線性連續(xù)系統(tǒng)的離散化

關(guān)于線性連續(xù)系統(tǒng)的離散化目錄(1/1)目錄概述3.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解3.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣及其計(jì)算

3.3線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解3.4線性定常連續(xù)系統(tǒng)的離散化3.5線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解3.6Matlab問題本章小結(jié)第2頁,共26頁，2024年2月25日，星期天線性連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的離散化(1/5)3.4線性連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的離散化離散系統(tǒng)的工作狀態(tài)可以分為以下兩種情況。整個(gè)系統(tǒng)工作于單一的離散狀態(tài)。對于這種系統(tǒng),其狀態(tài)變量、輸入變量和輸出變量全部是離散量,如現(xiàn)在的全數(shù)字化設(shè)備、計(jì)算機(jī)集成制造系統(tǒng)等。系統(tǒng)工作在連續(xù)和離散兩種狀態(tài)的混合狀態(tài)。對于這種系統(tǒng),其狀態(tài)變量、輸入變量和輸出變量既有連續(xù)時(shí)間型的模擬量,又有離散時(shí)間型的離散量，如連續(xù)被控對象的采樣控制系統(tǒng)就屬于這種情況。第3頁,共26頁，2024年2月25日，星期天線性連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的離散化(2/5)對于第2種情況的系統(tǒng),其狀態(tài)方程既有一階微分方程組又有一階差分方程組。為了能對這種系統(tǒng)運(yùn)用離散系統(tǒng)的分析方法和設(shè)計(jì)方法,要求整個(gè)系統(tǒng)統(tǒng)一用離散狀態(tài)方程來描述。由此,提出了連續(xù)系統(tǒng)的離散化問題。在計(jì)算機(jī)仿真、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)中利用數(shù)字計(jì)算機(jī)分析求解連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程,或者進(jìn)行計(jì)算機(jī)控制時(shí),都會遇到離散化問題。第4頁,共26頁，2024年2月25日，星期天線性連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的離散化(3/5)圖3-3所示為連續(xù)系統(tǒng)化為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)框圖。圖3-3連續(xù)系統(tǒng)離散化的實(shí)現(xiàn)第5頁,共26頁，2024年2月25日，星期天線性連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的離散化(4/5)線性連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)間離散化問題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì),就是在一定的采樣方式和保持方式下,由系統(tǒng)的連續(xù)狀態(tài)空間模型來導(dǎo)出等價(jià)的離散狀態(tài)空間模型,并建立起兩者的各系數(shù)矩陣之間的關(guān)系式。為使連續(xù)系統(tǒng)的離散化過程是一個(gè)等價(jià)變換過程,必須滿足如下條件和假設(shè)。在離散化之后,系統(tǒng)在各采樣時(shí)刻的狀態(tài)變量、輸入變量和輸出變量的值保持不變。保持器為零階的,即加到系統(tǒng)輸入端的輸入信號u(t)在采樣周期內(nèi)不變,且等于前一采樣時(shí)刻的瞬時(shí)值,故有u(t)=u(kT)kT≤t<(k+1)T

第6頁,共26頁，2024年2月25日，星期天線性連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的離散化(5/5)采樣周期T的選擇滿足申農(nóng)(Shannon)采樣定理,即采樣頻率2

/T大于2倍的連續(xù)信號x(k)的上限頻率。滿足上述條件和假設(shè),即可推導(dǎo)出連續(xù)系統(tǒng)的離散化的狀態(tài)空間模型。下面分別針對線性定常連續(xù)系統(tǒng)和線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)討論離散化問題。第7頁,共26頁，2024年2月25日，星期天線性定常連續(xù)系統(tǒng)的離散化(1/3)3.4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的離散化本節(jié)主要研究線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的離散化,即研究如何基于采樣將線性定常連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行離散化,建立相應(yīng)的線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。主要討論的問題為兩種離散化方法:精確法和近似法第8頁,共26頁，2024年2月25日，星期天線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的離散化,實(shí)際上是指在采樣周期T下,將狀態(tài)空間模型線性定常連續(xù)系統(tǒng)的離散化(2/3)變換成離散系統(tǒng)的如下狀態(tài)空間模型:由于離散化主要是對描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的狀態(tài)方程而言,輸出方程為靜態(tài)的代數(shù)方程,其離散化后應(yīng)保持不變,即C(T)=C

D(T)=D離散化主要針對連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程(A,B)如何通過采樣周期T,變換成離散系統(tǒng)狀態(tài)方程(G,H)。第9頁,共26頁，2024年2月25日，星期天在上述的條件和假設(shè)下,即可推導(dǎo)出連續(xù)系統(tǒng)離散化的狀態(tài)空間模型。下面介紹兩種離散化方法:精確法、近似法。線性定常連續(xù)系統(tǒng)的離散化(3/3)主要推薦?第10頁,共26頁，2024年2月25日，星期天精確離散化方法(1/4)現(xiàn)在只考慮在采樣時(shí)刻t=kT和t=(k+1)T時(shí)刻之間的狀態(tài)響應(yīng),即對于上式,取t0=kT,t=(k+1)T,于是1.精確離散化方法所謂線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程的精確離散化方法,就是利用狀態(tài)方程的求解公式以保證狀態(tài)在采樣時(shí)刻連續(xù)狀態(tài)方程和離散化狀態(tài)方程有相同的解來進(jìn)行離散化。連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程的求解公式如下:第11頁,共26頁，2024年2月25日，星期天精確離散化方法(2/4)考慮到u(t)在采樣周期內(nèi)保持不變的假定,所以有將上式與線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程x((k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT)比較,可知兩式對任意的x(kT)和u(kT)成立的條件為G(T)=(T)=eAT對上式作變量代換,令t=(k+1)T-

,則上式可記為上兩式即為精確離散化法的計(jì)算式。第12頁,共26頁，2024年2月25日，星期天精確離散化方法(3/4)—例3-11解首先求出連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣:例3-11

試用精確離散化方法寫出下列連續(xù)系統(tǒng)的離散化系統(tǒng)的狀態(tài)方程:第13頁,共26頁，2024年2月25日，星期天精確離散化方法(4/4)—例3-11根據(jù)精確法計(jì)算式有于是該連續(xù)系統(tǒng)的離散化狀態(tài)方程為第14頁,共26頁，2024年2月25日，星期天近似離散化方法(1/6)2.近似離散化方法所謂線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的近似離散化方法是指在采樣周期較小,且對離散化的精度要求不高的情況下,用狀態(tài)變量的差商代替微商來求得近似的差分方程。即,由于x’(kT)=LimT0[x((k+1)T)-x(kT)]/T故當(dāng)采樣周期較小時(shí),有x’(kT)[x((k+1)T)-x(kT)]/T第15頁,共26頁，2024年2月25日，星期天近似離散化方法(2/6)將上式代入連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程,有[x((k+1)T)-x(kT)]/T=Ax(kT)+Bx(kT)即x((k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT)將上式與線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的狀態(tài)方程比較,則可得如下近似離散化的計(jì)算公式:G(T)=I+ATH(T)=BT將上述近似離散法和精確離散法比較知,由于I+AT和BT分別是eAT和

eAtdtB的Taylor展開式中的一次近似,因此近似離散化方法其實(shí)是取精確離散化方法的相應(yīng)計(jì)算式的一次Taylor近似展開式。第16頁,共26頁，2024年2月25日，星期天近似離散化方法(3/6)—例3-12由上述推導(dǎo)過程可知,一般說來,采樣周期T越小,則離散化精度越高。但考慮到實(shí)際計(jì)算時(shí)的舍入誤差等因素,采樣周期T不宜太小。例3-12

試用近似離散化方法寫出下列連續(xù)系統(tǒng)的離散化系統(tǒng)的狀態(tài)方程:第17頁,共26頁，2024年2月25日，星期天解

由近似離散化法計(jì)算公式,對本例有近似離散化方法(4/6)—例3-12于是該連續(xù)系統(tǒng)的離散化狀態(tài)方程為第18頁,共26頁，2024年2月25日，星期天近似離散化方法(5/6)—例3-12近似法的計(jì)算結(jié)果為2.當(dāng)T=0.001s時(shí),精確法的計(jì)算結(jié)果為對上述近似離散化法的精度可檢驗(yàn)如下:1.當(dāng)T=1s時(shí),精確法的計(jì)算結(jié)果為第19頁,共26頁，2024年2月25日，星期天近似離散化方法(6/6)—例3-12近似法的計(jì)算結(jié)果為從上述計(jì)算結(jié)果可知,近似離散法只適用于較小的采樣周期。第20頁,共26頁，2024年2月25日，星期天線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的離散化(1/6)3.4.2線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的離散化線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的離散化,實(shí)際上是指在指定的采樣周期T下,將連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程變換成線性時(shí)變離散系統(tǒng)的如下狀態(tài)方程:第21頁,共26頁，2024年2月25日，星期天線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程的離散化,就是利用時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡求解公式來進(jìn)行離散化。由3.3節(jié)可知,連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解可表示為:線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的離散化(2/6)現(xiàn)在只考慮在采樣時(shí)刻t=kT和t=(k+1)T時(shí)刻之間的狀態(tài)響應(yīng),即對于上式,取t0=kT,t=(k+1)T,于是考慮到u(t)在采樣周期內(nèi)保持不變,所以有第22頁,共26頁，2024年2月25日，星期天線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的離散化(3/6)比較下述兩式可得線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)離散化模型各矩陣如下第23頁,共26頁，2024年2月25日，星期天線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的離散化(4/