2023考研線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)全面總結(jié)

《線性代數(shù)》復(fù)習(xí)提綱

第一章、行列式（值，不是矩陣）

1.行列式的定義：用個(gè)個(gè)元素％組成的記號(hào)稱為n階行列式。

（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n個(gè)元素乘積的代數(shù)和；

（2）展開式共有n!項(xiàng)，其中符號(hào)正負(fù)各半；

2.行列式的計(jì)算

一階|a|=a行列式，二、三階行列式有對(duì)角線法則；

N階（歴3）行列式的計(jì)算：降階法

定理：n階行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余

子式乘積的和。

方法：選取比較簡單的一行（列），保保留一個(gè)非零元素，其余元素化為0,

利用定理展開降階。

特殊情況：上、下三角形行列式、對(duì)角形行列式的值等于主對(duì)角線上元素的

乘積；

。行列式值為0的幾種情況：

I行列式某行（列）元素全為0；II行列式某行（列）的對(duì)應(yīng)元

素相同；

III行列式某行（列）的元素對(duì)應(yīng)成比例；IV奇數(shù)階的反對(duì)稱行列式。

3.概念：全排列、排列的逆序數(shù)、奇排列、偶排列、余子式以、代數(shù)余子式4=（T產(chǎn)場(chǎng)

定理：一個(gè)排列中任意兩個(gè)元素對(duì)換，改變排列的奇偶性。

奇排列變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為基數(shù)，偶排列為偶數(shù)。

n階行列式也可定乂：D=Z（-D%M%，t為g必…%的逆序數(shù)

4.行列式性質(zhì)：

1、行列式與其轉(zhuǎn)置行列式相等。

2、互換行列式兩行或兩列，行列式變號(hào)。若有兩行（列）相等或成比例，則為

行列式0。

3、行列式某行（列）乘數(shù)k,等于k乘此行列式。行列式某行（列）的公因子

可提到外面。

4、行列式某行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式等于兩個(gè)行列式之和。

5、行列式某行（列）乘一個(gè)數(shù)加到另一行（列）上，行列式不變。

6、行列式等于他的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)代數(shù)余子式的乘積之和。

（按行、列展開法則）

7、行列式某一行（列）與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和為

0.

5.克拉默法則：

:若線性方程組的系數(shù)行列式DH0,則方程有且僅有唯一解x,吟內(nèi)吟…x.嗎。

：若線性方程組無解或有兩個(gè)不同的解，則系數(shù)行列式D=0.

：若去次線性方程組的系數(shù)行列式D*0,則其沒有非零解。

：若無次線性方程組有非零解，則其系數(shù)行列式D=0。

=（-廠口『

=(ad-bc)n，口（為_引，（兩式要會(huì)計(jì)算）

范德蒙德行列

題型:Page21(例13)

第二章、矩陣

1.矩陣的基本概念（表示符號(hào)、一些特殊矩陣一一如單位矩陣、對(duì)角、對(duì)稱矩

陣等）；

2.矩陣的運(yùn)算

（1）加減、數(shù)乘、乘法運(yùn)算的條件、結(jié)果；

（2）關(guān)于乘法的幾個(gè)結(jié)論：

①矩陣乘法一般不滿足交換律（若AB=BA,稱A、B是可交換矩陣）；

②矩陣乘法一般不滿足消去律、零因式不存在；

③若A、B為同階方陣,則|AB|=|A|*|B|；

④|kA|二k”*|A|。只有方陣才有塞運(yùn)算。

TT

（3）轉(zhuǎn)置：（kA）=kA,（AB）T=BTAT

7

(4)方陣的行列式：,'卜所M=W，岡屮閩

(5)伴隨矩陣：AA，=A，A=|A|E,A=q^E)A-A電勺行元素是A的列元素的代數(shù)余子

式

(6)共輔矩陣：天=礪，A+B=A+B,kA=kA,AB=AB

,、——、丄%+%…fA；,-

(7)矩陣分塊法：A+B=；,AT=；；

、Ai+B“4”+B,J、A[A；

3.對(duì)稱陣：方陣AT=A。對(duì)稱陣特點(diǎn)：元素以對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等。

3.矩陣的秩

(1)定義：非零子式的最大階數(shù)稱為矩陣的秩；

(2)秩的求法：一般不用定義求，而用下面結(jié)論：

矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；階梯形矩陣的秩等于非零行的個(gè)數(shù)(每行

的第一個(gè)非零元所在列，從此元開始往下全為。的矩陣稱為行階梯陣)。

求秩：利用初等變換將矩陣化為階梯陣得秩。

⑹()

(3)O^R(A?,K?)^min{m/n}；R=RA；若厶~3,則R(A)=R(B)；

若P、Q可逆,則R(PAQ)=R(A);max{R(A),R(B)}WR(A,B)<R(A)+R(B)

若AB=C,R(C)Wmin{R(A),R(B)}

4.逆矩陣

(1)定義：A、B為n階方陣，若AB=BA=L稱A可逆，B是A的逆矩陣

(滿足半邊也成立)；

(2)性質(zhì)：(AB);BT,(AT=(A')'；(AB的逆矩陣，你懂的)(注意順序)

(3)可逆的條件：①|(zhì)A|,0；②r(A)=n;③A->I;

(4)逆的求解：①伴隨矩陣法A"=[；②初等變換法(A:I)->(施行初等變

換)(I：A")

(5)方陣A可逆的充要條件有：①存在有限個(gè)初等矩陣P,,…，P,,使人利…匕

②A~E

第三章、初等變換與線性方程組

1、初等變換：①(A)亠⑻，②(A)亠⑻，③(A)」±』(B)性質(zhì)：初等變換可

逆。

等價(jià)：若A經(jīng)初等變換成B,則A與B等價(jià)，記作A~B,等價(jià)關(guān)系具有反身

性、對(duì)稱性、傳遞性。

初等矩陣：由單位陣E經(jīng)過二亟初等變換得到的矩陣。

定理：對(duì)A.”.施行一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘相應(yīng)的m階初等矩

陣；對(duì)A.*.施行一次初等列變換，相當(dāng)于在A的右邊乘相應(yīng)的n階初等矩

陣。

等價(jià)的充要條件：?R(A)=R(B)=R(A,B)

②mxn的矩陣A、B等價(jià)。存在m階可逆矩陣P、n階可逆矩陣Q,

使得PAQ=Bo

線性方程組解的判定

定理：(1)r(A,b)4(A)無解;(2)r(A,b)=r(A)=n有唯一解；

(3)r(A,b)=r(A)<n有無窮多組解；

特別地：對(duì)齊次線性方程組AX=O,(1)r(A)=n只有零解；(2)r(A)<n

有非零解；

再特別，若為方陣，(1)|A|,0只有零解；(2)|A|=0有非零解

2.齊次線性方程組

(1)解的情況：r(A)=n。只有零解；r(A)<n。有無窮多組非零解。

(2)解的結(jié)構(gòu)：X=c,a,+c2a2+--cn_ran_ro

(3)求解的方法和步驟：

①將增廣矩陣通過行初等變換化為最簡階梯陣；②寫出對(duì)應(yīng)同解方程組；

③移項(xiàng)，利用自由未知數(shù)表示所有未知數(shù)；④表示出基礎(chǔ)解系；⑤寫出通解。

(4)性質(zhì)：

①若x一和是向量方程A*x=O的解，則*=4+與、戶嶼也是該方程的解。

②齊次線性方程組的解集的最大無關(guān)組是該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。

③若R(2=r,則n元齊次線性方程組A*X=O的解集S的秩Rs=…。

3.非齊次線性方程組

(1)解的情況:①有解oR(A)=R(Azb)o②唯一解。R(A)=R(A,b)=n0③無

限解。R(A)=R(A,b)<n0

(2)解的結(jié)構(gòu)：X=u+。

(3)無窮多組解的求解方法和步驟：與齊次線性方程組相同。

(4)唯一解的解法：有克萊姆法則、逆矩陣法、消元法(初等變換法)。

(5)①若x=%、x=%都是方程Ax=b的解，則x=是對(duì)應(yīng)齊次方程Ax=O的解

②x=〃是方程=〃的解，x=J是Ax=O的解，則.r=4+"也是Ax=〃的解。

第四章、向量組的線性相關(guān)性

1.N維向量的定義(注：向量實(shí)際上就是特殊的矩陣一一行矩陣和列矩陣；默

認(rèn)向量a為列向量)。

2,向量的運(yùn)算：

(1)加減、數(shù)乘運(yùn)算(與(3)向量

矩陣運(yùn)算相冋)；長|a|=Ja^a=[a；+a；+???+?；

(2)向量內(nèi)積a'B=al(4)向量單位化(l/|a

bl+a2b2+…+anbn；|)a;

3.線性組合

(1)定乂：若b=4q+4a2+…+A11ag，則稱b是向量組4,02，…，％的一個(gè)線性組合,或

稱b可以用向量組可,%的線性表示。

(2)判別方法：將向量組合成矩陣，記A=(a,,…

①B=(a,,a2,,0),則：r(A)=r(B)<=>b可以用向量組q,%，線性

表不。

②B=(*小…，小,則：B能由A線性表示。R(A)=R(A,B)0AX=B有解=R(B)

WR(A).

(3)求線性表示表達(dá)式的方法：矩陣B施行行初等變換化為最簡階梯陣，則最后一

列元素就是表示的系數(shù)。

注：求線性表示的系數(shù)既是求解Ax=b

4.向量組的線性相關(guān)性

(1)線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義

設(shè)“*必若kl,k2,…,kn不全為0,稱線性相關(guān)；若全為0,稱線性無

關(guān)。

(2)判別方法：

①r(al,a2,an)<n,線性相關(guān)；r(al,a2,an)=n,線性無關(guān)。

②若有n個(gè)n維向量，可用行列式判別：n階行列式Ka.}|=0,線性相關(guān)(W0

無關(guān))

③A：q,…B:…生，…，2%,若A相關(guān)則B一定相關(guān)，若B相關(guān)

A不一定相關(guān)；

若A無關(guān)，B相關(guān)，則向量％必能由A線性表示，且表示式唯一。

注：含零向量的向量組必定相關(guān)。

5.極大無關(guān)組與向量組的秩

(1)定義：最大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)稱為向量組的秩

(2)求法：設(shè)A=(%,冊(cè))，將A化為階梯陣，則A的秩即為向量組的秩,

而每行的第一個(gè)非零元所在列的向量就構(gòu)成了極大無關(guān)組。

(3)矩陣的秩等于它的行向量組的秩也等于它的列向量組的秩。

注：如何證明R(ATA)=R(A),P皿.

第五章、相似矩陣及二次型

1、向量內(nèi)積：卜,)']=『丫。

內(nèi)積性質(zhì):[x,y]=[y,x],[Ax,y\=2[y,x\,[x+z,y]=[y,x]+[z,x]j

：當(dāng)X=0時(shí)，卜x]=0,當(dāng)X*0時(shí)，[x,.r]>0

2、向量長度：||x||=y/[x,x\=Jr；+x；+…+x；

性質(zhì)：非負(fù)性帆WO、齊次性網(wǎng)=|犧卜三角不等式眠+浜國+帆

3、正交：卜丿]=0稱x與y正交。若x=0,則x與任何向量都正交。

正交向量組是指一組兩兩正交的非零向量。

定理：若FT!維向量q,a2,…，a”是正交向量組，貝1Ja”線性無關(guān)。

正交陣：A：A.=E,Ar=A-'o

性質(zhì)：若A為正交陣則不也是正交陣，且同=±1；若A、B都正交，則AB正交。

規(guī)范正交基：設(shè)m維向量％,生，…，。.是向量空間V的一個(gè)基，若右,旳，…，％兩

兩正交，且都是單位向量，則稱1,……，％是V的一個(gè)規(guī)范正交基。

規(guī)范正交化：施密特正交化過程：4/，2=/-協(xié)仇，……

b___b

正交變換：P為正交陣，y=&稱為正交變換。有帆=|國

4、矩陣的特征值和特征向量

①定義：對(duì)方陣A,若存在非零向量X和數(shù)入使4=厶，則稱人是矩陣A的特征值，

向量.稱為矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值A(chǔ)的特征向量。

②特征值和特征向量的求解：求出特征方程|ATE|=0的根即為特征值，將特征值人

代入對(duì)應(yīng)齊次線性方程組(4TE)x=0中求出方程組的所有非零解即為特征向量。

③重要結(jié)論與定理：

(1)A可逆的充要條件是A的特征值不等于0；(2)A與A的轉(zhuǎn)置矩陣A'有相同

的特征值；

（3）不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)。（4）對(duì)A.=（%）的特征值有：=

n4=同°

（5）若人是A的特征值，則5是A*的特征值,刈）是加）的特征值。（6）

心是方陣A的m個(gè)特征值，對(duì)應(yīng)特征向量是，，外,…，小若人互不相等，則°,互不

相關(guān)。

5、矩陣的相似

①定義：同階方陣A、B,若有可逆陣P,P'AP=B,則A與B相似。P為把A變?yōu)?/p>

B的相似變換矩陣。

②若n階矩陣A與對(duì)角陣A相似，則對(duì)角陣元素兒即是A的n個(gè)特征值。

若f（入）是矩陣A的特征多項(xiàng)式，則f（A）=Oo

A.與對(duì)角陣相似oA有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。

若入的n個(gè)特征值互不相等，則A與對(duì)角線對(duì)視。

③求A與對(duì)角矩陣A相似的方法與步驟（求P和A）：求出所有特征值；求出所有

特征向量；

若所得線性無關(guān)特征向量個(gè)數(shù)與矩陣階數(shù)相同，則A可對(duì)角化（否則不能對(duì)