2022年考研數(shù)學(xué)(一)真題(含答案及解析)

2022年全國碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)(一)試題

一、選擇題(本題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目

要求，把腌項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).)

⑴遒州禺/，則()

(A)f(l>0.(B)lin/(x)?0.

(C)f⑴=1.ID)lim/Cx)?1.

⑵設(shè)f(u)可導(dǎo)，.：=切口,若卷?琮

(C)〃l)?-f(l)=l.(D)f(l>O,f(l)=l.

⑶設(shè)數(shù)列l(wèi)x,｝滿)足?會Wx.W★則()

(A);Zflimco?(sinx.；)存在，則11皿x.存在.

(B)；若limsin(czx.；)存在，則曬兒。存在.

。告1加。3(而￡.】)存在，則limrinj存在，作不一定存在

Qi若hm“nlrowX.))存在，則Jm《小匕。存在，KHJmx不一定存在

⑷若21^777^4”!?^4”』,則()

(A)Ii<I2<13(B)I2<II<13?

(C)Ii<I3<I2(D)I3<I2<k?

⑸下歹必個條件中，3階矩陣A可相似對角化的一個充分非必要條件是()

(A)A有3個不同的特征值.

(B)A有3個線性無關(guān)的特征向量.

(C)A有3個兩兩線性無關(guān)的特征向量.

(D)A的屬于不同特征值的特征向量相互正交.

⑹設(shè)AB為n階矩陣，E為n階單位矩陣，若方程組Ax=0與Bx=0同解，則(

(A)匕：)八。只有翻。

(B)(二)…只有零解。

(叱:"酈

⑼普：)，=，*:)…同解

2

⑺設(shè)a1=(入，1,1),az=(1入,1)83=(1,1川”,。4=(1AA),,若山22,a3

與的於，

34等價(jià)，則人的取值范圍是()

(A){O,1).

(B){X|XER,V-2}.

(C){X|XGR,V-l,V-2}.

(D){X|XGR,)#-1}.

⑻設(shè)隨機(jī)變量X服從區(qū)間(0,3)上的均勻分布，隨機(jī)變量Y服從參數(shù)為2的泊松分布，且X與Y

的協(xié)方差為T,則D(2X-Y+1)=()

(A)l.(B)5.(C)9.(D)12.

⑼設(shè)隨機(jī)變量Xi%獨(dú)立同分布，且Xi的4階矩存在，E(X{尸限=1,2,3,4),則

根據(jù)

切比雪夫不等式，對任意eX),都有叫卜￡叫)

⑹守(B)守(C)十(0)噌

(10)設(shè)隨機(jī)變量X?N(O,1),若在X=x的條件下，隨機(jī)變量Y?N(x,l),則X與Y的相關(guān)系數(shù)

為(,)

(A)4(B)|(C)f.(D)f.

二、填空題(本題共6小題，每小題5分，共30分，把答案填在題中橫線上.)

(11)函數(shù)f(x,y)=x2+2y2在點(diǎn)(0,1)處的最大方向?qū)?shù)為

(12)〔31*=-

(13)當(dāng)x20,疼0時(shí)，x斗yTke**恒成立，則k的取值范圍是

(⑷已知級數(shù)￡少-的梃姆為(a,+a),則a二—

(15)已知矩陣A和E-A可逆，其中E為單位矩陣，若矩陣B滿足[E-(E-A)']B=A,則

B-A=

(16)設(shè)A,B,C為隨機(jī)事件，且A與B互不相容，A與C互不相容，B與C相互獨(dú)立，P(A)=

P(B)=P(C)=?卜則P(BUC|AUBUC)=

—2—

三、解答題(本題共6小題，共的，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演S步驟)

(17)(本題滿分10分)

設(shè)函數(shù)y(x)是微分方程?2?石的滿足條件y(1)=3的解，求

曲線y=y(x)的漸近線.

(18)(本題滿分12分)

已知平面區(qū)域D={(x,y)|y-2WxW/4-尸,0W丫忘2},計(jì)算/=!%苧1曲

(19)(本題滿分12分)

已知曲線L是曲面：4x2+y2+2=l,x>0,y>0,z>0的邊界，曲面方向朝上，曲線L

的方向和曲面2的方向符合右手法則，計(jì)算/?，(療-c?r)d*+4

—3—

(20)(本題滿分12分)

設(shè)函數(shù)f(x)在(-,+)上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明：f”(x)00的充分必要

條件是對任意不同的實(shí)數(shù)a,b,都有，，(W2)<白』A*)疝成立.

(21)(本題滿分12分)

設(shè)二次型人孫』1.)■22我由?

，?！；?1

(I)寫出f(Xi,X2,X3)對應(yīng)的矩陣；

(II)求正交變換x=Qy將f(xi的及)化為標(biāo)準(zhǔn)形;

(III)求f(Xi,X2,x3)=0的解.

(22)(本題滿分12分)

設(shè)Xi,X2,…,X。為來自均值為0的指數(shù)分布總體的簡單隨機(jī)樣本，匕,丫2,…,Y為來自均值

為20的指數(shù)分布總體的簡單隨機(jī)樣本，且兩樣本相互獨(dú)立，其中。(。>0)是未知參數(shù).利用

樣本XI，X2,...,X2，丫i,丫2，…,Y,求9的最大似然估計(jì)量6,并求D(8).

—4—

2022年全國碩士研究生招生考試

數(shù)學(xué)(一)試題解析

一'選擇題

口如~，—1,則()

(A)f(l)=0.I；l|Llr_：l(C)f(l)=l.[>:Inn/>.

答案B.■"

分析)本題主要考查極限與導(dǎo)數(shù)的概念.

本題中關(guān)于f(x)的條件相當(dāng)有限，僅有:呷4二=I這一個條件，而由這個條件僅能保證f(x)

在x=l的某去心鄰域內(nèi)有定義，且極限存對,’但果能保證f(x)在X=1處的連續(xù)性，更不能保證

f(x)在X=1處的可導(dǎo)性.

解當(dāng)x-*l時(shí)，,1,「注,故分子f(x)滿)一I應(yīng)選B

下面說明選項(xiàng)A、C、D不正確.

對選項(xiàng)A、C,可以舉函數(shù)f(x)在x=l處不連續(xù)，從而也不可導(dǎo)的例子.

對選項(xiàng)D,若f(x)在x=1的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且|““廣，)存在，則由洛必達(dá)法則

IIn$III

jr

于是，I””,，；innZ,*；=L.因此，要舉出選項(xiàng)D的反例，需考慮*X)在X=1的某去心鄰域內(nèi)

不可導(dǎo)或梁仙一不存在的例子.

基t/U)則也=0,但f⑴=l,f(x)在X=1

11.sal.

處不連續(xù)，也就不可導(dǎo).

當(dāng)x小時(shí)，/'(x)=1+4(x-1)‘in1-”。*1不難發(fā)現(xiàn)，X=1是f(x)的振蕩間

斷點(diǎn)，，曬/，「不存在.

阿細(xì)U)可導(dǎo).：=1、/]：若=『(1".lux),則()

(A)/(l)■,,f(D=0.(B)f(l)=0,/'⑴=y

(C…J、,f(l)=l.(D)f(l)=0,f(l)=l.

答案B.

—5—

分析)本題主要考查偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算.

本題中的f(x)表達(dá)式未知，z(x,y)是與出u)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)，故可以先通過計(jì)算‘‘一〃并代

，?八和心

入已知等式得到f(u)的表達(dá)式，再計(jì)算f(l),f'(1).

解)分別；，利用鏈?zhǔn)椒▌t，

一電)山仔)?(?夕)?晤(5)

”小)2仔卜；=*)"(?)

于是，哈)

與中，譚加批較可得，"二從而一

f'(u)=(InU4I).

因此如戶0,，L:應(yīng)選B.

庖設(shè)婀眠｝滿)【，則()

(A)存在，則1mL存在.

(B))存在，則?、薎,,存在.

(O'1)存在，則!，“、21”存在，⑴「川…不一定存在.

(D)-1存在，則J11!11**sIo存在，作?I，I”3,不一定存在

答案D.

分析)本題主要考查數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系.

題目中出現(xiàn)的sin(cosx)與cos(sinx)均為復(fù)合函數(shù)，要「…-)

內(nèi)層的數(shù)列取出來，可以考慮在外層再復(fù)合上外層函數(shù)的反函數(shù)(如果存在的話).

解)..,,：)存在，則將其記為a.由于sinx在；.：：］上存在反函數(shù)arcsinx,故

limcos?limarctiii(.in(C<M*.>)*trrsin(limsin(cosxa))?arccina

但；，存在并不能保證-I'存在.例如取，1;則limcosx,=0j1一不存

在.選項(xiàng)B錯誤，選項(xiàng)D正確.應(yīng)選D.

由于88X在［：,：］上并不單調(diào)，故E,…,)存在并不能保,，一。存在■同

樣取，…、次'""'"1:J均不存在.選項(xiàng)A、C不正確.

—6-

(注)①考慮到cosx是偶函數(shù),形如X。=(-l)"a,ae[~T'T1的數(shù)列均可作為選

項(xiàng)A、B、C的反例.

②這道題的出題思路在2017年的一道數(shù)二真題當(dāng)中也出現(xiàn)過.

【例】設(shè)數(shù)列｛X4｝收斂，貝ij()(2017年數(shù)學(xué)二試題)

(A)?一”時(shí)，lim3=0

(B)。時(shí)，4吧工;0

;

(Q?時(shí)，limi=0

(D)--OH,Lin?(0

答案D.

單皆人■[彳1----g/[=f,3辰則()

人2(I?<<mX)兒1+■X1.win*

(A)Ii<[2<13,(B)[2<13?(C)Ii<[3<12?①)[3<[2<11.

答案A.

分析)本題主要考查定積分比較大小.

三個定積分的積分區(qū)間相同，故只需比較被積函數(shù)的大小.

解)通過觀察可發(fā)現(xiàn)，要比較L與L的大小，只需比較：與In(l+x)的大小

，貝狂(0)=0,.當(dāng)xe(o,l)時(shí)，散)>0,酢)

單調(diào)增加，從而Kx)>(0戶0,即la(l+)>工兇L3>…、因此卜>i

21-rems2/I?ranx)

此外，同樣的方法不難證明在(0,1)內(nèi)，In(l+x)〈x.

另一方面，由于在(0,1)內(nèi)，0vsinx,cosx<l[<l+sinx<2,故I3的被積函數(shù)

>x.結(jié)合ln(l+x)<x可得，KLtSl<_<工于黑.飛一>x>里1上必因此，

I?ctxxI?coax14-sins14-eat★

I3>12,

綜上所述，應(yīng)選A.

5]下列4個條件中，3階矩陣A可相似對角化的一個充分非必要條件是()

(A)A有3個不同的特征值

(B)A有3個線性無關(guān)的特征向量.

(C)A有3個兩兩線性無關(guān)的特征向量.

(D)A的屬于不同特征值的特征向量相互正交。

答案A.

—7

分析）本題主要考查矩陣可相似對角化的條件.

要找的充分非必要條件應(yīng)滿足由該條件可推出3階矩陣A可相似對角化，但由3階矩陣A可相

似對角化卻推不出該條件.

n階矩陣A與對角矩陣相似的判定條件

A有n個不同的特征值

充分條件

A為實(shí)對稱矩陣

A有n個線性無關(guān)的特征向量

充分必要條件A的每個特征值對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)等于該特征值的

重微

請注意，條件“A有n個不同的特征值”與“A為實(shí)對稱矩陣”均能推出“A有n個線性無關(guān)的

特征向量”和“A的每個特征值對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)等于該特征值的重?cái)?shù)”，但它們

之間并沒有相互蘊(yùn)含的關(guān)系.這四個條件之間的關(guān)系如下.

A有n個不同的特征值A(chǔ)為實(shí)對稱矩陣

A|

K

A的每個特征值對應(yīng)的線性無關(guān)的

A有n個線性無關(guān)的特征向量

特征向量的個數(shù)等于該特征值的重?cái)?shù)

解）依次分析四個選項(xiàng).

選項(xiàng)A是充分非必要條件.若矩陣A具有3個不同的特征值，則該矩陣有3個線性無關(guān)的特征向

量，從而能夠相似對角化.但是矩陣A能相似對角化并不意味著A一定有3個不同的特征值.例如3階

單位矩陣E,該矩陣自身即為對角矩陣，但僅有一個三重特征值1,沒有不同的特征值.應(yīng)選A.

選項(xiàng)B是充分必要條件.

選項(xiàng)C是必要非充分條件.若A能相似對角化，則A必然有3個線性無關(guān)的特征向量，從而有

3個兩兩線性無關(guān)的特征向量.

但反之并不成立，因?yàn)?個向量兩兩線性無關(guān)并不意味著3個向量線性無關(guān).要舉選項(xiàng)C不充

分的例子，可以找到一個具有3重特征值，但卻只有兩個線性無關(guān)的特征向量的3階矩陣.

rooI

20000iA的屬于特征值0的兩個

looo,80^Am,一一

線I跣關(guān)的用正向量取，$1,則也是A的屬于特征值0的一個特征向量，與，524兩兩線

10；

性無關(guān)，但是與，52,53線性相關(guān)，A也不能相似對角化.

選項(xiàng)D既不是充分條件，也不是必要條件.

下面說明選項(xiàng)D的不必要性.

匕￡（I.￡1.<-<貝!15,52,53兩兩不正交.令

gjkoJliJP=&&島）,A

—8—

A與對角矩陣A相似，但是A的屬于不同特征值的特征向量均不正交.

若A是具有3個不同特征值的3階矩陣，則A必然可相似對角化，故選項(xiàng)D不充分的例子，可

以找只有兩個不同特征值，且屬于這兩個不同特征值的特征向量相互正交，但是卻不可以相似對

角化的矩陣.

fl00、

收t（）1.通過計(jì)算可發(fā)現(xiàn)該矩陣的特征值為0,1,其中0為二重特征值，但0沒有兩

lon0,

個線性無關(guān)的特征向量，從而A不能相似對角化.

ie-A-=07m,<>為A的屬于特征值1的一個特征向量.解（OE-A）x=0可得

f-，A的屬于特征值0的一個特征向量.

In?

3與g2為A的屬于不同特征值的特征向量，它們相互正交，且A的任意屬于不同特征值的特

征向量均相互正交，但是A不能相似對角化.

注）若A為2階矩陣，則A的屬于不同特征值的特征向量相互正交是A可相似對角化

的充分非必要條件.

充分性是比較顯然的.若A為具有不同特征值的2階矩陣，則其必然可相似對角化.

下面說明必要性不成立.

M?似*（：）,則5,與6,不正交令H55）,4.■

S1Ao1Ani）\oiJ

A與對角矩陣A相似，但是A的線性無關(guān)的特征向量均不正交.

Q設(shè)A,B為n階矩陣，E為n階單位矩陣，若方程組Ax=0與Bx=0同解，則（）

⑴：》”只有舞⑻:。只有零解.

（C）（A?與廣％??同（D）"V-n%=?同解.

答案C.

—9—

分析））本題主要考查方程組的同解問題.

Ax=O與Bx=O同解，說明Ax=O的解都是Bx=O的解，且Bx=O的解也都是Ax=0

的解.

兩方程組同解能反映這兩個方程組的系數(shù)矩陣的秩的大小關(guān)系，但并不能反映系數(shù)矩陣的秩

的大小.

解）圖1丫2均為成隹列向量，,

對［8］和產(chǎn)'3別作初等行變換.

SJTJ\nAJ

（E-EV4fA0）（EAyB0、

［oEAo月廠"B）'I?！闍oA）lo

于是，:”等價(jià)于::v0即：:該方程組的解y滿）。=件其中y，為

Ax=0的解，y2為Bx=0的解.

同理，?”卜??笥倚于=■口」助，，?，該方程組的解y滿足.」=其中

kOA）（OA）即6UJ

yi為Bx=0的解，y2為Ax=0的解

由于Ax=0與Bx=0同解，故選項(xiàng)C中的兩個方程組同解.應(yīng)選C.

下面說明選項(xiàng)A、B、D均不正確.

由于兩方程組同解雖然能反映這兩個方程組的系數(shù)矩陣的秩的大小關(guān)系，但并不能反映系數(shù)

矩陣的秩的大小，故選項(xiàng)A、B的反例比較好找.要說明這兩個方程組并不是只有零解，可以取A=

B=0,則選項(xiàng)A、B中方程組的系數(shù)矩陣均不滿秩，當(dāng)然不可能只有零解.

同選項(xiàng)C的分析，選項(xiàng)D中的第一個方程組可化為

.北―

展開可得‘人"由于Ax=0與Bx=0同解，故該方程組等價(jià)于”同理可得，

-0.=0.

BXAIBAy=n

?OH'”等價(jià)于Ry.o.

但是，ABx=0與BAx=0并不一定同解.

取一;：a二:;，則IA二；：8A=；：）ABr=0與BAx=0不同解.

7設(shè)21=(入,1,1)1/2=(1,入,1)33=(1,1乃*/4=(l,m若

Hi,a2,a3與a,

a2,a4等價(jià)，則入的取值范圍是()

(A){0,l).(B){X|XeRA^-2}.

(C){X|XGR,V：-1,V-2}.(D){X|X,eR,以-1}.

答案)C.

—10—

分析本題主要考查向量組等價(jià).

向量組a1,a2,a3與a1，a2,a4等價(jià)的充分必要條件是r(a力a2,a3)=r(a1,a2,aJ=

r(ai,a2,a3,a4).由這一條件出發(fā)，可以考慮對矩陣(奧凡四，a4)作初等行變換并

討論秩來得到X的取值.

另一方面，也可以通過計(jì)算|UT,aj,a3|^n|a,,02,a4來討論a%a各a3和a%%a4的秩當(dāng)

它們均不為0時(shí)，這兩個向量組都是濰向量組的極大無關(guān)組，從而是等價(jià)的.此外，還需討論行列

式均為0時(shí)兩個向量組是否等價(jià).

pl

解(法一)當(dāng)入=1時(shí)，-O,-4a.a,1j.此時(shí)a1,a2,a3與a1，a2,a4顯然等價(jià).

JJ

當(dāng)X時(shí)，考慮矩陣A=(a］，a2,a3,a4).

piII>pAIA)pAIA)

A=IAIArIIaV-^|0l-AA-Ir-A

v|1AUIII)SI-A}I.AI-A2J

(r;表示對第i行作初等行變換后所得新的第i行，每作一次初等行變換，加一個*.)

由于A有2階非零子式'，故r(A)22.另一方面，因?yàn)椴淮嬖谌藵M足入+2=(入+1/=

11A

0,所以r(A)=3.

r(ai,a2,a3)=3當(dāng)且僅當(dāng)入W-2.r(aig,a4)=3當(dāng)且僅當(dāng)入WT

因此，當(dāng)入W1時(shí)，r(A)=r(ai短,a3,a4)=r(a1,a2,a3)=r(a［短,a4)當(dāng)且

僅當(dāng)入W-2且入W-L

注意到A=1也包含在條件X*2且XWT中,故r⑸，a2,a3,a4)=r(ax,a2,a3)

=r(ax,a2,a4)當(dāng)且僅當(dāng)入W-2且XW-l.

就所述，mC.

(法二)分別計(jì)算Ia%a*a3|,|a,a2,aj.

4

Ia,,a;.at=IAA=11A-IA-A*=(1-A)(I?

IIA:1100

當(dāng)入W1,-2,T時(shí)，aha2,a3|與Iai,a2,04|均不為0.此時(shí)，a,a2,a3和a1/,a2

均為

3維列向量組的極大無關(guān)組，從而等價(jià).

—11

當(dāng)入=-2或入=T時(shí)，la,,a2,a3|*|a1ta2,a4,且其中一個為0,另一個不為0,說明

兩向量組的秩不相等，從而不等價(jià).

綜上所述，a1,a2,a3與a1,a224等價(jià)當(dāng)且僅當(dāng)入W-2且入#T.應(yīng)選C.

8設(shè)隨機(jī)變量刈艮從區(qū)間(0,3)上的均勻分布，隨機(jī)變量Y服從參數(shù)為2的泊松分布，且X與

Y的協(xié)方差為-1,則D(2X-Y+1)=()

(A)l.(B)5.(C)9,(D)12.

答案C.

分析)本題主要考查方差的性質(zhì)及常見分布的數(shù)字特征.

若隨機(jī)變量刈艮從區(qū)間(4)上的均勻分布，則

若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為x的泊松分布，則D(X尸兀

㈱由于刈取區(qū)間(0,3)上的均勻分布，故X的方差，如畫艮

1x4

從參數(shù)為2的泊松分布，故Y的方差D(Y)=2.

由方差的性質(zhì)，

D(2X-Y+l>D(2X-Y)=D(2X)+D(Y)-2Cov(2X,Y)

=4D(X)?研y)-4Ca?(X,r)?4x4-+2-4x(-1)=9

因止匕，應(yīng)選c

鱉拓展

1.協(xié)方差的公式與性質(zhì)

(l)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),特別地，Cov(X,X)=D(X),Cov(X,a)=0;

(2)D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y);

(3)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);

(4)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b是常數(shù)；

(5)Cov(Xi±X2,Y)=Cov(Xi,Y)±COV(X2,Y).

2.常見分布的數(shù)學(xué)期望與方差

數(shù)學(xué)

分布分布律或概率密度方差

期望

(0-1)分布P-(1-p)-,k=0,1Pp(l-p)

二項(xiàng)分布P{X=k}=Cp(l-p)〃-,k=0,1,2,nnpnp(l-p)

泊松分布P|x=k=A+,k=0,1,2,XX

I-p

幾何分布P{X=k}=(l-p)*-p,k=l,2,…1

D

—12—

(續(xù)表)

數(shù)學(xué)

分布分布律或概率密度方差

期望

P\x?i|>噂3,k=0,1,…,1,其中

超幾何nM地h_豈止二

分布"AT,￥VNIN-1

l=min{n,M},nWN

?.a<x<ta46(b-<>>'

均勻分布Mx)='b-a

0.其他

4。山.x>0,1

指數(shù)分布叭*)=]

0.x<0

?'1"'g"：2

正態(tài)分布口o

設(shè)隨機(jī)變量Xi,X2，…,X。獨(dú)立同分布，且X,的4階矩存在，E(X｛尸Mk=l,2,3,4),則

根據(jù)切比雪夫不等式，對任意￡>0,都有八；1\...

InIJ

2⑶凡：(0)崎

答案A.

分析)本題主要考查切比雪夫不等式.

切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E(X)=口，方差D(X)=o2,則對于任意正數(shù)

E,不等式

成立.

本題所考慮的隨機(jī)變量為?\若要根據(jù)切比雪夫不等式估計(jì)所給概率，則應(yīng)先說明該隨

機(jī)變量的期望與方差均存在，即先計(jì)算,，|\,m

'/I1和

解)根據(jù)期望的性質(zhì)

嗚江卜HE*)Ya冷皿^!

根據(jù)切比雪夫親等式，對任意co,

川學(xué)⑴

由丁隨機(jī)變量X[K2,???不,獨(dú)立同分布，故X?^,...不?相互獨(dú)立.

--T,"(/*?_后)=

?n

代入(1)式可得，

因此，應(yīng)選A

*拓展

切比雪夫不等式屬于比較冷門的考點(diǎn)，在近年真題中出現(xiàn)較少.下面是歷年真題中考查

這一知識點(diǎn)的題目.

【例】設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=M，方差D(Xk,則由切比雪夫不等式，有

P{|X-g|>3o}<___.(1989年數(shù)學(xué)三試題)

答案

O

【例】設(shè)隨機(jī)變量X的方差為2,則根據(jù)切比雪夫不等式有估計(jì)P||X-E(X)|N2}W

_.(2001年數(shù)學(xué)一試題)

答案，

【例】設(shè)隨機(jī)變量X和Y的數(shù)學(xué)期望分別為-2和2,方差分別為1和4,而相關(guān)系數(shù)為-

0.5,則根據(jù)切比雪夫不等式P{|X+Y]26|W—.(2001年數(shù)學(xué)三試題)

答案

]設(shè)隨機(jī)變量X?N(O,1),若在X=x的條件下，隨機(jī)變量Y?N(x,l),則X與Y的相關(guān)

系數(shù)為()

(A)7(B)|(C):(D)2

答案D.

分析)本題主要考查條件分布及二維正態(tài)分布的概率密度函數(shù).

條件概率密度設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(X,y),(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度

為的).若對于固定的yf(y)X),則稱?’‘為在Y=y的條件下X的條件概率密度，記為

rt\/(■?)

f11.(JI3"

f/??1

一維正態(tài)分布若連續(xù)型隨機(jī)變量x的概率密度為

o<x<+0,

—14—

其中口，。(?！?)為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為u,o的正態(tài)分布，記為X?NUo2).

二維正態(tài)分布設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為

?......1產(chǎn)

2中S/yi-tf1

其中口1,口2,。1,。2，P都是常數(shù)，且。1>0，02>0,-1<P<1.我們稱(X,Y)服從參數(shù)為Ui,口2,

電Q2,p的二維正態(tài)分布.并且，內(nèi)也分別為XY的期望，6,o2分別為XY的方差，p為

XY的相關(guān)系數(shù)

根據(jù)已知條件，可以先根據(jù)X的邊緣概率密度以及Y在X=x的條件下的條件概率密度求出

(X,Y)的聯(lián)合概率密度，進(jìn)一步可得Y的邊緣概率密度，最后根據(jù)聯(lián)合概率密度求得px.

實(shí)際上，(X,Y)服從的是二維正態(tài)分布，而根據(jù)二維正態(tài)分布的概率密度，可以直接讀出X,Y

的相關(guān)系數(shù)pxy

解(法一)由于X?N(0,1),故X的概率密度函數(shù)為

由于在X=x的條件下，Y?N(x,l),故在X=x的條件下，Y的條件概率密度為

*/2TT

于是，二維隨機(jī)變量(\Y)的聯(lián)合概率密度為

X*.y)1*>=-4=*^=占"""工

計(jì)算Y的邊緣概率密度f;(y).對yw(-,+a),

⑺-匚大“粒.匚占&*加可二--L-

W....-*------

2Si

于是，(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布是正態(tài)分布NQ2).

結(jié)合f(x,y)與二維正態(tài)分布的概率密度的形式，取口網(wǎng)，u2=0,0=1,Q=V2,

X".——?-----寸滬湖

2宣=萬丁'

2??I??y

fiip=；則(X,Y)服從二維正態(tài)分布Ni一..I

因此J

由二維正態(tài)分布的概率密度的參數(shù)的含義可知，,,.:，應(yīng)選D.

(法二)計(jì)算py.

先計(jì)算E(XY).

由法一可。/O二于是，

—15—

E(XY)=J.，岫dy-[.Xi，

*方'&[匚盅。7)?也?*匚看』G-.)

-1z^__e'(0.熏)dr=J/—<Tdx

一為[；]小=小)而X?N(O,1)所以E(X2)=D(X)+[E(X)]2<

從而，E(XY)=1.

又由法一可得Y?N(0,2),故E(Y)=0,D(Y)=2.

因此，

G>v(x,r)￡(Jm..(x)&y)i-oJi

75mjDtriJDTXTysnr.n2

注①實(shí)際上，觀察f(x,y)的形式，可直接整理寫成二維正態(tài)分布的概率密度的形

---------旨』而所【4g”同.

2ir?1?4!?J1.(y)

②反常積分卜匚為yr)一力產(chǎn)力的被積函數(shù)是奇函數(shù)，收

斂'故匚*'7"內(nèi)”

二、填空題

I1函數(shù)f(x,y)=x2+2y2在點(diǎn)(0,1)處的最大方向?qū)?shù)為

答窠)應(yīng)填4.

分析))本題主要考查方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系.

由于函數(shù)在一點(diǎn)處的各方向?qū)?shù)中，沿著梯度方向的方向?qū)?shù)最大，且最大值為梯度的模，故

求一點(diǎn)處方向?qū)?shù)的最大值等價(jià)于求該點(diǎn)處梯度的模.

解)由于gradf(x,y)=(2x,4y),故f(x,y)在點(diǎn)(0,1)處的梯度為(0,4).又因?yàn)楹瘮?shù)在一

點(diǎn)處的最大方向?qū)?shù)等于該點(diǎn)處的梯度的模，所以f(x,y)在點(diǎn)(0,1)處的最大方向?qū)?shù)為4.

筆拓展

若函數(shù)f(x,y,z)在點(diǎn)時(shí),yo,z0)處可微分，e,=Ccosa,cosP，cosy)是與方向1同向的

單

位向量，則

I=grad/(s,n:)-=|grad/(s)o,o)lomO.

妝田白曷、，.7.、U尚魯QMiU布田曲

—16-

?當(dāng)0=0時(shí)，即e,與梯度gradf（Xo,yoz）方向相同時(shí)，函數(shù)f（x,yz）沿這個方向增加

霸嵬，招卷靜嘮鼬睛曲堂藏引f也贈%Ljz，

?當(dāng)gi時(shí)，即e,與梯度gradfiR）,yoz））方向相反時(shí)，函數(shù)Kxyz）沿這個方向減少

最陜，般鄴碓的方向?qū)Ы踢_(dá)到最小,，蛙::…E「，d1....）■,

?當(dāng)。二：時(shí)，即e,與梯度gradfiXo,yoa）正交時(shí)，函數(shù)Nxyz）沿這個方向的變化率

為0.此時(shí)今I?0.

答案應(yīng)填4.

維本題主要考查定積分的計(jì)算.

被積函數(shù)中含有根式/%故可以考慮根式代換.

或者，注意到本題中的被積函數(shù)為對數(shù)函數(shù)與嘉函數(shù)的乘積，故可以采用分部積分法.

（解）（法一）利用根式代換.

令1=心，貝Ux=t2,dx=2tdt.

j—rdt=====/-2i6t?4(ln出?4卜In,|?-Uii)

=4[e-(e-l)]=4.

C去二)利用分部積分法.

-14?融)=2(2e-(?)

(竽4=Inxd(^t)=2(方In

(4r-4)■4

幽當(dāng)xK）,yNO時(shí)，ke**y恒成立，則k的取值范圍是

答案應(yīng)填E4e2,+].

分析本題主要考查二元函數(shù)的最值.

假定函數(shù)蟻仍在D上連續(xù)，在D內(nèi)可微，并且只有有限個駐點(diǎn)，那么此時(shí)我們可以依照如下

步驟來討論f（x,y）的最值.

①求出函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的所有駐點(diǎn)處的取值。

②求出函數(shù)在區(qū)域邊界上的最大值與最小值（通常為有約束條件的極值問題，即條件極值問題.）

③比較①和②中所得函數(shù)值，其中最大者為函數(shù)Kxy）在區(qū)域D上的最大值，最小者為函數(shù)

出x,y）在區(qū)域D上的最小值

在實(shí)際問題中，根據(jù)問題的性質(zhì)，如果知道函數(shù)的最值一定在區(qū)域內(nèi)部取得，而函數(shù)在該區(qū)域

內(nèi)只有一個駐點(diǎn)，那么函數(shù)在該駐點(diǎn)處的值即為函數(shù)在該區(qū)域上的最值.

不等式x2+y/ke*等價(jià)于(x2+y2)e(x+)gh.該不等式當(dāng)xK),yX)時(shí)恒成立意味著

(x￥y2)e(*)在區(qū)域D={(x,y)|x>0,y>0}上的最大值從而k的取值范圍應(yīng)為[M,+].

解)不等式x2+y2gke2**等價(jià)于(x2+y2)e-(*+y)gk.

記f(x,y)=(x2+y2)e-(*),D={(x,y)|xN0,yN0}.

計(jì)算f(x,y)在D內(nèi)的駐點(diǎn).

f:(x,y)=2xe-(x*)-(x2+y2)e-(**)=(2x-x2-y2)e-()

f;(x,y)=2ye-(x)-(x2+y2)e-(4*)=(2y-x2-y2)e-(x*).

解$-‘兩式相減得x=y,將x=y代入2x-x2-y2=0可得2x-2x2=0,從而

(2>-?-/=0.

v-nn^v-11=1J為該方程組的兩組解.由于所求為區(qū)域D內(nèi)部的駐點(diǎn)，故舍去

A—1.0和I,.(

點(diǎn)(0,0).點(diǎn)(1,1)為f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)部的唯一駐點(diǎn).f(l,l)=2e2.

下面計(jì)算f(x,y)在區(qū)域D的邊界x=0與y=0上的最大值.

當(dāng)x=0時(shí)，f(0,y)=y2e~.記fi(y)=y?e~,貝Uf{(y)=(2y-y2)e~.解2y-y2=0得

y=O或y=2.當(dāng)0<y<2時(shí)，f7(y)>0,fi(y)單調(diào)增加，當(dāng)y>2時(shí)，f7(y)<0,f(y)單

調(diào)減少.于是，出0,2)=好為f(x,y)在邊界x=O上的最大值.

同理可得，f(2,0)=4e2為f(x,y)在邊界y=0上的最大值.

比較f(l/),f(0,2),f(2,0)可得，f(0,2)=f(2,0)=462為f(x,y)在區(qū)域D上的最大值.

綜上所述，k的取值范圍為(4e?,+m).

函已知級數(shù)1?的收斂域?yàn)?a,+焚)，貝必=

答案應(yīng)填-L

I分析)本題主要考查函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域.

本題中的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一般項(xiàng)與"',適合用比值法來確定其收斂的條件.

或者，注意到e=(e*)"，令1=6*,則可以將原級數(shù)轉(zhuǎn)化為幕級息;

解(法一冷，「，則原級數(shù)為1

liraI上^I=limS二2：1"=c"lim-~~-—■■尸lino------1=e"l'r

>一?(A?1)*(A?1)?■.?L)

由比值審斂法可知，當(dāng)熙Y1時(shí)，收斂，當(dāng)e4時(shí)，匕發(fā)散?由于指數(shù)函數(shù)單調(diào)

增加，故》*<1等價(jià)于即41.因此當(dāng)41時(shí)，函數(shù)項(xiàng)級數(shù):收斂，

—18—

當(dāng)X《1時(shí)，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)］,發(fā)散

當(dāng)X=-