人教版數(shù)學八年級上冊 14.2.2完全平方公式 教案

/第十四章整式的乘法和因式分解14.2乘法公式第二課時14.2.2完全平方公式1教學目標1.1知識與技能：熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征,并能靈活運用完全平方公式進行相關(guān)計算。掌握完全平方公式的相關(guān)推論。1.2過程與方法：經(jīng)歷探索完全平方公式的過程,并會根據(jù)多項式的乘法法那么推導完全平方公式。會結(jié)合幾何圖形直觀解釋這一公式,滲透數(shù)形結(jié)合的思想。1.3情感態(tài)度與價值觀：在數(shù)學運算中培養(yǎng)學生細致嚴謹?shù)木袼仞B(yǎng)。培養(yǎng)學生靈活運用知識、勇于探求科學規(guī)律的意識。2教學重點/難點/易考點2.1教學重點完全平方公式的結(jié)構(gòu)及靈活運用。2.2教學難點理解公式中字母的廣泛含義〔可以是數(shù)字、單項式、多項式〕。a,b,a+b,ab,a?b,a2+b2,六者的關(guān)系。3專家建議完全平方公式這一節(jié)內(nèi)容在整個初中數(shù)學乃至學生后續(xù)學習中占有十分重要的地位,它直接和因式分解,一元二次方程,二次函數(shù)等內(nèi)容相關(guān),尤其是a,b,a+b,ab,a?b,a2+b2六者的關(guān)系將在后續(xù)數(shù)學課程中非常多地見到。盡管教材內(nèi)容有限,但出于擴展、深入講解的要求,并考量之前剛剛學習過平方差公式,本節(jié)分為兩課時講述非常必要。這一課時最好只涉及完全平方公式的內(nèi)容,給學生降低臺階,使學生能充分認知新公式。4教學方法情景引入——探索新知——概念延伸——補充講解——練習提高5教學用具多媒體。6教學過程6.1引入新課【師】同學們好。上次課我們學習了平方差公式,大家還記得嗎？【生】(a+b)(a?b)=a2?b2【師】沒錯。平方差公式可以看做是一類特殊的多項式相乘得到的結(jié)果,那我們今天繼續(xù)來學習另外一類特殊的多項式——完全平方公式?！景鍟康谑恼抡降某朔ê鸵蚴椒纸?4.2乘法公式14.2.2完全平方公式6.2新知介紹情景引入：擴建花壇【師】正課開始之前,我們先來看這樣一個實際生活中的問題,請大家看投影。學校為了美化環(huán)境,決定把原來的一塊邊長為a米的正方形花壇擴大。擴建完的花壇仍為正方形,邊長增加b米。那新修建的花壇面積可以怎么表示呢？給大家兩分鐘時間想一想,學習小組之間可以交流和思考一下?！旧俊矁煞昼娝伎冀涣?給出答案〕。整個正方形的邊長為(a+b),因此面積可以表示為(a+b)2。將整個正方形分為四局部,面積可以表示為a2+2ab+b2?！編煛看蠹覐膭倓傔@個例子中能得到什么樣的猜測呢？【生】(a+b)2=a2+2ab+b。探索和介紹：完全平方公式【師】大家剛剛提出了一個猜測,那下面請看投影上給出的多項式的乘法,大家按照多項式乘以多項式的法那么,把結(jié)果算出來。(p+1)2=(p+1)(p+1)=。(m+2)2=?！旧俊灿嬎悴⒔o出答案〕。【師】現(xiàn)在大家觀察一下這兩個等式,有什么共同的特點嗎？【生】左邊都是兩個完全相同的和相乘,右面是兩個平方項的和加上一個單項式。【師】非常好。那這樣的話,我們可以抽象出下面這個通式,它包括了剛剛各位提出的式子的特點。請大家算一算：(a+b)2等于多少。【生】得出答案：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2【師】好了,大家現(xiàn)在得到了結(jié)論：(a+b)2=a2+2ab+b。這正好印證了大家剛剛的猜測。這就是兩數(shù)和的完全平方公式,也就是說兩數(shù)和的平方,等于這兩個數(shù)的平方和,加上這兩個數(shù)的乘積的2倍。〔板書并介紹概念〕【板書/PPT】一、完全平方公式1. (a+b)2=a2+2ab+b2【師】那我們接著來看下面一組多項式,請大家算出它們的結(jié)果。(p?1)2=(p?1)(p?1)=。(m?2)2=?！旧俊灿嬎悴⒔o出答案〕?！編煛窟@一組多項式和剛剛有什么區(qū)別嗎？【生】左邊變成完全相同的兩個差相乘,右面變成了兩個平方項的和減去一個單項式?！編煛糠浅：?。那這樣的話,請直接根據(jù)剛剛的兩數(shù)和的完全平方公式,大家算一算：(a?b)2等于多少?！旧康贸龃鸢福?a?b)2=[a+(?b)]2=a2+2a(?b)+(?b)2=a2?2ab+b2【師】好了,大家現(xiàn)在得到了結(jié)論：(a?b)2=a2?2ab+b2,這就是兩數(shù)差的完全平方公式,也就是說兩數(shù)差的平方,等于這兩個數(shù)的平方和,減去這兩個數(shù)的乘積的2倍?！舶鍟⒔榻B概念〕【板書/PPT】(a?b)2=a2?2ab+b2【師】剛剛我們直觀地用圖形表示了兩數(shù)和的完全平方公式,那下面大家能仿照剛剛的方法,用旁邊這幅圖,直觀說明(a?b)2=a2?2ab+b2嗎？?！旧俊步o出答案,跟之前的例子類似,這里略〕【師】我們剛剛介紹的這一組公式,可以簡寫成(a±b)2=a2±2ab+b2,這一組公式就叫做完全平方公式?！舶鍟o出概念,以及記憶口訣〕【板書/PPT】2.簡寫：(a±b)2=a2±2ab+b2,完全平方公式巧記：首平方,尾平方,積的2倍放中央,中間符號同前方?！編煛空埓蠹易⒁馔耆椒降男问健＿@里的(a±b)2和a2±b2是有很大區(qū)別的。(a±b)2讀作a與b的和〔或差〕的平方。a2±b2讀作a與b的平方的和〔或差〕。(a±b)2先算和差,再平方；a2±b2先算各自的平方,再求和。另外,假設(shè)a≠0且b≠0,那么(a±b)2≠a2±b2,也就說,通常情況下,這兩個式子不相等！邊學邊練：相關(guān)例題講解【師】〔教師給出教材110頁例題3和4的四個小題,并給出答案,這里注意強調(diào)學生怎樣對應(yīng)運用公式,并可以指出公式里的a,b還可以是數(shù)字,用于簡化計算〕。完全平方公式的變號法那么?！編煛亢昧?下面大家來思考這樣一組問題〔教材110頁思考〕。(a+b)2和(?a?b)2相等嗎？(a?b)2和(b?a)2相等嗎？(?a+b)2和(a?b)2相等嗎？大家可以自己動手算一算,或者簡單一點的話,我們在學習有理數(shù)的時候曾經(jīng)講到過,(a?b)和(b?a)的關(guān)系,可以聯(lián)想并得到答案?！旧慷枷嗟?因為：(?a?b)2=(?a)2?2·(?a)·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2(b?a)2=b2?2ab+a2=a2?2ab+b2=(a?b)2(?a+b)2=(b?a)2=(a?b)2【師】沒錯。那剛剛的這幾個問題就告訴我們,計算完全平方的結(jié)果時,最好先把括號里的首項化為正,這樣便于對應(yīng)公式。如果我們根據(jù)冪的乘方,就可以把這上面的一組結(jié)論推廣到高次冪上〔板書或PPT給出結(jié)論〕?！綪PT/板書】二、變號法那么及其擴展：計算完全平方的結(jié)果時,最好先把括號里的首項化為正,可以簡便運算。一般規(guī)律：(?a?b)2k=(a+b)2k,(?a+b)2k=(a?b)2k=(b?a)2k,其中,k為正整數(shù)【師】下面我們就根據(jù)剛剛的這一組結(jié)論,來看下面兩道例題。〔給出例題：(?2a?3b)2,(?2x+5)2,并運用上述知識把首項變成正,再按照完全平方公式計算〕重要推論【師】下面我們來挑戰(zhàn)一個稍稍有點難度的題目。大家看,：a>b,且a+b=3,ab=2,那么a?b=？大家可以先前后桌思考和討論一下,看看這道題怎么做。【生】〔給出答案,思路應(yīng)如下〕?！編煛磕歉鶕?jù)剛剛的啟發(fā),下面我們就來給出兩組重要的關(guān)系〔板書或PPT〕【板書/ppt】三、兩個重要關(guān)系a2+b2=(a+b)2?2ab=(a?b)2+2ab(a+b)2?(a?b)2=4ab知二推四：a,b,a+b,ab,a?b,a2+b2【師】一般地,在a,b,a+b,ab,a?b,a2+b2中,只要能夠知道其中兩個的式子取值,就能夠根據(jù)完全平方公式,求出另外四個式子的值！課堂小結(jié)〔投影,給出知識脈絡(luò)圖〕6.3復習總結(jié)和作業(yè)布置課堂練習利用完全平方公式計算以下各題(?2x+5)2=(?4x?3y)2=982=512=計算(2x?1)2?(3x+1)2假設(shè)(x?1)2=x2+kx+1,那么49?k的值是多少?解不等式：(2x?5)2+(3x+1)2>13(x2?10)a+b=2,a2+b2=10,試利用完全平方公式,簡便地求ab,(a?b),a,b的值。答案：4x2?20x+25,16x2+24xy+25x2,9604,2601原式=4x2?4x+1?(9x2+6x+1)=4x2?4x+1?9x2?6x?1=?5x2?10xk=?2,49?k=492=(50?1)2=2500+1?100=2401解：(4x2?10x+25)+(9x2+6x+1)>13x2?1304x2?10x+25+9x2+6x+1>13x2?13013x2?4x+26>13x2?130?4x>?156x<44(a+b)2=a2+2ab+b2=4,a2+b2=10,ab=?3(a?b)2=(a+b)2?4ab=4+12=16∴a?b=4或?4假設(shè)a?b=4,解二元一次方程組,得a=3,b=?1同理,假設(shè)a?b=?4,那么得a=?1,b=3作業(yè)布置1、完成配套課后練習題2、預(yù)習提綱：因式分解：公式法7板書設(shè)計第十四章整式的乘法和因式分解14.2乘法公式14.2.2完全平方公式完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2(a?b)2=a2?2ab+b2簡寫：(a±b)2=a2±2ab+b2,完全平方公式巧記：首平方,尾平方,積的2倍放中央,中間符號同前方。變號法那么及