結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程

關(guān)于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程的建立

建立動(dòng)力體系運(yùn)動(dòng)方程常用的三種方法是直接平衡法、虛位移原理方法和哈密爾頓原理方法；運(yùn)動(dòng)方程可用上述三種方法中的任一種建立。對(duì)于簡(jiǎn)單體系，最明了的方法是采用直接平衡法建立包括慣性力在內(nèi)的作用于體系上的全部力的平衡關(guān)系，得出運(yùn)動(dòng)方程。對(duì)于更復(fù)雜的體系，直接建立矢量平衡關(guān)系可能是困難的，此時(shí)采用功和能等標(biāo)量建立平衡關(guān)系更為方便；其中包括虛位移原理方法和哈密爾頓原理方法。上述三種方法的結(jié)果是完全相同的，采用何種方法取決于是否方便、個(gè)人的喜好以及動(dòng)力體系的性質(zhì)。第2頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律

第3頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天直接平衡法

通過(guò)動(dòng)力體系各質(zhì)點(diǎn)的力矢量平衡關(guān)系建立運(yùn)動(dòng)方程的方法。質(zhì)量所產(chǎn)生的慣性力與它的加速度成正比，但方向相反。這一概念稱為達(dá)蘭貝爾原理。借助該原理可以把運(yùn)動(dòng)方程表示為動(dòng)力平衡方程。方程中的力包括多種作用于質(zhì)量上的力，如抵抗位移的彈性恢復(fù)力、抵抗速度的粘滯阻尼力以及其它獨(dú)立確定的外荷載。因此，運(yùn)動(dòng)方程的表達(dá)式僅僅是作用于質(zhì)量上所有力（包含慣性力）的平衡表達(dá)式。在許多簡(jiǎn)單問(wèn)題中，直接平衡法是建立運(yùn)動(dòng)方程的最直接而且方便的方法。

第4頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天第5頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天虛位移原理

虛位移原理可表述為：如果一組力作用下的平衡體系承受一個(gè)虛位移（即體系約束所允許的任何微小位移），則這些力所作的總功（虛功）等于零，虛功為零和體系平衡是等價(jià)的。因此，只要明了作用于體系質(zhì)量上的全部力（包括按照達(dá)蘭貝爾原理所定義的慣性力），然后引入對(duì)應(yīng)每個(gè)自由度的虛位移，并使全部力作的功等于零，則可導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)方程。虛功為標(biāo)量，故可依代數(shù)方法相加，這是此法的主要優(yōu)點(diǎn)。當(dāng)結(jié)構(gòu)體系相當(dāng)復(fù)雜，且包含許多彼此聯(lián)系的質(zhì)量點(diǎn)或有限尺寸的質(zhì)量塊時(shí)，直接寫(xiě)出作用于體系上的所有力的平衡方程可能是困難的；盡管作用于體系的力可以容易地用位移自由度來(lái)表示，但它們的平衡關(guān)系則可能十分復(fù)雜。此時(shí)，利用虛位移原理建立運(yùn)動(dòng)方程更為方便。第6頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天第7頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天哈密爾頓原理

第8頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天第9頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.1建立運(yùn)動(dòng)方程的基本步驟

作為本科學(xué)習(xí)，這里只討論用達(dá)朗泊爾原理通過(guò)列平衡方程得到運(yùn)動(dòng)方程的“直接平衡法”。以下討論中一律認(rèn)為系統(tǒng)的阻尼是等效粘滯阻尼。直接平衡法列方程的一般步驟為：

1)確定體系的自由度——質(zhì)量獨(dú)立位移數(shù)；

2)建立坐標(biāo)系，確定未知位移（坐標(biāo)正向?yàn)檎?/p>

3)根據(jù)阻尼理論確定質(zhì)量所受的阻尼力；

4)根據(jù)達(dá)朗泊爾原理在質(zhì)量上假想作用有慣性力（注意：慣性力是實(shí)際的，但它不作用在質(zhì)量上）；

5)取質(zhì)量為隔離體并作受力圖；

6)根據(jù)達(dá)朗泊爾原理列每一質(zhì)量的瞬時(shí)動(dòng)力平衡方程，此方程就是運(yùn)動(dòng)（微分）方程。列平衡方程稱剛度法第10頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.1建立運(yùn)動(dòng)方程的基本步驟

作為本科學(xué)習(xí)，這里只討論用達(dá)朗泊爾原理通過(guò)列平衡方程得到運(yùn)動(dòng)方程的“直接平衡法”。以下討論中一律認(rèn)為系統(tǒng)的阻尼是等效粘滯阻尼。直接平衡法列方程的一般步驟為：

1)確定體系的自由度——質(zhì)量獨(dú)立位移數(shù)；

2)建立坐標(biāo)系，確定未知位移（坐標(biāo)正向?yàn)檎?/p>

3)根據(jù)阻尼理論確定質(zhì)量所受的阻尼力；

4)根據(jù)達(dá)朗泊爾原理在質(zhì)量上假想作用有慣性力（注意：慣性力是實(shí)際的，但它不作用在質(zhì)量上）；列位移方程稱柔度法5)將動(dòng)力外荷、慣性力、阻尼力作為“外力”，按位移計(jì)算公式求各質(zhì)量沿自由度方向的位移，其結(jié)果應(yīng)該等于未知位移（滿足協(xié)調(diào)），由此建立方程。第11頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.2運(yùn)動(dòng)方程建立舉例2.2.1單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程例-1)試建立圖示結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程。h

m

EIP(t)解：由于橫梁剛度無(wú)窮大，結(jié)構(gòu)只能產(chǎn)生水平位移。設(shè)x坐標(biāo)向右（右手系）。

又設(shè)橫梁（質(zhì)量m）位移為u，以它為隔離體，受力如圖所示。P(t)h

列x方向全部力的平衡方程，即可得結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程為

圖中Fs1和Fs2可由圖是有位移法（實(shí)際直接可由形常數(shù)）得到第12頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.2運(yùn)動(dòng)方程建立舉例2.2.1單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程解：圖示結(jié)構(gòu)只能產(chǎn)生豎向位移，顯然這是單自由度對(duì)稱振動(dòng)。設(shè)質(zhì)量豎向位移為v，向下為正。

將慣性力fI、阻尼力fd如圖所示加于梁上，根據(jù)達(dá)朗泊爾原理和阻尼假定l/2l/2m例-2)試建立圖示抗彎剛度為EI簡(jiǎn)支梁的運(yùn)動(dòng)方程。（不計(jì)軸向變形）l/2l/2fIfdP(t)P(t)

由位移計(jì)算可知，單位荷載下簡(jiǎn)支梁跨中豎向位移為因此在所示“外力”下，質(zhì)量的位移為第13頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.2運(yùn)動(dòng)方程建立舉例2.2.1單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程例-3)試建立圖示結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程。h

m

EIP(t)解：由于橫梁剛度無(wú)窮大，結(jié)構(gòu)只能產(chǎn)生水平位移。設(shè)質(zhì)量m位移為u，向右為正。根據(jù)達(dá)朗泊爾原理和假設(shè)的阻尼力理論，加慣性力和阻尼力后受力如圖。

P(t)h

由超靜定位移計(jì)算可得（如圖示意）h

1

因此，外力下位移為顯然，整理後結(jié)果和例-1）相同，k=

-1第14頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.2運(yùn)動(dòng)方程建立舉例2.2.1單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程解：圖示結(jié)構(gòu)只能產(chǎn)生豎向位移，顯然這是單自由度對(duì)稱振動(dòng)。設(shè)質(zhì)量豎向位移為v，向下為正。l/2l/2m例-4)試建立圖示抗彎剛度為EI簡(jiǎn)支梁的運(yùn)動(dòng)方程。（不計(jì)軸向變形）P(t)因此由所示“外力”平衡可得1RP(t)RRfI+fd

利用對(duì)稱性由（形常數(shù)）可得質(zhì)量點(diǎn)處所加支桿單位位移時(shí)的R（=？）。以m為隔離體，加上慣性力fI、阻尼力fd如圖所示，根據(jù)達(dá)朗泊爾原理和阻尼假定顯然,整理後結(jié)果和例-2)相同，k=

-1第15頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.2運(yùn)動(dòng)方程建立舉例2.2.1單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程解：將慣性力fI、阻尼力fd如圖所示加于梁上，根據(jù)達(dá)朗泊爾原理和阻尼假定僅在P(t)作用下m的位移由位移計(jì)算得l/2l/2m例-5)若例-2)簡(jiǎn)支梁動(dòng)荷載作用在3l/4處,試建立其運(yùn)動(dòng)方程l/2l/2fIfdP(t)P(t)

由位移計(jì)算可知，單位荷載下簡(jiǎn)支梁跨中豎向位移為作業(yè)：

P

-1的物理意義是什麼？

因此在所示“外力”下，質(zhì)量的位移為第16頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.2運(yùn)動(dòng)方程建立舉例2.2.1單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程解：設(shè)質(zhì)量水平位移為u，向右為正。例-6)試建立圖示質(zhì)量、彈簧、阻尼器抽象化模型的運(yùn)動(dòng)方程。因此由所示“外力”平衡可得mk

以m為隔離體，加上慣性力fI、阻尼力fd如圖所示，此外還有彈簧的彈性恢復(fù)力fe。根據(jù)達(dá)朗泊爾原理和阻尼假定cmP(t)P(t)fIfefd

由這些例子顯然可見(jiàn)，不管什麼單自由度結(jié)構(gòu)，運(yùn)動(dòng)方程的最終形式都是一樣的。第17頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.2運(yùn)動(dòng)方程建立舉例單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程建立小結(jié)

任何單自由度結(jié)構(gòu)，運(yùn)動(dòng)方程都可寫(xiě)為式中：m質(zhì)量；c阻尼系數(shù)；k剛度系數(shù)；Peq為等效動(dòng)荷載。當(dāng)動(dòng)荷載直接作用在質(zhì)量上時(shí)，Peq為動(dòng)荷載的合力在運(yùn)動(dòng)方向的投影；當(dāng)動(dòng)荷載不作用在質(zhì)量上時(shí)，Peq為動(dòng)荷載作用下限制沿自由度運(yùn)動(dòng)的支座反力。

用剛度法還是用柔度法建立方程，看具體問(wèn)題是求剛度系數(shù)方便、還是求柔度系數(shù)方便來(lái)定。

沒(méi)有等效動(dòng)荷為自由振動(dòng)，沒(méi)第二項(xiàng)為無(wú)阻尼振動(dòng)第18頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.2運(yùn)動(dòng)方程建立舉例2.2.2兩自由度體系運(yùn)動(dòng)方程解：結(jié)構(gòu)為兩自由度體系。設(shè)水平、豎向位移為u、v，分別向右、向下為正。例-7)試建立圖示結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程。各桿長(zhǎng)度為l，抗彎剛度為EI。式中cij

為j方向單位速度引起的i方向的阻尼力。m

根據(jù)達(dá)朗泊爾原理和阻尼假定Px(t)11fIx+fdxfIy+fdy+Py(t)Px(t)Py(t)

為用柔度法建方程，沿位移正向加單位力的單位彎矩圖如圖所示。第19頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天mPx(t)11fIx+fdxfIy+fdy+Py(t)Px(t)Py(t)2.2運(yùn)動(dòng)方程建立舉例2.2.2兩自由度體系運(yùn)動(dòng)方程

由圖示單位彎矩圖可求得因此，在所示“外力”下u、v分別為第20頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.2運(yùn)動(dòng)方程建立舉例2.2.2兩自由度體系運(yùn)動(dòng)方程

以矩陣方程表示，整理後可得記作[d]稱位移陣記作[P]稱荷載陣記作[f]稱柔度陣記作[M]稱質(zhì)量陣記加速度、速度矩陣分別為和則上式可寫(xiě)為記作[C]稱阻尼陣第21頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.2運(yùn)動(dòng)方程建立舉例2.2.2兩自由度體系運(yùn)動(dòng)方程解：為用剛度法建方程，沿位移正向加限制位移的支座如圖所示。例-8)試用剛度法建立結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程。圖中

由位移法或彎矩分配法可做出支座單位位移的彎矩圖如圖示。mPx(t)Py(t)11M1M2M3M4第22頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.2運(yùn)動(dòng)方程建立舉例2.2.2兩自由度體系運(yùn)動(dòng)方程mPx(t)Py(t)圖中11k11k21k12k22M1M2M3M4由此可求得圖示反力(剛度)系數(shù)kij第23頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天

取質(zhì)量為隔離體，加慣性力fIx、fIy，阻尼力fdx、fdy和彈性恢復(fù)力fex、

fey。2.2運(yùn)動(dòng)方程建立舉例2.2.2兩自由度體系運(yùn)動(dòng)方程fIxfdxfexPxfIyfeyfdyPy

由達(dá)朗泊爾原理、阻尼理論和上述結(jié)果可得

列平衡方程并以矩陣方程表示，則得運(yùn)動(dòng)方程如下記作[k]稱剛度陣由兩例系數(shù)結(jié)果可證[k]=[f]-1第24頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.2運(yùn)動(dòng)方程建立舉例2.2.2兩自由度體系運(yùn)動(dòng)方程解：為用剛度法建方程，沿位移正向使限制位移的支座產(chǎn)生圖示單位位移。例-9)試用剛度法建立圖示剪切型結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程。k1和k2為層側(cè)移剛度。

由層剛度定義可得1h1h2k1k2h1h2k1k21k11k21k22k12h2h1k1k2m1m2P2(t)P1(t)P1(t)fe1fd1fI1P2(t)fe2fI2fd2加慣性力、阻尼力後以樓層為隔離體第25頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天P1(t