高考數(shù)學立體幾何中的內(nèi)切球和外接球問題

高考數(shù)學中的內(nèi)切球和外接球問題

一、有關(guān)外接球的問題

一、直接法（公式法）

1、求正方體的外接球的有關(guān)問題

例1若棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面

積為.

例2一個正方體的各頂點均在同一球的球面上，若該正方體的表

面積為24,則該球的體積為

2、求長方體的外接球的有關(guān)問題

例3一個長方體的各頂點均在同一球面上，且一個頂點上的三條

棱長分別為123,則此球的表面積為.

例4已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4,

體積為16,則這個球的表面積為（）.

A.16乃B.20萬C,24〃D,32萬

3.求多面體的外接球的有關(guān)問題

例5一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該

六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為'底面周長

O

為3,則這個球的體積為:

小結(jié)本題是運用公式2=戶+/求球的半徑的，該公式是求球

的半徑的常用公式.

二、構(gòu)造法（補形法）

1、構(gòu)造正方體

例5若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為百，則其外

接球的表面積是_______________.

例3若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為百，則其外

接球的表面積是_：

小結(jié)：一般地，若一個三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分

別為。也c,則就可以將這個三棱錐補成一個長方體，于是長方體的體

對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為R,則

有2R=77W.出現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)利用補形知識，聯(lián)系長方體。

【原理】：長方體中從一個頂點出發(fā)的三條棱長分別為a,b,c,則

體對角線長為/=/2+萬+°2,幾何體的外接球直徑為2M本對角線長/

以+…

2

練習：在四面體A3CD中，共頂點的三條棱兩兩垂直，其長度分別為

2

1，V6,3,若該四面體的四個頂點在一個球面上，求這個球的表

面積。

例6一個四面體的所有棱長都為后，四個頂點在同一球面上，則此

球的表面積為（）

A.3萬B.4萬C.36兀D.6〃

例7已知球。的面上四點A、B、C、D,Z）A_L平面4BC,AB±BC,

DA=AB=BC=6,則球。的體積等于.

解析：本題同樣用一般方法時，需要找出球心，求出球的半徑.而利

用長方體模型很快便可找到球的直徑，由于D4L平面ABC,AB±BC,

聯(lián)想長方體中的相應(yīng)線段關(guān)系，構(gòu)造如圖4所示的長方體，又因為

DA=AB=BC=6,則此長方體為正方體，所以C0長即為外接球的直

徑，利用直角三角形解出8=3.故球。的體積等于（如圖4）

2、例?？谌肟邳cA、B、C、D在同一個球面上，45_1_平圖5,DC-LBC,

3

若A5=6,AC=2M,AO=8,則球的體積是

解析：首先可聯(lián)想到例7,構(gòu)造下面的長方體，于是AD為球的

直徑，。為球心，O8=OC=4為半徑，要求B、C兩點間的球面距離,

只要求出N8OC即可，在R/AA6C中，求出BC=4,所以ZBOC=60。，

故B、C兩點間的球面距離是（7.（如圖5）

本文章在給出圖形的情況下解決球心位置、半徑大小的問題。

三.多面體幾何性質(zhì)法

例.已知各頂點都在同一個球面上的正四棱柱的高為4,體積為16,

則這個球的表面積是

A.16zrB.20/rC.24^D.32%.

小結(jié):本題是運用“正四棱柱的體對角線的長等于其外接球的直

徑”這一性質(zhì)來求解的.

四.尋求軸截面圓半徑法

4

例正四棱錐s-A6co的底面邊長和各側(cè)棱長都為痣，點

S,AB,C,O都在同一球面上，則此球的體積為

五.確定球心位置法

例5在矩形ABC。中，A8=4,BC=3,沿AC將矩形ABC。

折成一個直二面角B-AC-D,則四面體A8CQ的外接球的體

積為

A1250125

A.-----TCBS》K-z,-----71

12963

【原理】：直角三角形斜邊中線等于斜邊

一半。球心為直角三角形斜邊中點。

【例題】：已知三棱錐的四個頂點都在球。的

5

球面上，46?18。且引=7,尸3=5,"'=兩＞。=10求球。的體積。

【總結(jié)】斜邊一般為四面體中除了直角頂點以外的兩個點連線。

1.（陜西理?6）一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上,

其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是

)

A.運Bc

4-T-V

2.直三棱柱ABC-44G的各頂點都在同一球面上，若

A6=AC=A4=2,NBAC=120。，則此球的表面積等于

3.正三棱柱內(nèi)接于半徑為2的球，若A8兩點的球面

6

距離為不，則正三棱柱的體積為

4.表面積為26的正八面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球

的體積為

A.立萬B.-71。.巫兀

3333

5.已知正方體外接球的體積是,萬，那么正方體的棱長等于（）

A.2V2B.逋C.—D.迪

333

6.（山東卷）正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為（）

A.1:V3B.1:3C.1:373

D.1:9

7.（海南、寧夏理科）一個六棱柱的底面是正六邊

形，其側(cè)棱垂直底面.已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，

且該六棱柱的體積為底面周長為3,則這個球的體積為

O

8.（天津理?12）一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個

頂點上的三條棱

的長分別為1,2,3,則此球的表面積為.

7

9.（全國II理?15）一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為2cm的

球面上。如果正四棱柱的底面邊長為1cm,那么該棱柱的表面積為

cm2.

10.（遼寧）如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐尸-ABCD砂,

則此正六棱錐的側(cè)面積是

11.棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個

球面上，若過該球球心的一個截面如圖，則圖中

三角形（正四面體的截面）的面積是.

12.（棗莊一模）一個幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接

球的表面積為)

A.3兀B.2兀