2014-2023年高考數(shù)學(xué)真題分享匯編：數(shù)列解答題（理科）（解析版）（全國通用）

十年(2014—2023)高考真題分項(xiàng)匯編一數(shù)列解答題

目錄

題型一：數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式...............................1

題型二：等差數(shù)列的定義與性質(zhì)...............................8

題型三：等比數(shù)列的定義與性質(zhì)..............................12

題型四：數(shù)列的求和........................................12

題型五：數(shù)列中的新定義問題................................15

題型六：數(shù)列中的證明問題..................................45

題型七：數(shù)列與其他知識(shí)的交匯..............................61

題型八：數(shù)列的綜合應(yīng)用....................................79

題型一：數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式

1.(2021年新高考I卷?第17題)已知數(shù)列｛4｝滿足％=1,冊+i猊孑

%+2,〃為偶數(shù).

⑴記4=6，寫出偽，打，并求數(shù)列｛，｝的通項(xiàng)公式；

⑵求｛%｝的前20項(xiàng)和.

【答案】々=2也=5；300.

解析：(1)由題設(shè)可得々=。2=q+1=2,Z>2=a4=a｝+\=a2+2+1=5

又a2t+2=a2k+l+1>a2k*l=。2k+2，故°2A+2=+3即，,+1==+3即"八—b"=3

所以也｝為等差數(shù)列，故，=2+(〃-l)x3=3〃-l.

a

(2)設(shè)｛?！埃那?0項(xiàng)和為520,則邑。=q+&+%+…+2?，

因?yàn)椋?。2一1，03=。4-1，…，卬9=?20-1，

所以S20=2(%+。4+…+。18+〃2o)-10

(ox1f))

=2伍+62+---+/>9+/>1())-10=2xl10x2+-^—x3-10=300.

2.(2014高考數(shù)學(xué)湖南理科?第20題)已知數(shù)列｛?！埃凉M足q=1,0用=

(I)若｛4｝是遞增數(shù)列，且%,2%3%成等差數(shù)列，求Q的值；

(II)若p=；,且也“，是遞增數(shù)列，｛%“｝是遞減數(shù)列，求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

，田田.141(-1)"

【答案】⑴p=§(2)a?=y+3"27：r

解析：(I)因?yàn)椋耸沁f增數(shù)列，所以用—。,=|。用一。"|="'。而％=1.因此又%,2%,3%成等差數(shù)列，

4a2=%+3%n4(1+p)=1+3(22+p+1)n3P2-p=0解得p=；，2=0,但當(dāng)夕=0時(shí)，

an+x-an,

這與｛%｝是遞增數(shù)列矛盾。故P=；.

(⑴由于｛4,-｝是遞增數(shù)列，因而4,用一。2,1>°，于是

(。2,,+1—%”)+Q"一°2"-i)>。①

但《<擊，所以

a2n+\~a2n<a2n~a2n-\'②

又①，②知，0,因此

a2n-a2n_t>

因?yàn)椋?“｝是遞減數(shù)列，同理可得，。2“+1一。2“<0故

flYw_(-1嚴(yán)?

aa=一④

2n+\-2n

由③，④即知，%+I―/=':。

于是

=%+(2-q)+32)+…+(a”-??-1)

an(。一。

_111(-1)"11一(-5)”_41(-1)"

2222"T21工1332"''

2

故數(shù)列｛?！埃耐?xiàng)公式為+

3.(2019?全國II?理?第19題)已知數(shù)列｛%｝和也｝滿足%=1,4=0,4%用=3?！啊?4,

4b例=3bn-an-4.

(1)證明：｛%+"｝是等比數(shù)列，｛?！耙弧＃堑炔顢?shù)列；

(2)求｛%｝和也｝的通項(xiàng)公式.

【答案】(1)見解析；(2)4"=!+〃一；,—

【官方解析】

(1)由題設(shè)得4(a.+I+b,+J=2(4+勿)，即all+l+b“+i=1(an+b?).

又因?yàn)?+4=1,所以｛4+〃｝是首項(xiàng)為1,公比為;的等比數(shù)列.

由題設(shè)得45,用—〃用)=40—")+8,即%-b“+i=an-bn+2.

又因?yàn)?-4=1,所以｛4-"｝是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.

(2)由⑴知，4+4=擊，an-b?=2n-l.

所以。“=g[&+〃,)+伍“一”)]=J+"—；，

”,=；[(/+")一(4_?)]=?一〃+；.

【分析】(1)可通過題意中的4。川=3bn-an+4以及44+1=3/一”一4對兩式進(jìn)行相加和相減即可推導(dǎo)

出數(shù)列｛q+4｝是等比數(shù)列以及數(shù)列｛。.-％｝是等差數(shù)列；

(2)可通過(1)中的結(jié)果推導(dǎo)出數(shù)列｛6,+"｝以及數(shù)列｛與-〃｝的通項(xiàng)公式，然后利用數(shù)列｛%+4｝以及

數(shù)列｛。“一4｝的通項(xiàng)公式即可得出結(jié)果.

【解析】(1)由題意可知4q,+i=34-〃+4,他+|=3〃,一。“一4,%+4=1,%-4=1,

所以4%刊+4%=3a?-bn+4+3hn-an-4=2a?+2h?，即%+%=*“+4）,

n

所以數(shù)列｛%+4｝是首項(xiàng)為1、公比為4的等比數(shù)列，an+b?=（j）-',

因?yàn)?%M-4晨=3/-b?+4-（3b.-an-4）=4a?-地+8,

所以4+「bn+i=a?-bn+2,數(shù)列｛a“一?｝是首項(xiàng)1、公差為2的等差數(shù)列，an-bn=2n-1.

（2）由（1）可知，%+“=擊，an-bn=2n-1,

所以勾=J[（4,+4）+（與—4）]=：+〃_；，"=；[（/+4）-（%-4）]=：一〃+J.

【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了等差數(shù)列以及等比數(shù)列的相關(guān)證明，證明數(shù)列是等差數(shù)

列或者等比數(shù)列一定要結(jié)合等差數(shù)列或者等比數(shù)列的定義，考查推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔

題.

4.（2014高考數(shù)學(xué)廣東理科?第19題）設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃和為S.滿足S〃=2"〃向-3"2_4〃,〃CN*,且

§3=15.

（1）求為七,內(nèi)的值;

（2）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

【答案】解：（1）當(dāng)〃=1時(shí)，%=24-7①

當(dāng)〃=2時(shí)，4+%=4a3-20②

邑=q+%+%=15③

由①②③解得q=3,4=5,%=7

（2）當(dāng)〃>1時(shí)，Sn=2〃a〃+]-3/-4〃①

S,T=2（〃-1”“—3（〃-1）2-4（〃—1）②

化簡得2〃。用=（2〃-1）4+6〃+1（當(dāng)”=1時(shí)也成立）

方法1：（湊配）

☆2〃[a“+]+/（〃+l）+B]=（2〃-l）[a“+Z〃+8],求得/=-2,8=-1即

2〃[%一2（〃+1）-1]=（2〃-1）[%-2〃-1]

令b“=a“—2〃—l,則2叫M=（2〃-1應(yīng)，即加=宇"

因?yàn)?=0也=0,4=0,故必有4=0,即4=2〃+1

方法2：（數(shù)學(xué)歸納法）由⑴q=39=5,/=7，猜想?！?2〃+1,

+

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明對VxeN,an=2/7+1：

當(dāng)〃=1,〃=2,〃=3時(shí)，成立

假設(shè)當(dāng)〃=%時(shí)成立，即有以=2左+1,2左4+1=（2左一1）4+6左+1

當(dāng)〃=左+1時(shí)，2—=（2左一1）（2左+1）+6左+1=4尸+6左

所以a-=4%+6%=2左+3=2（1+1）+1,成立

2k

綜上所述，對VxeN+,a“=2〃+1

5.（2014高考數(shù)學(xué)湖北理科?第18題）已知等差數(shù)列｛%｝滿足：q=2,且%、出、生成等比數(shù)列.

（I）求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式.

（H）記5“為數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)〃，使得S.>60〃+800?若存在，求”的最

小值；若不存在，說明理由.

【答案】⑴%=2或%=4〃—2；（2）詳見解析.

解析：（1）設(shè)數(shù)列｛凡｝的公差為d，依題意，2,2+d,2+4"成等比數(shù)列，所以（2+1）2=2（2+41）,解得

d=0或d=4,當(dāng)d=0是，氏=2；當(dāng)d=4時(shí)，a“=2+（〃—l）x4=4〃一2,所以數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公

式為a“=2或an=4〃一2.

⑵當(dāng)氏=2時(shí)，S“=2〃，顯然2〃<60〃+800,不存在正整數(shù)〃，使得.

當(dāng)氏=4〃—2時(shí)，§42+（4"2）］、2八令2/>60〃+800,BP?2-30?-400>0,解得〃〉40

'"2

或〃<-10（舍去），此時(shí)存在正整數(shù)“，使得S“>60〃+800成立，〃的最小值為41.

綜上所述，當(dāng)%=2時(shí)，不存在正整數(shù)”：

當(dāng)氏=4〃—2時(shí)，存在正整數(shù)“，使得S”>60〃+800成立，及的最小值為41.

6.（2021年高考全國乙卷理科?第19題）記S”為數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和，b”為數(shù)列｛S“｝的前〃項(xiàng)積，已知

+—=2

⑴證明：數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列;

(2)求｛%｝的通項(xiàng)公式.

【答案】⑴證明見解析：(2)a?=?

,7?>2

21cc2a1

解析：⑴由已知不+了=2得且2聲0,b產(chǎn)二,

S“b”2bn-l2

取〃=1,由5=4得4=：3,

由于“為數(shù)列｛S“｝的前〃項(xiàng)積，

由于

211

所以赤二口=丁，即以「4=5,其中〃

所以數(shù)列｛4｝是以a=:為首項(xiàng)，以d=2為公差等差數(shù)列；

22

(2)由⑴可得，數(shù)列也｝是以4=：4為首項(xiàng)，以1=1彳為公差的等差數(shù)列,

22

?3711〃

..b=---卜(/7—1)X—=1d--,

〃2\722

s_2〃_2+〃

"2bn-l1+〃'

2+771+771

當(dāng)生2時(shí),%而短，顯然對于〃=1不成立,

1+〃n

3,

—,?=1

2

1W2

/1V-

【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前〃項(xiàng)和與項(xiàng)的關(guān)系，數(shù)列的前〃項(xiàng)積與項(xiàng)的關(guān)系，其中由

2b.2b,2b心2a2b,2b.2bzh.

行*.kr…得到不*…L^n+\b,L"一進(jìn)而得到。-二l+■是關(guān)鍵一

2b12h2-12hn-12hi-12h2-12btl+l-12on+1-1bn

步；要熟練掌握前”項(xiàng)和，積與數(shù)列的項(xiàng)的關(guān)系，消和（積）得到項(xiàng)（或項(xiàng)的遞推關(guān)系），或者消項(xiàng)得到和（積）

的遞推關(guān)系是常用的重要的思想方法.

7.（2018年高考數(shù)學(xué)浙江卷?第20題）已知等比數(shù)列｛%｝的公比q>1,且為+4+%=28，%+2是%，的

的等差中項(xiàng).數(shù)列也卜滿足&=1,數(shù)列｛電+1—4）4｝的前項(xiàng)和為21+〃.

⑴求夕的值；

（2）求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式.

【答案】（l）q>2；（2）〃=15-（4〃+3〉出

%+%+=28

【解析】⑴由題知<

%+4=2(%+2)

%+a、=20(1A1

35,.*.8q+-=20,解得q=2或9=上,

4=8Iq)2

q>\,??.夕=2.

（2）方法一：錯(cuò)位相減法

/\/X1S,拉二1

設(shè)%=(%—〃”“，數(shù)列上}前〃項(xiàng)和為S”，由c,,=?，解得c.=4〃—1.

￡7"T，〃22

由(1)知仆=2~,所以心一“=?，故"一％=?(〃之2)，

",={bn-6“T)+(AT—如)+…+(4-A)+(A-，)+A

4〃-5477-9

2〃-2+2”-3+?-?+-+3+1

2

74?—9477-5

設(shè)T“=3+--1---1-2?-3+2"-2（〃之2）,

471—94〃一5

----------?--------

2"242"-2

亨=3—守+44?..4M+3/IM_1_3

--1..-+…+(〃22),???偽=1,.也=15-萬蘆

222

方法二：構(gòu)造常數(shù)列

/\1S,〃二1

設(shè)%=陷f數(shù)列同前〃項(xiàng)和為％>_解得i-L

4h一1

由（I）知q"=2"T,所以6,用_〃,=二^,

而(4〃-1)(；)=(4〃+3)，1-(4〃+7)，),

=〃M+(4〃+7)6)=4+(4〃+3)6),

所以〃向_a=(4〃+3)_(4〃+7)

所以數(shù)列＜”+(4〃+3)(g)"是一個(gè)常數(shù)列。即”+(4〃+3)［；)=4+14=15,

所以a=15—牝?.

“r"一/

說明：其中（4〃一1）（；）|=（4〃+3）（g）一（4〃+7）（3）是采用待定系數(shù)法求出的

N-1

可設(shè)(4〃-1)=(/!〃+〃)-一［%(〃T)+〃］待定求出4=一4,〃二一7

題型二：等差數(shù)列的定義與性質(zhì)

M2+M

1.（2023年新課標(biāo)全國I卷?第20題）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,且d〉l.令”=一「，記S“，（，分

別為數(shù)列｛%｝,｛4｝的前”項(xiàng)和.

⑴若3%=3%+。3，$3+4=21,求｛??｝的通項(xiàng)公式:

⑵若也｝為等差數(shù)列，且$99-％=99,求匿

【答案】（1）/=3〃

51

(2)JJ=—

50

解析：（1）：3。2=3%+%，，3d=q+2d,解得q=d,

S3=3a,=3(q+d)=6d,

TVTLLL26129

又T3=b、+b]+b3——l---------1----------=一，

323d2d3dd

9

...S3+4=6d+—=21,

d

即2"2—7d+3=0,解得d=3或d=1(舍去)，

2

4〃=%+(拉-1)?d=3/7.

(2)???他｝為等差數(shù)列,

12212

2h=a+a,即—=—?—,

a

iq%

々11、6dl…

??6(--------)=-----=一,即Q：7-3〃d+2d~=0,解得或q=2d,

a

a2%Q2a3\

?：d>\,/.>0,

又$99-7；9=99,由等差數(shù)列性質(zhì)知，99%）-99%=99,即％）-&。=1,

????50--------------=1，即a；。一%）-2550=0,解得%o=51或%0=一50（舍去）

。50

當(dāng)％=2d時(shí)，％o=q+491=514=51,解得"=1，與">1矛盾，無解；

當(dāng)q=d時(shí)，的0=q+49"=50d=51,解得"=冷.

綜上，tZ=—.

50

2.（2015高考數(shù)學(xué)四川理科?第16題）設(shè)數(shù)列｛q｝（〃=1,2,3,…）的前〃項(xiàng)和S“=2%—%,且q,%+l，%

成等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

⑵記數(shù)列｛」■｝的前〃項(xiàng)和Tn,求得芭一11<焉成立的〃的最小值.

【答案】⑴凡=2"；(2)10.

解析：⑴由已知S,,=2/—q,有以=S“_S“T=2a“_2a,

即見=2a“T(〃>l).

從而％=2a”a3=4al.

又因?yàn)閝,4+1，%成等差數(shù)列，即4+4=2(%+1).

所以％+4q=2(24+1),解得%=2.

所以，數(shù)列｛風(fēng)｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.

故q=2".

(2)由⑴得———?

a.,2

1111一.

所以I,=—+—+F+…+—

"222232"

2

由區(qū)一11<----,得11—--11<-----即2”>1000.

"10002"1000

因?yàn)?9=512<1000<1024=2i°,

所以〃210.

于是，使|1-1|<」一成立的n的最小值為10.

1000

考點(diǎn)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求

解能力.

29

3.(2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)?第17題)記為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和.已知。+〃=2a“+l.

n

(1)證明:㈤｝是等差數(shù)列；

(2)若%,為,“9成等比數(shù)列，求S”的最小值.

【答案】(1)證明見解析；(2)-78.

2S

【解析】(1)解：因?yàn)椤?〃=2a“+l,BP2S?+n2=2na?+n?,

n

當(dāng)〃22時(shí)，2sl+("1)2=2(〃-1)%+(〃T)②，

2

①-②得，2S4+/—2SZJ_,—(/?-1)=2nan+〃-2(〃-1",”-(〃-1),

即2?！?2〃-1=2nan-2(/7-l)^+1,

即一2(〃-1)%_]=2(〃一1),所以?！ㄒ??！╛]=1,n>2R.Z7GN*,

所以｛/｝是以1為公差的等差數(shù)列.

(2)解:由(1)可得。4=。1+3,。7=。1+6,。9=%+8,

又。4,。7，)成等比數(shù)列，所以/=%,%，

即(q+6『=(q+3)?|+8),解得％=-12,

^c1O〃(〃T)1225If25Y625

所?以-13,所以S〃=-12〃+—^-----=-/2----w=-n-----------,

2222(2)8

所以，當(dāng)〃=12或〃=13時(shí)(，)而?=一78.

4.(2021年新高考全國H卷?第17題)記S”是公差不為0的等差數(shù)列｛勺｝的前〃項(xiàng)和，若％=55，%%=54.

⑴求數(shù)列｛q,｝的通項(xiàng)公式%;

(2)求使凡>““成立的"的最小值.

【答案】解析：(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：$5=5%,則：4=5%,;.%=0,

設(shè)等差數(shù)列的公差為d，從而有：%%=(%-")(%+")=-屋，

54=?1+?,+a3+包=(%-2t/)+(a3-d^+a3+(%-d)=-2d,

從而：-d2=-2d,由于公差不為零，故：d=2,數(shù)列的通項(xiàng)公式為：+(〃-3)d=2"-6.

(2)由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：q=2-6=-4,則：S“=〃x(-4)+1)x2=/-6〃,

則不等式S”>見即：n2-5n>2n-6,整理可得：(n-l)(?-6)>0,解得：或”>6,又〃為正整數(shù),

故”的最小值為7.

題型三：等比數(shù)列的定義與性質(zhì)

1.（2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)山卷（理）?第17題）（12分）等比數(shù)列｛叫中，％=1,%=4%

（1）求｛風(fēng)｝的通項(xiàng)公式；

⑵記S”為｛4｝的前“項(xiàng)和，若S,“=63,求加.

【答案】⑴凡=2""或4=（—2）1；（2）〃?=6

【官方解析】（1）設(shè)｛4,｝的公比為q,由題設(shè)得a“=/T

由已知得/=4/,解得g=0（舍去），q=—2或g=2

-1

故an-（-2）"或an-2"T

⑵若%=（一2廣，則鼠二1一（；），由鼠=63,得（一2）'"=-188,此方和沒有正整數(shù)解

若4=2"1則S?=2"'-l,由S,“=63,得2"=64,解得加=6

綜上，加=6.

【民間解析】⑴設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為g，由6=1,%=4%可得lx/=4xlx/,所以^=4

所以q=±2

n

當(dāng)g=2時(shí)，a“=qq"T=2"T；當(dāng)g=—2時(shí)，an=a]q-'

（2）由（1）可知g=±2

a,（\-qmy1_2"'

當(dāng)g=2時(shí)，山5,“=63=＞』-----^=63即-----=63,即2"'=64=26,所以加=6；

\-q1-2

當(dāng)q=—2時(shí)，由5“=63=""-"）=63即1-（一2）=63,即（一2『=—188,無解

1-71+2、）

綜上可知加=6.

2.（2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)IH卷理科?第17題）已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S,=1+幾凡,其中/IHO.

（I）證明｛%｝是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；

31

（H）若§5=3■，求力.

i2

【答案】⑴4=產(chǎn);(n)4=-1.

1—A/t—1

【解析】⑴由題意得[=S[=1+4%,故4。1,4]=--—￡0.

1-A

由S“=1+Aa?,Sll+i=1+Aan+I得a?+l=2an+1-Aa?,BPa,l+1(2-1)=Aan.

由qYO/HO得%WO,所以也=工一

%XT

1912

因此｛%｝是首項(xiàng)為,公比為1的等比數(shù)列，于是a“=(3嚴(yán)?

1-/I/I—11—AZ—1

1ai2212i

(H)由⑴得5,=1-(」一)",由S5=3?得1一(上一)5=三，即(4)5=-L,解得4=—1.

2-15322-1322-132

題型四：數(shù)列的求和

1.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)^卷(理)?第17題)(12分)記S“為等差數(shù)列也,｝的前n項(xiàng)和，已知a,=-7,S3=-15.

(1)求｛為｝的通項(xiàng)公式；

⑵求5.，并求，的最小值.

【答案】解析：⑴設(shè)｛4｝的公差為d,由題意得3%+34=-15.

由q=7得d=2,所以｛a,,｝的通項(xiàng)公式為a,=2"-9.

(2)由⑴得S,=〃2-8”=(〃-4)2-16.

所以當(dāng)〃=4時(shí)，S,取得最小值，最小值為-16.

2.(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)n卷理科?第17題)(本題滿分12分)S“為等差數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和，且a,=LS產(chǎn)28.

記〃=[lgaj其中國表示不超過x的最大整數(shù)，$n[0.9]=0,[lg99]=l.

(I)求偽，M，6|01；(H)求數(shù)列也｝的前1000項(xiàng)和.

【答案】⑴4=[lgl]=0,=b101=[lgl01]=2；(2)1893.

【解析】⑴設(shè)｛4｝的公差為d，據(jù)已知有7+2M=28,解得d=l.

所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為a,=〃.

b]=[lgl]=0,bu=[lgll]=l,bm=[lgl01]=2.

0,l<M<10,

1,10<rt<100,

(2)因?yàn)椤?/p>

"2,100<?<1000,

3,n—1000,

所以數(shù)歹Ij｛”｝的前1000項(xiàng)和為1x90+2x900+3x1=1893.

3.(2020年新高考全國I卷(山東)?第18題)已知公比大于1的等比數(shù)列｛%｝滿足出+%=20嗎=8.

⑴求｛6,｝的通項(xiàng)公式；

(2)記粼為｛4｝在區(qū)間(0,可(加eN*)中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列｛耙｝的前100項(xiàng)和5100.

【答案】(1)。"=2"；(2)53=480.

解析：(1)由于數(shù)列｛%｝是公比大于1的等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為q,公比為q,依題意有,=2°,解

a｛q=8

得解得q=2,g=2,或％=32,q=/(舍)，

所以%=2",所以數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式為4=2".

(2)由于2=2,2?=4,23=8,24=16,2$=32,26=64,27=128,所以

4對應(yīng)的區(qū)間為：(0,1],則4=0；

2也對應(yīng)的區(qū)間分別為：(0,2],(0,3],則4=4=1，即有2個(gè)1；

“也也也對應(yīng)的區(qū)間分別為:(0,4],(0,5],(0,6],(0,7],則”=4=%=&=2,即有22個(gè)2；

久也,…也對應(yīng)的區(qū)間分別為：(0,8],(0,9],???,(0,15],則4=4=-=>=3,即有23個(gè)3；

九島，…也1對應(yīng)的區(qū)間分別為:(0,16],(0,17],--,(0,31],則九=%=??=%=4,即有24個(gè)4；

修也，…也3對應(yīng)的區(qū)間分別為:(0,32],(0,33],…,(0,63],則％="=…=1=5,即有2$個(gè)5；

%也5，…也。對應(yīng)的區(qū)間分別為：(0,64],(0,65],…,(0,100],則d=甌",=%=6,即有37個(gè)6.

所以品)0=1x2+2x22+3*23+4x24+5x25+6x37=480.

4.(2020年新高考全國卷II數(shù)學(xué)(海南)?第18題)已知公比大于1的等比數(shù)列｛%｝滿足。2+久=20,4=8.

(1)求｛6,｝的通項(xiàng)公式;

(2)求axa2—a2a3+…+(-1)"‘%%+i?

o?2〃+3

【答案】(l)a,=2"；(2)--(-1)"^——

解析：⑴設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為泌>1),則卜2+的：絲+6'=20

整理可得：2/—5g+2=0,

丁q>l,q=2,q=2,

數(shù)列的通項(xiàng)公式為：a,,=2-2"“=2".

(2)由于：(-1)"-1向=(一1rx2"x2"i=(-1)"“22n+,,故：

?1?2一電％+???+(-

=23-25+27-29+...+(-ir1-22fl+1

=：_(T)”22n+3

5

5.（2023年全國甲卷理科?第17題）設(shè)S“為數(shù)列｛a“｝的前〃項(xiàng)和，已知生=L2S,,=〃％.

（1）求｛%,｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列｛器，的前〃項(xiàng)和

【答案】⑴％=〃-1

⑵7；=2—（2+〃）］）

解析：（1）因?yàn)?5〃=〃?！?，

當(dāng)〃=1時(shí)，2a｝-ax,即q=0；

當(dāng)〃=3時(shí)，2(1+〃3)=3%,即。3=2，

當(dāng)〃22時(shí)，2S,i=(〃—1),所以2(S“—S"T)=nan-(M-l)a?_,=2ali,

化簡得：(〃—2”,,=(〃—1”“T，當(dāng)〃23時(shí)，3=芻+=3=3=1,即%=〃—1,

n-\n-22

當(dāng)〃=1,2,3時(shí)都滿足上式，所以％=〃—1(〃eN*).

(2)因?yàn)楸?/,所以7；=ix(g)+2x(g)+3x[3)+…+”x(3),

聶=唔)+2*出+…+("T唱+"*({)'

兩式相減得，

6.(2020天津高考第19題)已知｛%｝為等差數(shù)列，｛4｝為等比數(shù)列，4=4=1,%=5(%-%)也=4(“*).

(I)求｛叫和｛，｝的通項(xiàng)公式；

(II)記｛4｝的前"項(xiàng)和為5“，求證：S“S.+2<E3(〃eN*)；

(“T泡,〃為奇數(shù)，

(HI)對任意的正整數(shù)〃，設(shè)1=求數(shù)列｛%｝的前2〃項(xiàng)和.

筌，〃為偶數(shù).

,，+1

4"6〃*54

【答案】⑴*=〃，bn=2'-'；(II)證明見解析；(III)----------

2?+19x4"9

【解析】⑴設(shè)等差數(shù)列｛。“｝的公差為d,等比數(shù)列也,｝的公比為"由4=1,%=5(4-。3)，可得

從而｛〃“｝的通項(xiàng)公式為%=".由4=1也=4e4-4)，又4*0,可得d-44+4=0,解得［=2,

從而也｝的通項(xiàng)公式為“=2"，

(H)證明：由⑴可得s,,=ap,

故E5+2=；〃(〃+1)(〃+2)(〃+3)，S3=；(〃+if(〃+2/，

從而S“S“「S；z=-；(〃+1)("+2)<0,所以S￡M<S：.「

(3a,,-2)6“_(3〃-2)2"T_2"”2"-'

(Ill)當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，C〃=

Q〃4+2n(n+2)/7+2n

a”in-l

當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，%=廣°==

bn+12

22a22jt-2、,2〃

對任意的正整數(shù)”，有=Z-------1,

k=\k=\2A+12k)2〃+l

^2k—11352n-32/7-1

①

人?日V1352n—32n-l丁

由①面72°2￡=9+不+/+—.+7^+彳T②

百工彳14"J12/7-122112〃-1156〃+5

11II______-_____________=______x_______________x=_____________

,144"1-334"44"123x4n+l

1------4"

4

〃56n+5

從而得：Zc2*=a

k=\y9x4"

2nnn4〃

6〃+5所以，數(shù)列｛c'｝的前2〃項(xiàng)和為盧4

因此,ZQ=+￡c2k=

k=\A=lk=\2〃+19x4"”m+1，x49

7.(2014高考數(shù)學(xué)山東理科?第19題)己知等差數(shù)列｛4｝的公差為2,前〃項(xiàng)和為S“，且S”S2，S4成等比

數(shù)列.

(I)求數(shù)列｛a,,｝的通項(xiàng)公式；

477

(H)令b”=(-1)1,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和Tn.

a,4+1

--，〃為奇數(shù)，

【答案】(或北2〃+1+(-1廣|

(1)%=2〃+1；(2)4=2；+1)

?一，〃為偶數(shù).2/7+1

12〃+1

2x1

解析：⑴因?yàn)镾]=。]，S2=2(7]H—x2=2q+2,

S4-4a}+2x2=4q+12,

由題意得(2q+2『=%(4q+12),解得％=1,

所以4〃=2〃一1.

4〃11

⑵4=(-曠=(-廣^(-if---------1---------

2n-i2/?+l

11?1

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),H---------

2〃一12〃-12w+l

當(dāng)”為奇數(shù)時(shí),+/卜3+

112〃+2

1+-------=---------

2n+12〃+1

誓|,〃為奇數(shù)，°,,八小

所以北=<片(或小工))

，〃為偶數(shù).

、2〃+1

8.(2014高考數(shù)學(xué)江西理科?第18題)已知首項(xiàng)都是1的兩個(gè)數(shù)列【aJfbKbnH0；nwN*),滿足

a?(b?kA.?a.b?a+Eb**』.b.=0,

(1)令.:乜求數(shù)列［j］的通項(xiàng)公式；

bn

［

(2)若bn=3"-，求數(shù)列1?。那皀項(xiàng)和S.

【答案】⑴％=2〃-1.⑵/=("-1>3"+1.

.5_"=2C_C

—??GC”+1c〃=2乙

分析:⑴已知數(shù)列.r-4,因此對《?人-一八“，+21?-1>?=(1變形為A%hb"所以數(shù)列

也}是以首項(xiàng)￡=1,公差4=2的等差數(shù)列澈C,=2"-1.

⑵由"Qi知4,=c也=(2〃-l)3'i,是等差乘等比型，所以求和用錯(cuò)位相減

法S0=l-30+3.3i+…+(2〃-l>3"T3S?=l-3'+3-32+---+(2?-1)-3"

相減得一25〃=1+2.0+32…+尸)—(2〃-1).3"=2-(2〃-2).3"

所以s”=(〃-"+L

解析:⑴因?yàn)??-"b-+Xu，=fl,bs*。；n.eN*

4_%=2,C”,「C”=2

>I5”+ln

所以%?",

所以數(shù)列匕，｝是以首項(xiàng)G=1.公差〃=2的等差數(shù)列，故?！?2〃-1.

(2)"也=齊知a“=c也=(2〃-l)3'i

于是數(shù)列&U)前n項(xiàng)和S“=1.3°+3?3,+…+(2〃-1)?3,一

3s〃=lJ+3?32+.??+(2〃-l)?3"

相減得—2S〃=1+2?0+3?…+3"‘)—(2〃—1),3"=2—(2〃-2),3”

所以S.=(〃*3”+L

考點(diǎn):等差數(shù)列定義，錯(cuò)位相減求和

9.(2014高考數(shù)學(xué)大綱理科?第18題)等差數(shù)列缶“｝的前n項(xiàng)和為5“，已知q=10,%為整數(shù)，且S,<54.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式：

(2)設(shè)b?=」一，求數(shù)列｛?｝的前n項(xiàng)和7；.

aa

nn+\

【答案】⑴。,,=13-3〃；(2)7；=---^——-

"10(10—3〃)

解析：(1)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為1，而4=10,從而有=10+(〃-1)1

若d=0,S“=10〃，此時(shí)S“VS4不成立

若d>0,數(shù)列｛/｝是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，S,,隨著〃的增大而增大，也不滿足S.WS,

a.<0

當(dāng)d<0時(shí)，數(shù)列｛%｝是一個(gè)單調(diào)遞減數(shù)列，要使SfS」則須滿足《5即

10+4(/<0105

\又因?yàn)閍,=q+d為整數(shù)，所以"eZ,所以。=一3

10+3八032-1

U匕時(shí)an-10-3(〃-1)=13—3拉

1

X

--------=-----------------------==()3-

anan+.(13—3〃)(10—3〃)(3〃-13)(3〃-10)----3/7-133〃-10

1

所以看=;(_------)x—

Ag))…3/2-133/7-103

I,I/1、，1、，1、11、1/11、?

—(-----(---)+(--)-(--)H---1--------------)=-(-----------)—----------

3107743?-133?-103103?-1010(3n-I0)

10.(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科?第17題)(本小題滿分12分)S“為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和.已知

a?>0,aj+2a“=4S,,+3.

(I)求｛4｝的通項(xiàng)公式：

(U)設(shè)b?=——，求數(shù)列也,｝的前"項(xiàng)和

【答案】⑴2〃+l(n)---------

64〃+6

分析：⑴先用數(shù)列第〃項(xiàng)與前〃項(xiàng)和的關(guān)系求事數(shù)列｛/｝的遞推公式，可以判斷數(shù)列1%｝是等差數(shù)列，利

用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可寫出數(shù)列｛a“｝的通項(xiàng)公式；(II)根據(jù)(I)數(shù)列｛d｝的通項(xiàng)公式，再用拆項(xiàng)消去法

求其前"項(xiàng)和.

解析：⑴當(dāng)“=1時(shí)，a；+2q=4S]+3=4q+3,因?yàn)閍“〉0,所以a「3,

當(dāng)〃22時(shí)，a；+a“-a3-*_]=4S“+3-4S,T-3=4%,即(a,+*)(4-％)=2(%+%)，因?yàn)?/p>

>0,所以an—a“_[=2,

所以數(shù)列｛《,｝是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列，

所以a“=2〃+1；

上右，11/11、

(II)由(I)知，b=--------------=-(--------------),

”(2M+1)(2M+3)22〃+12/7+3

所以數(shù)列｛4｝前n項(xiàng)和為4+“+■,,+bn=一[(----)+(----)+,,,+(--------------)]=----------.

235572/7+12/2+364/2+