2023年豫北高三年級數學模擬考試理科

2022-2023年度河南省高三年級模擬考試

數學（理科）

考生注意：

i.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試

時間120分鐘.

2.請將各題答案填寫在答題卡上.

3.本試卷主要考試內容：高考全部內容.

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的.

1.設集合厶={x'-9訓,8={x|x+2a?0},且AB={x|-3<x<2},則a/

A.-1B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】

【分析】先根據一元二次不等式的解法求出集合A,再利用一元一次不等式的性質求出集

合8,然后利用交集的運算性質即可求出結果.

【詳解】因為集合4={幻/—940}={X|-34XW3},

集合3={X[X+2Q<0}={x\x<-2a},

又因為Ac3={x|—3<xK2},所以一2。=2,解得：a=-lf

故選：A.

2.若z=l—i,則|z?+3-2i|=（）

A.舊B.5C.3D.372

【答案】B

【解析】

【分析】根據復數運算，復數的模計算即可解決.

【詳解】由題知，

|z2+3-2i|=|l-2i+i2+3-2i|=|3-4i|=79+16=5,

故選：B

3.已知向量@=(%+2,-3)出=(1一3%,2),若q〃厶，則彳=()

A.-2B.2C.1D.-I

【答案】C

【解析】

【分析】根據平面向量的共線定理可知，存在實數2使得a=/lb，再根據平面向量的坐標

運算即可計算得出結果.

【詳解】由a〃〃，且都是非零向量，可知存在實數2使得a=4人

即滿足a=(x+2,—3)=之〃=2(1-3%,2)

x-1

x+2=X(l—3x)得日

所以《

-3=2A

故選：C.

4.下列函數中，在定義域內既是奇函數又單調遞增的是()

A./(x)=sinx-x2B./(%)=ln(2-x)-ln(%+2)C.

，/、e'+er八//、2r-1

f(x)=----------D.f(x)=-------

22'+1

【答案】D

【解析】

【分析】根據選取特殊值可排除AB,利用偶函數的定義可以排除C,根據奇函數和復合函

數的單調性質判斷D.

【詳解】對于A選項，因為/(x)=sinx—f的定義域為(Y。,一)，

所以函數/(x)=sinx-/不是奇函數，不符合條件，A錯誤;

對于B選項，函數/(》)=111(2-》)一111(%+2)的定義域為(—2,2),

/(D=-ln3,/(-l)=ln3,/(-1)>/(!),

函數/(x)=ln(2—x)—ln(x+2)在(一2,2)不是增函數，不符合條件，B錯誤;

對于C選項，函數/(*)==11的定義域為(-00,+8),

6r+exex+e~x

f(-x)=—=函數/(元)二三二為偶函數，不符合條件，C錯誤;

2”-11-2,

D選項，因為函數的定義域為(F,倣)，〃—X)=17T==一/(x)，

1+2*

少—1

所以函數=為奇函數，

2

將函數式變?yōu)?(x)=i-5r］，因為函數y=2.'在(f,+⑹單調遞增，且2、>o，

所以函數y=2'+l在(YO,+CQ)單調遞增，且2*+1>1，

所以函數y=3匚1■在(-00,+8)單調遞減，且0<］<2，

9

所以隨著X增大，函數/(x)=l-5節(jié)的函數值也增大，即“X)是單調遞增函數，符合

條件.

故選：D.

5.已知某圓臺的上底面和下底面的面積分別為3兀、12兀，高為6,則該圓臺的體積為()

A.36KB.40兀C.42KD.45K

【答案】C

【解析】

【分析】利用臺體的體積公式可求得該圓臺的體積.

【詳解】由題意可知，該圓臺的體積為V=-x(3兀+12兀+丿37rxi2兀卜6=42兀.

故選：C.

6.丄］的展開式中常數項為()

IX)

A.-160B.60C.240D.-192

【答案】B

【解析】

【分析】由題意可得要得f（2x—丄）的展開式中常數，只需求出（2x—丄）的展式中匯2項,

根據二項定理求出出（2x-丄）的展式中%~2項即可得答案.

【詳解】解：因為（2x—丄）的展式為：

Ix丿

Tr+l=G（2X）6T.（-與=晨?26T.（_］＞.尸=-1y=q?26T.（?,尸,

X

要得—丄］的展開式中常數，只需求出（2x-丄）的展式中一項即可.

Ix丿Ix丿

所以令6—2r=—2,

解得r=4,

（1\6

所以2%-丄的展式中一項的系數為Cr26士（-1）4=15x4x1=60,

I%丿

所以尤2|"2x—丄］的展開式中常數項為60.

IX）

故選：B.

7.我國古代數學著作《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“今有善走者，日增等里，首日行走一百

里，九日共行一千二百六十里，問日增幾何？”其大意是：現(xiàn)有一位善于步行的人，第一天

行走了一百里，以后每天比前一天多走d里，九天他共行走了一千二百六十里，求d的值.

關于該問題，下列結論錯誤的是（）

A.。=15B.此人第三天行走了一百二十里

C.此人前七天共行走了九百一十里D.此人前八天共行走了一千零八十

里

【答案】A

【解析】

【分析】設此人第〃（〃wN*）天走%里，則數列｛4｝是公差為d的等差數列，記數列｛4｝

的前〃項和為S“，由題意可得岀關于6、d方程組，解出d的值，可判斷A選項；利用等

差數列的通項公式可判斷B選項；利用等差數列的求和公式可判斷CD選項.

【詳解】設此人第〃(〃eN*)天走%里，則數列｛4｝是公差為d的等差數列，記數列｛q｝

的前〃項和為S.，

a}=100

由題意可得〈，解得d=10,A錯;

S9=9。]+36d=1260

%=q+2d=120,B*j；

AX7

S?=7q+^d=910,C對；

7xQ

s8=8^+-^J=1080,D對.

故選：A.

8.已知函數/(%)=3(2%+9)(一乃494乃)的圖象向右平移看個單位長度后，與函數

g(x)=sin2x的圖象重合，則〃x)的單調遞減區(qū)間為()

,71,5萬TTTT

A.k7lH---,K7TH-----(k€Z)B.krc----,k/r+—(kGZ)

3663_

,71,2萬TTTT

C.K.714---,K7Vd-----(keZ)D,kn:----,k7r-\——(keZ)

63_36J

【答案】C

【解析】

【分析】由題意利用三角函數圖象的變換規(guī)律求出平移之后的解析式，令其等于sin2x,利

用誘導公式以及三角函數的周期性求出。的值，即可得“X)的解析式，再利用余弦函數的單

調減區(qū)間即可求解.

【詳解】函數/(x)=cos(2x+。)(一〃W0W乃)的圖象向右平移三個單位長度后

可得y=cos2x-----+(p=cos2x——+0

_l12丿」I6

因為所得的圖象與g(x)=sin2x的圖象重合，

所以cos(2x-巳+°)=sin2x=cos一]

■rrjr

可得：——+。=——+2厶萬(&GZ),

62

rr

所以°=—g+2br(&wZ),

-JT

因為一萬《夕〈萬，所以左=0,9=-§，

所以/(x)=cos(2x-《)，

JT

令2kn<2x-—<2k兀+兀*GZ),

TT27r

解得k7i-\-—<x<k7r-\-----(Z￡Z),

63

TT27r

即/(X)的單調遞減區(qū)間為kTt+-,kTt+—(ZreZ).

63J

故選：c.

【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵點是平移之后的圖象與g(x)=sin2x圖象重合，需

要將兩個解析式化為同名的，求出fM再利用整體代入的方法求單調區(qū)間.

9.若P是一個質數，則像2，-1這樣的正整數被稱為梅森數.從50以內的所有質數中任取

兩個數，則這兩個數都為梅森數的概率為()

133

A.B.C.D.

3535255

【答案】A

【解析】

【分析】找出50以內的所有質數和梅森數，利用組合數公式和古典概型概率計算公式可得

答案.

【詳解】50以內的所有質數為2,3,5,7,11,13,17/9,23,29,31,37,41,43,47共15個,

梅森數有2?-1=3，23-1=7.25-1=31三個，

從50以內的所有質數中任取兩個數有C2=105種情況，

,31

兩個數都為梅森數有c；=3種情況，所以兩個數都為梅森數的概率為亠=—.

10535

故選：A.

10.已知拋物線C:y2=-I2x的焦點為凡動點M在C上，圓M的半徑為1,過點尸的直

線與圓M相切于點N,則FM-RN的最小值為()

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【解析】

【分析】由題作圖，由圖可得/=|801-1,根據拋物線定義可得等于點M

到準線x=3的距離，根據圖形可得最小值情況，從而可得FM-FN的最小值.

【詳解】因為拋物線C：y2=-12x,所以焦點坐標為尸(-3,0),如下圖所示：連接MN,

過M作MQ垂直準線x=3于Q，

FN

則在直角厶NFM中，cosNNFM=-------,

FM

所以

FN

=\FN

FM

由拋物線的定義得：,A1|=|MQ|,

則由圖可得|畫的最小值即拋物線頂點。到準線x=3的距離，即=3,

所以(FA7-FNI=8

min

故選：D.

11.已知數列｛〃“｝滿足生“一生"T=3"—1,外,川+a2tl=3"+5(〃wN*),則數歹ij｛4｝的前

40項和S&0=()

3"+397034|+397「34|+197

AA.-----------B.-----------C.-----------

222

321+197

2

【答案】D

【解析】

【分析】由已知，根據題意由%一%1=3"-1,%用+%=3"+5(〃6曰)可得：

?2?+1+。2〃-1=6(〃GN*),從而計算

(4+/)+(%+%)+(為+4i)++(%7+/9)=10*6=60,由

%一%-1=3"T(〃eN*)遞推可得：%+2-4"+1=3""—l(〃eN),結合

%用+%=3"+5(〃GN")可得：的“+2+4”=4?(3"+1)(〃GN*),從而計算

(a2+a4)+(a6+^)+(al0+al2)++(0；8H-a^),將兩組和合并即可完成求解.

【詳解】由已知，數列｛6,｝滿足%=3"—1(“e川心，4用+4”=3"+5(〃GN*)

②，

②一①得；見用+。2,1=6(〃eN*),

所以(q+%)+(%+%)+(%+41)+，+(47+/9)=l°x6=60,

由=3"_l(〃eN*)遞推可得：a2ll+2-a2n+]=3向-1(“eN*)③，

③+②得；a2n+2+a2n=4?(3"+I)(〃eN*),

所以

§40=(。1+/)+(%+%)+(%+4l)++(%+%)+(%+。4)+(。6+%)+(。10+知)++(電8+

_3^+197

—2--

故選：D.

12.已知加>0,若不等式根e〃">lnx恒成立，則用的取值范圍為()

A.心,+°)B.g+e)C.(|TD.

【答案】B

【解析】

【分析】當0<xW1時，不等式merK>InX顯然成立，當了>1時，轉化為em'.lnenK>x\nx

Inx

恒成立，利用函數f(x)=Xlnx(x>l)的單調性，轉化為根〉——在(1,啓)上恒成立，構

x

Inx

造函數g(x)=—(X>1),利用導數求出其最大值，可求出的取值范圍.

X

【詳解】由Inx有意義，知x>0,

因為m>0,所以當0<xWl時，〃対">0，InxWO,不等式顯然成立，

當x>l時，不等式〃ze"">Inx恒成立，等價于〉xlnx恒成立，

等價于e"'Jlne"">xlnx恒成立，

設/(x)=xlnx(x>1),因為/'(x)=lnx+x?丄=lnx+l>0，

所以,"X)在(1,48)上單調遞增，

因m>Q,x>l,所以e'">l，

所以e""」ne""〉xlnx恒成立，等價于/C")>/(x),

又〃x)在(I,一)上單調遞增，所以不等式/(entt)>/(x)等價于e'網>x在(1,”)上恒成立,

Inx

等價于3:>In%在(1,+°。)上恒成立，等價于m>---在(1,+8)上恒成立,

x

1f

人/、Inxz1、EI--x-lnx1-lnx

令g(x)=——O>1),則g，(x)=4^

x

X

當l<x<e時，gfM>0,當X〉e時，g'(x)〈O,

所以g(x)在(1,e)上單調遞增，在(e,行)上單調遞減,

所以g(X)max=g(e)=丄，

e

所以〃z>也在(1,+8)上恒成立等價于m>~.

xe

綜上所述：團的取值范圍為

故選：B

第n卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相

應位置.

x+3y-5<0

13.設x,y滿足約束條件,則z=2x+y的最大值為.

x-y-1<0

【答案】5

【解析】

【分析】作出可行域，數形結合求解，

【詳解】作出可行域如圖所示，由z=2x+y得y=-2x+z,

z表示斜率為-2的直線與y軸的截距，

數形結合得，當直線過點(2,1)時z取最大值5,

故答案：5

14.已知/(x)為R上的奇函數，當xe10,+8)時，/(x)=2*-----,則不等式

x+1

/(3x-l)</(1-%)的解集為.

【答案】(-℃,2)

【解析】

【分析】由函數的奇偶性與單調性轉化后求解，

【詳解】由函數y=2,與y=--1一均在［0,+oo)上單調遞增，

x+1

故/(x)在［0,+8)上單調遞增，

而“X)為R上奇函數，故/(X)在R上單調遞增，

/(3x-1)</(1—x)等價于3x—1<1—x,得x<L

2

故答案為：(—00,—)

2

15.如圖，在梯形A5CD中，AB//CD,AD=DC=BC=2,ZABC=60°,將ACD

沿邊AC翻折，使點。翻折到P點，且PB=2日則三棱錐尸-ABC外接球的表面積是

【答案】20K

【解析】

【分析】先證明出工面PAC,作出4c的外心。'，過。作O'O//8C,判斷出三

棱錐P-A8C外接球的球心。必在直線O'O上，設外接球的半徑為「，利用球的性質列方

程

求出，即可求岀三棱錐P-ABC外接球的表面積.

【詳解】在梯形A8CD中，AB//CD,AD=DC=BC=2,NABC=60°,

所以梯形ABC。為等腰梯形，ZADC=ZBCD=nO°.

因為A￡>=。。，ZA￡)C=120°.所以ND4C=NACD=30°,所以

ZACS=/BCD-ZACD=120°-30°=90°,即AC1BC.

Be

所以AC=BCtan60°=2G，AB=——=4.

cos600

因為PC=BC=2,PB=2啦，所以PC?+BC?=PB?，所以尸。丄3C.

又厶。匚面24。，尸。<=面上4。，厶。PC=C,

所以8C丄面24c.

在△B4C中，NQ4C=ZACP=30°,ZAPC=120。,作出其外心。如圖所示：

所以04=OP=(7C=2,NPO'A=NPO'C=60°.

過。'作0'0//3C,由球性質可知，三棱錐P—ABC外接球的球心。必在直線0'0上.

設外接球的半徑為「，由球的性質可得：2,產_因2=閘,即W7萬=2,解得:

r2=5-

所以三棱錐P-ABC外接球的表面積為S=4兀產=20兀.

故答案為：20Tl.

16.已知橢圓G和雙曲線G有共同的左、右焦點6，工，M是它們的一個交點，且

/耳吟=W，記G和的離心率分別為4*2,則e。的最小值是.

【答案】也

2

【解析】

【分析】設橢圓的長半軸長為外,雙曲線的實半軸長為的，根據橢圓及雙曲線的定義可解

出1M周，結合由用=2c,/用明=：,根據余弦定理列式，可得方程

2-V|+2+V|=4>最后根據基本不等式答案.

e\

【詳解】不妨設M為第一象限的點.

如圖，設橢圓的長半軸長為％,雙曲線的實半軸長為的，

則根據橢圓及雙曲線的定義知閭=24,財周一四周=羽,

所以制=4+4，=

設怩冃=2c在△M/記中，N耳姐=?,

由余弦定理得，4c~=（4+。,）+（4—4）"-2（。［+a,）（q—4>

化簡得（2-血）4+修+虛）*=4,2,

2—V22+\[2zn]

即一2—+——；—=4(0<耳<1,e2>1),

e\e2

所以e?2孝，當且僅當今也=第2時，即42=2￡2,J=笥叵等號成立，

所以0缶2的最小值為先.

2

故答案為：

2

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21

題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求

作答.

（一）必考題：共60分.

17.已知的內角AB,C所對的邊分別為a,b,c,且

a(sinA-sinC)+csinC=￡>sinB.

（1）求角B

（2）若匕=5,求一ABC周長的最大值.

It

【答案】(1)

3

(2)15

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理、余弦定理化簡已知條件，求得cosb,由此求得B.

（2）利用正弦定理將.4BC的周長用角來表示，結合三角函數的知識求得周長的最大值.

【小問1詳解】

〃2+2_厶21

由正弦定理得儲一=〃，由余弦定理得“SB=巴士~~—

2ac2

由于Be（0,兀），所以8=].

【小問2詳解】

b_c

由正弦定理得

sinAsinBsinC

a_c_5_10

sinAsinC百百,

2

”畢sinA,c=學sinC,

V3V3

一ABC的周長為

=5Gsirt4+5cosA+5=10sin[A+^)+5,

由于4G（°號）'4+3修斎'

所以"厶+江\,1,10sin（A+江（5,10],儂皿（厶+斎+5€（10,15]

當A+'=2,即厶=二時，lOsin（A+0+5=15

623I6丿

所以周長的最大值為15.

18.甲、乙兩家公司生產同一種零件，其員工的日工資方案如下：甲公司，底薪140元，另

外每生產一個零件的工資為2元；乙公司，無底薪，生產42個零件以內（含42個）的員工

每個零件4元，超出42個的部分每個5元.假設同一公司的員工一天生產的零件個數相同，

現(xiàn)從這兩家公司各隨機選取一名員工，并分別記錄其30天生產的零件個數，得到如下頻數

表：

甲公司一名員工生產零件個數頻數表

生產零件個數3839404142

天數59565

乙公司一名員工生產零件個數頻數表

生產零件個數4041424344

天數39693

若將頻率視為概率，回答以下問題：

（1）現(xiàn)從記錄甲公司某員工30天生產的零件個數中隨機抽取3天的個數，求這3天生產的

零件個數都不高于39的概率；

（2）小明打算到甲、乙兩家公司中的一家應聘生產零件的工作，如果僅從日工資的角度考

慮，請利用所學的統(tǒng)計學知識為小明做出選擇，并說明理由.

13

【答案】（1）—

145

（2）小明應該選擇到甲公司應聘，理由見解析.

【解析】

【分析】（1）根據甲公司員工生產零件個數頻數表以及古典概型概率公式計算可得結果；

（2）設甲公司員工的日工資為X，則X的所有可能取值為：216,218,220,222,224,求

出X的分布列以及數學期望；設乙公司員工的日工資為丫，則丫的所有可能取值為：

160,164,168,173,178,求出y的分布列以及數學期望，比較兩個數學期望的大小可作出選

擇.

【小問1詳解】

記“這3天生產的零件個數都不高于39”為事件",

則p（"）=導=黒.

13

所以這3天生產的零件個數都不高于39的概率為百

【小問2詳解】

設甲公司員工的日工資為X，

當生產零件個數為38個時,X=38x2+140=216元,

當生產零件個數為39個時,X=39x2+140=218元,

當生產零件個數為40個時,X=40x2+140=220元,

當生產零件個數為41個時,X=41x2+140=222元,

當生產零件個數為42個時,X=42x2+140=224元,

93

又P(X=156)=a=丄，P(X=158)=—=—,

3063010

P(X=160)=2=丄，P(X=162)=—=-,

306305

P(X=164)=—=-,

306

所以X的分布列為：

X216218220222224

]_3丄丄

p

6io656

所以E(X)=216x丄+218x2+220x丄+222x丄+224x丄=219.8元.

610656

所以甲公司員工的日工資的平均值為219.8元.

設乙公司員工的日工資為丫，

則當生產零件個數為40個時，^=40x4=160元,

當生產零件個數為41個時,y=41x4=164元，

當生產零件個數為42個時,7=42x4=168

當生產零件個數為43個時,y=42x4+5=173元，

當生產零件個數為44個時,7=42x4+2x5=178it.

3193

又P(y=160)=3=一,p(y=164)=—=—,

30103010

p(y=168)=5=(,P(Y=173)_9__2_

30-W

31

p（y=178）=—=—,

3010

所以y的分布列為:

Y160164168173178

13丄31

P

101051010

13131

所以E（y）=160x—+164x3+168x—+173x」~+178x—=168.5元.

101051010

所以乙公司員工的日工資的平均值為168.5元.

因為168.5<219.8,所以如果僅從日工資的角度考慮的話，小明應該選擇到甲公司應聘.

19.在四棱錐P—ABCD中，平面卩4。丄底面A5C。，底面A8CD是菱形，E是PO的中

點，PA=PD=3,AB=2,ZABC=60°.

（1）證明：PB〃平面EAC；

（2）求直線EC與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見詳解

⑵歩

35

【解析】

【分析】（1）構造中位線，通過線線平行證明線面平行；

（2）建立空間直角坐標系，先求平面以8的法向量，再求EC與法向量所成角的余弦值，

再得到結果.

【小問1詳解】

如圖1,連接30，設AC與3。交于點F,連接ER.

因為底面ABC。是菱形，所以尸為3。的中點，又E是P。的中點，

所以EF7/PB,又￡/u平面EAC,平面E4C,

所以。3〃平面E4C；

p

【小問2詳解】

圖I

如圖2,取AD的中點0.

在，中，PA=PD=3,AB=AD=2,。為AO的中點，所以P01AQ，

所以PO=dPD?—OD）=舊—1=20.

因為平面B4Z）丄底面A8CZ）,平面P4Z＞c底面4BCD=A￡）,

所以PO1底面ABC。，又OCu底面ABC。，

所以P0丄0C.

在菱形A8CQ中，AB=2,NA5C=60。，所以△ABC與△ACO是等邊三角形,

所以OC丄AD,AC=2,OC=6

以。為原點，。。為x軸，。。為＞軸，OP為z軸建立空間直角坐標系,

則。（0,0,0）,A（0,-l,0）,0（0,1,0）,C（V3,0,0）,5隕,-2,0卜尸（0,0,2閭,

U111（石，-g,-逝），驍=（上,-1,0）

則EC=,%=僅,-1,-2&）.

ABn=Q

設〃=（x,y,z）為平面的一個法向量，則＜

PAn=0

>j3x-y=0廠迎l

即L，令X=l，則y=G,z=------，則〃=（1,6,一

-y-2v2z=04

導嶼+好L

7224M

costEC公=生\

\1\EC\\n\V21V70-35

---------X----------

24

所以直線EC與平面B4B所成角的正弦值上叵.

35

22

20.已知雙曲線C:二-3?=1（“＞0力＞0）的右焦點為尸（2,0）,且點。（0,?。┰陔p曲線C

a'b~

上.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）過點尸的直線與雙曲線C的右支交于A,8兩點，在x軸上是否存在不與尸重合的點

P,使得點尸到直線南,P8的距離始終相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說

明理由.

2

【答案】（I）=1

3

（2）存在，尸（；，0），理由見解析

【解析】

【分析】（1）首先得c=2,再將點。的坐標代入雙曲線方程，聯(lián)立方程求解片,〃，即可

求雙曲線方程；

（2）假設存在點P（〃,0）,據題意設AB:X=照+2（加h0）,聯(lián)立方程得到y(tǒng)+%，,力，

再由點F到直線PA,PB的距離相等可得心A+%加=0,由此代入式子即可求得點p坐標，

再考慮斜率不存在的情況即可

【小問1詳解】

由題意得，c=2,

2-丄=1

所以〃，所以標=1，庁=3,

a2+b2=4

所以雙曲線C的標準方程為光2-22=1；

3

【小問2詳解】

假設存尸（〃,0）,設A（x,,y）,s（x,,y2）,

由題意知，直線斜率不為0,設直線AB:x=sy+2（m。。）,

x=iny+2

聯(lián)立一2消去x,得（3療一1）9+12収y+9=0,

3

則3加2—1H0，△=(12機一4x9(3機2—1)=36(，〃2+1)>0,

12/n9

且M+%=

3Z/72-13m2

因為使得點F到直線PA,PB的距離相等，所以尸尸是/APB的角平分線,

則統(tǒng)+%=0,即+_'：=0,則y(，硏+2―〃)+%(色1+2)=0,

X]幾X?染

整理得2陽]必+(2—〃)(y+%)=°，故2mx9.-(2二“尸2"’=0'

3m-13m-1

即3加一2加(2—〃)=0,因為〃zwO,所以〃=；,此時

當直線的斜率不存在時，根據拋物線的對稱性，易得尸(；,0)也能讓點尸到直線出，PB

的距離相等；

綜上所述，故存在滿足題意

21.已知函數/(1)=6網-3以2-x-1.

(1)當“21時，證明：對任意的xNO,都有〃x)2o；

(2)證明：>21n(〃+l)-〃ln2(ZeN",〃eN").

k=lk

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】

【分析】證明四'"之a(ax+l),所以/'(x)=oe'"一我一1之(4—1)(以+1)20,求函數

〃力疝之°即可.

根據21n(〃+l)=2(ln：+lng+lng++In一)原題可以轉化證明

〃1〃(1、〃-\(1A2

21nl+v-E,n2-也就是證明〃>-1+-結合第一問可得.

jt=ikk=\'k)k=\2\k)

【小問1詳解】

設函數g(x)=e*-x-l,g'(x)=e'-1,x>0.-.^,(x)=el-l>0

???g(x)在［0,+8)上單調遞增，.?.g(x)2g(O)=e°-O—l=O,即e-X+1

又因為/'(x)=ae'"-ar-l?a(ov+l)-(ax+l)=(a-D(izx+l),因為aNl,x>0

所以(。一1)(儂+1)20,即/'(X)20在［0,+“)恒成立，所以

/(x)>/(O)=e°-O-O-1=O,得證.

【小問2詳解】

=>,21n,"+1,而〃ln2=Zln2,欲證>，丄>21n(〃+2(ZeN",〃eN")

k=\kk=iA=1k

即證>￡21/1〉21n2,也就是證對VkwN7>21n［1+7］—ln2即可.

Hk閣l女丿Mk\k)

1\(1V11/1\2

即證￡>ln-1+-,即證人>丄1+丄,觀察可知與〃司有關系，

由(1)知a=l時/(x)=e*—gx?—x—120對尤20恒成立

即e"2丄J+x+i〉丄*2+%+丄=丄(%+］)2,故％=丄得/>丄。+丄］證畢.

2222'丿k2(Z丿

(-)選考題：共10分.請考生從第22,23兩題中任選一題作答.如果多做,

則按所做的第一個題目計分.

［選修4-4：坐標系與參數方程］

X—y/S+yj3t

22.在平面直角坐標系x0y中，直線/的參數方程為〈(/為參數).以坐標原

。=2+，

點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為

夕一』=4sin6

P

(1)求直線/的普通方程和曲線C的直角坐標方程；

(2)設直線/與y軸交于點4,與曲線C交于M,N兩點，求WT+W■丁的值.

【答案】⑴l:x-島C:x2+(y-2)2=9

17

(2)

64

【解析】

艾=DCOS0

【分析】（1）通過直線的參數方程，通過消參得到直線的普通方程；通過《.八將曲

y=psmO

線C化成直角坐標即可.

（2）首先求出點A的坐標，再利用直線參數方程中參數的幾何意義，將直線/代入曲線C的

直角坐標方程，結合韋達定理即可求解.

【小問1詳解】

因為直線/的參數方程為《（f為參數），

y=2+t

所以直線/的普通方程為x-百y+6=0；

己知曲線C的極坐標方程為夕一（=4sin。，化簡整理得：p2-4