人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè) 14.2.2完全平方公式 教案

/第十四章整式的乘法和因式分解14.2乘法公式第二課時(shí)14.2.2完全平方公式1教學(xué)目標(biāo)1.1知識(shí)與技能：熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征,并能靈活運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。掌握完全平方公式的相關(guān)推論。1.2過(guò)程與方法：經(jīng)歷探索完全平方公式的過(guò)程,并會(huì)根據(jù)多項(xiàng)式的乘法法那么推導(dǎo)完全平方公式。會(huì)結(jié)合幾何圖形直觀解釋這一公式,滲透數(shù)形結(jié)合的思想。1.3情感態(tài)度與價(jià)值觀：在數(shù)學(xué)運(yùn)算中培養(yǎng)學(xué)生細(xì)致嚴(yán)謹(jǐn)?shù)木袼仞B(yǎng)。培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)、勇于探求科學(xué)規(guī)律的意識(shí)。2教學(xué)重點(diǎn)/難點(diǎn)/易考點(diǎn)2.1教學(xué)重點(diǎn)完全平方公式的結(jié)構(gòu)及靈活運(yùn)用。2.2教學(xué)難點(diǎn)理解公式中字母的廣泛含義〔可以是數(shù)字、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式〕。a,b,a+b,ab,a?b,a2+b2,六者的關(guān)系。3專家建議完全平方公式這一節(jié)內(nèi)容在整個(gè)初中數(shù)學(xué)乃至學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)中占有十分重要的地位,它直接和因式分解,一元二次方程,二次函數(shù)等內(nèi)容相關(guān),尤其是a,b,a+b,ab,a?b,a2+b2六者的關(guān)系將在后續(xù)數(shù)學(xué)課程中非常多地見到。盡管教材內(nèi)容有限,但出于擴(kuò)展、深入講解的要求,并考量之前剛剛學(xué)習(xí)過(guò)平方差公式,本節(jié)分為兩課時(shí)講述非常必要。這一課時(shí)最好只涉及完全平方公式的內(nèi)容,給學(xué)生降低臺(tái)階,使學(xué)生能充分認(rèn)知新公式。4教學(xué)方法情景引入——探索新知——概念延伸——補(bǔ)充講解——練習(xí)提高5教學(xué)用具多媒體。6教學(xué)過(guò)程6.1引入新課【師】同學(xué)們好。上次課我們學(xué)習(xí)了平方差公式,大家還記得嗎？【生】(a+b)(a?b)=a2?b2【師】沒錯(cuò)。平方差公式可以看做是一類特殊的多項(xiàng)式相乘得到的結(jié)果,那我們今天繼續(xù)來(lái)學(xué)習(xí)另外一類特殊的多項(xiàng)式——完全平方公式。【板書】第十四章整式的乘法和因式分解14.2乘法公式14.2.2完全平方公式6.2新知介紹情景引入：擴(kuò)建花壇【師】正課開始之前,我們先來(lái)看這樣一個(gè)實(shí)際生活中的問(wèn)題,請(qǐng)大家看投影。學(xué)校為了美化環(huán)境,決定把原來(lái)的一塊邊長(zhǎng)為a米的正方形花壇擴(kuò)大。擴(kuò)建完的花壇仍為正方形,邊長(zhǎng)增加b米。那新修建的花壇面積可以怎么表示呢？給大家兩分鐘時(shí)間想一想,學(xué)習(xí)小組之間可以交流和思考一下。【生】〔兩分鐘思考交流,給出答案〕。整個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為(a+b),因此面積可以表示為(a+b)2。將整個(gè)正方形分為四局部,面積可以表示為a2+2ab+b2。【師】大家從剛剛這個(gè)例子中能得到什么樣的猜測(cè)呢？【生】(a+b)2=a2+2ab+b。探索和介紹：完全平方公式【師】大家剛剛提出了一個(gè)猜測(cè),那下面請(qǐng)看投影上給出的多項(xiàng)式的乘法,大家按照多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法那么,把結(jié)果算出來(lái)。(p+1)2=(p+1)(p+1)=。(m+2)2=。【生】〔計(jì)算并給出答案〕。【師】現(xiàn)在大家觀察一下這兩個(gè)等式,有什么共同的特點(diǎn)嗎？【生】左邊都是兩個(gè)完全相同的和相乘,右面是兩個(gè)平方項(xiàng)的和加上一個(gè)單項(xiàng)式?！編煛糠浅：?。那這樣的話,我們可以抽象出下面這個(gè)通式,它包括了剛剛各位提出的式子的特點(diǎn)。請(qǐng)大家算一算：(a+b)2等于多少。【生】得出答案：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2【師】好了,大家現(xiàn)在得到了結(jié)論：(a+b)2=a2+2ab+b。這正好印證了大家剛剛的猜測(cè)。這就是兩數(shù)和的完全平方公式,也就是說(shuō)兩數(shù)和的平方,等于這兩個(gè)數(shù)的平方和,加上這兩個(gè)數(shù)的乘積的2倍。〔板書并介紹概念〕【板書/PPT】一、完全平方公式1. (a+b)2=a2+2ab+b2【師】那我們接著來(lái)看下面一組多項(xiàng)式,請(qǐng)大家算出它們的結(jié)果。(p?1)2=(p?1)(p?1)=。(m?2)2=?！旧俊灿?jì)算并給出答案〕?！編煛窟@一組多項(xiàng)式和剛剛有什么區(qū)別嗎？【生】左邊變成完全相同的兩個(gè)差相乘,右面變成了兩個(gè)平方項(xiàng)的和減去一個(gè)單項(xiàng)式。【師】非常好。那這樣的話,請(qǐng)直接根據(jù)剛剛的兩數(shù)和的完全平方公式,大家算一算：(a?b)2等于多少。【生】得出答案：(a?b)2=[a+(?b)]2=a2+2a(?b)+(?b)2=a2?2ab+b2【師】好了,大家現(xiàn)在得到了結(jié)論：(a?b)2=a2?2ab+b2,這就是兩數(shù)差的完全平方公式,也就是說(shuō)兩數(shù)差的平方,等于這兩個(gè)數(shù)的平方和,減去這兩個(gè)數(shù)的乘積的2倍?！舶鍟⒔榻B概念〕【板書/PPT】(a?b)2=a2?2ab+b2【師】剛剛我們直觀地用圖形表示了兩數(shù)和的完全平方公式,那下面大家能仿照剛剛的方法,用旁邊這幅圖,直觀說(shuō)明(a?b)2=a2?2ab+b2嗎？。【生】〔給出答案,跟之前的例子類似,這里略〕【師】我們剛剛介紹的這一組公式,可以簡(jiǎn)寫成(a±b)2=a2±2ab+b2,這一組公式就叫做完全平方公式。〔板書給出概念,以及記憶口訣〕【板書/PPT】2.簡(jiǎn)寫：(a±b)2=a2±2ab+b2,完全平方公式巧記：首平方,尾平方,積的2倍放中央,中間符號(hào)同前方?！編煛空?qǐng)大家注意完全平方的形式。這里的(a±b)2和a2±b2是有很大區(qū)別的。(a±b)2讀作a與b的和〔或差〕的平方。a2±b2讀作a與b的平方的和〔或差〕。(a±b)2先算和差,再平方；a2±b2先算各自的平方,再求和。另外,假設(shè)a≠0且b≠0,那么(a±b)2≠a2±b2,也就說(shuō),通常情況下,這兩個(gè)式子不相等！邊學(xué)邊練：相關(guān)例題講解【師】〔教師給出教材110頁(yè)例題3和4的四個(gè)小題,并給出答案,這里注意強(qiáng)調(diào)學(xué)生怎樣對(duì)應(yīng)運(yùn)用公式,并可以指出公式里的a,b還可以是數(shù)字,用于簡(jiǎn)化計(jì)算〕。完全平方公式的變號(hào)法那么?！編煛亢昧?下面大家來(lái)思考這樣一組問(wèn)題〔教材110頁(yè)思考〕。(a+b)2和(?a?b)2相等嗎？(a?b)2和(b?a)2相等嗎？(?a+b)2和(a?b)2相等嗎？大家可以自己動(dòng)手算一算,或者簡(jiǎn)單一點(diǎn)的話,我們?cè)趯W(xué)習(xí)有理數(shù)的時(shí)候曾經(jīng)講到過(guò),(a?b)和(b?a)的關(guān)系,可以聯(lián)想并得到答案?！旧慷枷嗟?因?yàn)椋??a?b)2=(?a)2?2·(?a)·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2(b?a)2=b2?2ab+a2=a2?2ab+b2=(a?b)2(?a+b)2=(b?a)2=(a?b)2【師】沒錯(cuò)。那剛剛的這幾個(gè)問(wèn)題就告訴我們,計(jì)算完全平方的結(jié)果時(shí),最好先把括號(hào)里的首項(xiàng)化為正,這樣便于對(duì)應(yīng)公式。如果我們根據(jù)冪的乘方,就可以把這上面的一組結(jié)論推廣到高次冪上〔板書或PPT給出結(jié)論〕。【PPT/板書】二、變號(hào)法那么及其擴(kuò)展：計(jì)算完全平方的結(jié)果時(shí),最好先把括號(hào)里的首項(xiàng)化為正,可以簡(jiǎn)便運(yùn)算。一般規(guī)律：(?a?b)2k=(a+b)2k,(?a+b)2k=(a?b)2k=(b?a)2k,其中,k為正整數(shù)【師】下面我們就根據(jù)剛剛的這一組結(jié)論,來(lái)看下面兩道例題?！步o出例題：(?2a?3b)2,(?2x+5)2,并運(yùn)用上述知識(shí)把首項(xiàng)變成正,再按照完全平方公式計(jì)算〕重要推論【師】下面我們來(lái)挑戰(zhàn)一個(gè)稍稍有點(diǎn)難度的題目。大家看,：a>b,且a+b=3,ab=2,那么a?b=？大家可以先前后桌思考和討論一下,看看這道題怎么做?！旧俊步o出答案,思路應(yīng)如下〕?！編煛磕歉鶕?jù)剛剛的啟發(fā),下面我們就來(lái)給出兩組重要的關(guān)系〔板書或PPT〕【板書/ppt】三、兩個(gè)重要關(guān)系a2+b2=(a+b)2?2ab=(a?b)2+2ab(a+b)2?(a?b)2=4ab知二推四：a,b,a+b,ab,a?b,a2+b2【師】一般地,在a,b,a+b,ab,a?b,a2+b2中,只要能夠知道其中兩個(gè)的式子取值,就能夠根據(jù)完全平方公式,求出另外四個(gè)式子的值！課堂小結(jié)〔投影,給出知識(shí)脈絡(luò)圖〕6.3復(fù)習(xí)總結(jié)和作業(yè)布置課堂練習(xí)利用完全平方公式計(jì)算以下各題(?2x+5)2=(?4x?3y)2=982=512=計(jì)算(2x?1)2?(3x+1)2假設(shè)(x?1)2=x2+kx+1,那么49?k的值是多少?解不等式：(2x?5)2+(3x+1)2>13(x2?10)a+b=2,a2+b2=10,試?yán)猛耆椒焦?簡(jiǎn)便地求ab,(a?b),a,b的值。答案：4x2?20x+25,16x2+24xy+25x2,9604,2601原式=4x2?4x+1?(9x2+6x+1)=4x2?4x+1?9x2?6x?1=?5x2?10xk=?2,49?k=492=(50?1)2=2500+1?100=2401解：(4x2?10x+25)+(9x2+6x+1)>13x2?1304x2?10x+25+9x2+6x+1>13x2?13013x2?4x+26>13x2?130?4x>?156x<44(a+b)2=a2+2ab+b2=4,a2+b2=10,ab=?3(a?b)2=(a+b)2?4ab=4+12=16∴a?b=4或?4假設(shè)a?b=4,解二元一次方程組,得a=3,b=?1同理,假設(shè)a?b=?4,那么得a=?1,b=3作業(yè)布置1、完成配套課后練習(xí)題2、預(yù)習(xí)提綱：因式分解：公式法7板書設(shè)計(jì)第十四章整式的乘法和因式分解14.2乘法公式14.2.2完全平方公式完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2(a?b)2=a2?2ab+b2簡(jiǎn)寫：(a±b)2=a2±2ab+b2,完全平方公式巧記：首平方,尾平方,積的2倍放中央,中間符號(hào)同前方。變號(hào)法那么及