高中數(shù)學 兩角和與差的三角函數(shù) 考點梳理及習題訓練

10.1兩角和與差的三角函數(shù)

【考點梳理】

考點一兩角和與差的余弦公式

名稱簡記符號公式使用條件

兩角差的余弦公式C(a-價cos(a-￡)=cosacos』+sinasinpa,0GR

兩角和的余弦公式C(a+￡)cos(a+￡)=cosacos°一sinasin￡a,￡￡R

考點二兩角和與差的正弦公式

名稱簡記符號公式使用條件

兩角和的正弦S(a+.)sin(a+A)=sinacos夕+cosasinPa,看R

兩角差的正弦S(a-儀sin(a—)8)=sinacos夕一cosasinPa,眸R

考點三：兩角和與差的正切公式

名稱公式簡記符號條件

,tana+tanB兀

兩角和的正切tan(a+夕)一1.,T(a+0a,p,a+夕WE+1(左￡Z)

l1—tanoctanpQ

tana—tan§兀

兩角差的正切tan(aB)i+tanatanpT(a-.)a,B，a一4WE+](%￡Z)

【題型歸納】

題型一：兩角和與差的余弦公式

已知兩角的正、余弦求和差角的余弦

已知a,尸都是銳角,sin]tz-兀11/c\3cos'+胃二()

1.（2023秋?陜西渭南?高一統(tǒng)考期末）-=-,cos(a+^)=一則

-4-12734-1273「-12+473-12-4有

A.pD

3535?35.35

_Vio

2.（2023秋?重慶北培?高一統(tǒng)考期末）若a,夕都是銳角，且cosa=—sin（a-jff）=---,貝"os￡=()

10

B.顯C.一交或一正

A.D

210210

（2023秋?天津南開?高一南開中學?？计谀┤簦际?,cosa=1,

3.cos夕=—,則cos(a+/7)=

()

A.BD.還

B.一走C.

39

用和差余弦公式進行化簡求值

4.（2022春?廣西桂林?高一?？计谥校ヽos15cos45-sin15sin45等于（）

A.-3B.B

C.1D.

2222

—1左?4(兀)cos(E=(

5.（2021秋?吉林松原?高一?？计谀┮阎猻incr=-,?el—,711,則)

A,受B.一立「7忘7A/2

L.--------D.

101010~w

4小(2兀、|的值是（

6.（2022春.廣東汕尾.高一統(tǒng)考期末）已知cosa--+sinor=,則cos——+a

I6jI3,

A.-上B.1「2白2A/3

L?--------D.

555

H：逆用和差余弦公式進行化簡求值

34

7.（2022春?江西九江?高一校聯(lián)考期末）已知sina+sin，=g,cosa+cos/?=w，貝lJcos（a—￡）=（）

1113

A.——B.——c.4D.-

2324

走cosl5。的值為（）

8.（2022?高一課時練習）—sinl5°-

22

A近_A/2

B.C.1D.--

2

2一~T2

9.（2021春?河南鄭州?高一鄭州四中?？茧A段練習）已知o=2cos66,6=cos5-V3sin5,

c=2(sin47sin66-sin24sin43?,則4、b、c的大小關(guān)系為()

A.a<c<bB.b<a<c

C.c<a<bD.a<b<c

題型二：兩角和與差的正弦公式

-：已知兩角的正、余弦求和差角的正弦

_43

10.（2023?全國?高一專題練習）已知a、尸為t銳角，且cosa=y,cos(cr+/?)=-,則sin/7的值為()

7C.空24

AB.——D.——

-i252525

11.(2022春?江蘇蘇州?高一統(tǒng)考期中)已知0va<],0<^<^,_g.sin(6Z-/7)=,sinQ=《，貝!jsina=()

A63-56-33-16

A.—B.-C.一D.——

65656565

12.(2022?全國?高一假期作業(yè))已知cosg-a>sin[^+/?)=-百，二金]：‘今)，尸則sin(a+/?)

的值為()

16「5663-33

A.——B.——C.——D.——

65656565

用和差正弦公式進行化簡求值

13.（2023秋?山東臨沂?高一校考期末）cos（-510）+2sinl5=（)

.A/6+V3-A/20A/6-^-V2

A.------------------------------D.---------------------------------

22

C卡-拒-lD痛-0+1

?2?2

14.（2023秋?天津河西?高一?？计谀┮阎獰o）sin^=2^Z,sin（a+￡）=：,則sin。的值為（

2323-1

A.—B.-----C.-D.

27273-3

15.（2022春?河南?高一校聯(lián)考階段練習）已知夕都是銳角，且cosR+勺=典，sinG--^=^,則

cos(a-0=()

A"R3772D.逑

D.--------C.

22~L0~10

H：逆用和差正弦公式進行化簡求值

16.（2022春.海南省直轄縣級單位?高一海南二中校考期中）sin20cos10-cos160sin10的值為()

A.1B.--C.B

D.

222~~2

2,l+sin/

17.（2022秋?廣東廣州?高一廣東實驗中學?？计谀┰O(shè)ce，月e0且tana=，則()

I2Jcosp

TT

A.2a-f3=0B.2a+/3=—C.2a+尸=0D.

18.（2021春.江蘇揚州?高一江蘇省邢江中學?？计谥校┮阎猻ine+cos（g+5）=l,貝心皿。+￡）=（）

63

A.1B.6C.-1D.1

題型三：兩角和與差的正切公式

-：已知兩角的正、余弦求和差角的正切

19.（2022春,陜西咸陽?高一統(tǒng)考期末）已知tan[a+5）=3,貝l]tana=（）

A.--B.士C.-2D.2

22

20.（2022春?遼寧鞍山?高一鞍山市第三中學校考期末）已知。是第四象限角，且sin”-1,則tan["[=（

A.—B.—7C.—D.7

77

21.（2021秋?浙江溫州?高一樂清市知臨中學?？计谀┮阎猼an。?！辏?,?）,tan尸=；，尸￡（-匹0）,則。+夕=（

37r713/r

A.c.D.

T-74T

用和差正切公式進行化簡求值

22.（2023?高一課時練習）若異當=0,則的值為（）.

1+tand（4）

A.1B.變C.0D.1

22

23.（2022春.江蘇徐州.高一?？茧A段練習）已知tan。，tan/?是方程f+36彳+4=0的兩根，且-

則夕+夕的值為（）

71c2兀

A.—B.------c.抖T

33。?-鵬

24.（2022?高一課時練習）若sina+cos"」,則tan[a+1]的值為（）

sina-cosa2I4J

A.—2B.2C.—D.—

22

三：逆用和差正切公式進行化簡求值

25.（2022?全國?高一專題練習）tan45°-tanl5°-且tan45°tanl5°=（）

3

A.73B.73-2C.D.顯

33

26.（2022春?陜西榆林?高一?？计谀┮阎鶠殇J角，且（1-退tana）（l-6tan4）=4,貝1]。+尸=（）

一兀

7-TD.—

2

27.（2022春?四川廣安?高一四川省廣安第三中學校）皿17。+131128。+131117。131128。等于（）

A.一立B.旦C.-1D.1

22

28.（2023秋?湖南湘潭?高一統(tǒng)考期末）若角a終邊上一點P的坐標為（3桃4根），其中相w0.

⑴求tana的值；

⑵若求sin,+今）的值.

題型四：兩角和與差的三角函數(shù)綜合應(yīng)用

29.（2023春?山西忻州?高一河曲縣中學校）已知cosa=2cos]c-；

sinacosa

⑴求的值;

1+COS26Z

⑵在ABC中A3為銳角，且511124=5111%（：053=之^^,求C的值.

30.（2023秋?北京?高一北京師大附中?？计谀?）已知都是銳角，sina=無，c°s0=^~,求，+月;

510

1+tanl5

(2)求

l-tanl5

3兀

cosa---

(3)若tana=mtan]wl),求10

sinaj

【雙基達標】

一、單選題

3

31.(2023秋?江蘇無錫?高一統(tǒng)考期末)已知sin(30+?)=-,60<6Z<150,貝1Jcosa的值為()

A473-3D-4百+3「-4-3g「4-3百

A.-------------D.---------------C.---------------D.-----------

10101010

32.(2023秋?云南保山?高一統(tǒng)考期末)在A3C中，若tan8+tanC+G'tan^tanC=3'，且sin28=^^則C=()

2

A.60°B.45°C.30°D.15°

33.(2023秋?陜西西安?高一西北工業(yè)大學附屬中學校考期末)sin110°-cos40°-cos70°-sin400=().

34.（2023秋?湖北武漢?高一武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）?？计谀┗唖in347cos148+sin77cos58

的值為（）

A/3R6r1n^2

A.

2222

35.（2022秋.江蘇常州?高一校考期末）在平面直角坐標系％Qy中，點尸（和％）在單位圓。上，設(shè)=且

引.若sin"：=],則％的值為（）

V2nV2「7/n7亞

A.-------D.------.------U.--------

10101010

（2023秋?湖南懷化?高一統(tǒng)考期末）已知銳角。與鈍角夕，sina=2,sinQ=也.

36.

510

（1）求sin（?-尸）的值；

⑵求tan]a+3的值.

37.（2023秋?重慶北培?高一統(tǒng)考期末）在條件：①2sin（2022萬-a）=cos（2022萬+*②sina+cosc=-豐;

7

③sin<zcosa=-《中任選一個，補充在下面的題目中，并求解.

已知魂e（0,句，且滿足條件.

3sina+4cos。

⑴求的值;

cosa-sina

⑵若匹百9，且cosp=-嚕，求c+6的值.

【高分突破】

一、單選題

38.（2022?全國?高一■專題練習）已知cos[a+1]=—耳，且則cosa=（）

A4+后R4-V2ry/2r>&

6623

39.（2022秋?浙江寧波?高一?？奸_學考試）已知函數(shù)〃力=2$皿卜-?卜".設(shè)

a/eJo,q]j[3a+g]=9"3/7+2;r）=（，則cos（a+0的值為（）

A56-16-63n33

A.—B.—C.—D.—

65656565

角尸的終邊過點（5,12）,sin（a+￡）=當，則cosa=

40.（2022春?河北張家口?高一校聯(lián)考階段練習）已知a為銳角,

（）

A.還迪或17立17立D.逋

B.r

2626262626

已知0sin,-：卜OS（7l+。）=COS2sin2d,且sinOwO,則tan（6+q）值為（）

41.（2022?高一課時練習）

顯

A.也B.c.2-73D.2+6

3

2sin20°1（）

42.（2022?高一課時練習）計算：

sin10°tan10

A.-72B.梃C.-V3D.73

二、多選題

43.（2023秋?山西太原?高一統(tǒng)考期末）計算下列各式，結(jié)果為目的是（）

A.忘sin15°+0cos15°B.cos215°-sin15°cos75°

tan30°1+tan15°

c.D.

1-tan230°1-tan15°

44.（2023秋?廣東廣州?高一華南師大附中校考期末）下列等式成立的是（）

A.sin2+|=cos2B.cos73ocos28o+sin73osin28°=

C.tanl5°=2-GD.-sin40°+—cos40°=sin70°

22

45.（2022春.江蘇徐州.高一統(tǒng)考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，角a、夕的頂點與坐標原點重合，始

34

邊與x軸的非負半軸重合，它們的終邊分別與單位圓相交于A、8兩點，若點A、8的坐標分別為和

555

則以下結(jié)論正確的是（）

3

B.cos夕=—

C.cos（a+Q）=0D.cos（a-尸）=0

（春?江蘇蘇州?高一星海實驗中學?？计谥校┮阎?、、TT

46.2022a/3yefo.j，且分+/=萬，貝|（）

A.若sina+cosa=V2，則tana=l

若tana=2,則tan（4+7）=]^

B.

C.tana、tan分可能是方程無2一6^+7=。的兩根

D.tancrtan/?+tancrtany+tantany-\

三、填空題

（秋?山西朔州?高一懷仁市第一中學校校考期末）

47.20238s--cosl8sin60

sinl8

（0,^）,sin（6z+y0）=y,tanc=2tan￡,則sin（a—/7）=

48.（2023秋?河南洛陽?高一統(tǒng)考期末）已知a，P&

3

49.（2023秋?湖南永州?高一統(tǒng)考期末）已知sin（60°+a）=g,30°<?<120°,貝l|costz=

50.（2023秋?河北石家莊?高一石家莊二中?？计谀θ我鈱崝?shù)〃>0且函數(shù)>=罐一3+1的圖象經(jīng)過定點尸,

且點尸在角。的終邊上，則tan,-：

+tana--

I3

51.（2023?高一）化簡:

1-V3tanfj

四、解答題

52.（2023秋?湖南長沙?高一?？计谀┮阎猠e[。，!'],costz=1.

（1）求tane的值；

⑵求COS,+三]的值.

4

53.（2023秋?吉林?高一吉林省實驗?？计谀┮阎猻ini=y,且。為第二象限角,

⑴求cos。，tanfz的值；

⑵若tan(<z+/)=g,求tan(2a+0的值.

54.(2023秋?上海浦東新?高一上海師大附中?？计谀?已知tan]7+(|=2,tan￡=-;，求下列各式的值:

⑴tana；

sin(a+，)-2sinacos0

72sinasin/3+cos(a+/7)'

55.（2023秋?安徽淮北?高一淮北一中?？计谀?）^0</7<a<|,且cosa=，cos（c-0=得,求角夕的值;

23

(2)已知tana=§,且sin(2a+尸Qgsin/J,求tan(a+￡)的值.

56.（2023秋?廣東廣州?高一廣州市海珠中學?？计谀┮阎猘,/為銳角，sinc=半，sin（a-夕）=-巳

3兀

sin(cr+——)sin(兀+a)

⑴求------------------的值;

/兀、

cos(--a)

（2）求sin尸的值.

rr

57.（2022春?湖南衡陽?高一衡陽市一中校考階段練習）已知函數(shù)/（X）=2COS（OX+7）,（其中。>0,xeR）的最

6

小正周期為10萬.

⑴求。的值；

（2）設(shè)a,,e[0,g],/（5a=,/（5月一習萬）=旦求cos（a+0的值.

235613

【答案詳解】

1.B

【分析】根據(jù)題意判斷+￡的范圍，從而求出cos/-%）sin（a+夕）的值，將

cos]A+看)寫為cos，再用兩角和與差的余弦公式代入化簡即可.

【詳解】由于a,夕都是銳角，則4<aW，0<c+/<n,

o63

因為13

sin|a-e=y>0,cos(a+^)=--<0,

所以0<a-￡<￡,g<a+/?<7i,

632

,sin(a+￡)=(,

所以cos[分+《)=cos

=cos(a+夕)cosa—工+sin(a+4)sina--

3473414-1273

------X------------1——X—=---------------------

575735

故選:B

2.A

【分析】由平方關(guān)系求得sina,cos（c-分），然后由兩角差的余弦公式計算.

【詳解】。，夕都是銳角，則一^<。一/?<￡,

則由題意得cos（a-4）=/一（叫了=零，又sina=Jl-（$=乎,

637102A/5VToV2

cosp=cos[a-(a—4)]=cosacos(a-/7)+sinasin(a一4)=-------X---------------1------------X----------=--------

5105102

故選：A.

3.D

【分析】根據(jù)題意求得sin。和sin/?的值，結(jié)合兩角和的余弦公式，即可求解.

【詳解】由0<a<=,</?<0,可得sina=，sinP=,

2233

1V3272瓜573

貝Ucos+^)=cosacos/3-^masin[3=—X---------1------------X--------=-----------

33339

故選：D.

4.C

【分析】利用和角余弦公式cos(2+尸)=cosacos尸-siimsin4即可求出答案.

【詳解】因為cosl5cos45-sin15sin45=cos(15+45)=cos60=g,

故選：C.

5.A

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出cosa,再由兩角差的余弦公式代入求值.

43

【羊解】sin,sin?OL+cos?—1>??coscc-i—9

(兀)3

(2)5

,71.71.71.^2(3)04叵

cos(—a)=cos—cosa+sin—sina=—x——H-----x—=—

44425j2510

故選：A

6.A

【分析】使用整體處理以及兩角和與差得公式解決問題.

【詳解】由cos(a—￡)+sina=，^得：

71.兀.3.77「兀、473

cosacos--Fsinasin--bsina=——cosa+—sma=yJ3cos—a—-----,

6622{3J5

所以，c°s［：-aj=g,

故選：A.

7.A

【分析】對題干條件平方后相加，結(jié)合余弦的差角公式得到答案.

3Q

【詳解】因為sina+sin/7=y,所以sin2a+sin2/?+2sinasin/?=石(1),

416

因為coscr+cos分=g,所以cosZq+cos2/?+2coscrcos/?=—(2),

(1)+(2)得2+2cos(a—分)=1,

.*?COS(6Z_0)=

故選：A.

8.B

【分析】利用兩角和的余弦公式即可求解.

【詳解】解:

=-cos(30°+15°)=-cos45°=-等

-sinl50--cos15°=-cosl5°--sinl5°

222

7

故選：B.

9.C

【分析】本題首先可通過誘導(dǎo)公式以及兩角和的余弦公式得出b=2cos65、c=2cos67，

然后通過函數(shù)y=2cosx在區(qū)間(0,90)上是減函數(shù)即可得出結(jié)果.

【詳解】b=cos5-百sin5=2-S-cos5-^-sin5=2cos(60+5)=2cos65,

卷

c=2(sin47sin66-sin24sin43)=2^cos43cos24-sin24sin43

=2cos(43+24)=2cos67

a=2cos66,

因為函數(shù)y=2cosx在區(qū)間(0,90)上是減函數(shù)，65<66<67,

所以2cos65>2cos66>2cos67，^b>a>c,

故選：C.

10.A

【分析】由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sine,sin(a+￡)的值，再利用兩角和差的

正弦公式求得sinB=sin[(6r+0-的值.

4

【詳解】因為。為銳角，cosa=y,

所以sina=Vl-cos2a-J1--=—,

V255

因為a，夕為銳角，所以a+/7￡(0,「),

3

因為cos(a+#)=w，

所以sin(cr+,)={l-cos?(a+0)=Jl—言=|

所以sin/?=sin[(cr+1)一a]

=sin(a+p)cosa-cos(a+J3)sina

故選：A.

11.C

45

【分析】根據(jù)同角平方和關(guān)系可求cos(a-￡)=y,cos尸=5,然后根據(jù)正弦的和角公式即

可求解.

【詳解】由0＜a＜、，。＜/＜5可得：—夕＜5,所以cos(a—/?)=Jl-sin?(a-0)=—,

cosp=^/l-sin2y0=得

sina=sin[(a一夕)+/7]=sin(a一尸)cos尸+cos(。一,)sin/?=--x—+—x—=—

故選：C

12.B

【分析】根據(jù)題意可知，仁-]?+6上信口，再結(jié)合題意可得

sin（?-aj=-|,cos[?+,j=2，又（a+夕）=+,禾U用兩角差的正弦公

式，即可求出結(jié)果.

因為左[。曰,所以t+弓

Xsinl—+l=sinl^-+-+^l=-sinl-+^1=--,所以sin[1+尸)=百

所以c°s]?+尸卜+?J=g

又（。+尸）=￡+同一「一a]

所以sin(a+⑶=sin

=sin+尸]cos—a]—cos[?+4]sin—a

1235/4、56

=—x---------x—=——

135135J65,

故選：B.

13.B

【分析】根據(jù)cos(-a)=cosa,cos(2E+a)=cos%cos(兀-a)=-cosa

求出cos(-510)；根據(jù)sin15°=sin(45°-30°)打開求解.

【詳解】

cos(-510)=cos510°=cos(360°+150")=cos150°=cos(180°-30°)=-cos30°=~~^~又

sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°

_V2V3V21_V6-V2

~~Tt~2T?，--4

訴I'J(cm6OA/6-A/2亞-6

所以cos-510+2sinl5=-------F2x-----------=--a----------------

v7242

故選：B

14.C

【分析】利用兩角差的正弦公式即可求得sine的值

1

【詳解】由尸

3

由尸e

7

又sin（a+/）=§

則sina=sin[(a+/?)—4]=sin(a+/7)cos/3-cos(a+尸)sin/?

故選：C

15.B

【分析】利用兩角差的正弦公式求sinL+|j,由此可求cos（口—萬）.

【詳解】因為。，用都是銳角,

ll1xI冗冗5TCITcTC7T

所以；va+二v—,——<P~—<—,

336663

又cos[a+5>0,sin/J)>0,

r、I兀兀兀八）兀兀

所以《<[+§<5,0<〃一不

福z?%,吟（H吟］3屈2亞歷亞叵

所以sin|?+—-P——=x-------------x—=—,

3JV6JJ1051052

所以sin［^+a-尸］=［,

所以cos（a-尸）=孝,

故選：B.

16.A

【分析】利用誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的兩角和的正弦公式求解.

【詳解】解:sin20cos10—cos160sin10，

=sin20cos10-cos(180—20)sin10,

=sin20cos10+cos20sin10,

=sin（20+10）,

=sin30，

=2f

故選：A

17.D

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正弦公式，即可得到答案;

.sina1+sin/7

［詳解］-------=---------nsma?cospn=cosa+cosa-smpn

cosacos/3

sin（cif-P）=cosa

71c兀c兀兀cn

—<a一(<,，0<———~—cc

:.2a-P=^,

故選：D

18.A

【分析】直接利用和差角公式即可計算.

【詳解】因為sin6+cos(e+g)=l,

6

7T

所以sin（6+］）=l.

故選：A.

19.B

【分析】根據(jù)兩角和的正切公式計算直接得出結(jié)果.

【詳解】由tan（a+3=3,

taniz+tan—71

tana+l

得tan(cr+—)=----------—=3,

41冗I-tana

I-tan<7tan—

4

解得tana=g.

故選：B

20.B

【分析】由己知，根據(jù)6是第四象限角，sin。=-3,可計算出tanO=-3=,然后利用正切的

54

和差公式即可求解出tan^-^.

【詳解】由已知，。是第四象限角，sin6=-3=,所以tan。，3］,

54

所以tanp一金卜tan^-l

l+tan。

故選：B.

21.D

【分析】根據(jù)題意得々<0,3，匹（一無,-3，故a+匹（-兀,0）,進而根據(jù)正切的和角公式

計算即可得答案.

【詳解】解：因為tan<z=g>0,ae（0,萬）,tan￡=；>0,￡e（-萬,0）,

所以a￡（°‘萬"）'夕￡［一兀'一5"），

所以a+力

14

tana+tanf32

所以tan(a+/?)=_^_=1

p】_11，

1-tantan—x—

23

37r

所以，+而一彳

故選：D

22.C

【分析】根據(jù)正切的差角公式得tan=根據(jù)正余切的關(guān)系即可求解.

71八

一tan——tan〃

1-tan^*卜亞，

【詳解】由=V2得----------=tan

。171八

1+tan1+tan—tan8

4

所以cot(：+6)

故選：C

23.B

【分析】由韋達定理得12口。+1@11，=一364@11。式a11，=4,BPtancr<0,tan/7<0,得

-n<a+/3<0,再根據(jù)兩角和的正切公式解決即可.

【詳解】由題知，tana,tan￡是方程/+3氐+4=0的兩根，

所以tana+tan,=-3^/3,tancf*tany0=4,即tana<0,tan/?<0,

、兀兀兀Q兀

m因i.為一:<B〈