2024年山東濟(jì)南高三一模數(shù)學(xué)高考試題答案詳解（精校打印版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁絕密★啟用并使用完畢前2024年3月濟(jì)南市高三模擬考試數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，19題，全卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為.若，，則（

）A．49 B．63 C．70 D．1262．已知，，若，則（

）A．1 B． C． D．3．某公司現(xiàn)有員工120人，在榮獲“優(yōu)秀員工”稱號的85人中，有75人是高級工程師.既沒有榮獲“優(yōu)秀員工”稱號又不是高級工程師的員工共有14人，公司將隨機(jī)選擇一名員工接受電視新聞節(jié)目的采訪，被選中的員工是高級工程師的概率為（

）A． B． C． D．4．與拋物線和圓都相切的直線的條數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．35．已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且，則（

）A． B． C． D．6．若，，，則（

）A． B．C． D．7．已知復(fù)數(shù)，滿足，則（

）A．1 B． C．2 D．8．若不等式對任意的恒成立，則的最小值為（

）A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知橢圓：的兩個焦點(diǎn)分別為，，是C上任意一點(diǎn)，則（

）A．的離心率為 B．的周長為12C．的最小值為3 D．的最大值為1610．已知函數(shù)的圖象在y軸上的截距為，是該函數(shù)的最小正零點(diǎn)，則（

）A．B．恒成立C．在上單調(diào)遞減D．將的圖象向右平移個單位，得到的圖象關(guān)于軸對稱11．下列等式中正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知隨機(jī)變量，則的值為.13．在三棱柱中，，，且平面，則的值為.14．已知集合，函數(shù).若函數(shù)滿足：對任意，存在，使得，則的解析式可以是.（寫出一個滿足條件的函數(shù)解析式即可）四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，令.(1)求證：為等比數(shù)列；(2)求使取得最大值時的n的值.16．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)討論極值點(diǎn)的個數(shù).17．拋擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的骰子，所得的點(diǎn)數(shù)分別為a，b，記的取值為隨機(jī)變量X，其中表示不超過的最大整數(shù).(1)求在的條件下，的概率；(2)求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望.18．已知雙曲線C：的左右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與雙曲線C的右支交于M，N兩點(diǎn).(1)若直線的斜率k存在，求k的取值范圍；(2)記直線，的斜率分別為，，求的值；(3)設(shè)G為直線與直線的交點(diǎn)，，的面積分別為，，求的最小值.19．在空間直角坐標(biāo)系中，任何一個平面的方程都能表示成，其中，，且為該平面的法向量.已知集合，，.(1)設(shè)集合，記中所有點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為，中所有點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為，求和的值；(2)記集合Q中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積為，中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積為，求和的值：(3)記集合T中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為W.①求W的體積的值；②求W的相鄰（有公共棱）兩個面所成二面角的大小，并指出W的面數(shù)和棱數(shù).答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．B【分析】利用等差數(shù)列的項(xiàng)的“等和性”得到，再運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算即得.【詳解】因是等差數(shù)列，故，于是故選：B2．A【分析】根據(jù)平面向量共線的充要條件即可得解.【詳解】因?yàn)?，，，所以，解?故選：A.3．C【分析】求出沒有榮獲“優(yōu)秀員工”稱號的高級工程師人數(shù)，得到公司的高級工程師總?cè)藬?shù)，從而得到概率.【詳解】由題意得，沒有榮獲“優(yōu)秀員工”稱號的高級工程師有人，則公司共有高級工程師的人數(shù)為，故被選中的員工是高級工程師的概率為.故選：C4．D【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出拋物線的切線方程，再由圓的切線性質(zhì)列式計(jì)算即得.【詳解】設(shè)直線與拋物線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，求導(dǎo)得，因此拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，即，依題意，此切線與圓相切，于是，解得或，所以所求切線條數(shù)為3.故選：D5．A【分析】由題設(shè)條件和正弦定理化邊為角，再利用和角公式進(jìn)行拆角化簡，即可得到，利用三角形內(nèi)角范圍即得.【詳解】由以及正弦定理可得：，因，代入整理得，因,則得，又因，故.故選：A.6．C【分析】利用三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，放縮求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，即，綜上，故選：C7．B【分析】首先分析題意，設(shè)出復(fù)數(shù)，求出復(fù)數(shù)的模找變量之間的關(guān)系，整體代入求解即可.【詳解】設(shè)則所以，，即，則故選：B.8．A【分析】因?yàn)椋?，即求直線的縱截距的最小值，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)證明在的圖象上凹，所以直線與相切，切點(diǎn)橫坐標(biāo)越大，縱截距越小，據(jù)此即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以即求直線的縱截距的最小值，設(shè)，所以，所以在單調(diào)遞增，所以在的圖象上凹，所以直線與相切，切點(diǎn)橫坐標(biāo)越大，縱截距越小，令切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，所以直線過點(diǎn)，且直線斜率為所以的直線方程為，當(dāng)時，，即直線與相切時，直線與無交點(diǎn)，設(shè)，所以，所以在時斜率為，在時斜率為，均小于直線的斜率，所以可令直線在處與相交，在處與相交，所以直線方程為，所以截距為.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于，，即求直線的縱截距的最小值的分析.9．BD【分析】首先分析題意，利用橢圓性質(zhì)進(jìn)行逐個求解，直接求出離心率判斷A，利益橢圓的定義求出焦點(diǎn)三角形周長判斷B，舉反例判斷C，利用基本不等式求最大值判斷D即可.【詳解】由橢圓得則所以，故A錯誤;易知的周長為故B正確；當(dāng)在橢圓長軸的一個端點(diǎn)時，取得最小值，最小值為，故C錯誤；由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，則取得最大值16，故D正確.故選：BD.10．AC【分析】由題意求出，然后由余弦型函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】函數(shù)的圖象在y軸上的截距為，所以，因?yàn)?，所?故A正確；又因?yàn)槭窃摵瘮?shù)的最小正零點(diǎn)，所以，所以，解得，所以，，所以，故B錯誤；當(dāng)時，，故C正確；將的圖象向右平移個單位，得到，是非奇非偶函數(shù)，圖象不關(guān)于軸對稱，故D錯誤.故選：AC.11．BCD【分析】利用的展開式與賦值法可判斷A，利用組合數(shù)的性質(zhì)可判斷B，利用階乘的裂項(xiàng)法可判斷C，構(gòu)造求其含的項(xiàng)的系數(shù)可判斷D.【詳解】對于A，因?yàn)椋?，得，則，故A錯誤；對于B，因?yàn)椋?，故B正確；對于C，因?yàn)?，所以，故C正確.對于D，，對于，其含有的項(xiàng)的系數(shù)為，對于，要得到含有的項(xiàng)的系數(shù)，須從第一個式子取出個，再從第二個式子取出個，它們對應(yīng)的系數(shù)為，所以，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)解決的關(guān)鍵是，利用組合的思想，從多項(xiàng)式中得到含有的項(xiàng)的系數(shù)，從而得解.12．16【分析】理解正態(tài)分布的均值、方差的含義即得，再利用隨機(jī)變量的方差性質(zhì)即可求得.【詳解】由可得,則.故答案為：16.13．##0.5【分析】利用三棱柱模型，選擇一組空間基底，將相關(guān)向量分別用基底表示，再利用平面，確定必共面，運(yùn)用空間向量共面定理表達(dá)，建立方程組計(jì)算即得.【詳解】如圖，不妨設(shè)，依題意，,，因，則又因平面，故必共面，即存在，使，即，從而有，解得.故答案為：.14．（滿足，且一次項(xiàng)系數(shù)不為零的所有一次或者二次函數(shù)解析式均正確）【分析】根據(jù)，求得，則滿足的一次函數(shù)或二次函數(shù)均可.【詳解】，，，，，，所以，則的解析式可以為.經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意.故答案為：（答案不唯一）.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的形式，確定函數(shù)的關(guān)鍵特征和條件.15．(1)證明見解析(2).【分析】（1）結(jié)合已知，由時化簡得，再由及等比數(shù)列的定義證明即可；（2）先求得，利用作商法判斷數(shù)列的單調(diào)性即可求得最值.【詳解】（1）由，可得時，即，，又因?yàn)椋?，，綜上，，，所以為首項(xiàng)和公比均為的等比數(shù)列.（2）由（1）可得，所以，時，，令，可得，（或令，可得），可知，綜上，或時，的取得最大值.16．(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)答案見解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分、兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的極值點(diǎn)個數(shù).【詳解】（1）當(dāng)時，定義域?yàn)?，又，所以，由，解得，此時單調(diào)遞增；由，解得，此時單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，由題意知，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，即極值點(diǎn)的個數(shù)為個；當(dāng)時，易知，故解關(guān)于的方程得，，，所以，又，，所以當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，即極值點(diǎn)的個數(shù)為個.綜上，當(dāng)時，極值點(diǎn)的個數(shù)為個；當(dāng)時，極值點(diǎn)的個數(shù)為個.17．(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）利用列舉法結(jié)合條件概率公式即可得解；（2）寫出隨機(jī)變量的所有可能取值，求出對應(yīng)概率，即可得出分布列，再根據(jù)期望公式求期望即可.【詳解】（1）記拋擲骰子的樣本點(diǎn)為，則樣本空間為，則，記事件“”，記事件“”，則，且，又，則，所以，即在的條件下，的概率為；（2）所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6.，，，，，，，所以的分布列為：0123456所以.18．(1)；(2)；(3)3.【分析】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合題意列出不等式組，即可求解；（2）由（1）得到，求得，結(jié)合斜率公式，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解；（3）由（2）可知，設(shè)與的方程分別為和，兩兩方程組，求得，結(jié)合三角形的面積公式和不等式的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）解：設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，因?yàn)橹本€與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，可得，解得，又由直線的斜率為，可得的取值范圍是.（2）解：由雙曲線，可得，，由（1）可得，，則.所以.（3）解：由（2）可知，所以直線與直線的方程分別為和，聯(lián)立兩直線方程可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，于是，故的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號成立.

【點(diǎn)睛】方法技巧：求解圓錐曲線的最值問題的解答策略與技巧：1、幾何方法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓、圓錐曲線的定義、圖形，以及幾何性質(zhì)求解；2、代數(shù)方法：當(dāng)題目給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個目標(biāo)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③單調(diào)性法；④三角換元法；⑤導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.19．(1)，；(2)，；(3)①16；②，共有12個面，24條棱.【分析】（1）首先分析題意進(jìn)行解答，分別表示出集合代表的點(diǎn)，后得到的截面是正方形求出，同理得到是正方形求出即可.（2）首先根據(jù)（1）分析得出為截去三棱錐所剩下的部分.后用割補(bǔ)法求解體積即可.（3）利用題目中給定的定義求出法向量，結(jié)合面面角的向量求法求解，再看圖得到面數(shù)和棱數(shù)即可.【詳解】（1）集合表示平面上所有的點(diǎn)，表示這八個頂點(diǎn)形成的正方體內(nèi)所有的點(diǎn)，而可以看成正方體在平面上的截面內(nèi)所有的點(diǎn).發(fā)現(xiàn)它是邊長為2的正方形，因此.對于，當(dāng)時，表示經(jīng)過，，的平面在第一象限的部分.由對稱性可知Q表示，，這六個頂點(diǎn)形成的正八面體內(nèi)所有的點(diǎn).而可以看成正八面體在平面上的截面內(nèi)所有的點(diǎn).它是邊長為的正方形，因此.（2）記集合，中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積分別為，；考慮集合的子集；即為三個坐標(biāo)平面與圍成的四面體.四面體四個頂點(diǎn)分別為，，，，此四面體的體積為由對稱性知，考慮到的子集構(gòu)成的幾何體為棱長為1的正方體，即，，顯然為兩個幾何體