核心考點(diǎn)04向量的數(shù)量積（原卷版）

核心考點(diǎn)04向量的數(shù)量積目錄一．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算（共16小題）二．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角（共5小題）三．向量的投影（共5小題）四．?dāng)?shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角（共13小題）五．?dāng)?shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系（共9小題）考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向一．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：設(shè)，都是非零向量，是與方向相同的單位向量，與和夾角為θ，則：（1）＝＝||cosθ；（2）?＝0；（判定兩向量垂直的充要條件）（3）當(dāng)，方向相同時(shí)，＝||||；當(dāng)，方向相反時(shí)，＝﹣||||；特別地：＝||2或||＝（用于計(jì)算向量的模）（4）cosθ＝（用于計(jì)算向量的夾角，以及判斷三角形的形狀）（5）||≤||||2、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律（1）交換律：；（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（λ）?＝λ（）＝?（）；（3）分配律：（）?≠?（）【平面向量數(shù)量積的運(yùn)算】平面向量數(shù)量積運(yùn)算的一般定理為①（±）2＝2±2?+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③?（?）≠（?）?，從這里可以看出它的運(yùn)算法則和數(shù)的運(yùn)算法則有些是相同的，有些不一樣．二．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】1、向量的夾角概念：對(duì)于兩個(gè)非零向量，如果以O(shè)為起點(diǎn)，作＝，＝，那么射線OA，OB的夾角θ叫做向量與向量的夾角，其中0≤θ≤π．2、向量的數(shù)量積概念及其運(yùn)算：（1）定義：如果兩個(gè)非零向量，的夾角為θ，那么我們把||||cosθ叫做與的數(shù)量積，記做即：＝||||cosθ．規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即：?＝0．注意：①表示數(shù)量而不表示向量，符號(hào)由cosθ決定；②符號(hào)“?”在數(shù)量積運(yùn)算中既不能省略也不能用“×”代替；③在運(yùn)用數(shù)量積公式解題時(shí)，一定要注意向量夾角的取值范圍是：0≤θ≤π．（2）投影：在上的投影是一個(gè)數(shù)量||cosθ，它可以為正，可以為負(fù)，也可以為0（3）坐標(biāo)計(jì)算公式：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），則＝x1x2+y1y2，3、向量的夾角公式：4、向量的模長(zhǎng)：5、平面向量數(shù)量積的幾何意義：與的數(shù)量積等于的長(zhǎng)度||與在的方向上的投影||cosθ的積．三．向量的投影【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】1、兩個(gè)向量的數(shù)量積及其性質(zhì)：（1）?＝||||cos＜，＞；（2）⊥??＝0（，為非零向量）；（3）||2＝2，||＝．2、向量的投影：||cosθ＝∈R，稱(chēng)為向量在方向上的投影．四．?dāng)?shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】我們知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共線的，那么，當(dāng)兩條向量與不平行時(shí)，那么它們就會(huì)有一個(gè)夾角θ，并且還有這樣的公式：cosθ＝．通過(guò)這公式，我們就可以求出兩向量之間的夾角了．五．?dāng)?shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系【概念】向量是有方向的，那么在一個(gè)空間內(nèi)，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．當(dāng)兩條向量的方向互相垂直的時(shí)候，我們就說(shuō)這兩條向量垂直．假如＝（1，0，1），＝（2，0，﹣2），那么與垂直，有?＝1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它們的乘積為0．考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講一．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算（共16小題）1．（2022春?閔行區(qū)校級(jí)月考）下列說(shuō)法正確的是（）A．若，則 B．若非零向量與滿足，則 C．若∥，∥，則∥ D．若，則與夾角為必為銳角2．（2022春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期末）設(shè)向量、滿足，則＝．3．（2022春?閔行區(qū)校級(jí)期末）已知△ABC中，，，求的值．4．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）對(duì)任意向量、，下列關(guān)系式中不恒成立的是（）A．（）2＝||2 B．（）（）＝22 C．||≤||?|| D．||≤|||﹣|||5．（2022春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期末）下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）（1）若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則數(shù)列{an+an+1}也是等比數(shù)列．（2）若，則或．（3）．A．0 B．1 C．2 D．36．（2022春?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知G為△ABC的重心（三條中線的交點(diǎn)），∠BAC＝，?＝﹣2，則||的最小值為（）A． B． C． D．7．（2022春?嘉定區(qū)校級(jí)期末）設(shè)為任意非零向量，且相互不共線，則下列命題中是真命題的有（）（1）；（2）；（3）不與垂直；（4）．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)8．（2022春?徐匯區(qū)期末）已知、為非零向量，則“”是“為銳角”的（）條件．A．充要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要9．（2022秋?靜安區(qū)校級(jí)期中）若向量、、滿足，且，則?、?、?中最大的是（）A． B． C． D．不能確定10．（2022春?寶山區(qū)校級(jí)月考）在邊長(zhǎng)為3的菱形ABCD中，，，則＝（）A． B．﹣1 C． D．11．（2022春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期末）在△ABC中，O為中線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AM＝3，則的取值范圍是．12．（2022春?普陀區(qū)校級(jí)期末）如圖，設(shè)Ai（i＝1，2，3，…，n）是△AOB所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，給出下列說(shuō)法：（1）|；（2）|的最小值是；（3）點(diǎn)A和點(diǎn)Ai共線；（4）向量及在向量方向上的數(shù)量投影必定相等．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)13．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)月考）平面直角坐標(biāo)系中，，，，△ABC為等腰直角三角形，且A、B、C按順時(shí)針排列，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為．14．（2022春?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知向量、，，，若對(duì)任意單位向量，均有，則的最大值為（）A． B． C．﹣1 D．215．（2023春?松江區(qū)校級(jí)月考）已知平面向量，，且，向量滿足，則的最小值為．16．（2022春?松江區(qū)校級(jí)期末）已知向量、、滿足||＝||＝1，＝，＝x（x、y∈R，y≥0），則下列四個(gè)命題中，所有正確命題的序號(hào)是．①若x＝1，則||的最小值為；②若x＝1，則存在唯一的y，使得＝0；③若||＝1，則x+y的最小值為﹣1；④若||＝1，則+的最小值為﹣．二．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角（共5小題）17．（2022春?黃浦區(qū)校級(jí)期中）設(shè)，為單位向量，且|+|＝，則|﹣|＝．18．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）已知向量＝（2，﹣6），＝（3，m），若|+|＝|﹣|，則m＝．19．（2022春?閔行區(qū)校級(jí)期中）已知向量＝（2，1），?＝10，|+|＝5，則||＝．20．（2022春?徐匯區(qū)期末）已知向量，．（1）求；（2）當(dāng)k為何實(shí)數(shù)時(shí)，與平行？21．（2022春?奉賢區(qū)校級(jí)期中）已知向量，滿足||＝1，||＝2，且與不共線．（1）若向量+k與k+2為方向相反的向量，求實(shí)數(shù)k的值；（2）若向量與的夾角為60°，求2+與﹣的夾角θ．三．向量的投影（共5小題）22．（2022春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期末）若，則在上的數(shù)量投影為．23．（2022春?青浦區(qū)校級(jí)期末）若，，則在上的投影數(shù)量是．24．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知、的夾角為，設(shè)，則在上的數(shù)量投影為．25．（2022春?徐匯區(qū)期末）已知向量與的夾角為，且，，則在方向上的投影為．26．（2022春?奉賢區(qū)校級(jí)期中）若向量，，則向量在向量的方向上的投影為．四．?dāng)?shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角（共13小題）27．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P與△ABC的關(guān)系為（）A．P在△ABC內(nèi)部 B．P在△ABC外部 C．P在AB邊所在直線上 D．P是AC邊的一個(gè)三等分點(diǎn)28．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）平面上O，A，B三點(diǎn)不共線，設(shè)，則△OAB的面積等于（）A． B． C． D．29．（2022春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）在△ABC中，若且，則△ABC的形狀是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形30．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)月考）已知＝（1，﹣2），＝（﹣1，λ），與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是．31．（2022春?嘉定區(qū)校級(jí)期末）若向量，，已知與的夾角為，則實(shí)數(shù)k是．32．（2022春?寶山區(qū)校級(jí)期中）向量，的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是．33．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知＝（λ，2），＝（3，﹣5），且與的夾角θ是鈍角，則λ的取值范圍是（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，） C．（﹣∞，）∪（，） D．（﹣∞，﹣）∪（，）34．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）如圖，O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，λ∈（0，+∞），則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的（）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心35．（2022春?寶山區(qū)校級(jí)月考）設(shè)點(diǎn)A，B，C不共線，則“與的夾角為銳角”是“|+|＞||”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件36．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）若，，且，則與的夾角為．37．（2022春?閔行區(qū)校級(jí)期中）如圖所示，點(diǎn)O是△ABC所在平面上一點(diǎn)，并且滿足＝m+n（m、n∈R），已知AB＝6，AC＝2，∠BAC＝60°．（1）若實(shí)數(shù)m＝n＝，求證：O是△ABC的重心；（2）若O是△ABC的外心，求m、n的值；（3）如果O是∠BAC的平分線上某點(diǎn)，則當(dāng)達(dá)到最小值時(shí)，求．38．（2022春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期末）（1）已知點(diǎn)A（2，4），B（﹣1，﹣6），點(diǎn)P是直線AB上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）已知與的夾角為，且與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．39．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)An滿足，且；點(diǎn)Bn滿足，且，其中n∈N*．（1）求的坐標(biāo)，并證明點(diǎn)An在直線y＝x+1上；（2）記四邊形AnBnBn+1An+1的面積為an，求an的表達(dá)式；（3）對(duì)于（2）中的an，是否存在最小的正整數(shù)P，使得對(duì)任意n∈N*都有an＜P成立？若存在，求P的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．五．?dāng)?shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系（共9小題）40．（2022春?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知單位向量，的夾角為60°，則在下列向量中，與垂直的是（）A． B．2+ C．﹣2 D．2﹣41．（2022春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期末）若向量，且與垂直，則實(shí)數(shù)k＝．42．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知向量，且，則λ的值是（）A．﹣3 B． C．3 D．43．（2022春?虹口區(qū)校級(jí)期末）已知向量與，若，則k＝．44．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期末）已知，向量與垂直，則實(shí)數(shù)λ＝．45．（2022春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）已知a，b，c為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，向量＝（，﹣1），＝（cosA，sinA）．若⊥，且acosB+bcosA＝csinC，則角B＝．46．（2022春?徐匯區(qū)校級(jí)期末）已知a、b都是非零向量，且+3與7﹣5垂直，﹣4與7﹣2垂直，則與的夾角為．47．（2022春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）已知．（1）若∥，求實(shí)數(shù)x的值；（2）若，求實(shí)數(shù)x的值．48．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知平面向量，．（1）當(dāng)k為何值時(shí)，與垂直；（2）若與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021春·上海普陀·高一曹楊二中?？茧A段練習(xí)）已知向量，對(duì)任意的，恒有，則（

）A． B．C． D．2．（2022春·上海閔行·高一校考期末）如圖，將四個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成一個(gè)大正方形，、是原來(lái)小正方形的其中兩個(gè)頂點(diǎn)邊，是小正方形的其余頂點(diǎn)，在所有中，不同的數(shù)值有（

）A．6個(gè) B．5個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)3．（2022春·上海浦東新·高一上海市建平中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若向量、、滿足，且，則、、中最大的是（

）A． B． C． D．不能確定4．（2021春·上?！じ咭粚?zhuān)題練習(xí)）已知向量，滿足，，若，且，則的最大值為（

）A．3 B．2 C． D．二、填空題5．（2023春·上海青浦·高一校考階段練習(xí)）已知單位向量的夾角為，若，則的取值范圍是__________.6．（2022春·上海黃浦·高一上海市大同中學(xué)?？计谀┢矫嫔系南蛄颗c滿足，且，若點(diǎn)滿足，則的最小值為_(kāi)_____．7．（2022春·上海長(zhǎng)寧·高一上海市第三女子中學(xué)?？计谀┤?，則在上的數(shù)量投影為_(kāi)______．8．（2022春·上海浦東新·高一上海市進(jìn)才中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)在單位圓上，點(diǎn)，則的取值范圍是___________.9．（2021春·上?！じ咭粚?zhuān)題練習(xí)）如圖，四邊形中，，，，，，，分別是線段，上的點(diǎn)，且，則的最大值為_(kāi)__________.10．（2021春·上海徐匯·高一上海市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△