江蘇省無錫市高三上學(xué)期期終教學(xué)質(zhì)量調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題

無錫市2023年秋學(xué)期高三期終教學(xué)質(zhì)量調(diào)研測試數(shù)學(xué)2024.1命題單位：江陰市教師發(fā)展中心制卷單位：無錫市教育科學(xué)研究院一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已如集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式求得集合，結(jié)合交集運(yùn)算，可得答案.【詳解】由題意集合，.故選：A.2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限C.笵三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算將化簡，從而可求對應(yīng)的點的位置.【詳解】因為，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，易得該點在第四象限.故選：D.3.已知，是兩個不共線的向量，命題甲：向量與共線；命題乙：，則甲是乙的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】利用向量共線定理即可判斷.【詳解】向量與共線等價于.因為，是兩個不共線的非零向量，所以，解得：.所以甲是乙的充要條件.故選：C.4.從甲地到乙地的距離約為，經(jīng)多次實驗得到一輛汽車每小時托油量（單位：）與速度（單位：（）的下列數(shù)據(jù)：04060801200.0006.6678.12510.00020.000為描述汽車每小時枆油量與速度的關(guān)系，則下列四個函數(shù)模型中，最符合實際情況的函數(shù)模型是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意以及表中數(shù)據(jù)可知，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，且函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點，即可判斷出最符合實際的函數(shù)模型．【詳解】依題意可知，該函數(shù)必須滿足三個條件：第一，定義域為；第二，在定義域上單調(diào)遞增；第三，函數(shù)經(jīng)過坐標(biāo)原點.對于A選項：不經(jīng)過坐標(biāo)原點，故A不符合;對于B選項：滿足以上三個條件，故B符合;對于C選項：在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故C不符合;對于D選項：當(dāng)時，無意義，故D不符合;故選:B.5.已知，設(shè)橢圓：與雙曲線：的離心率分別為，.若，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意及橢圓和雙曲線的離心率公式求得的值，寫出雙曲線的漸近線即可.【詳解】因為，結(jié)合離心率公式可得，解得，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：A.6.已知直四棱柱的底面是邊長為2的菱形，且.若，分別是側(cè)棱，上的點，且，，則四棱錐的體積為（）A. B.2 C. D.6【答案】A【解析】【分析】通過分析得到為四棱錐的高，計算體積即可.【詳解】取的中點，連接，由直四棱柱的底面是邊長為2的菱形，且，所以易得，所以,又因為面，且面，所以,又因為且面，所以面，故為四棱錐的高.易得到，四邊形的面積為,所以四棱錐的體積為,故選：A.7.已知是等比數(shù)列的前項和，且存在，使得，，成等差數(shù)列.若對于任意的，滿足，則（）A. B. C.32 D.16【答案】D【解析】【分析】借助等比數(shù)列知識，利用，，成等差數(shù)列，求出，再利用，求出，再計算即可.【詳解】因為，，成等差數(shù)列，所以即，即，所以，因為數(shù)列是等比數(shù)列，且，所以，，所以，即，所以（無解）或，即又因為，所以，所以，所以，故選：D.8.已知函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù).令函數(shù)若存在唯一的整數(shù)，使得不等式成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)奇偶性定義求出，表示出，畫出圖象，分類討論即可.【詳解】令，，因為為奇函數(shù)，為偶函數(shù).所以，，所以可得，同理可得，由得，所以，要滿足存在唯一的整數(shù)，使得不等式成立，而，當(dāng)時，，顯然不成立，當(dāng)時，要使只有一個整數(shù)解，因為所以，即.當(dāng)時，要使只有一個整數(shù)解，因為,所以，即綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.故選:B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.第一組樣本數(shù)據(jù)，第二組樣本數(shù)據(jù)，，…，，其中（），則（）A.第二組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)是第一組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)的2倍B.第二組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第一組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)的2倍C.第二組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差是第一組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差的2倍D.第二組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差是第一組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差的2倍【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)以及中位數(shù)和極差的概念可得答案.【詳解】設(shè)樣本數(shù)據(jù)，的樣本平均數(shù)為，樣本中位數(shù)為，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為，極差為，對于A,C選項：由，根據(jù)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)可知，樣本數(shù)據(jù)，，…,的樣本平均數(shù)為，故A錯誤；樣本數(shù)據(jù)，，…,的樣本方差為，所以第二組數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差，故C正確；對于B選項：根據(jù)中位數(shù)的概念可知，樣本數(shù)據(jù)，，…,的中位數(shù)為，故B錯誤；對于D選項：根據(jù)極差的概念可知,樣本數(shù)據(jù)，，…，的極差為,故D正確.故選：CD.10.已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（）A.的圖象關(guān)于點對稱B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.將圖象上的所有點向右平移個單位長度即可得到的圖象D.函數(shù)的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】對于A選項：：將代入驗證即可；對于B選項：換元后結(jié)合三角函數(shù)圖象與性質(zhì)判斷即可；對于C選項：利用三角函數(shù)得圖象變換化簡整理即可；對于D選項：借助和差角公式計算即可.【詳解】對于A選項：將代入，得，故的圖象不關(guān)于點對稱,故選項A錯誤;對于B選項：在，令，則，因為，所以，根據(jù)余弦函數(shù)圖象可知在單調(diào)遞增，故選項B正確；對于C選項：將圖象上的所有點向右平移個單位長度,可得到故選項C正確；對于D選項：,結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可知：，故選項D正確.故選：BCD.11.已知過點的直線與拋物線：相交于、兩點，直線：是線段的中垂線，且與的交點為，則下列說法正確的是（）A.為定值 B.為定值C.且 D.【答案】BD【解析】【分析】由兩直線位置關(guān)系設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，求出點的坐標(biāo)，代入即可判斷選項A和B，利用已知條件找出與的關(guān)系，結(jié)合即可判斷選項C和D.【詳解】由題意可知，直線的斜率存在且不為0，因為直線過點且與拋物線：相交于、兩點，直線：是線段的中垂線，所以設(shè)直線：，聯(lián)立方程，可得，所以,，所以的中點坐標(biāo)，由題意可知，點是中點，所以，，因為在直線：上，所以，因為，所以，所以為定值，故選項B正確；因為是變量，所以不是定值，故選項A錯誤；因為，，所以，即，又因為，所以，即，解得或，故選項C錯誤；對選項D，由選項C可得，，所以，解得，故選項D正確.故選：BD.12.已知在伯努利試驗中，事件發(fā)生的概率為，我們稱將試驗進(jìn)行至事件發(fā)生次為止，試驗進(jìn)行的次數(shù)服從負(fù)二項分布，記作，則下列說法正確的是（）A.若，則，B.若，則，C.若，，則D.若，則當(dāng)取不小于的最小正整數(shù)時，最大【答案】ACD【解析】【分析】利用負(fù)二項分布的概念可判斷AB選項；利用二項分布和負(fù)二項分布的概率公式可判斷C選項；分析可得，結(jié)合負(fù)二項分布的概率公式可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為，則，A對；對于B選項，因為，則，，B錯；對于C選項，因為從中取出個數(shù)的取法有種，這些取法可按的值分類，即時的取法有種，所以，，因為，，設(shè)，則，所以，，C對；對于D選項，因為，最大，則，所以，，解得，所以，當(dāng)取不小于的最小正整數(shù)時，最大，D對.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查負(fù)二項分布問題，解決本題的關(guān)鍵在于正確理解負(fù)二項分布的定義，知曉負(fù)二項分布的概率公式，結(jié)合負(fù)二項分布的概率公式求解.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知直線與圓相交于兩點，則______.【答案】【解析】【分析】首先求出圓的圓心坐標(biāo)和半徑，計算圓心到直線的距離，再計算弦長即可.【詳解】圓，，圓心，半徑.圓心到直線的距離..故答案為：【點睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系中的弦長問題，熟練掌握弦長公式為解題的關(guān)鍵，屬于簡單題.14.隨著杭州亞運(yùn)會的舉辦，吉祥物“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”火遍全國.現(xiàn)有甲、乙、丙位運(yùn)動員要與“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”站成一排拍照留念，則這個吉祥物互不相鄰的排隊方法數(shù)為______.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】先將甲、乙、丙位運(yùn)動員排序，然后將“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”三個吉祥物插入位運(yùn)動員形成的個空位中，利用插空法可得出不同的排隊方法種數(shù).【詳解】先將甲、乙、丙位運(yùn)動員排序，然后將“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”三個吉祥物插入位運(yùn)動員形成的個空位的個空位中，所以，不同的排隊方法種數(shù)為種.故答案為：.15.已知函數(shù)在區(qū)間上值域為，則的值為______.【答案】【解析】【分析】先得到，根據(jù)得到，根據(jù)值域得到方程，檢驗后求出答案.【詳解】由題意得，當(dāng)時，，由于在區(qū)間上的值域為，故①或②，解①得，滿足解②得，不滿足，舍去，綜上，的值為.故答案為：16.已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象在點和點處的兩條切線相互平行且分別交軸于、兩點，則的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】由可得出，利用弦長公式得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的值域，即可為所求.【詳解】當(dāng)時，，，則，當(dāng)時，，，則，因為函數(shù)的圖象在點和點處的兩條切線相互平行，則，即，則，，，所以，，令，其中，則，當(dāng)時，，此時函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，因此，的取值范圍是.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵在于利用切線斜率相等得出、所滿足的關(guān)系式，然后將轉(zhuǎn)化為含的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題求解.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.設(shè)數(shù)列滿足，，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式.【答案】17.證明見解析18.【解析】【分析】（1）整理題目中的等式，根據(jù)等比數(shù)列的定義，可得答案；（2）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，利用累加法，可得答案.【小問1詳解】由，則，所以，由，，則故數(shù)列為等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）可知數(shù)列是以為首項，以3為公比，故，，則；；.由累加法可得：，由，則18.在中，角的對邊分別為，，，已知的面積為.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）借助面積公式與余弦定理以及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系計算即可.（2）借助三角函數(shù)的相關(guān)知識求出，利用配湊角及二倍角公式計算即可.【小問1詳解】結(jié)合題意：的面積為,，結(jié)合余弦定理可得：，所以，解得，所以.【小問2詳解】因為，所以，易得為銳角，所以，所以，由上問可知,,所以，所以,整理得,即，解得（舍去），或.19.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，是線段的中點.（1）若，求證：平面；（2）若，，且平面與平面夾角的正切值為，求線段的長.【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）首先證平面ACD，通過證明四邊形BGFE是平行四邊形，得，進(jìn)而得證；（2）利用空間向量法求解即可【小問1詳解】取AC的中點G，連接BG、FG，因為，所以,又因為平面平面，平面ABC平面，，所以CD平面ABC，平面ABC，所以，因為，平面,所以平面ACD，又因為是線段的中點，所以且，且，所以且，四邊形BGFE是平行四邊形，所以，所以平面【小問2詳解】如圖建系因為，又，所以,又因為，，所以四邊形BCDE是直角梯形，所以設(shè)，所以，，，所以，，設(shè)平面ADE的一個法向量，所以，平面ABC的法向量，設(shè)平面ABC與平面ADE夾角為，所以，，所以，所以，，所以20.為考察藥物對預(yù)防疾病以及藥物對治療疾病的效果，科研團(tuán)隊進(jìn)行了大量動物對照試驗.根據(jù)100個簡單隨機(jī)樣本的數(shù)據(jù)，得到如下列聯(lián)表：（單位：只）藥物疾病未患病患病合計未服用301545服用451055合計7525100（1）依據(jù)的獨立性檢驗，分析藥物對預(yù)防疾病的有效性；（2）用頻率估計概率，現(xiàn)從患病的動物中用隨機(jī)抽樣的方法每次選取1只，用藥物進(jìn)行治療.已知藥物的治愈率如下：對未服用過藥物的動物治愈率為，對服用過藥物的動物治愈率為.若共選取3次，每次選取的結(jié)果是相互獨立的.記選取的3只動物中被治愈的動物個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：，0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】20.藥物對預(yù)防疾病有效果.21.答案見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)公式算出卡方，與表格中的數(shù)據(jù)比較即可.（2）結(jié)合全概率公式先求概率，每名志愿者用藥互不影響，且實驗成功概率相同，X服從二項分布求分布列和數(shù)學(xué)期望即可．【小問1詳解】零假設(shè)為:藥物對預(yù)防疾病無效果，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到,根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷零假設(shè)不成立，即認(rèn)為藥物對預(yù)防疾病有效果.【小問2詳解】設(shè)A表示藥物的治愈率，表示對未服用過藥物,表示服用過藥物由題，，，且，，.藥物的治愈率，則，所以，，，，X的分布列如下表所示X0123P．21.在直角坐標(biāo)系中，動點與定點的距離和到定直線：的距離的比是常數(shù)，記動點的軌跡為.（1）求的方程；（2）過動點（）的直線交軸于點，交于點（點在第一象限），且.作點關(guān)于軸的對稱點，連接并延長交于點.證明：直線斜率不小于.【答案】（1）;（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于動點的軌跡表達(dá)式，化簡整理即可.（2）設(shè)直線的方程為,借助及韋達(dá)定理，求出的坐標(biāo)，表示并化簡直線斜率，利用基本不等式計算即可.【小問1詳解】結(jié)合題意：設(shè)點到定直線：的距離為，則