初中七年級(jí)數(shù)學(xué) 集合與不等式 集合

努力的你，未來可期!

第一篇集合與不等式

專題1.01集合

【考綱要求】

1.通過實(shí)例了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系；針對(duì)具體問題能在自然語言、圖形語言的基礎(chǔ)上,

用符號(hào)語言刻畫集合；

2.理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集；在具體情境中了解全集與空集的含義；

3.理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，能求兩個(gè)簡單集合的并集與交集；理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集

的含義，能求給定子集的補(bǔ)集；能使用韋恩(Venn)圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系及集合的基本運(yùn)算，體會(huì)圖形對(duì)

理解抽象概念的作用.

【知識(shí)梳理】

1.元素與集合

(1)集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無序性.

(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，表示符號(hào)分別為G和區(qū)

(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法.

2.集合間的基本關(guān)系

(1)子集：若對(duì)任意xdA,都有x￡B,則AUB或BNA.

(2)真子集：若AUB,且集合B中至少有一個(gè)元素不屬于集合A,則AB或BA.

(3)相等：若AUB,且BUA,則厶=8.

(4)空集的性質(zhì)：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

3.集合的基本運(yùn)算

集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集

若全集為U,則集合

符號(hào)表示AUBAOB

A的補(bǔ)集為CUA

(?

圖形表示

AUB

集合表示{xlxGA,或xWB}{xlxeA,且xWB}{xlxGU,且xCA}

4.集合的運(yùn)算性質(zhì)

(1)ADA=A,AD0=0,APlB=BriA.

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(2)AUA=A,AU0=A,AUB=BUA.

(3)An(CuA)=，AU(CuA)=U,Cu(CuA)=A.

【微點(diǎn)提醒】

1.若有限集A中有n個(gè)元素，則A的子集有2n個(gè)，真子集有2n-I個(gè).

2.子集的傳遞性：ACB,BUC=AUC.

3.ACB<=>AnB=A?AUB=B?=>CbA2CuB.

4.CL,(AnB)=(CLIA)U(JB),“AUB)=(CuA)n(CuB).

【疑難辨析】

i.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打或“X”)

(I){xly=x2+l}={yly=x2+l}={(x,y)ly=X2+l}.()

(2)若{x2,1}={0,1},則x=0,1.()

(3)對(duì)于任意兩個(gè)集合A,B,關(guān)系(AnB)U(AUB)恒成立.()

(4)含有n個(gè)元素的集合有2n個(gè)真子集.()

【答案】(l)x(2)x(3)4(4)x

【解析】

(1)錯(cuò)誤.{xly=x2+l}=R,{yly=x2+l}=[l,+oo),{(x,y)ly=x2+1}是拋物線y=x2+1上的點(diǎn)集.

(2)錯(cuò)誤.當(dāng)x=l時(shí)，不滿足集合中元素的互異性.

(3)正確.

(4)錯(cuò)誤.含有n個(gè)元素的集合有2n-l個(gè)真子集.

【教材衍化】

2.泌修干2厶5改編)若集合P={xeN|xRT砲},a=26，則()

A.aGPB.{a}GP

C.{a}cpD.agP

【答案】D

【解析】

因?yàn)閍=2，i不是自然數(shù)，而集合P是不大于回歷的自然數(shù)構(gòu)成的集合，所以WP,只有D正確.

3.(必修明叫改編)已知集合乂={0,1,2,3,4},N={1,3,5},則集合MUN的子集的個(gè)數(shù)為.

【答案】64

【解析】由已知得MUN={0,1,2,3,4,5},所以MUN的子集有26=64(個(gè)).

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【真題體驗(yàn)】

4.①(2019.全國I卷)已知集合〃={引一4<x<2},N={》卜2-》一6<()},則MN=()

A.{x|-4<x<3)B.{%|-4<%<-2)

C.{x|-2<x<2)D.{x|2<x<3)

【答案】c

【解析】

M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<o}={x|-2<x<3},AB={.v|-2<x<2),

②(2018?全國I卷)已知集合A={xlx2-x—2>0},則CRA=()0

A.{x[—l<x<2}B.{x|—l<x<2}

C.{xlx<-1}U{xlx>2}D.{x|x<-1}U{x|x>2)

【答案】B

【解析】

法一A={xlx2-x—2>0}={xl(x—2)(x4-1)>0}={xlx<—1或x>2},所以CRA={XI—1WXW2}.

法二因?yàn)锳={xlx2—x-2>0},所以CRA={XIX2-X—2S0}={XI-1$XW2}.

5.(2019?荷澤模擬)若A={xlx=4k+hkGZ),B={xlx=2k-1,k^Z},則集合A與B的關(guān)系是AB.

【答案】￡

【解析】因?yàn)榧?=*反=21;—1,keZ),A={xlx=4k+1,keZ},所以B表示奇數(shù)集，A表示除以

4余1的整數(shù)集，所以AqB.

6.(2017?全國HI卷改編)己知集合A={(x,y)lx2+y2=l},B={(x,y)lx,yGR,Ky=x},則ACB中元素的

個(gè)數(shù)為.

【答案】2

【解析】

集合A表示圓心在原點(diǎn)的單位圓上所有點(diǎn)的集合，集合B表示直線y=x上所有點(diǎn)的集合，易知直線y=x

和圓x2+y2=l相交，且有2個(gè)交點(diǎn)，故ADB中有2個(gè)元素.

【考點(diǎn)聚焦】

考點(diǎn)一集合的基本概念

【例1】⑴(2019?湖北四地七校聯(lián)考)若集合M={x||x|W",N={yly=x2,|x|<l),則()

A.M=NB.MCN

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C.MCIN=0D.NGM

(2)若xdA,則普A,就稱A是“伙伴關(guān)系”集合，集合M={f0,2,3)的所有非空子集中具有“伙伴

關(guān)系''的集合的個(gè)數(shù)是()

A.lB.3C.7D.31

【答案】(1)D(2)B

【解析】⑴易知M={xl-lWx01},N={yly=x2,|x|<l}={y|0<y<l),；.NUM.

⑵具有伙伴關(guān)系的元素組是一1，2,所以具有伙伴關(guān)系的集合有3個(gè)：{—1},e，2卜{—1,21,

【規(guī)律方法】

1.研究集合問題時(shí)，首先要明確構(gòu)成集合的元素是什么，即弄清該集合是數(shù)集、點(diǎn)集，還是其他集合；然后

再看集合的構(gòu)成元素滿足的限制條件是什么，從而準(zhǔn)確把握集合的含義.

2.利用集合元素的限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)時(shí)，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異

性.

【訓(xùn)練1】(1)(2018?全國II卷)已知集合厶={優(yōu),y)lx2+y2<3,x《Z,yGZ},則A中元素的個(gè)數(shù)為()

A.9B.8C.5D.4

(2)設(shè)集合A={xl(x-a)2<l},且2CA,3CA,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

【答案】(DA(2)(1,2]

【解析】(1)由題意知A={(-1,0)>(0,0),(1,0),(0,—1),(0.1),(—1,—1)?(—1>1),(1>一

1),(1,1)}，故集合A中共有9個(gè)元素.

(2—a)2<1,l<a<3?

fig?.

(2)由題意得(3-a)2>1,]aW2或a%.

所以l<a<2.

考點(diǎn)二集合間的基本關(guān)系

【例|2](1)已知集合A={xly=，Tx2,x￡R},B={xlx=m2,m￡A},則()

A.AgBB.BQA

C.AWBD.B=A

(2)(2019杭州調(diào)研)已知集合A={xlx2—5x—1名0},集合B={xlm+lvx<2m-1},若BUA,則實(shí)數(shù)m的取

值范圍為.

【答案】(1)B(2)(-oo,4]

【解析】(1)易知A={xl-lWxS},

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所以B={xlx=m2,mEA}={x|O<x<l}.

因此BQA.

(2)A={xlx2—5x—14<0}={x|—2<x<7}.

當(dāng)B=0時(shí)，有m+l>2m—1,則m<2.

當(dāng)B聲。時(shí)，若BGA,如圖.

m+1>—2,

則{2m—lW7,

.m+l<2m—1,

解得2<m<4.

綜上，m的取值范圍為(-8,4J.

【規(guī)律方法】

1.若B￡A,應(yīng)分B=0和B,0兩種情況討論.

2.已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將兩個(gè)集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化

為參數(shù)滿足的關(guān)系.解決這類問題常常要合理利用數(shù)軸、Venn圖，化抽象為直觀進(jìn)行求解.

【訓(xùn)練2】(1)(2019?青島質(zhì)檢)設(shè)集合M={xlx2-x>0},N={x91},貝ij()

A.MQNB.N￡M

C.M=ND.MUN=R

(2)若將本例(2)的集合A改為A={xlx2—5x—14>0}.其它條件不變，則m的取值范圍是.

【答案】(1)C(2)(-oo,2]U[6,+oo)

【解析】⑴集合M={xlx2—x>0}={xlx>l或x<0},N=[x:<l]={xlx>l或x<0},所以M=N.

(2)A—{xlx2—5x—14>0}={xlx<—2或x>7).

當(dāng)B=0時(shí),有m+G2m—1,則mW2.

當(dāng)時(shí)，若BUA,

[m+l<2m_1,[m+l<2m—1,

則，或

lm+1>712m—1<—2.

解之得m>6.

綜上可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(一8,2]U[6,+oo).

考點(diǎn)三集合的運(yùn)算

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角度1集合的基本運(yùn)算

【例3—1]⑴已知集合A={xlx<2},B={xl3-2x>0},則()

A.AClB={xx<||B.ACB=0

C.AUB=Jxx<-1D.AUB=R

(2)(2018?天津卷)設(shè)全集為R,集合A={xl0<x<2},B={x|x>l},則ACI(CRB)=()

A.{x|0<x<l}B.{xl0<x<l}

C.{x|l<x<2{D.{xl0<x<2}

【答案】(1)A(2)B

【解析】

⑴因?yàn)锽={xl3—2x>0}={xx<|1,A={xlx<2},所以ACB=]xx<|j-,AUB={xlx<2}.

⑵因?yàn)锽={x|xNl},所以CRB={XIXV1},因?yàn)锳={XI0<X<2},所以An(CRB)={xlOvx<l}.

角度2抽象集合的運(yùn)算

【例3一2】設(shè)U為全集，A,B是其兩個(gè)子集，貝上存在集合C,使得AUC,BUCuC”是“厶口8=0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】由圖可知，若“存在集合C,使得AUC,BUCuC”,則一定有“ACB=0"；反過來，若"AnB=0”,

則一定能找到集合C,使ACC且BUJC.

角度3集合的新定義問題

【例3—3】若集合A具有以下性質(zhì)：

(i)0GA,IGA；

(ii)若x￡A,yGA,貝iJx—yGA,且x翔時(shí)，1GA.

則稱集合A是“好集”.給出下列說法：①集合B={—1,0,1}是“好集”；②有理數(shù)集Q是“好集”；③設(shè)集合

A是“好集”，若xWA,yeA,則x+yGA.

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其中，正確說法的個(gè)數(shù)是（）

A.OB.lC.2D.3

【答案】C

【解析】①集合B不是“好集”，假設(shè)集合B是“好集”，因?yàn)橐?GB,1GB,所以-1-1=-2GB,這與

—2任B矛盾；②有理數(shù)集Q是“好集”，因?yàn)镺dQ,16Q,對(duì)任意的xGQ,ydQ,有x—yGQ,且x#）時(shí),

;SQ,所以有理數(shù)集Q是“好集”：③因?yàn)榧螦是“好集”，所以0WA,若xdA,yEA,則0—y6A,即

一yGA,所以x—（一y）WA,即x+yGA.

【規(guī)律方法】

1.進(jìn)行集合運(yùn)算時(shí)，首先看集合能否化簡，能化簡的先化簡，再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算.

2.注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

（1）離散型數(shù)集或抽象集合間的運(yùn)算，常借助Venn圖求解.

（2）連續(xù)型數(shù)集的運(yùn)算，常借助數(shù)軸求解，運(yùn)用數(shù)軸時(shí)要特別注意端點(diǎn)是實(shí)心還是空心.

（3）集合的新定義問題：耐心閱讀，分析含義，準(zhǔn)確提取信息是解決這類問題的前提，剝?nèi)バ露x、新法則、

新運(yùn)算的外表，利用所學(xué)的集合性質(zhì)等知識(shí)將陌生的集合轉(zhuǎn)化為我們熟悉的集合，是解決這類問題的突破

口.

【訓(xùn)練3】（1）（2019?延安模擬）若全集U={-2,-1,0,1,2},A={-2,2},B={xlx2—1=0},則圖中

陰影部分所表示的集合為（）

A.{-1,0,1}0}

C.{-1,1}D.{0}

(2)已知集合A={xlx2—xWO},B={xla—l<x<a},若AClB只有一個(gè)元素，則a=()

A.OB.lC.2D.l或2

【答案】(1)D(2)C

【解析】

(1)B={XIX2-1=0}={-1,1),陰影部分所表示的集合為Cu(AUB).AUB={-2,—1,1,2},全集U={-

2,-1,0,1,2],所以CU(AUB)={0}.

(2)易知A=[0,1],因?yàn)锳C1B只有一個(gè)元素，所以a—1=1,解得a=2.

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【反思感悟】

1.集合屮的元素的三個(gè)特征，特別是無序性和互異性在解題時(shí)經(jīng)常用到.解題后要進(jìn)行檢驗(yàn)，要重視符號(hào)語

言與文字語言之間的相互轉(zhuǎn)化.

2.對(duì)連續(xù)數(shù)集間的運(yùn)算，借助數(shù)軸的直觀性，進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化；對(duì)已知連續(xù)數(shù)集間的關(guān)系，求其中參數(shù)的取值

范圍時(shí)，要注意單獨(dú)考察等號(hào)能否取到.

3.對(duì)離散的數(shù)集間的運(yùn)算，或抽象集合間的運(yùn)算，可借助Venn圖.這是數(shù)形結(jié)合思想的又一體現(xiàn).

【易錯(cuò)防范】

1.集合問題解題中要認(rèn)清集合中元素的屬性（是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他類型集合），要對(duì)集合進(jìn)行化簡.

2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，時(shí)刻關(guān)注對(duì)空集的討論，防止漏解.

3.解題時(shí)注意區(qū)分兩大關(guān)系：一是元素與集合的從屬關(guān)系；二是集合與集合的包含關(guān)系.

4.Venn圖圖示法和數(shù)軸圖示法是進(jìn)行集合交、并、補(bǔ)運(yùn)算的常用方法，其中運(yùn)用數(shù)軸圖示法時(shí)要特別注意

端點(diǎn)是實(shí)心還是空心.

【分層訓(xùn)練】

【基礎(chǔ)鞏固題組】（建議用時(shí)：30分鐘）

一、選擇題

1.（2018?全國III卷）已知集合厶=以反一1對(duì)},B={0,1,2},則ACB=（）

A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}

【答案】C

【解析】由題意知,A={x|x>l},則ACB={1,2}.

2.（2019.濱州模擬）設(shè)集合A={1,2,3},B={4,5},M={xlx=a+b,aGA,b《B},則M中元素的個(gè)數(shù)

為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】因?yàn)锳={1,2,3},B={4,5},

又乂={*氏=2+1>,aGA,bGB）,

，M={5,6,1,8）,即M中有4個(gè)元素.

3.（2019?日照質(zhì)檢）已知全集U={0,1,2,3,4},若厶={0,2,3},B={2,3,4},!illJ（CL.A）n（CuB）=（）

A.0B.{1}C.{0,2}D.{1,4}

【答案】B

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【解析】因?yàn)槿疷={O,1,2,3,4},A={0,2,3},B={2,3,4),所以4},CL)B={0,

1).因此(CuA)n(CuB)={i}.

4.設(shè)集合A={xl—l〈xW2},B={xlx<0},則下列結(jié)論正確的是()

A.(CRA)nB={xlx<-l}

B.AnB={x|-l<x<0}

C.AU(CRB)-{X|X>0}

D.AUB={xlx<0}

【答案】B

【解析】易求CRA={x|xS—1或x>2},CRB={X|X刈,

/.(CRA)nB={x|x<-l),A項(xiàng)不正確.

AnB={xl-l<x<0},B項(xiàng)正確，檢驗(yàn)C、D錯(cuò)誤.

5.已知集合A={XGNIX2-2X-8《)},B={X|2X>8},則集合ACB的子集的個(gè)數(shù)為()

A.lB.2C.3D.4

【答案】D

【解析】因?yàn)锳={X《NIX2-2X-8W0}={0,1,2,3,4},B={x|x>3},所以AC1B={3,4},所以集合

AQB的子集個(gè)數(shù)為4.

6.已知集合乂二支卜二五771},N={xly=log2(2—x)},貝！ICR(MnN)=()

A.[l,2)1)U[2,+oo)

C.[0,1]D.(-8,0)U[2,+OO)

【答案】B

【解析】由題意可得M={x|x*}，N={xlx<2},.?.MnN={x|lWx<2},尸{xlxcl或XN2}.

7.設(shè)集合厶={尊，y)lx+y=l},B={(x,y)lx-y=3},則滿足MU(ACB)的集合M的個(gè)數(shù)是()

A.OB.lC.2D.3

【答案】C

x+y=l,[x=2?

【解析】由■得

x—y=3,ly=-l>

...ACIB={(2,-1)}.

由MU(AClB),知乂=0或乂={(2,-1)|.

8.(一題多解)已知集合A={xly=lg(x—X2)},B={xlx2-cx<0,c>0},若AUB,則實(shí)數(shù)c的取值范圍為()

A.(0,1]B.[l,+oo)

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C.(o,1)D.(l,+oo)

【答案】B

【解析】

法一由題意知，A={xly=lg(x—X2)}={xlx-X2>0}={xl0vx<l},B={xlx2—cx〈O,c>O}={xlO<x<c}.由AUB,

畫出數(shù)軸，如圖所示，得*1.

法二A={xly=lg(x—X2)={xlx—X2>O}={xlO<x<I},結(jié)合選項(xiàng),取c=l,得B={xlOvx<l},則AUB成立,

可排除C、D；取c=2,得8=30。<2},則AUB成立,排除A.

二、填空題

9.設(shè)集合$=熾心-2)儀一3巨0},T={xlx>0},則(CRS)CT=.

【答案】{xl2vxv3}

【解析】易知S={x|x<2或x>3},

二CRS={XI2<X<3},

因此&S)nT={xl2<x<3}.

10.(2017?江蘇卷)已知集合厶={1,2},B={a,az+3},若ACB={1},則實(shí)數(shù)a的值為.

【答案】1

【解析】由ADB={1}知，1GB,又02+3與，則a=l.

11.(2019?濟(jì)南質(zhì)檢)已知集合厶={1,3,4,7},B={xlx=2k+I,kGA},則集合AUB中元素的個(gè)數(shù)為

【答案】6

【解析】VA={1,3,4,7},B={xlx=2k+1,k€A),

，B={3,7,9,15},.,.AUB={1,3,4,7,9,15},

集合AUB中元素的個(gè)數(shù)為6.

12.集合A={xlx<0},B={xly=lg[x(x+1)]},若A-B={xlxGA,且x任B},則A-B=.

【答案】{xl—l<x<0}

【解析】由題意知,B={xly=lg[x(x+l)]}={xlx(x+l)>O}={xlx<—l或x>0},則A—B={x|—IWXVO).

【能力提升題組】(建議用時(shí)：10分鐘)

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13.(2018?河南百校聯(lián)盟聯(lián)考)若集合厶=3丫=2(3*—*2)},B=1y丫=1+不7xCA1，則AD(CRB)等于

()

A.(0,2]B.(2,3)C.(3,5)D.(—2,-1)

【答案】A

【解析】由3x—x2>0,得0<x<3,則A=(0,3),

，B=(yy=l+^7pXGA]=(2,5),

則C°B=(-8,2]U[5,+OO),故An(CpB)=(O,2].

14.已知集合A={xly=、4—X2},B={x|a<x<a+1},若AUB=A,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(—oo,-3]U[2,+oo)B.[—1,2]

C.[-2,1]D.[2,+oo)

【答案】C

.2f

【解析】集合A={xly=y4—X2}={x|-2WxW2},因AUB=A,則BUA,又B#0,所以有,十舊所

以一2%W1.

15.已知集合A={(x,y)lx2=4y},B={(x,y)ly=x},則ACB的真子集個(gè)數(shù)是

【答案】3

X2=4y,[x=0,x=4,

【解析】