重難點(diǎn)專(zhuān)題05三角形中的范圍與最值問(wèn)題

重難點(diǎn)專(zhuān)題05三角形中的范圍與最值問(wèn)題【題型歸納目錄】題型一：周長(zhǎng)問(wèn)題題型二：面積問(wèn)題題型三：長(zhǎng)度問(wèn)題題型四：轉(zhuǎn)化為角范圍問(wèn)題題型五：倍角問(wèn)題題型六：與正切有關(guān)的最值問(wèn)題題型七：最大角問(wèn)題題型八：三角形中的平方問(wèn)題題型九：等面積法、張角定理【方法技巧與總結(jié)】1、在解三角形專(zhuān)題中，求其“范圍與最值”的問(wèn)題，一直都是這部分內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn)。解決這類(lèi)問(wèn)題，通常有下列五種解題技巧:(1)利用基本不等式求范圍或最值；(2)利用三角函數(shù)求范圍或最值；(3)利用三角形中的不等關(guān)系求范圍或最值；(4)根據(jù)三角形解的個(gè)數(shù)求范圍或最值；(5)利用二次函數(shù)求范圍或最值.要建立所求量(式子)與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題.這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避免結(jié)果的范圍過(guò)大.2、解三角形中的范圍與最值問(wèn)題常見(jiàn)題型：(1)求角的最值；(2)求邊和周長(zhǎng)的最值及范圍；(3)求面積的最值和范圍.【典例例題】題型一：周長(zhǎng)問(wèn)題【例1】（2024·湖北武漢·高二武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）?？茧A段練習(xí)）在中，角所對(duì)的邊分別為，且.(1)求角的值；(2)若，求的周長(zhǎng)最小值.【解析】（1）由題意可得，即，得，由正弦定理得，因?yàn)?，所?（2）由（1）知，由余弦定理得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，又因?yàn)?，所?所以，所以的周長(zhǎng)最小值為.故的周長(zhǎng)最小值為.【變式11】（2024·江蘇南京·高二?？茧A段練習(xí)）在銳角中，，，（1）求角；（2）求的周長(zhǎng)l的范圍.注：在①，且，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并對(duì)其進(jìn)行求解.【解析】（1）若選①，因?yàn)?，且，所以，即，因?yàn)?，所?若選②，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所?又因?yàn)椋?若選③，.因?yàn)?，所?又因?yàn)椋?，所以?（2）因?yàn)?，所以?因?yàn)?，所以?..因?yàn)殇J角且，所以所以，，故.【變式12】（2024·山西運(yùn)城·高二?？茧A段練習(xí)）在銳角中，內(nèi)角A、B、C，的對(duì)邊分別是a、b、c，且(1)求角A的大?。?2)若，求周長(zhǎng)的范圍.【解析】（1）由，可得，即，，解得或，，則，故，.（2）由正弦定理可得，則，，，因?yàn)闉殇J角三角形，則，可得，所以，，則，故，周長(zhǎng)的范圍為.【變式13】（2024·江蘇蘇州·高二江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在銳角中，三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.(1)求角的大小；(2)若，求周長(zhǎng)的范圍.【解析】（1）由正弦定理得：，，，，，，，.（2）由正弦定理：，則，，，，周長(zhǎng)為，又銳角，，結(jié)合，，，，即周長(zhǎng)的范圍是.題型二：面積問(wèn)題【例2】（2024·黑龍江哈爾濱·高二黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿(mǎn)足.(1)已知為線(xiàn)段上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，若，求的長(zhǎng)；(2)若為銳角三角形，求面積的范圍.【解析】（1）由題設(shè)，則，故，又，則，又，則為等邊三角形，故，由，則，所以（負(fù)值舍），故.（2）由題意，則，又，則，所以，由，而，所以.【變式21】（2024·河南開(kāi)封·高二校聯(lián)考期中）在銳角中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．且滿(mǎn)足：．(1)求角的大?。?2)若時(shí)，求面積的范圍．【解析】（1），即，整理得到：，故，，故.（2）根據(jù)正弦定理：，故，，，，故，，故面積范圍為：.【變式22】（2024·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙市明德中學(xué)校考階段練習(xí)）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，．(1)求；(2)若角的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，且，求面積的最小值．【解析】（1）由已知，得，在中，由正弦定理得，即．再由余弦定理得．又，所以.（2）因?yàn)槭墙堑钠椒志€(xiàn)，則，又，又，所以，得到，又因?yàn)?，得到，解得，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即面積的最小值是．【變式23】（2024·陜西咸陽(yáng)·高二咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且(1)求A；(2)若，求面積的最大值.【解析】（1）∵，∴由正弦定理得，∴．∵，∴，又∵，∴，∴．（2）由余弦定理得，則由基本不等式可得，所以，故當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴，∴的面積，∴面積的最大值為．題型三：長(zhǎng)度問(wèn)題【例3】（2024·江西宜春·高二?？茧A段練習(xí)）在中，角所對(duì)的邊分別為，且.(1)求角的大?。?2)已知，且角有兩解，求的范圍.【解析】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，所以，所以，因?yàn)?，所以；?）將代入正弦定理，得，所以，因?yàn)?，角的解有兩個(gè)，所以角的解也有兩個(gè)，所以，即，又，所以，解得.所以的范圍為.【變式31】（2024·江西宜春·高二上高二中?？茧A段練習(xí)）銳角三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)求角C的值；(2)若，D為AB的中點(diǎn)，求中線(xiàn)CD的范圍．【解析】（1）由，，，，，．（2），，，由余弦定理有：，，所以，，由正弦定理，，，，，，因?yàn)闉殇J角三角形，所以且，則，,則，．【變式32】（2024·河南濮陽(yáng)·高二校聯(lián)考期末）已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，向量＝(cosB，cosC)，＝(2a＋c，b)，且⊥．(1)求角B的大?。?2)若b＝，求a＋c的范圍．【解析】(1)∵＝(cosB，cosC)，＝(2a＋c，b)，且⊥．∴(2a＋c)cosB＋bcosC＝0，∴cosB(2sinA＋sinC)＋sinBcosC＝0，∴2cosBsinA＋cosBsinC＋sinBcosC＝0．即2cosBsinA＝－sin(B＋C)＝－sinA．∵A∈(0，π)，∴sinA≠0，∴cosB＝－．∵0＜B＜π，∴B＝．(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosπ＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2＝(a＋c)2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)取等號(hào)．∴(a＋c)2≤4，故a＋c≤2．又a＋c>b＝，∴a＋c∈(，2]．即a＋c的取值范圍是(，2]．【變式33】（2024·黑龍江哈爾濱·高二黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）在中，角所對(duì)的邊分別是，且滿(mǎn)足，則的最大值為.【答案】2【解析】因?yàn)?，由正弦定理可得：，注意到，即，整理得，且，則，可得，即，又因?yàn)?，則，可得，所以，由余弦定理可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，且，可得，所以的最大值為2.故答案為：2.【變式34】（2024·貴州黔東南·高二統(tǒng)考期末）在中，角的對(duì)邊分別為，若，且，則的最大值為.【答案】【解析】因?yàn)?，，即，所以，由正弦定理可得，即，又由余弦定理，所以（?fù)值舍去），根據(jù)正弦定理，可得，，所以，其中，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，的最大值為.故答案為：題型四：轉(zhuǎn)化為角范圍問(wèn)題【例4】（2024·陜西渭南·高二渭南市瑞泉中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a，b，c成等差數(shù)列.(1)證明：成等差數(shù)列；(2)求角B的范圍.【解析】（1）證明：已知a，b，c成等差數(shù)列，則，由正弦定理得：，則成等差數(shù)列；（2）由（1）得：，由余弦定理得：因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則又，所以角B的范圍.【變式41】（2024·浙江嘉興·高二校考期中）在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、.已知.（1）求角的大??；（2）若，，求角的大??；（3）求的范圍.【解析】（1）因?yàn)椋?，所以；?）由正弦定理有：，即,所以，又因?yàn)?，所以，所以；?）由題意得因?yàn)?，所以，則，所以，故的取值范圍是.【變式42】（2024·浙江臺(tái)州·高一校聯(lián)考期中）已知在中，角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，且滿(mǎn)足．(1)判斷角B與角C的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若，求的范圍．【解析】（1）∵，，∴或，∴，∴，∴.∵，，∴.∵，∴或，∵，∴.（2）由（1）知：，∴，∴∵，，∴，∴【變式43】（2024·山東臨沂·高一校考期末）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.(1)若，求；(2)若，求的范圍.【解析】（1）由得：，，即，，，，，，解得：.（2）由（1）知：，，，，或，即或；，當(dāng)時(shí)，，不合題意，，，，，.題型五：倍角問(wèn)題【例5】（2024·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在銳角中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.(1)證明：；(2)若，求的周長(zhǎng)的取值范圍.【解析】（1）由余弦定理可得，.又，所以有，整理可得.由正弦定理邊化角可得，.又，所以，，整理可得，.因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，，所以，，.（2）由（1）知，，則.因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，解得.根據(jù)正弦定理可得，，.因?yàn)椋?，，，所以?因?yàn)椋?，，，所以，，所以?所以，的周長(zhǎng)的取值范圍為.【變式51】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.(1)證明：；(2)求的取值范圍.【解析】（1）由，結(jié)合正弦定理得，即，所以，所以或（舍去），所以.（2）在銳角中，，，，即，所以..令，，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，，所以.【變式52】（2024·重慶·高三西南大學(xué)附中校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，滿(mǎn)足(1)求證：；(2)若為銳角三角形，求的最大值．【解析】（1）由題，由正弦定理：，所以，整理，所以，或（舍）,.（2）為銳角三角形,解得：,所以，且由（1）問(wèn)，，令，則，所以因?yàn)?當(dāng)時(shí)，所求的最大值為.題型六：與正切有關(guān)的最值問(wèn)題【例6】（2024·湖南衡陽(yáng)·高三衡陽(yáng)市八中校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，為邊上的高，已知.(1)若，求的值；(2)若，，求的最小值及取最小值時(shí)k的值.【解析】（1）設(shè)a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，，則.在中，由余弦定理得.由，得，所以.因?yàn)?，所以，于是，?（2）法一：由（1）知，.如圖，在中，過(guò)B作的垂線(xiàn)，且使，則，則，即，所以.于是，即令函數(shù)，，則在上單調(diào)遞增，所以，此時(shí).故所求的最小值為，此時(shí)k的值為.法二：由，得，即，化簡(jiǎn)得，即，因?yàn)?，，所以，于是，即令函?shù)，，則在上單調(diào)遞增，所以，此時(shí).故所求的最小值為，此時(shí)k的值為.【變式61】銳角是單位圓的內(nèi)接三角形，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，由余弦定理，可得，又由正弦定理，可得，所以，得，又，所以，所以.又，所以，所以.又，且，故，所以.又，所以，得，所以，故選：C.題型七：最大角問(wèn)題【例7】（2024·山東濱州·統(tǒng)考二模）最大視角問(wèn)題是1471年德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒提出的幾何極值問(wèn)題，故最大視角問(wèn)題一般稱(chēng)為“米勒問(wèn)題”.如圖，樹(shù)頂A離地面a米，樹(shù)上另一點(diǎn)B離地面b米，在離地面米的C處看此樹(shù)，離此樹(shù)的水平距離為米時(shí)看A，B的視角最大.【答案】【解析】過(guò)C作，交AB于D，如圖所示：則，設(shè)，在中，，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以取最大值時(shí)，最大，所以當(dāng)離此樹(shù)的水平距離為米時(shí)看A，B的視角最大.故答案為：【變式71】（2024·河南信陽(yáng)·高一信陽(yáng)高中?？茧A段練習(xí)）最大視角問(wèn)題是1471年德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒提出的幾何極值問(wèn)題，故最大視角問(wèn)題一般稱(chēng)為“米勒問(wèn)題”．如圖，樹(shù)頂離地面12米，樹(shù)上另一點(diǎn)離地面8米，若在離地面2米的處看此樹(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則．設(shè)，在中，．在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．故選：C.【變式72】（2024·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）1471年米勒提出了一個(gè)問(wèn)題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿看上去最長(zhǎng)即可見(jiàn)角最大后人稱(chēng)其為“米勒問(wèn)題”.我們把地球表面抽象為平面，懸桿抽象為直線(xiàn)l上兩點(diǎn)A，，則上述問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為如下模型：如圖1，直線(xiàn)l垂直于平面，l上的兩點(diǎn)A，B位于平面同側(cè)，求平面上一點(diǎn)C，使得最大.建立圖2所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)，當(dāng)最大時(shí)，（

）A．2ab B． C． D．a(chǎn)b【答案】B【解析】有題意可知，是銳角且，因?yàn)椋?，且，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)，，此時(shí)最大.故選:B【變式73】（2024·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）1471年德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒向諾德?tīng)柦淌谔岢鲆粋€(gè)問(wèn)題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長(zhǎng)（即視角最大，視角是指由物體兩端射出的兩條光線(xiàn)在眼球內(nèi)交叉而成的角），這個(gè)問(wèn)題被稱(chēng)為米勒問(wèn)題，諾德?tīng)柦淌诮o出解答，以懸桿的延長(zhǎng)線(xiàn)和水平地面的交點(diǎn)為圓心，懸桿兩端點(diǎn)到地面的距離的積的算術(shù)平方根為半徑在地面上作圓，則圓上的點(diǎn)對(duì)懸桿視角最大.米勒問(wèn)題在實(shí)際生活中應(yīng)用十分廣泛.某人觀察一座山上的鐵塔，塔高，山高，此人站在對(duì)塔“最大視角”（忽略人身高）的水平地面位置觀察此塔，則此時(shí)“最大視角”的正弦值為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由米勒問(wèn)題的解答可知，此人應(yīng)站在離塔水平距離為處觀察，設(shè)此時(shí)視角為，塔底離地面高度為，塔頂離地面高度為，則，則，故.故選：B題型八：三角形中的平方問(wèn)題【例8】（2024·浙江湖州·高三統(tǒng)考期末）已知實(shí)數(shù)，，滿(mǎn)足，則的最小值是A． B． C．1 D．【答案】B【解析】根據(jù)題意利用與的基本不等式,再轉(zhuǎn)換為含的二次不等式求解即可.若取最小值,顯然異號(hào)且.故,即,故,當(dāng)且僅當(dāng)分別取時(shí)等號(hào)成立.故選：B【變式81】（2024·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？茧A段練習(xí)）在中，，，所對(duì)的邊長(zhǎng)為，，，的面積為，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值，故選：C【變式82】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)為的三邊，為的面積，若，則的最大值為．【答案】【解析】解法一：直接套用（12）式：，有，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最大值．解法二：解法三：消元：基本不等式放縮：，移項(xiàng)配湊目標(biāo)：，萬(wàn)能代換：令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，取最大值．【變式83】（2024·四川成都·高一成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在中，a，b，c為三邊，若，則面積的最大值為.【答案】【解析】由三角形面積公式可得，可得，∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以S的最大值為.故答案為：【變式84】（2024·河南鄭州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，設(shè)的面積為，若，則的最大值為．【答案】【解析】由題知，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等