2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第3章：導(dǎo)數(shù)的綜合問題（附答案解析）

2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第3章：導(dǎo)數(shù)的綜合問題學(xué)生版

1.(2023?溫州模擬)已知函數(shù)｛x)=f—(〃+l)lnx.

(1)當(dāng)。=0時(shí),求危)的單調(diào)區(qū)間:

(2)若火x)》(a2—a)inx對Vxe(l,+8)恒成立，求。的取值范圍.

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2.設(shè)/(x)=2xlnx+L

(1)求火x)的最小值;

(2)證明：x+丄+21nx.

x

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3.(2023,邢臺(tái)質(zhì)檢)2022年2月4日，第二十四屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式在北京國家體

育場舉行，拉開了冬奧會(huì)的帷幕.冬奧會(huì)發(fā)布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家

的廣泛喜愛，達(dá)到一墩難求的地步.當(dāng)?shù)啬陈糜斡闷飞痰戢@批經(jīng)銷此次奧運(yùn)會(huì)紀(jì)念品，其中

某個(gè)掛件紀(jì)念品每件的成本為5元，并且每件紀(jì)念品需向稅務(wù)部門上交。元(lOWaW13)的稅

收，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)定為x元(13Wx<17)時(shí)，一年的銷售量為(18—x)2萬件.

(1)求該商店一年的利潤兀0(萬元)與每件紀(jì)念品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)求岀兀0的最大值0(“).

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4.(2022?重慶質(zhì)檢)已知函數(shù)/(x)=f+2x—Hn〃￡R.

(1)當(dāng)。=4時(shí)，求危)的極值;

(2)若曲線歹=/(x)與直線在(0,4］上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求。的取值范圍.

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5.(2023?濟(jì)寧質(zhì)檢)已知函數(shù)/(x)=acosx+6e'(a,b&R),曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,貝0))處的切線

方程為y=-x.

(1)求實(shí)數(shù)a,6的值；

(2)當(dāng)xcL2’8J時(shí)，/)<c(cGZ)恒成立，求。的最小值.

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2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第3章：導(dǎo)數(shù)的綜合問題教師版

1.(2023?溫州模擬)已知函數(shù)4x)=.-(〃+1)加x.

(1)當(dāng)4=0時(shí)，求段)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若以)2(*-〃)lnx對VxS(l,+8)恒成立，求a的取值范圍.

解(l)/(x)的定義域?yàn)?0,+8),

10丫2—1

當(dāng)。=0時(shí)，f(x)=2x—=’----.

XX

當(dāng)xe[0,當(dāng)時(shí),f(%)<0,

則.危)的單調(diào)遞減區(qū)間為雪，

當(dāng)XGTT'+8)時(shí)，f(x)>0,

則.危)的單調(diào)遞增區(qū)間為停'+°°]

(2)由/(x)2(a2—a)lnx對Vx《(l,+8)恒成立，

r2

得a2+l^~—對Vx￡(l,+8)恒成立.

Inx

設(shè)〃(x)=A(x>l),則"(x)=x(jln,l)

Inx(Inx)2

當(dāng)xe(l,/)時(shí)，h'(x)<0；

當(dāng)xG&e,+8)時(shí)，h'(x)>0.

所以//(X)min=〃(a)=2e,

則a2+1W2e,解得一WeTWaW\]2e—1,

故a的取值范圍是[—y/2e—l,\/2e—1].

2.設(shè)-x)=2xlnx+l.

(1)求人x)的最小值；

(2)證明：/(x)^x2—x+-+21nx.

X

⑴解貝X)的定義域?yàn)?0,+8),/(x)=2(lnx+l),

當(dāng)xeP，3時(shí)，/'(x)<0,/(X)單調(diào)遞減；

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當(dāng)+8)時(shí)，/，(x)>0,/(X)單調(diào)遞增,

所以當(dāng)x=1時(shí)，/(X)取得最小值/日=1一2.

ee

(2)證明令F(x)=x2~x+~+2\nx-/(x)

x

x-1

=x(x-1)-----------2(x—l)lnx

x

f11

lx-------291nxi

=(x—1)1XJ,

令g(x)=x-------21nx,

x

則g，(X)=1+丄-2=心聲,0,

所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又g(l)=0,所以當(dāng)0VXV1時(shí)，g(x)<0,F(.r)>0

當(dāng)x>l時(shí)，g(x)>0,F(,r)>0,當(dāng)x=l時(shí)，F(xiàn)(x)=O,

所以0—1)1XJ》0,

即7(x)Wx2—x+1+21nx.

X

3.(2023?邢臺(tái)質(zhì)檢)2022年2月4日，第二十四屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式在北京國家體

育場舉行，拉開了冬奧會(huì)的帷幕.冬奧會(huì)發(fā)布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家

的廣泛喜愛，達(dá)到一墩難求的地步.當(dāng)?shù)啬陈糜斡闷飞痰戢@批經(jīng)銷此次奧運(yùn)會(huì)紀(jì)念品，其中

某個(gè)掛件紀(jì)念品每件的成本為5元，并且每件紀(jì)念品需向稅務(wù)部門上交a元(lOWaW13)的稅

收，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)定為x元(13WxW17)時(shí)，一年的銷售量為(18—x)2萬件.

(1)求該商店一年的利潤7(x)(萬元)與每件紀(jì)念品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)求出/(x)的最大值。(°).

解(1)由題意，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元(13WxW17)時(shí)，一年的銷售量為(18-x)2萬件,

而每件產(chǎn)品的成本為5元，且每件產(chǎn)品需向稅務(wù)部門上交。元(10Wa<13),

.??商店一年的利潤Hx)(萬元)與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為；(x)-(x-5-a)(18-x)2,xG[13,17].

(2)V/(x)=(x-5-a)(18-x)2,xe[13,17],

：.f(x)=(28+2a-3x)(18—x),

令/(x)=0,解得x=28：2。或5=區(qū)而10WaW13,則16W生產(chǎn)W18,

①若16^28+2fl<17,即10Wavll.5,

3

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13

當(dāng)xG'3」時(shí)，，(x)20,/(x)單調(diào)遞增,

卩8+2。9

當(dāng)xeL3'」時(shí)，/(x)WO,4x)單調(diào)遞減,

[28±2￡)4

???段>皿=/13J=壺(13—03；

②若]7忘生土&忘18,即11.5Wa<13,

3

則/'(x)20,即/(X)在[13,17]上單調(diào)遞增，

，/(x)max=/07)=12—a,

f42J

—(13-a)3,10^a<11.5,

綜上，0(a)=，27

\2-a,11.5WaW13.

4.(2022,重慶質(zhì)檢)已知函數(shù)/(x)=x2+2x—41naCR.

(1)當(dāng)“=4時(shí)，求/(x)的極值；

(2)若曲線y=/(x)與直線y=ax在(0,4］上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求“的取值范圍.

解⑴由題意，/(x)=N+2x-4吟x>0,

497

則/(x)=2x+2--=^+x-2)=~(x-\)(x+2),

XXX

故危)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+8)上單調(diào)遞增，

有極小值式1)=3-41n5無極大值.

⑵設(shè)g(x)=J(x)—ax=x2+(2—a)x—a\npx￡(0,4],

則g'(x)=2x+(2-a)--=-[2x2+(2-a)x-a]=^(x+l)(2x-a),

XXX

①當(dāng)a=0時(shí)，g(x)=N+2x,在(0,4］上無零點(diǎn)，不符合題意；

②當(dāng)"0時(shí)，g(x)在(0,4］上單調(diào)遞增，虱2)=4+(2—a)X2>0,

X-0時(shí)，g(x)<0,

由零點(diǎn)存在定理得，g(x)在(0,4］內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，即曲線y=/(x)與直線歹=ax在(0,4］上有且只

有一個(gè)交點(diǎn).

上單調(diào)遞減，在(？9上單調(diào)遞增,

③當(dāng)a>0時(shí),

若44,即0<a<8,則只能U=a—(居―Hn彳

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flIn冃

="l44J=0=Q=4,

若。28,則g(x)在(0,4］上單調(diào)遞減,當(dāng)工一0時(shí)，g(x)>0,

74

則要g(4)=16+4(2—4)—〃ln2v0,則心亠；?，

故心8,

綜上，。的取值范圍為(一8,0)U{4}U[8,+8).

5.(2023?濟(jì)寧質(zhì)檢)已知函數(shù)/(x)=〃cosx+g(a,Z)eR),曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線

方程為》=一%.

(1)求實(shí)數(shù)Q，b的值；

——,+001

(2)當(dāng)2J時(shí)，/(x)Wc(ceZ)恒成立，求c,的最小值.

解(1)因?yàn)?(x)=-〃sinx+be\

f(0)=6=—1a=1,

所以解得

/(0)=a+6=0,b=—\.

(2)因?yàn)?(x)=cosx—ev,2J,

所以/(x)=-sinx—e\設(shè)g(x)=—sinx-e\

g'(x)=—cosx~ex=~(cosx+ev).

當(dāng)_2'時(shí)，cosx^O,ev>0,

所以g'(x)〈0,

當(dāng)x￡(0,+8)時(shí)，一IWcosxWl,^>1,

所以g'a)〈o.

—更