,求網(wǎng)+|四的最大值;

UUUULULIUUU

⑶求2PAPB+PAPC的取小值.

【雙基達標】

一、單選題

ABACABAC

19.（2022?高一單元測試）已知非零向量和AC滿足--------1--------?-BC=0,且加隔則.他。為（）

2

A.等邊三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.三邊均不相等的三角形

20.（2022春?陜西渭南?高一統(tǒng)考期末）如圖，一個力尸作用于小車G,使小車G發(fā)生了40米的位移，尸的大小為

50N,且與小車的位移方向（s的方向）的夾角為60。，則力F做的功為（）

_JL2__CL,_____

A.1000JB.1000而C.2000JD.500J

21.（2022春?四川內(nèi)江?高一統(tǒng)考期末）四邊形A8CO中，AB=4,NA=/B=60。，Z￡>=150°,則DC的最小

值為（）

A.gB.—y/3C.3D.—3

22.（2022春?河南南陽?高一統(tǒng)考期末）已知。是ABC的邊BC上一點，且3。=3瓦），AD=2,tanZBAC=V15,

則AC+2AB的最大值為（）

A12M06M「12715C6A/15

A.-----D.----------C.----------D.--------

5555

23.（2022春?山東濟寧?高一統(tǒng)考期中）等邊...ABC的外接圓的半徑為1,M是ABC的邊AC的中點，P是該外接圓

上的動點，則的最大值為（）

A.1B.2C.-D.0

2

24.（2022春?四川內(nèi)江.高一四川省資中縣第二中學校考階段練習）如圖，在ABC中，AN=；NC,尸是BN上的

3

一點，^AP=-AB+mAC,則實數(shù)加的值為()

25.(2022春?遼寧沈陽?高一校聯(lián)考期中)如圖，在邊長為2的等邊三角形ABC中，。是BC的中點.

D

⑴求向量與向量AC-2A3的夾角；

(2)若。是線段AD上任意一點，求0408的最小值.

26.(2022春.上海長寧?高一上海市延安中學?？茧A段練習)如圖，在直角三角形ABC中，ZC=90°,C4=3,CB=4,

CD=mCA，CE=nCB，其中"？，〃e(0,l),設(shè)DE中點為M,AB中點為N.

(2)若m+w=l,求|MN|的最小值.

【高分突破】

一、單選題

27.（2022?全國?高一）已知尸是等邊三角形ABC所在平面內(nèi)一點，且4?=26,BP=1,則AP-CP的最小值是（）

A.1B.V2C.GD.2

28.（2022?全國?高一假期作業(yè)）已知平面向量￡,b,c滿足W=W=°-6=2,且僅-c）-（36-c）=0,則k最小

值為（）

A.2點+1B.3石-3C.V7-1D.2A/3-2

29.（2022?全國?高一假期作業(yè)）騎自行車是一種能改善心肺功能的耐力型有氧運動，深受大眾喜愛.如圖所示是某

一型號自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中自行車的前輪圓A,后輪圓。的半徑均為石，一ABE,BEC,ECD

均為邊長為4的正三角形，設(shè)點尸為后輪上的一點，則在騎動該自行車的過程中，AO3P的最大值為（）

A.12B.24C.36D.48

30.（2022春.江蘇無錫.高一無錫市第一中學?？计谥校┰?1ABe中，A：=—>AB—1,G為；ABC的重心，若

AGAB^AGAC，貝LABC外接圓的半徑為（）

A.后B.1C.2D.2A/3

二、多選題

31.（2022.高一課時練習）在日常生活中，我們會看到如圖所示的情境,兩個人共提一個行李包.假設(shè)行李包所受重

力為G，作用在行李包上的兩個拉力分別為可，入，且用=圖，片與￡的夾角為夕下列結(jié)論中正確的是（）

A.。越大越費力，。越小越省力B.。的取值范圍為［。,句

C.當時，聞=GD.當"與時，聞=忖

32.（2022春.江蘇南通?高一金沙中學?？计谀┲苯茿BC中，斜邊AB=2,P為ABC所在平面內(nèi)一點,

AP=-sin2OAB+cos20-AC（其中OcR）,則（）

2

ULMUUIU,,_,,一_

A.AB.AC的取值范圍是（0,4）

B.點P經(jīng)過AfiC的外心

C.點P所在軌跡的長度為2

D.尸C-（PA+PB）的取值范圍是-;,0

33.（2022春?福建福州?高一校聯(lián)考期末）G是ABC的重心，AB=2,AC=4,ZCAB=120,「是_/18。所在平面內(nèi)

的一點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.GA+GB+GC=0

B.AC在AB方向上的投影向量等于AB

4

C.GAGB=-

3

3

D.A尸?（3P+CP）的最/J、值為一5

34.（2022春.廣東梅州.高一統(tǒng)考期末）在AABC中，下列正確的是（）

A.若AC5A<0,則△ABC為鈍角三角形

B.^\AB+AC\=\AB-AC\,則△ABC為直角三角形

C.^（AB+AC]-（AB-AC]=0,則△ABC為等腰三角形

D.已知笳+法+發(fā)=6,且|of=|oq=|oc],則△ABC為等邊三角形

35.（2022秋?河南洛陽?高一宜陽縣第一高級中學校考階段練習）已知點。為ABC所在平面內(nèi)一點，且

2Q4+3O8+4OC=0則下列選項正確的有（）

14

A.AO=-AB+-ACB.直線A0過BC邊的中點

39

3

C.^AAOB^/^BOC=2:1D.若|OA|=|OB1=1OC|=1,貝IJOCA8=-7

16

三、填空題

36.（2023?高一課時練習）在，ABC中，OAOB=OBOC=OCOA,則。是ABC的心.

37.（2022春?上海長寧?高一上海市第三女子中學?？计谀┰?：ABC中，0為中線AAf上的一個動點，若40=3,

則OA-（OB+OC）的取值范圍是.

38.（2022春?江蘇南通高一金沙中學?？计谀┤鐖D，正八邊形ABCDEFG以中，若4E=XAC+zMF（%〃eR）,則

2+〃的值為.

F

E

B

39.（2022?高一課時練習）已知A,B,C是坐標平面上的三點，其坐標分別為4（1,2）,B（4,l）,C（0,-l）,則.ABC

的形狀為.

40.（2022?高一課時練習）若平面上的三個力耳，月，￡,作用于同一點，且處于平衡狀態(tài).已知用=6N,向=2N,

且月與耳的夾角為5手兀，則鳥與瑪?shù)膴A角為.

41.（2022?全國?高一假期作業(yè)）一條東西方向的河流兩岸平行，河寬250國，河水的速度為向東2km/h.一艘小貨

船準備從河南岸的碼頭A處出發(fā)，航行到位于河對岸8（AB與河的方向垂直）的正西方向并且與B相距250m的碼

頭C處卸貨.若流水的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為6km/h,則當小貨船的航程最短時，小貨船航行

的速度大小是km/h.

四、解答題

42.（2022春?山東棗莊?高一統(tǒng)考期中）如圖，在J1BC中，NBAC=120,AB=1,AC=3,點。在線段BC上,

(2)求cos/ZMC.

43.（2022春?江蘇連云港?高一連云港高中?？计谥校┰谥苯亲鴺似矫鎥Qy內(nèi)，已知向量。4=（1,5）,OB=（7,1）,

OM=（1,2）,尸為滿足條件=（teR）的動點.當PAPS取得最小值時，求：

⑴向量0P的坐標;

（2）cos4PB的值；

⑶求點A到直線尸3的距離.

44.（2022春?浙江臺州高一校聯(lián)考期中）在直角梯形ABQ）中，已知ABDC,ADJ.AB,CD=1,AD=2,AB=3,

動點E、歹分別在線段8C和。C上，AE和8。交于點M,且BE=2BC，DF=（1-A）DC,AeR.

（1）當AE.BC=0時，求4的值;

（2）當2=彳2時，求D部M的值；

3MB

⑶求AF+^AE的取值范圍.

45.（2022春?江蘇揚州?高一統(tǒng)考期中）已知正六邊形ABCDEF的邊長為1,

.3

⑴當點M滿足時，BFBM=~.

（注：無需寫過程，填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況）

⑵若點N為線段AE（含端點）上的動點，MDN=mDC+nE>E（meR,neR）,求〃?+〃的取值范圍;

⑶若點〃是正六邊形ABCDEF內(nèi)或其邊界上的一點，求.A8的取值范圍.

【答案詳解】

1.c

【解析】利用向量的等式關(guān)系囪?+附>網(wǎng)2+同2,轉(zhuǎn)化成o/_o4=c/一8c2，

利用向量加減法運算化簡得到CO=0，即證COLM,再同理證得OBLACOALBC,

即得。是^ABC的垂心.

【詳解】i|OA|2+|BC|2=|OB|2+|CA|2\DAI2-|OBI2=|CAI2-|BCI2,

即OA-OB2=CA-BC^故6-QB).(04+OB)=(CA-BC)(CA+BC),

故BA?(OA+OB)=(CA+CB>BA,BA\OA+OB-CA-CB)=0,

5iCA=OA-OC，CB=OB-OC，

BA,?(04+OB+CO—OA+CO—。8)=0541CO=0,即COJ_AB,

同理AC?08=0,8C-04=0,即08_LAC,OA_L3C,所以。是，ABC的垂心.

故選：C.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：

本題的解題關(guān)鍵在于將模的平方轉(zhuǎn)化成向量的平方，進行向量的靈活運算，才能證得垂直關(guān)

系，突破難點.

2.(1)證明見解析；

77

【分析】(1)畫出示意圖，根據(jù)邊的關(guān)系可得/A8C=3,因而AB_LBC.

(2)以2為原點建立平面直角坐標系，寫出各個點坐標，進而根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標

運算即可求出結(jié)果.

【詳解】(1)根據(jù)題意，畫出示意圖如下圖所示

JI

由題意可知IA引=|AD|=2,ABAD=-

所以三角形ABD為等邊三角形,

則B4=2,又|DC|=I,忸C|=G,

所以|DC『+忸C『=|B球,

-TT-TT

即△BCD為直角三角形，且NC=z，NB=",

26

所以NABC=g+￡=g,

362

所以AB_L2C;

(2)根據(jù)題意，建立如圖所示的平面直角坐標系,

y

則4(0,2),。(石,1),因

貝1J￡A=-千,2,ED=

所以胡.即=-三,2?十,1,

」+2

4

_5

-4

2-112

3.(1)EF=—b——a,EG=—a+—b.

3223

⑵證明見解析.

【分析】(1)利用平面向量基本定理表示出所,EG；

(2)利用EG數(shù)量積為0證明￡FLEG.

【詳解】(1)因為點E是A8的中點，所以AE=E2=：A2=；a.

因為A尸=§A￡),5G=q5C,所以BG=A/=]AZ)=§b.

21.——1-2-

所以石尸二A/—AE=—b——a,EG=EB+BG=-a+-b.

3223

2112

(2)由(1)可得：EF=-b一一a,EG=-a+-b.

3223

因為卜卜gw，

所以一：(：慟)=0,

所以EF_LEG.

4.C

【分析】建立平面直角坐標系，寫出坐標表示小.麗，利用二次函數(shù)求出最小值時尸的坐

標，最后利用向量的夾角公式求解即可.

【詳解】建立如圖所示平面直角坐標系：

則4(-0,0),3(右,0)0(0,1),

設(shè)P(x,y),

因為動點P位于直線OA上，

直線。4的方程為：y=^x+l,

3

2G,、2422石-4,右、29

=x-3+('§1%+D=~xH———x-2=—(xH—^―)—-?

當x=￥時，港法取得最小值-，此時尸(-手怖),

扇=(-乎令|(-2后0),

15

前氤55s

所以cosZPBA=萬

2r一14

BP-BA20呵

4

又因為NPR4e(0㈤，

所以sin/PBA=應，

14

故選：C.

5.(1)2=-|,〃=2

⑵-巫

10

—,3

【分析】(1)由向量的運算得出AD=-]A3+2AE,進而得出九和〃的值；

(2)由向量的運算得出E4=；CB+BA,=+進而得出|EA|,\BD\,EABD，

再由數(shù)量積公式求解即可.

【詳解】(1)根據(jù)題意，梯形ABC。中，AB//CD,AB=2CD,E為8c的中點

1113

則AT>=A3+3C+CO=/A3+8C=5A3+23^=5A3+2(AE—A3)=—5A3+2AE

3

又由AD=XAS+可得X=一萬，〃=2

(2)NAFD是E4與3。所成的角，設(shè)向量E4與3。所成的角為。

1c122

EA=EB+BA=-CB+BA,則|E4「=—CBA4-CBBA=9+8-12=5

24+B

1.-21-2

BD=BC+CD=BC+-BA,貝“加降9氏；+-BA、+BCBA=2+36+12=50

24

貝『EA|=6|8。|=病

因為￡4.20=(#3+可｛g+；可=(24_；

1.21-23-

=一一CB+-BA+-CB-BA=-18+4+9=-5

224

而a__EABD-5_710

所以COS0——r--

\EA\\BD\Vr5x5^10

所以E4與BD所成角的余弦值為-巫.

10

6.(1)4。=^!,BE=26

3

⑵也

26

【分析】(1)由卜目2=BE2=l^AC-AB|AD|2=AD2=(|AC+1根據(jù)向量數(shù)量

積的運算即可求解;

(2)由4。與BE的夾角即為利用向量的夾角公式即可求解.

(1)

4cl

解：由題意，AB=2,AE=—=2,ZBAC=120°,

y.BE=AE-AB=-AC-AB,

2

所以

|BE|2=BE2=^AC-AB^=^AC2-AC-AB+AB2=Ac|2-1Ac|?|cosABAC+1Afi|2

=12,

/.|BE|=273,即5E=2g,

2221

AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AC+-AB

3333

I-|2-221

.-.|AD|=AD=(-AC+-AB)92

2

4-2211-241I21I11I11p52

=-AC+2X-X-XACAB+-AB=-AC+2x—x—xAC.A3cosN3AC+—A3=—

93399113311119119

.,\AD\=^,即A以垃I

1133

(2)

解：BE=AE-AB=^AC-AB,

2111-21-1-2

:.ADBE=(-AC+-AB)(-AC-AB)=-AC——ACAB——AB=

332323

AO與成的夾角即為NE。。，

ADBE635/39

1.cos/EOD=

HM26

7.D

【分析】利用向量數(shù)量積去求AO長度即可.

【詳解】ABC中，點。在8C邊上且

11Q

貝ljAD=AB+BD=AB+^AC-AB^=^AC+^AB

又網(wǎng)=1,|AC|=2,Zfi4C=60°,

則M=「AC+泗飛|時+胃時+15

=A/—x4+—xl+-xlx2x-=—^/3,即A￡)長度為5道

V999233

故選：D

8.C

【分析】設(shè)OC=〃zOB(OWmMl),BD=；BA,乙"。=磯0＜。＜9,作。關(guān)于。3的對稱

點R,如圖根據(jù)向量的線性運算化簡題中的等式|AC|+|OC|,利用點關(guān)于直線的對稱性可

得,同=曬，結(jié)合余弦定理可得出cos28,利用二倍角的余弦公式求出cos。，最后根據(jù)

|。@=2,2卜(《，即可求解.

【詳解】解：由題意得:

如圖所示:

A

設(shè)。？=加0百(0《/41),則點C在線段OB上運動

故\inOB-OA|=|OC-OA|=|AC|

設(shè)BD=；BA

(1-m)BO-1BA=|(m-1)OB-BO|=^mOB-OB-Bo|=\rnOB-[OB+BD)|=\0C-(9D|=|oc|

\mOB-OA\+(l-m)BO--BA=\Ac\+\Dc\,即+.=719

作。關(guān)于。3的對稱點2，設(shè)/A2O=d(0＜，＜，

|Ac|+\DC\=IAc|+l^cl＞|AD；|,gp(|Ac|+|z)c|)=,葉川?

在ABD1中，但=網(wǎng)=4,即=做卜；網(wǎng)=1,卜聞=炳

由余弦定理可得：cos2e=2cos2g_l=l?+：-：9=一;，解得：cost)巫

2x1x444

|OB|=2|AB|COS0=2X4X^=2A/6

故選：C

9.⑴[0P|=^^；

62

(2)---.

【分析】（1）用。4。3表示出0P，然后可計算出答案;

（2）OPAB=[^OA+^OB^\OB-OA],然后可計算出答案.

（1）

因為BP=2PA，所以O(shè)P=OB+8P=O3+13A=O3+?Q4—05）=104+308,

因為|。4|=6,|。q=2,0A與OB的夾角為60。，

-2。1-V4-241,2441117?

所以。尸=-OA+-OB=-OA+-OAOB+-OB=-x36+-x6x2x-+-x4=—,

^33J99999299

所以口尸卜當1;

（2）

（21、/\2-2112

OPAB=\-OA+-OB\\OB-OA\=——OA+-OAOB+-OB

（33尸）333

2“1--11）62

=x36+—x6x2x—+—x4=---

33233

10.B

【分析】以3點為原點，以84,5。所在的直線為九和丁軸，建立平面直角坐標系，設(shè)"（0,。），

得至1]4"?￡＞知=（°一￥）2+子，即可求解.

【詳解】以B點為原點，以血所在的直線為x軸，以BC所在的直線為＞軸，建立平面直角

坐標系，如圖所示，過點。作DP_Lx軸，過點。作。。軸，

因為A2,2C,A。，C￡>,/JBCD=m且CB=Cr>=2e，則/&4。=。,

所以B(0,0),4(2,0),C(0,2A/3),0(3,5,

設(shè)M(0,a),則AM=(-2,a),DM=(一3,a-退)，

所以4〃?￡>州=6+加一退)=("亭2+￡］，

71

所以AM.DM的最小值為—.

故答案為：B.

(2)最小值為-9

【分析】(1)以A為坐標原點，邊AC、AB所在的直線為雙'軸的正方向建立平面直角坐標

系求出4￡>、(”的坐標，再由向量數(shù)量積的坐標運算可得答案；

(2)根據(jù)點尸在4c上,設(shè)尸(x,0),求出麗、PC的坐標，則加?尸北=(—蒼8>(6—彳,0),

利用二次函數(shù)配方求最值可得答案.

【詳解】(1)如圖，以A為坐標原點，邊AC、AB所在的直線為無、y軸的正方向建立平面直

角坐標系，

所以4(0,0),3(0,8),C(6,0),

。為邊BC中點，所以0(3,4),AD=(3,4),。=(-6,8),

則AD-CB=-18+32=14;

V

X

(2)若點尸滿足CP=XC4(4eR),則點尸在AC上,

由⑴,設(shè)尸(蒼0),則P3=(-x,8),PC=(6-x,0),

則尸3PC=(t,8)?(6-x,0)=(x-3)2-9,

所以當x=3時尸3.PC的最小值為-9.

12.⑴手

(2)2J6-2省?

【分析】(1)根據(jù)點河是三角形C8Q的重心，結(jié)合三角形重心的向量表示以及數(shù)量級運算,

即可求得結(jié)果；

(2)設(shè)CP=XC2(0VXVl),根據(jù)平面向量的線性運算結(jié)合題意，求得f與2的關(guān)系，再求

得,0關(guān)于f的函數(shù)關(guān)系，求該函數(shù)的最小值即可.

【詳解】(1)設(shè)AB=a,AC=b，當f=-l,P是BC的中點時，則又是的重心，

CM=1(CB+Ce)=|(a-3Z>),

\CM\=*-36)2=口9+9.6.(_1)=孚.

(2)i5CP=2CB(0<A<l),貝UAP=/la+(l-/l)b,AQ=tb

AP-/IB=[At?+(1-2)&J-a=2a2+(l-/l)Z>.<2=102-1,

PAPQ=-12a+(1-A)b]-(AQ-AP)

=[Aa+(1-A)/?J2-tb-[Aa+(1-2)Z>]

==2#+22(1-A)a-b+(l-A)2b2-t[b-Aa+(l-A)b2]

=94~—24+24~+1—24+3—/(I—2㈤

=1222-42+l-Z(l-22)

由？>A-PQ+3=APAB,得：1222-4Z+4-/(l-2Z)=10/l-l.

Ar(l-2A)=1222-142+5,因為/<0,12A2-142+5>0,

山21,八1222-142+5

所以「t=------------------

21-22

令m=2/l-le(0,l],則

-m

Wm+1

=--=-(3m+l)+l<-2V3+l

mm

當且僅當〃z=3e(0,1］時取到等號，所以f的最大值是-273+1

3

又做卜卜—同=J/+2/+9,在/￡(—co,—2^3+1］上單調(diào)遞減,

所以忸@=^(-2A/3+1)2+2-(-2A/3+1)+9

=J13-46-4用11=216-26.

故的最小值為2卡刁

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查平面向量的線性運算以及數(shù)量積運算，解決問題的關(guān)鍵是充

分掌握三角形重心的向量表示，以及根據(jù)題意，建立參數(shù)九與r的對應關(guān)系，求函數(shù)的最值,

屬綜合困難題.

13.C

【分析】由已知條件求解直角三角形，根據(jù)向量的平行四邊形法則，結(jié)合向量的模長公式,

即可求解小貨船航行速度的大小.

【詳解】解：由題意，當小貨船的航程最短時，航線路線為線段尸設(shè)小貨船航行速度為

v,水流的速度為匕，水流的速度與小貨船航行的速度的合速度為打,作出示意圖如下:

PQ=250V3m,QM=250m,在中，有tan=空="。乙=在,

QM250

7T71/\71712乃

所以4=WZMPQ=-,/vi,V2)=-+-=—

6\/263

所以V=V2-也，

所以M=j(v2-vi)+|vi|-2i^i-V2=^52+32-2x5x3cos—=7,

所以小貨船航行速度的大小為7km/h,

故選：C.

14.D

g

【分析】由題意分析可得COS。=—-即可求解.

匕

【詳解】設(shè)船的實際速度為V,因為點H在A的正北方向，所以V，%，

v2_4__2

所以cos0——cos(不一=----

，410--5

故選：D.

15.C

【分析】根據(jù)題意知水平速度為50m/s,然后由求解.

cos30

【詳解】解：如圖所示：

由題意知：卜《=第=50//s,

kl

100癡,

所以網(wǎng)=同==---------m/s9

cos303

故選：C

16.(1)QP=^AB-^AD-

(2)網(wǎng)=誓;

(3)1.

【分析】⑴結(jié)合條件證明=再用四和AD來表示08即可;

(2)利用AB,BC表示AP，根據(jù)模的性質(zhì)和數(shù)量積的性質(zhì)求IAP|；

(3)由條件確定4〃的關(guān)系，結(jié)合基本不等式求物的最大值.

【詳解】⑴因為P,Q為線段BC,CZ）上的中點，所以QP//DB,又QP,DB方

向相同，

所以,所以QP=J_r>3=J_（A2-AD）=LAB-J_AD；

AB

（2）因為BP=』BC,所以42=42+2尸=43+工3（7,因為AR/CD,ZBCD=120°,所

44

以NABC=60,所以（A氏2C）=120,

又AB=BC=2,所以43.20=,8,4。卜（?（4氏20）=2*2*1_；）=_2

又網(wǎng)=AB+-BC=.AB+-BC\=AAB+-ABBC+—BC2

4Vl4JV216

所以網(wǎng)=卜1+；=半

（3）設(shè)線段PQ的中點為E,連接AE,交8。與點G,由已知G為△AP。的重心,

2

由重心性質(zhì)可得AG=§AE,

AP=AB+BP=AB+JUBC=AB+/2^BA+AD+DC^=\1-^AB+/JAD,

AQ=AD+DQ=AD+ADC=AD+-AB,

所以46」"+乙0=匕上343+匕%皿

3363

設(shè)BG=tBD,AG=AB+BG=AB+tBD=AB+t^AD-AB^=（l-t）AB+tAD,

所以——7——==4+4=2,

63

由基本不等式可得幾+〃22而，所以MV1,當且僅當4=〃=1時等號成立，所以初的

最大值為1.

uuir210n1uuir

17.(1)AD=-AB+-AC

⑵加亞

3

UULT2uiw]uuir

【分析】（1）結(jié)合圖形由向量的線性分解知識可以得到AO=1A8+§AC；

（2）利用向量的模長計算線段的長度，將向量平方結(jié)合數(shù)量積運算可得結(jié)果.

（1）

由題意知覺》=：8。，

221421-24

AD=(-AB+-AC)92=-AB+-AC+-ABAC

33999

=-x22+-x42+-x2x4x-=—,所以=

999493

(2)272;

【分析】（1）由重心的性質(zhì)有SW=；SABC，結(jié)合三角形面積公式求△以B的面積;

(2)由題設(shè)PUULB'PucmC，可得|pUL,T|2+|IUPUCf|l|2=|iUBUCQ||2,再應用基本不等式求目標式最值，注意等

號成立條件.

(3)構(gòu)建直角坐標系并設(shè)尸(尤，y),確定相關(guān)點坐標，利用向量數(shù)量積的坐標運算求

2.PAPB+PAPC，即可得結(jié)果，注意最值對應尤、

(1)

由題設(shè)知：尸為AABC的重心，故S“AB=；SV*BC=；xgx2xg="；

(2)

UULUL1Ut|LUT|2|UUfl|21ULHI12

由于尸5?PC=O,即則『4+|PC|=wq=4,

網(wǎng)+|PC|<聞卿+|町=20,當且僅