新版高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-2習(xí)題模塊綜合檢測

模塊綜合檢測(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1已知復(fù)數(shù)z滿足(z1)i=1+i,則z=()A.2i B.2+iC.2i D.2+i答案C2已知a<0,1<b<0,則下列各式成立的是()A.a>ab>ab2 B.ab2>ab>aC.ab>a>ab2 D.ab>ab2>a解析∵1<b<0,∴0<b2<1,b2>b.又a<0,∴a<ab2<0,ab2<ab.故選D.答案D3若復(fù)數(shù)2a+2i1+i(a∈R)是純虛數(shù),則復(fù)數(shù)2a+2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在(A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析2a+2i1+i=(2a+2i由題意得a=1,所以2a+2i=2+2i.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(2,2),即在第二象限.答案B4已知直線y=kx+1與曲線y=x2+ax+b相切于點(diǎn)A(1,3),則ab等于()A.4 B.1C.3 D.2解析因?yàn)辄c(diǎn)A(1,3)在直線y=kx+1上,所以k=2.又y=x2+ax+b,則y'=2x+a,所以k=y'|x=1,即2=2×1+a,所以a=0.又點(diǎn)A(1,3)在曲線y=x2+ax+b上,所以b=2,ab=2.故選D.答案D5下列推理正確的是()A.因?yàn)閙>n,m>p,所以mn>mpB.如果不買彩票,那么就不能中大獎,因?yàn)槟阗I了彩票,所以你一定能中大獎C.如果m,n均為正實(shí)數(shù),那么(m+n)2≥4mnD.如果m,n均為正實(shí)數(shù),那么lgm+lgn≥2lg解析由m>n,m>p可能有mn<mp,例如21<2(1),故選項(xiàng)A不正確;選項(xiàng)B顯然不正確;當(dāng)m,n均為正實(shí)數(shù)時(shí),lgm,lgn不一定為正數(shù),所以lgm+lgn≥2lgm·lgn不一定成立,答案C6設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo),y=f(x)的圖象如圖,則導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象可能為()解析如圖,可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(∞,0),(0,a)和(b,+∞)內(nèi)是增函數(shù),f'(x)>0,y=f'(x)的圖象在x軸的上方;函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是減函數(shù),f'(x)<0,y=f'(x)的圖象在x軸的下方.綜上可知,D選項(xiàng)正確,故選D.答案D7用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4)2(n∈N*)時(shí),第一步驗(yàn)證當(dāng)n=1A.1 B.1+2C.1+2+3 D.1+2+3+4解析等式左邊的規(guī)律是從1一直加到n+3.所以當(dāng)n=1時(shí),應(yīng)為1+2+3+4.故選D.答案D8n個(gè)連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排成下表:根據(jù)規(guī)律,從2016到2018,箭頭的方向依次為()A.↓→ B.→↑ C.↑→ D.→↓解析由已知可得箭頭變化的周期為4,故由得從2016到2018的方向?yàn)檫x項(xiàng)A中所示.答案A9給出以下命題:(1)若abf(x)dx>0,則f(x)(2)02π|sinx|(3)F(x)是以T為周期的函數(shù),且F'(x)=f(x),則0af(x)dx=Ta+T其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.0解析(1)錯(cuò)誤.如-12xdx=12x但f(x)=x在(1,2)上不滿足f(x)>0.(2)正確.02π|sinx|dx=π0sinxdx+π2π(3)正確.0af(x)dx=F(x)|0a=F(Ta+Tf(x)dx=F=F(a+T)F(T)=F(a)F(0).答案B10已知對任意實(shí)數(shù)x,有f(x)=f(x),g(x)=g(x),且當(dāng)x>0時(shí),f'(x)>0,g'(x)>0,則當(dāng)x<0時(shí)()A.f'(x)>0,g'(x)>0 B.f'(x)>0,g'(x)<0C.f'(x)<0,g'(x)>0 D.f'(x)<0,g'(x)<0解析由題意可知y=f(x)是奇函數(shù),y=g(x)是偶函數(shù).因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí),y=f(x),y=g(x)是增函數(shù),所以當(dāng)x<0時(shí),y=f(x)是增函數(shù),y=g(x)是減函數(shù),即當(dāng)x<0時(shí),f'(x)>0,g'(x)<0.答案B11下面給出了關(guān)于復(fù)數(shù)的四種類比推理:①復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則,可以類比多項(xiàng)式的加減法運(yùn)算法則;②由向量a的性質(zhì):|a|2=a2,可以類比得到復(fù)數(shù)z的性質(zhì):|z|2=z2;③關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)有兩個(gè)不同實(shí)根的條件是b24ac>0,類比可得關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈C)有兩個(gè)不同復(fù)數(shù)根的條件是b24ac>0;④由向量加法的幾何意義,可以類比得到復(fù)數(shù)加法的幾何意義.其中類比得到的結(jié)論正確的是()A.①③ B.②④ C.②③ D.①④解析②中|z|2∈R,而z2不一定是實(shí)數(shù).③中復(fù)數(shù)集中不能比較大小,不能用b24ac來確定根的個(gè)數(shù).答案D12如圖,設(shè)T是直線x=1,x=2,y=0以及過x=1,x=2與y=x2交點(diǎn)的直線圍成的直角梯形區(qū)域,S是T內(nèi)函數(shù)y=x2圖象下方的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域(圖中陰影部分).向T中隨機(jī)投一點(diǎn),則該點(diǎn)落入S中的概率為()A.15 B.25 C.13解析解方程組y=x2,x=-1,得曲線y=x解方程組y=x2,x=2,得曲線y=x2與直線x=所以直角梯形區(qū)域T的面積為1+42×[2(1)]=15又因?yàn)殛幱安糠諷的面積為-12x2dx=13x3|-1則該點(diǎn)落入S中的概率為315答案B二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分.把答案填在題中的橫線上)13已知i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)(12i)(a+i)是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為.

答案214已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(x≥-1),f(-x-2)(x<-1),在其圖象上點(diǎn)(1,解析在y=2x+1中,令x=1,得y=3,所以f(1)=3,所以a+b+c=3.對函數(shù)f(x)=ax2+bx+c求導(dǎo)得f'(x)=2ax+b,則f'(1)=2a+b=2.由已知得f(3)=f(32)=f(1)=3,對函數(shù)f(x)=f(x2)求導(dǎo)得f'(x)=f'(x2),所以f'(3)=f'(32)=2,所以f(x)在點(diǎn)(3,f(3))處的切線方程為y3=2(x+3),即y=2x3.答案y=2x315設(shè)等邊三角形ABC的邊長為a,P是△ABC內(nèi)的任意一點(diǎn),且P到三邊AB,BC,CA的距離分別為d1,d2,d3,則有d1+d2+d3為定值32a.由這個(gè)平面圖形的特性類比空間圖形:設(shè)四面體ABCD的棱長均為a,P是四面體ABCD內(nèi)的任意一點(diǎn),且點(diǎn)P到平面ABC,平面ABD,平面ACD,平面BCD的距離分別為d1,d2,d3,d4,則有d1+d2+d3+d4為定值.

解析在等邊三角形ABC中,d1+d2+d3=32a為△ABC的高,類比四面體中,d1+d2+d3+d4也應(yīng)為四面體的高63答案6316若偶函數(shù)f(x)在x∈(0,+∞)時(shí)滿足f'(x)>f(x)x,且f(1)=0,則不等式f(x)解析設(shè)g(x)=f(x)則g'(x)=f'(x所以g(x)在(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù).當(dāng)x>0時(shí),由f(x)x≥0=f(當(dāng)x<0時(shí),x>0,f(x)x≥0?f(x)-x≤0?f(-x)答案[1,0)∪[1,+∞)三、解答題(本大題共6小題,共74分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17(12分)若復(fù)數(shù)z1滿足z1=i(2z1)(i為虛數(shù)單位).(1)求z1;(2)求|z1|(3)若|z|=1,求|zz1|的最大值.分析先由已知條件求出復(fù)數(shù)z1,再利用復(fù)數(shù)模的定義及其幾何意義求解.解(1)由z1=i(2z1),得z1=2i1+i=1+i(2)|z1|=|z1|=2(3)|zz1|表示復(fù)數(shù)z與z1分別對應(yīng)的點(diǎn)Z與Z1間的距離,Z在圓x2+y2=1上,Z1(1,1),顯然Z,Z1間的最大距離為2+1,即|zz1|的最大值為2+1.18(12分)設(shè)兩拋物線y=x2+2x,y=x2所圍成的圖形為M,求M的面積.分析先求得兩拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo),再作出草圖,結(jié)合圖形求解.解解方程組y=-x函數(shù)y=x2+2x與y=x2在同一坐標(biāo)平面內(nèi)的圖象如圖所示,由圖可知,圖形M的面積為01(x2+2xx2)dx=01(2x2+2x所以M的面積為1319(12分)已知△ABC的三邊長分別為a,b,c,且其中任意兩邊長均不相等.若1a,1b,1c成等差數(shù)列,解大小關(guān)系為ba證明如下:要證ba<cb因?yàn)閍,b,c>0,所以只需證b2<ac.因?yàn)?a,所以2b=1a+1c≥21又a,b,c任意兩邊均不相等,所以b2<ac成立.故所得大小關(guān)系正確.20(12分)設(shè)△ABC的兩個(gè)內(nèi)角A,B所對的邊分別為a,b,復(fù)數(shù)z1=a+bi,z2=cosA+icosB,若復(fù)數(shù)z1·z2為純虛數(shù),試判斷△ABC的形狀,并說明理由.分析利用復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的條件,結(jié)合正弦定理及三角知識求解.解△ABC為等腰三角形或直角三角形.理由如下:因?yàn)閦1=a+bi,z2=cosA+icosB,所以z1·z2=(acosAbcosB)+i(acosB+bcosA).又z1·z2為純虛數(shù),所以a由①及正弦定理,得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.因?yàn)锳,B為△ABC的內(nèi)角,所以0<2A<2π,0<2B<2π,且2A+2B<2π.所以2A=2B或2A=π2B,即A=B或A+B=π2.也就是A=B或C=π由②及正弦定理,得sinAcosB+sinBcosA≠0,即sin(A+B)≠0.因?yàn)锳,B是△ABC的內(nèi)角,所以0<A+B<π.所以sin(A+B)≠0成立.綜上所述,知A=B或C=π2故△ABC為等腰三角形或直角三角形.21(12分)已知函數(shù)f(x)=ex(ax2+a+1)(a∈R).(1)若a=1,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;(2)若f(x)≥2e2對任意x∈[2,1]恒成立,求實(shí)數(shù)a解(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x2ex,f(1)=e.f'(x)=2xexx2ex.因?yàn)榍悬c(diǎn)為(1,e),則k=f'(1)=3e,所以f(x)在點(diǎn)(1,e)處的切線方程為y=3ex+2e.(2)由題意得,f(2)=e2(4a+a+1)≥2e解得a≥15f'(x)=ex(ax2+2ax+a+1)=ex[a(x+1)2+1].因?yàn)閍≥15,所以f'(x)>0恒成立所以f(x)在[2,1]上單調(diào)遞增.要使f(x)≥2e2則f(2)=e2(4a+a+1)≥2e2,即a≥故實(shí)數(shù)a的取值范圍是1522(14分)設(shè)函數(shù)f(x)=(x1)3axb,x∈R,其中a,b∈R.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x)存在極值點(diǎn)x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求證:x1+2x0=3;(3)設(shè)a>0,函數(shù)g(x)=|f(x)|,求證:g(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值不小于14(1)解由f(x)=(x1)3axb,可得f'(x)=3(x1)2a.下面分兩種情況討論:①當(dāng)a≤0時(shí),有f'(x)=3(x1)2a≥0恒成立,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(∞,+∞).②當(dāng)a>0時(shí),令f'(x)=0,解得x=1+3a3,或x=1當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:x∞113a1-1+1+3a1+3af'(x)+00+f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為1-3a3(2)證明因?yàn)閒(x)存在極值點(diǎn),所以由(1)知a>0,且x0≠1.由題意,得f'(x0)=3(x01)2a=0,即(x01)2=a3,進(jìn)而f(x0)=(x01)3ax0b=2a3x0又f(32x0)=(22x0)3a(32x0)b=8a3(1x0)+2ax03ab=2a3x0a3b=f(x0),且32x0≠x0,由題意及(1)知,存在唯一實(shí)數(shù)x1滿足f(x1)=f(x0),且x1≠x0,因此x1=32x0.所以x1+2(3)證明設(shè)g(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值為M,max{x,y}表示x,y兩數(shù)的最大值.下面分三種情況討論:①當(dāng)a≥3時(shí),13a3≤0<2≤1+3a3,由(1)知,f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減,所以f(x)在區(qū)間[0,2]上的取值范圍為[f(2),f(0)],因此M=max{|f(2)|,|f(0)|}=max{|12ab|,|1b|}=max{|a1+(a+b)|,|a1(a+b)所以M=a1+|a+b|≥2.②當(dāng)34≤a<3時(shí),123a3≤0<13a