2021新高考適應(yīng)性考試預(yù)測卷-數(shù)學(xué)試卷及答案

皿

數(shù)1r學(xué)

本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分。共4頁，總分150分，考試時間120分鐘。

第I卷(選擇題共60分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.己知集合/={x|尤2-2%0),5={x|l<3x<81},C={x|x=2〃,〃eN},貝!!(/u2)cC=

A.{2}B.{0,2}C.{2,4}D.{0,2,4)

2.要得到函數(shù)y=V^cosx的圖象，只需將函數(shù)y=^sin[x+：]的圖象

A.向左平移出個單位B.向右平移工個單位

44

C.向上平移三個單位D.向下平移出個單位

44

3.已知函數(shù)/(x)=x(x-a)+6，若函數(shù)》=/(x+l)為偶函數(shù)，</(1)=0,則6的值為

A.-2B.-lC.lD.2

4.己知等差數(shù)列{%}的前n項和為=1,出與知的等差中項為2,則邑的值為

A.6B.-2C.-2或6D.2或6

5.已矢口sin[tz+,貝Ucos(2c=

A."B旦C.lD.-l

3333

6.已知函數(shù)歹=/(x)的部分圖象如圖，則/(幻的解析式可能是

C./(x)=x+tanxD./(x)=x--cosx

7.已知min｛冽,〃｝表示實數(shù)如〃中的較小數(shù)，若函數(shù)/(x)=min<3+logixjogz",當時，有

1

/(a)=f9),則的值為

A.6B.8C.9D.16

8.設(shè)S0為數(shù)列｛a,,｝的前〃項和，Sn=(一1)"%-〃eN*,則￡+邑+…+九。=

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部

選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分。

9.已知等差數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，其前〃項和為S“，且滿足%=3%，則下列結(jié)論正確的是

A.d〉0B.q<0

C.當〃=5時，S”最小D.當S“>0時，〃的最小值為8

10.設(shè)函數(shù)y=和y-/(-x),若兩函數(shù)在區(qū)間［辦〃］上的單調(diào)性相同，則把區(qū)間卜％〃］叫做y=/(X)的

“穩(wěn)定區(qū)間”，已知區(qū)間［1,2020］為函數(shù)+a的''穩(wěn)定區(qū)間”，則實數(shù)。的可能取值是

351

A.--B.--C.OD.—

2632

11.已知函數(shù)/(x)=sin(ox+?)o<0,,3)的圖象的一條對稱軸為直線x=f,函數(shù)

g(x)=/(x)+2“2T,則下列關(guān)于函數(shù)的)的說法錯誤的是

A.直線％=工是g(x)圖象的一條對稱軸B.g(x)的最小正周期為〃

8

C.點是g(x)圖象的一個對稱中心D.g(x)的最大值為石

12.已知函數(shù)/(x)=sin(69x+0>0,[91<1)在區(qū)間上至少存在兩個不同的國滿足

〃玉)/值)=1,且在區(qū)間"氣上具有單調(diào)性，點和直線x=分別為了⑺圖象的一

個對稱中心和一條對稱軸，則下列命題中正確的是

A./⑺在區(qū)間百曰上的單調(diào)性無法判斷

B./(x)圖象的一個對稱中心為僅區(qū),01

2

C.f(x)在區(qū)間上的最大值與最小值的和為:

D.將「(X)圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，再向左平移三個單位得到y(tǒng)=g(x)的

圖象，貝！Jg(x)=-cosx

第n卷(非選擇題共90分)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知等比數(shù)列｛4｝的前"項和邑=。+6?2",且出9%成等差數(shù)列，則。-6的值為.

14.已知函數(shù)f｛x｝=asina>x+cosa>x(a>0,<y>0)的最大值為2.若函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,7］上至少取得兩次最

大值，則。的最小整數(shù)值為.

仇x…0,

15.記函數(shù)/(x)=x-［%］,其中［x］表示不大于x的最大整數(shù)，g(x)=<1若方程/(x)=g(x)在區(qū)間

——,%<0.

、x

［-5,5］上有7個不同的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍為.

16.在AA8C中內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,若/-/=℃,則0=________；變吧1+巴的取

Aab

值范圍為.(本題第一空2分，第二空3分)

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)

如圖，在圓內(nèi)接A48c中，內(nèi)角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,滿足4cosc+ccos/=26cos8.

(1)求3；

(2)若點。是劣弧/C上一點，48=2,BC=3,AD=l,求四邊形/BCD的面積

18.（12分）

已知正項數(shù)列｛an｝的前n項和為S“,a、=1局=匕「相向，其中」為常數(shù).

(1)證明：S?+1=2S?+A.

(2)是否存在實數(shù)使得數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列？若存在，求出2的值；若不存在，請說明理由.

3

19.（12分）

從①部="，②S"w=4百，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并進行求解

問題：在A48c中，內(nèi)角/,B,C所對的邊分別為a,6,c,B=（,c=8,點河，N是8C邊上的兩個三等分

點，BC=3BM,,求的長和A48C外接圓的半徑.

注：如果選擇多個條件分別進行解答，按第一個解答進行計分.

20.(12分)

y+3jx-^,aeR.

設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax,g{x}=-3ax2+

（1）求函數(shù)/（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)00）=_|〃；0-8。）-|/（工€［0,2］）在工=0處取得最大值，求a的取值范圍.

21.（12分）

甲、乙兩名同學(xué)在復(fù)習時發(fā)現(xiàn)他們曾經(jīng)做過的一道數(shù)列題目因紙張被破壞導(dǎo)致一個條件看不清，具體如下

等比數(shù)列｛%｝的前n項和為S?,已知,

（1）判斷I，邑,S3的關(guān)系并給出證明.

（2若%-%=3，設(shè)2=總。"|，｛，｝的前〃項和為［，證明

甲同學(xué)記得缺少的條件是首項外的值，乙同學(xué)記得缺少的條件是公比4的值，并且他倆都記得第（1）問

的答案是岳,S3,邑成等差數(shù)列.

如果甲、乙兩名同學(xué)記得的答案是正確的，請通過推理把條件補充完整并解答此題.

4

22.(12分)

定義可導(dǎo)函數(shù)了=〃尤)在X處的彈性函數(shù)為/(x)?上，其中/(X)為〃x)的導(dǎo)數(shù).在區(qū)間。上，若函數(shù)

/(X)

/(X)的彈性函數(shù)值大于1,則稱“X)在區(qū)間。上具有彈性，相應(yīng)的區(qū)間。也稱作“X)的彈性區(qū)間.

(1)若r(x)=e-x+l,求r(x)的彈性函數(shù)及彈性函數(shù)的零點；

(2)對于函數(shù)/(x)=(x-l)e*+lnx-x(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).

(I)當/=0時，求/'(x)的彈性區(qū)間D；

(II)若/卜)>1在(I)中的區(qū)間。上恒成立，求實數(shù)1的取值范圍.

5

數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題

1力【解析】因為/={x|0“％2},2={x|0<x<4},C={0,±2,±4,±6,…},所以/口3={點),,x<4},所以

(^uS)nC={0,2}.

2.A【解析】因為y=V^cosx=V^sin(x+y),所以由函數(shù)y=/sin(x+7]的圖象得到函數(shù)

y=0sin，+|^|的圖象，只需向左平移4個單位.

3c【解析】因為y=/(x+l)為偶函數(shù)，所以y=/(x)的對稱軸為x=-l.又因為/⑴=0,所以y=〃x)的

22_14=2,

頂點坐標為(1,0).由/(x)=x2+Z?--,得<2'解得

H4[/(l)=l-a+Z)=0,6=1.

4c【解析】設(shè)公差為力由題意知]%+(%+")一=1'解得修=°'或1%=一8當09=1時，$當

q=%+21=2,[d=l[d=5.

4x3

%=_8,d=5時，S4=4x(-8)+^-x5=-2.

5.D【解析】因為2a----=2aH——\-7i所以

3I3

71

=-cos2\a+—1-2sin2Cl+—=2x使丫-i=--

3bJ

6./【解析】由題圖知函數(shù)的定義域為火且f(x)為奇函數(shù)，所以排除GD選項;8選項中，/'(X)=1+2cos2尤，

則/(0)=3,不滿足原點處切線斜率為0,排除8選項；/選項中，/'(x)=l-cos2x,則r(0)=0,符合

題意.

7方【解析】作出函數(shù)/(x)的圖象，如圖中實線所示，由/(〃)=/9)可知，log^^log^+3,所以

4

log2a+log4b=3,BPlog2a+log24b=\og2(ay/b)=3,所以ay/b=8.

【解析】由，〃當〃時，得弓=一；；

8.A5"=(-1)&-3€^,=1當〃22時，

a=S?-S?,=(-l),,a?---(-ly'a,+^-即%=QI)"%+J1)"%一1+(■?當n為偶數(shù)時，

nnn—\\'w、/n—\/^n—\

1

…2），所以?！?一備‘當"為奇數(shù)時，=-2%+*=（-2）[-^r[+*=齊，所以$,

乙乙乙\乙J乙乙乙

所以f=2，%=*，所以一。1+。2=2**=；,一〃3=*，%=夢，所以

-a3+a4=2x—=—....一。99=^y，aioo'所以一。99+%oo=2x^>=萍?因為

S1+52+53+?-?+S100=（一〃1+%）+（-。3+。4）+（-。5+&）+…+（一。99+。100）_+于+…+^~）

二、選擇題

9.ABD【解析】因為｛〃〃｝是遞增數(shù)列，所以d>0.因為%=3%,所以々5+24=345,所以"二名，所以

%=。5-4"=—3d<0，故4,8正確；又因為為二色―d=d—d=0,所以S3=$4,且為S〃的最小值，故C

錯誤；又SB=(124(%+%)=4牝=4d〉。5=―——=7tz4=0,故。正確

10.42【解析】由題意得+a與/(x)=|2，+a］在區(qū)間［1,2020］上同增或同減.若同增，則

在區(qū)間［1,2020］上恒成立，即一所以-2,4,-(若同減，則人酎+"0'在區(qū)間［1,2020］

2"+a..0心-2,0

上恒成立,所以4,B選項符合題意.

1L/C【解析】由1為/(%)的一條對稱軸，得叱工+工=工+左乃即@=2+8左，左EZ.又因為①￡(0,3],

8842

所以。=2所以g（x）=sinf2%+^cos2x----sin2x=V5cos（2x+^>）tan（p=—

易邦(p手三+k兀,keZ,且夕。上+左犯左eZ,故4,C錯誤，B,。正確.

44

12.5C【解析】由題意得—竺+夕=0,在竺+夕=工+左肛左￡2,即G=左+!］.又/(%)(在區(qū)間「—工，空

61223(2)L23J

上至少存在兩個最大值或最小值，且在區(qū)間上具有單調(diào)性，則左=1,此時G=24=工，即

3123

2

〃x)=sin(2x+3，因為工<x〈工，所以女<2x+工C”所以〃x)在區(qū)間住,工］上單調(diào)遞減，故/

V3J62333<62J

錯誤；由2x玉+工=20萬，所以59〃,0為/(x)圖象的一個對稱中心，故8正確；因為-?,,乂，?，所

636

以一3"2X+?”^，/（x）min=f

636

=j=-p/(x)max==sinj=1,所以最大值與最小值之和為;，故C正確；將〃x)圖象上

所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，得到y(tǒng)=sin［x+；］的圖象，再向左平移看個單位，得到

y=sin［x+^+q］=sin［x+d=cosx的圖象，即g(x)=cosx,故Z)錯誤.綜上，B,C正確.

三、填空題

13.-2【解析】當“22時；％=$"-邑_]=（a+小2"）-（0+兒21）=小2"1；當〃=1時，ax=S}=a+2b=b-2°,

所以Q+b=0①.又出,%生成等差數(shù)列，所以。2+。5=18，即26+24=18②.由①②解得a=-1力=1,所

以Q-6=-2.

14.2【解析】f(x)=asincox+coscox=+1sin(<z>x+cp),所以/(x)的最大值為+1=2,解得。=石或

a--V3(舍去)，所以/(%)=百$m69X+85(^%=25m(69%+2］,當q、+工=工+2左肛左eZ時，函數(shù)/(x)

V6762

取得最大值，則當x>0時，前兩個最大值分別為左=0和后=1.當左=1時，由/了+生=生+2萬，得x=^?7,

623。

所以?！?，所以。的最小整數(shù)值為2.

3

15.【解析】作出函數(shù)“X),g(x)的圖象，如圖所示.

方程〃x)=g(x)在區(qū)間［一5,0)上有3個實根，故在區(qū)間［0,5］上有4個不同實根.當直線y=H經(jīng)過點(4,1)

時，左=；,經(jīng)過點（5,1）時，A=g.若在區(qū)間［0,5］上有4個根，則左e11

16.21|,目【解析】由余弦定理得〃=/+C2-2accosB,即〃一片=02,所以

c1-lac'CGsB=ac,即c-2acosB=a.由正弦定理得sinC-2sin/cos5=sin/,即

sin（4+5）—2sin4cos5=sin4,所以sin（B-Z）=sin4,所以5-Z=4或（5-4）+4=乃（舍去），所以

B=2A,即3=2.因為A+B=3Ae（0,^）,所以，所以

3

bcosAasin5cos4sin4sin24cos4sin4c2,1

-----+—=+~;-----1—；---2cosA+-----令x=cosA則

absin4sinBsinAsin2A2cos4

,1//(x)=4x-*

/(x)=2x92H-----,XG>0,所以/（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增。又

2xI

a5

p/(l)=-所以/(工)￡ri-

四、解答題

17.解：(1)由正弦定理得sin4cosc+sinCcos4=2sin8cosB,

得sin8=2sinBcosB.

因為<肛sinBw0，

所以cosB=,，即8=(5分)

23

7T_AB-+BC2-AC24+9-3

(2)在A/48C中/2=2,BC=3,B=-,

3~3~2AB-BC12

解得=

在MDC中，AC=S,AD=\,A,B,C,。在圓上,

因為3=生，所以N/DC=二,

33

力?！?/p>

27r2+2―1+。。2一7

所以cos——=

32ADDC2DC

解得DC=2,

101TTI-

=ADDCsin+AB

所以四邊形ABCD的面積S=S乂BC+S^ADC2'~~-BCsin-=2V3.

（10分）

18.（1）證明：因為-=%-S"局=娘「蜀+「

所以解=（黑「-S）用,

所以黑i（S.+i-2S“一4=0.

因為冊>0,所以S“+i>0,

所以S“+「2S“T=0,

所以S,m=2S“+2,(6分)

(2)解：因為S“M=2S0+2,

所以S“=2S?_1+2(?..2),

兩式相減，得%+i=20”（凡.2）

4

因為邑=2岳+4,即%+%=2%+2,

所以0,=1+2,由%>0，得A>—1.

若｛4｝是等比數(shù)列，則q/=W，

即2（4+1）=（A+1）2,解得力=—1.

經(jīng)檢驗，2=1符合題意,

故存在2=1,使得數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列.（12分）

19.解：若選擇條件①

因為部3所以需=

設(shè).BM=t,則/N=26f.

又8=60。,。=8,

所以在AABN中,AN2=AB2+BN2-2ABBNcosB,

即（2同2=8?+4〃-2x8x2/cos60。，

即/+2/—8=0,

解得/=2或-4（舍去）.（6分）

在AXBM中，AM2=AB2+BM2-2AB-BMcosB=^+4-2xSx2cos600=52,

所以/河=2/，（8分）

同理3=452+302-2/8-BCCOSB=8?+6?-2x8x6cos60°=52,

所以/C=2萬.

AC2V134^9

由正弦定理可得

sin8sin60°-V3-3

2

所以A42C外接圓的半徑R=名竺，（12分）

3

若選擇條件②

因為點跖N是8C邊上的三等分點，且％的=4百，所以邑收=12百.

因為2=60°,所以S/v=12G=LAS-3Csin60°=-x8x5Cx—,

ABC222

所以3C=6,所以W=2.（6分）

在中，AM2=次+B"-24B-BMCOS3=82+4-2x8*2sin60°=52,

所以/河=2/.（8分）

同理AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB=82+62-2x8x6cos60°=52,

所以/C=2屈，

5

由正弦定理可得2R=—也=*二=2理=生旦,

sin8sin60°V33

V

所以A/18C外接圓的半徑火=名竺.（12分）

3

若選擇條件③

設(shè),BM=t,則8c=3兀

在AXBM中，AM2=AB2+BM2-2AB-BMcosB=82+r-2x&cos60°=82+t2-8f,

同理在AABC中，AC2-AB1+BC2-2AB-5C-cos5=82+%2-2x8x3/cos60°=64+9/2-24?,

因為/C=/M,所以82+/一8=64+9/一2今，

所以"2(6分)

在AABM中，AM2=AB2+W2-2^15-WcosS=82+4-2x8x2cos60°=52,

所以=(8分)

同理/C2=4g2+8c2-24g-BCcosB=82+62-2x8x6cos60°=52,

所以/C=2屈.

由正弦定理可得2R=—竺=二竺=2理=生叵，

sin5sin60°V33

所以A45C外接圓的半徑R=名竺.(12分)

3

20.解：(1)/〈x)=3x?-6x+a=3(x-l『+0-3,(1分)

當a?3時，f\x)>0,

所以〃x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（一00,+8）,無單調(diào)遞減區(qū)間；（2分）

當a<3時,令/'（無）＞0,得X<1—或無＞]+

所以/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為

Ax<l+3一a

令"x)<0,得1-

3

所以〃%）的單調(diào)遞減區(qū)間為（4分）

綜上，當。23時，/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-8,+8）,無單調(diào)遞減區(qū)間；當〃＜3時，/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間

133

(2)由題意得?(%)=,辦3+—-l)x2-3x+—a2,xG[0,2].

6

因為函數(shù)e(x)在x=0處取得最大值，

3133

所以夕(0)=542...夕(%)=/4%3+,(4_])、2-3x+—6Z2,XG[0,2],

13

即—ax3+—(<2+l)x2-3x?0,xG[0,2],

當x=0時，顯然成立.(7分)

1Q

當工￡(0,2]時，1^-^2+|(?-1)%-3<0,

即知當9=----￥辿------=------J——.(8分

X2+3X(X+2)2-(X+2)-2(__2__

@~x+2~

2

令h(x)=(x+2)-----------1,XG(0,2].

x+2

易知〃(x)在區(qū)間(0,2]上單調(diào)遞增，故/z(x)e(o,-|,

所以------工——即q,J

7,c、2155

(x+2)-----------1

x+2

所以。的取值范圍為，00：.(12分)

21.(1)解：補充的條件為q=-;，

st,s2,s3的關(guān)系為，，邑，邑成等差數(shù)列.

證明如下:

由題意可得H=%,

。11

32=Q]+/=4-5~tZj,

0113

'=%+%+。3=%—2%+WW'

可得SI+S2=2S3，因此S1，83,82成等差數(shù)列.（5分）

(2)證明：由%-%=3,口J~6Z|—3,

n-i

解得q=4,Q〃=4X（6分）

n-l

2

4x3分)

3

2(1c1。11

則7；=-1----F2----1-3----F???+72-----

32482〃

7

2(1J1-1

=-11-2,—I-3---F—Fn?

I34816

上面兩式相減

11111