備考2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-拋物線

專題9.5拋物線

日題型目錄

題型一拋物線的定義與方程

題型二拋物線方程與位置特征

題型三距離的最值問題

題型四實(shí)際問題中的拋物線

題型五拋物線中的三角形和四邊形問題

題型六拋物線的簡單幾何性質(zhì)

才典例集練

題型一拋物線的定義與方程

例1.（2023秋?高二課時練習(xí)）過拋物線焦點(diǎn)尸的直線與拋物線交于P,。兩點(diǎn)，若尸，。在拋物線準(zhǔn)線上的射影

為耳,則/學(xué)也等于（）

A.45°B.60°C.90°D.30°

例2.（2023?山東煙臺?統(tǒng)考三模）設(shè)拋物線。:丁=2°武0>0）的焦點(diǎn)為月，點(diǎn)。（2,0）,過點(diǎn)F的直線交C于",N

兩點(diǎn)，直線垂直x軸，|MFk3,貝卜.

舉一反三

練習(xí)1.（2023秋?高三課時練習(xí)）拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是無軸，拋物線上的點(diǎn)（-5,加）到焦點(diǎn)的距離是6,

則拋物線的方程為（）

A.y2=-2xB.y2=-4x

2

C.y2=2xD.y=-4x或y2=-36x

練習(xí)2.（2021秋?高三課時練習(xí)）分別求符合下列條件的拋物線方程：

⑴頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且過點(diǎn)4（2,3）；

（2）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為g.

練習(xí)3.（2023?北京?北京四中?？寄M預(yù)測）已知拋物線。:產(chǎn)=22宜0>0）的焦點(diǎn)為/，準(zhǔn)線為/,點(diǎn)A是拋物線C

上一點(diǎn)，AD_L/于。.若A尸=2,/￡>”=60,則拋物線C的方程為（）

A.y2=8xB.y2=4x

C.y2=2xD.y2=x

練習(xí)4.（2023?福建福州?福州三中校考模擬預(yù)測）已知拋物線V=4x與圓（x-iy+y2=i,過拋物線的焦點(diǎn)p作斜

率為左的直線/與拋物線交于A,。兩點(diǎn)，與圓交于民C兩點(diǎn)（AB在x軸的同一側(cè)），若AB=4CD，則k2的值是

練習(xí)5.（2023?河南?洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知產(chǎn)是拋物線C：V=8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M

的延長線交y軸于點(diǎn)M若FM=2MN，貝U|RV|=

題型二拋物線方程與位置特征

例3.（2023?陜西渭南?統(tǒng)考二模）將拋物線產(chǎn)=,內(nèi)繞其頂點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90之后，正好與拋物線y=2x?重合，則機(jī)=

（）

A.—B.JC.-2D.2

22

例4.（2023秋?高二課時練習(xí)）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程如下，分別求其焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程：

（l）y2=6x；

（2）2y2+5x=0.

舉一反三

22

練習(xí)6.（2023春?上海普陀?高三曹楊二中?？茧A段練習(xí)）在同一坐標(biāo)系中，方程=+斗=1與依+勿2=0.>6>0）

a"b

練習(xí)7.（2022?高三單元測試）已知加件0,則方程mr2+wy2=1與ay?=〃?尤在同一坐標(biāo)系內(nèi)對應(yīng)的圖形編號可能是

練習(xí)8.（2022.高三課時練習(xí)）根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并畫圖:

（1）準(zhǔn)線方程為y=-;；

（2）焦點(diǎn)在無軸上且其到準(zhǔn)線的距離為6；

⑶對稱軸是x軸，頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于2；

⑷對稱軸是y軸，經(jīng)過點(diǎn)（1,-2）.

練習(xí)9.（2023?全國?模擬預(yù)測）十一世紀(jì)，波斯（今伊朗）詩人奧馬爾?海亞姆（約1048-1131）發(fā)現(xiàn)了三次方程

丁+。％=6（6*0）的幾何求解方法，如圖是他的手稿，目前存放在伊朗的德黑蘭大學(xué).奧馬爾采用了圓錐曲線的工

具，畫出圖像后，可通過測量的方式求出三次方程的數(shù)值解.在平面直角坐標(biāo)系xQy上，畫拋物線/=世，在x軸

上取點(diǎn)C（5，O）SHO）,以0C為直徑畫圓，交拋物線于點(diǎn)尸.過尸作X軸的垂線，交X軸于點(diǎn)Q.下面幾個值中,

哪個是方程/+片》=人的解？（）

心.

A?b0**；」二1￡I匚乞ILTtx->u^>'三比”

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A.\OQ\B.\QP\c.\QC\D.\OP\

練習(xí)10.（2022.高三單元測試）（多選）己知的沖0,則方程如2+〃,2=1與九y?=加尤在同一坐標(biāo)系內(nèi)對應(yīng)的圖形可

能是（）

題型三距離的最值問題

例5.（2023?江蘇無錫?校聯(lián)考三模）已如尸（3,3）,用是拋物線V=4無上的動點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），過“作圓

C:（x-2『+y2=4的切線，切點(diǎn)為A,則|則+|MP|的最小值為.

例6.（2023秋?高三課時練習(xí)）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,2）,尸為拋物線丁=2尤的焦點(diǎn)，點(diǎn)”在拋物線上移動，為使

+最小，點(diǎn)〃的坐標(biāo)應(yīng)為.

第二及三

練習(xí)11.（2023?上海虹口?華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)校考三模）已知P是拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)，P是拋物線C

上一動點(diǎn)，Q是曲線x2+y2-8x-2y+16=0上一動點(diǎn)，則|尸耳+|尸以的最小值為.

練習(xí)12.（2022秋?河南焦作?高三統(tǒng)考期末）已知P是拋物線V=4無上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線4：3x-4y+12=。

和4：x+2=。的距離之和的最小值是（）

22

A.3B.4C.—D.6

5

練習(xí)13.（2023?江蘇南通?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)尸伍,九）是拋物線丁=以上的動點(diǎn)，貝1］忘/+員-％+1|的最小

值為.

練習(xí)14.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)尸為拋物線C：y'4x上的動點(diǎn)，4（2,4）關(guān)于尸的對稱點(diǎn)為2,記尸到

直線x=-l,x=-3的距離分別4，4，則4+4+|4到的最小值為（）

A.2后+2B.2713+2

C.717+2D.713+5^7+2

練習(xí)15.（河北省唐山市、保定市四校（保定中恒高級中學(xué)有限公司等）2023屆高三一模數(shù)學(xué)試卷）（多選）拋物

線V=6x的焦點(diǎn)為尸，P為拋物線上的動點(diǎn)，若點(diǎn)A不在拋物線上，且滿足|R4|+|P刊的最小值為?!，則|A司的值

可以為（）

935

A.—B.3C.—D.一

224

題型四實(shí)際問題中的拋物線

例7.（2023.青海海東.統(tǒng)考模擬預(yù)測）圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在沉?xí)r，拱頂距離水面2米，水面寬度為8米，

則當(dāng)水面寬度為10米時，拱頂與水面之間的距離為（）

III[I

I[IL-~~~TJ~~~IIII

[I八II

II1/、[II

ITxC、二XII

IIX2木\

/7

iymi

交二二===二二二二二^^

<----------------------------------------------------------->

8Xn

A.25米B.25米C.225米D.?米

246o

例8.（2023春?廣東韶關(guān)?高三?？茧A段練習(xí)）有一個隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一長方形和拋物線構(gòu)成，如圖

所示.為了保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少為0.7m,若行車道

總寬度為7.2m,則車輛通過隧道時的限制高度為_____m.

舉一反三

練習(xí)16.（2023春?廣西南寧?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）北京時間2022年4月16日9時56分，神舟十三號載人飛船返回

艙在東風(fēng)著陸場成功著陸，全國人民都為我國的科技水平感到自豪.某學(xué)校科技小組在計算機(jī)上模擬航天器變軌返回

r2v2

試驗.如圖，航天器按順時針方向運(yùn)行的軌跡方程為二+二=1,變軌（即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€）后

10025

返回的軌跡是以y軸為對稱軸，（0,為頂點(diǎn)的拋物線的一部分（從點(diǎn)C到點(diǎn)B）.已知觀測點(diǎn)A的坐標(biāo)（6,0）,當(dāng)

航天器與點(diǎn)A距離為4時，指揮中心向航天器發(fā)出變軌指令.

（1）求航天器變軌時點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）求航天器降落點(diǎn)8與觀測點(diǎn)A之間的距離.

練習(xí)17.（2023?上海?高三專題練習(xí)）如圖所示，一種建筑由外部的等腰梯形PQRS、內(nèi)部的拋物線以及水平的杠桿

A8組成，其中PS和QR分別與拋物線相切于A,8,A,8分別是PS和QR的中點(diǎn).梯形的高和CD的長度都是4米.

（1）求杠桿的長度；

（2）求等腰梯形的周長.

練習(xí)18.（2023?全國?高三專題練習(xí)）有一正方形景區(qū)EFG",E”所在直線是一條公路，該景區(qū)的垃圾可送到位于

產(chǎn)點(diǎn)的垃圾回收站或公路EH上的流動垃圾回收車，于是，景區(qū)分為兩個區(qū)域耳和邑，其中工中的垃圾送到流動垃

圾回收車較近，邑中的垃圾送到垃圾回收站較近，景區(qū)內(nèi)既和邑的分界線為曲線C,現(xiàn)如圖所示建立平面直角坐標(biāo)

系，其中原點(diǎn)。為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)廠的坐標(biāo)為（L0）.

（1）求景區(qū)內(nèi)的分界線C的方程;

（2）為了證明跖與S2的面積之差大于1,兩位同學(xué)分別給出了如下思路，思路①：求分界線C在點(diǎn)G處的切線方程,

借助于切線與坐標(biāo)軸及景區(qū)邊界所圍成的封閉圖形面積來證明；思路②：設(shè)直線L：y=x+b,分界線C恒在直線L

的下方（可以接觸），求6的最小值，借助于直線L與坐標(biāo)軸及景區(qū)邊界所圍成的封閉圖形面積來證明.請選擇一個

思路，證明上述結(jié)論.

練習(xí)19.（2023春?福建莆田?高三莆田一中校考期中）如圖1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對稱軸

旋轉(zhuǎn)形成的曲面）反射器和位于焦點(diǎn)上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應(yīng)用于

微波和衛(wèi)星通訊等領(lǐng)域，具有結(jié)構(gòu)簡單、方向性強(qiáng)、工作頻帶寬等特點(diǎn).圖2是圖1的軸截面，A,2兩點(diǎn)關(guān)于拋

物線的對稱軸對稱，尸是拋物線的焦點(diǎn)，NA段是饋源的方向角，記為6,焦點(diǎn)尸到頂點(diǎn)的距離/與口徑d的比值4

稱為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等.如果某拋物面天線饋源的方向角6滿足,

tan0=-4百，則其焦徑比為（）

練習(xí)20.（2023?全國?高二專題練習(xí)）探照燈、汽車前燈的反光曲面、手電筒的反光鏡面、太陽灶的鏡面等都是拋物鏡

面.燈泡放在拋物線的焦點(diǎn)位置，通過鏡面反射就變成了平行光束，如圖所示，這就是探照燈、汽車前燈、手電筒的設(shè)

計原理.已知某型號探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處，燈口直徑是80cm,燈深

40cm,則光源到反射鏡頂點(diǎn)的距離為（）

A.20cmB.10cmC.30cmD.40cm

題型五拋物線中的三角形和四邊形問題

例9.（2023?廣東珠海?珠海市斗門區(qū)第一中學(xué)校考三模）已知拋物線尤2=4y的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線/與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)N,M

是拋物線上一點(diǎn)，若|敬|=|月即，貝kFMN的面積為（）

A.4B.273C.2夜D.2

例10.（2023?福建莆田??？寄M預(yù)測）已知拋物線C:V=2y的焦點(diǎn)為/，準(zhǔn)線為/,A、8是C上異于點(diǎn)。的兩

—AB

點(diǎn)（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），若NAEB=60,過AB的中點(diǎn)。作于點(diǎn)E,則的最小值為.

第二反三

練習(xí)21.（2023.吉林長春.長春吉大附中實(shí)驗學(xué)校?？寄M預(yù)測）設(shè)拋物線C：y2=2px（p>0）焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線

為/,過第一象限內(nèi)的拋物線上一點(diǎn)A作/的垂線，垂足為8.設(shè)C（2p,。），.與8C相交于￡>.若|C尸|=|4尸|,

且.ACD的面積為迷，則拋物線的方程為.

2

練習(xí)22.（2023春?海南?高三海南中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸為拋物線C：/=2刃（0>0）的焦點(diǎn)，

過焦點(diǎn)P且傾斜角為。的直線/與拋物線C交于M,N兩點(diǎn)（點(diǎn)N在第一象限），當(dāng)，=30時，\MF\=2,則。=

練習(xí)23.（2023?全國?高二專題練習(xí)）已知拋物線。：9=2「%（0>0）的焦點(diǎn)為尸，直線/與C交于A,8兩點(diǎn)，

\AB\

AF±BF,線段A3的中點(diǎn)為過點(diǎn)M作拋物線C的準(zhǔn)線的垂線，垂足為N,則學(xué)巖的最小值為___.

\MN\

練習(xí)24.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知歹是拋物線：/=72尤的焦點(diǎn)，點(diǎn)A,8在拋物線上，且的重心坐標(biāo)為

K-4則也符虬、）

A.-B.6C.@D.6

3375

練習(xí)25.（2023?甘肅金昌?永昌縣第一高級中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線C：V=8x的焦點(diǎn)為R準(zhǔn)線/交無軸于

點(diǎn)、E,過歹的直線與C在第一象限的交點(diǎn)為A,則二二的最大值為______.

AF

題型六拋物線的簡單幾何性質(zhì)

例11.（2023?全國?高三對口高考）已知48是拋物線了2=2°直°>0）上的兩個點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|OA|=|O@且

A08的垂心恰是拋物線的焦點(diǎn)，則直線A3的方程是（）

_c53

A.X=PB.x=3pC.X='^PD.X=QP

例12.（2022秋?重慶?高三統(tǒng)考期末）已知則方程（依-4）卜-葉+*=0表示的曲線可能是（）

舉I一反三

練習(xí)26.（2023春?甘肅張掖?高三高臺縣某中學(xué)校考階段練習(xí)）（多選）對于拋物線y下列描述不正確的

是（）

A.開口向上，焦點(diǎn)為（0,4）B.開口向上，焦點(diǎn)為（4,0）

C.準(zhǔn)線方程為x=TD,準(zhǔn)線方程為y=T

練習(xí)27.⑵23秋?高三課時練習(xí)）拋物線y=的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

a

A.a>0時為(0,a),a<0時(0,-。)B.a>0時為0,5,”0時為0,

C.(0,a)D.-,o

a

練習(xí)28.（2023秋?高三課時練習(xí)）拋物線丁=2力（0>0）上一點(diǎn)到準(zhǔn)線和拋物線的對稱軸距離分別為10和6,則該

點(diǎn)的橫坐標(biāo)是.

練習(xí)29.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知拋物線C：V=8x,尸為C上一點(diǎn)，A（-2,0）,5（2,0）,當(dāng)告最小時，

PA\

點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為（）

A.2-J5B.3亞C.2^/3D.8

練習(xí)30.（2023?山西朔州?懷仁市第一中學(xué)校?？级＃┮阎獟佄锞€J=4x的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)A,8在拋物線上.若

加=120。，則當(dāng)號滬取得最大值時,M=

專題9.5拋物線

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題型一拋物線的定義與方程

題型二拋物線方程與位置特征

題型三距離的最值問題

題型四實(shí)際問題中的拋物線

題型五拋物線中的三角形和四邊形問題

題型六拋物線的簡單幾何性質(zhì)

才典例集練

題型一拋物線的定義與方程

例1.（2023秋?高二課時練習(xí)）過拋物線焦點(diǎn)尸的直線與拋物線交于P,。兩點(diǎn)，若尸，。在拋物線準(zhǔn)線上的射影

為耳,則/學(xué)也等于（）

A.45°B.60°C.90°D.30°

【答案】C

【分析】由拋物線的定義及內(nèi)錯角相等，可得/々尸尸+/。笈尸=180。，Zl+Z2+Z^PF+Z3+Z4+ZeieF=360°,

可得答案.

【詳解】由于尸為焦半徑，

所以|尸尸|=|尸制,依尸|=|Q2|,

題中求的是角，故把邊轉(zhuǎn)化到角，如圖，

貝（JZ1=Z2,Z3=Z4,

PK〃QQt,

Z^PF+Z21QF=180°,

又N1+N2+/々PB+N3+N4+NQQP=360°,

所以2N2+2N4=18O。，

N2+/4=90。，從而/片/Q=90。.

故選：C

例2.（2023?山東煙臺?統(tǒng)考三模）設(shè)拋物線。:、2=2°X（0>0）的焦點(diǎn)為廠，點(diǎn)。他,0）,過點(diǎn)F的直線交C于MN

兩點(diǎn)，直線MD垂直x軸，|MFk3,貝"NF|=.

【答案】（3

【分析】根據(jù)拋物線定義求出P=2,再設(shè)直線MN的方程為無-1=加，得到韋達(dá)定理式，求出N點(diǎn)橫坐標(biāo)，再利

用拋物線定義即可求出|八丁|的長.

（詳解】由題意得下L，因為直線MD垂直于無軸,〃3。），準(zhǔn)線方程為x="，

所以M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為"，設(shè)%）,"（%,%），

根據(jù)拋物線的定義知慳同=玉+§=qp=3,解得p=2,

則C：V=4x,則P（LO）,可設(shè)直線腦V的方程為無-1=7孫，

聯(lián)立拋物線方程有j可得V—4my-4=0,

2

A=16m+16>0,y^y2=-4,則（％%J=16%遇2=16,

則32%=16,解得馬=；,則|N司=%+5=；+1=%

第二反三

練習(xí)1.(2023秋?高三課時練習(xí))拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是x軸，拋物線上的點(diǎn)(-5,附到焦點(diǎn)的距離是6,

則拋物線的方程為()

A.y1=-2xB.y2=-4x

C.y1=2xD.y~=—4x或y，=-36x

【答案】B

【分析】由已知，拋物線開口向左，設(shè)其方程為y2=_2。尤，則準(zhǔn)線方程為x=等，由條件結(jié)合拋物線的定義求出P

的值即可.

【詳解】由已知，拋物線開口向左，設(shè)其方程為V=-2px,p>0,則準(zhǔn)線方程為當(dāng)，

由拋物線的定義知，點(diǎn)(-5,㈤到焦點(diǎn)的距離是孑+5=6,所以。=2,

所以拋物線的方程是：/=-4x,

故選：B.

練習(xí)2.(2021秋?高三課時練習(xí))分別求符合下列條件的拋物線方程：

(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn)似坐標(biāo)軸為對稱軸,且過點(diǎn)4(2,3)；

(2)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為

Q4

【答案】

(2)y2=5%或y2=_5x或f=5y或Y=-5y

【分析】(1)由題意方程可設(shè)為或/="將4(2,3)代入求解即可；

(2)根據(jù)拋物線的定義焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為|■，即p=:寫出拋物線方程即可.

【詳解】(1)由題意，方程可設(shè)為y2=〃?x或/=「，

將點(diǎn)4(2,3)的坐標(biāo)代入，得32=2m或2?=3",

9、4

二."2=一或〃=_,

23

Q4

所求的拋物線方程為丁=,或

(2)由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為|,可知p=g

所求拋物線方程為產(chǎn)=5x或=-5%或Y=5y或X?=-5y.

練習(xí)3.(2023?北京?北京四中?？寄M預(yù)測)已知拋物線C:y2=2px(p>())的焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線為/,點(diǎn)A是拋物線C

上一點(diǎn)，于。.若,則拋物線C的方程為()

A.y2=SxB.y2=4x

C.y2=2xD.y2=x

【答案】C

【分析】根據(jù)拋物線的定義求得口耳=2,然后在直角三角形中利用NZMF=60?？汕蟮胮=2,從而可得答案.

【詳解】如圖，連接DF,設(shè)準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)為M

拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為尸］,0j,準(zhǔn)線/：x=-j

又拋物線的定義可得|AH=|AO|,又ZDAb=60,所以為等邊三角形，

所以同=|AF|=2,ZDFM=60

所以在Rt中，0典=2囚用=2p=2,則p=l,所以拋物線C的方程為y2=2x.

故選：C.

練習(xí)4.(2023?福建福州?福州三中?？寄M預(yù)測)已知拋物線>2=4尤與圓(尤-1)2+9=1,過拋物線的焦點(diǎn)廠作斜

率為左的直線/與拋物線交于兩點(diǎn)，與圓交于昆C兩點(diǎn)(42在x軸的同一側(cè))，若A8=4C￡>,則。的值是

【答案】8

【分析】根據(jù)給定條件，寫出直線/的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理并結(jié)合圓的性質(zhì)及向量等式求解作

答.

【詳解】拋物線丁=4x的焦點(diǎn)尸(1,0),準(zhǔn)線方程為尸-1,于是直線/：y=k(x-l),顯然讓0,

由<2,消去y得：k2x2-(2k2+4)x+k2=0,設(shè)4>1，X),￡>(%,%)，

[y=4x

4

則玉+工2=2+記,項%2=1，又圓(工一1)2+y?=1的圓心為尸(1,0),半徑為1,

由A3=4C。，得|A5|=4|GD|,即|A尸I—1=4(1。尸|—1),

+1)-1=4[(x2+1)-1],整理得%=4尤2，又無m=1，解得％=2,馬=；，

45

則2+”=無|+%=/,解得*=8，

所以不的值是8.

故答案為：8

練習(xí)5.(2023?河南?洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知尸是拋物線C:丁=股的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M

的延長線交y軸于點(diǎn)M若FM=2MN，貝1J|月V|=

【答案】4

【分析】先求出準(zhǔn)線/方程為x=-2,根據(jù)拋物線定義把焦半徑轉(zhuǎn)化為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離，在直角梯形AKVD中由平

行線得比練習(xí)線段，從而可得忸M|,^\MF\,從而可得|WV|.

【詳解】易知焦點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,0),準(zhǔn)線方程為了=-2,如圖，作MBJU于3,NDLIWD,

FM=2MN<可知線段平行于和。N,因為|Z)N|=2,|AF|=4,J—=

QQ

所以忸閭=§,又由定義知怛閭=附刊=§,

所以|/w|=|政V[+|EV/|=4.

題型二拋物線方程與位置特征

例3.(2023?陜西渭南?統(tǒng)考二模)將拋物線y2=?u繞其頂點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)死之后，正好與拋物線y=重合，則加=

()

B-IC.-2D.2

【答案】A

【分析】根據(jù)拋物線旋轉(zhuǎn)規(guī)律可得，其焦點(diǎn)坐標(biāo)從無軸負(fù)半軸旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸正半軸，即可得利=-，

【詳解】根據(jù)題意可得拋物線/=mx的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（彳，0）,

拋物線y=2x?的標(biāo)準(zhǔn)方程為V=；y,

可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為

易知存。）繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)9。之后得到國,即可得十-"，

解得加=一；.

故選：A

例4.（2023秋?高二課時練習(xí)）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程如下，分別求其焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程:

(1)/=6x；

(2)2/+5x=0.

【答案】⑴焦點(diǎn)為||,0；準(zhǔn)線方程為x=-|；

⑵焦點(diǎn)為卜。，。］,準(zhǔn)線方程為x=J.

【分析】（1）根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程即可判斷焦點(diǎn)位置及0=3,進(jìn)而寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;

（2）將拋物線2y2+5x=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程可得y'-gx,即可寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

【詳解】（1）由拋物線方程為/=6x,可得p=3,且焦點(diǎn)在x軸正半軸上，

所以可得其焦點(diǎn)為準(zhǔn)線方程為x=-|;

（2）將2y2+5x=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程為尸=3，

可得且焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，

4

所以焦點(diǎn)為準(zhǔn)線方程為x

舉一反三

22

練習(xí)6.（2023春?上海普陀?高三曹楊二中?？茧A段練習(xí)）在同一坐標(biāo)系中，方程=+1=1與?+6/=0（a>6>0）

ab

的曲線大致是（）

【分析】結(jié)合橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程定義判斷即可.

22

【詳解】由a>6>0,則方程三+與=1表示焦點(diǎn)在關(guān)軸上的橢圓，

ab

方程以+Z?y2=。化為,2=一，%,

b

由于--<0,則方程表示焦點(diǎn)在無軸上開口向左的拋物線.

b

故選：A.

練習(xí)7.（2022?高三單元測試）已知7A0,則方程MIX?=1與ay?=如在同一坐標(biāo)系內(nèi)對應(yīng)的圖形編號可能是

()

A.①④B.②③C.①②D.③④

【答案】B

【分析】結(jié)合橢圓、雙曲線、拋物線的圖像，分別對①②③④分析相、〃的正負(fù)，即可得到答案.

【詳解】對于①：由雙曲線的圖像可知：相由拋物線的圖像可知：同號，矛盾.故①錯誤；

對于②：由雙曲線的圖像可知：相<0,”>0；由拋物線的圖像可知：機(jī)，〃異號，符合要求.故②成立；

對于③：由橢圓的圖像可知：相>0,">0；由拋物線的圖像可知：孤〃同號，且拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，符合要求.

故③成立；

對于④：由橢圓的圖像可知：機(jī)>0,”>0；由拋物線的圖像可知：同號，且拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，矛盾.故④

錯誤；

故選：B

練習(xí)8.（2022?高三課時練習(xí)）根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并畫圖：

3

（1）準(zhǔn)線方程為〉=-；；

⑵焦點(diǎn)在x軸上且其到準(zhǔn)線的距離為6；

⑶對稱軸是x軸，頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于2；

⑷對稱軸是y軸，經(jīng)過點(diǎn)（L-2）.

【答案】（1）答案見解析；

（2）答案見解析；

（3）答案見解析；

（4）答案見解析.

【分析】（1）根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程為了=-|,得到點(diǎn)=|且焦點(diǎn)在y軸上求解;

（2）根據(jù)焦點(diǎn)在x軸上且其到準(zhǔn)線的距離為6,得到P=6求解；

（3）根據(jù)對稱軸是x軸，頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于2,得到5=2求解；

（4）根據(jù)對稱軸是y軸，設(shè)拋物線方程為/=分，將點(diǎn)（1,-2）代入求解.

（1）

3

解：因為拋物線的準(zhǔn)線方程為y=-

所以與=|"'p=3,

22

所以拋物線的方程是f=6y；其圖象如下：

因為焦點(diǎn)在x軸上且其到準(zhǔn)線的距離為6,

所以。=6,

所以拋物線的方程是V=12x或寸=-12x；其圖象如下:

(3)

因為對稱軸是無軸，頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于2

所以5=2,p=4,

所以拋物線的方程是V=8x或產(chǎn)=_8x；其圖象如下:

因為對稱軸是y軸，

設(shè)拋物線方程為爐=今，

因為拋物線經(jīng)過點(diǎn)(1,-2),

所以『="(—2),解得.=

所以拋物線的方程是/=-gy,其圖象如下:

練習(xí)9.（2023?全國?模擬預(yù)測）十一世紀(jì)，波斯（今伊朗）詩人奧馬爾?海亞姆（約1048-1131）發(fā)現(xiàn)了三次方程

d+片X=優(yōu)6W0）的幾何求解方法，如圖是他的手稿，目前存放在伊朗的德黑蘭大學(xué).奧馬爾采用了圓錐曲線的工

具，畫出圖像后，可通過測量的方式求出三次方程的數(shù)值解.在平面直角坐標(biāo)系xQv上，畫拋物線無2=3，在x軸

上取點(diǎn)c[，,o]sHO）,以O(shè)C為直徑畫圓，交拋物線于點(diǎn)尸.過尸作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)Q.下面幾個值中，

哪個是方程/6的解？（）

》⑷1*；■?二"迎

心a'Al

二”“*,二,J

it-xru>?'

/LU。力J-U?勺*1/口產(chǎn)^―7工尸」二ii）

2■oi/j-^z^二

匕43小J于丁、J\

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笠心心山―Jy口少R\、）

匕日次比一^憶^，二"也2

"5^9幺O_^J_AU>'i^tjV

A.\OQ\B.\QP\C.\QC\D.\OP\

【答案】A

【分析】求出圓的方程，聯(lián)立圓與拋物線的方程求出尸的橫坐標(biāo)滿足的方程可得解.

b2

【詳解】由題意，圓的方程為+/如圖,

4。4

—+丁上

聯(lián)立I2a2）>一41,

x2=ay

消去》可得：4a2x4+4a4x2—4a2bx=0，

BPx（x3+a2x-Z?）=0,

可得x=0或％③+/%一b=o,

即P點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足方程x3+a2x-b=0,

故。點(diǎn)的橫坐標(biāo)IOQI可以滿足的方程尤3+/%=6

故選：A

練習(xí)10.（2022?高三單元測試）（多選）已知mnwO,則方程如2+盯2=］與町/2=處在同一坐標(biāo)系內(nèi)對應(yīng)的圖形可

能是（）

xy_

【分析】先將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得了+1=,y2=-x,再根據(jù)拋物線圖形與橢圓或雙曲線圖形判斷即可.

———n

mn

x2y2

【詳解】解：將對應(yīng)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得1+i=】，y2=-x,

n

mn

所以拋物線，2=竺》的焦點(diǎn)在無軸上，故排除D選項，

n

對于A選項，由圖可知一〉0,m<0,n>0,矛盾，故A錯誤；

n

對于B選項，由圖可知一<0,m<0,n>0,滿足，故B正確；

n

對于C選項，由圖可知，一〉。，m>0,n>0,滿足，故C正確；

n

故選：BC.

題型三距離的最值問題

例5.（2023?江蘇無錫?校聯(lián)考三模）已如尸（3,3）,M是拋物線y=4彳上的動點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），過〃作圓

C:（x-2y+y2=4的切線，切點(diǎn)為A,貝U|M4|+|網(wǎng)的最小值為.

【答案】3

【分析】設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，結(jié)合圓的切線的性質(zhì)求出1加川，再借助式子幾何意義作答.

【詳解】依題意，設(shè)川（毛,%）,%>0,有巾=4%,圓C:（尤-2）2+/=4的圓心。（2,0）,半徑廠=2,

于是IAM|=JlMCf-產(chǎn)=&%-2）2+4-4=正=%，

因止匕|加4|+|河?|=龍。+|網(wǎng)，表示拋物線C上的點(diǎn)〃到y(tǒng)軸距離與到定點(diǎn)尸的距離的和，

而點(diǎn)尸在拋物線C內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)加是過點(diǎn)尸垂直于y軸的直線與拋物線C的交點(diǎn)時，與+|10取得最小值3,

所以0例+也0的最小值為3.

故答案為：3.

例6.（2023秋?高三課時練習(xí)）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,2）,尸為拋物線丁=2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)網(wǎng)在拋物線上移動，為使

|用4|+|加口最小，點(diǎn)時的坐標(biāo)應(yīng)為.

【答案】（2,2）

【分析】根據(jù)A點(diǎn)位置和拋物線方程可得焦點(diǎn)下和準(zhǔn)線x=利用拋物線定義可知

\M^+\MF\=\M^+\MM\>\AM\,當(dāng)AM,三點(diǎn)縱坐標(biāo)相同時取最小值，即可求得M（2,2）.

【詳解】由A（3,2）以及拋物線V=2x可知，點(diǎn)A在拋物線內(nèi)部，如下圖所示:

拋物線y2=2工的焦點(diǎn)坐標(biāo)W，0],準(zhǔn)線方程為x=-J；

作初%垂直于準(zhǔn)線，垂足為

由拋物線定義可得\MF\=\MMX\,則\M^\+\MF\=\M^+\MM\>\AM\,

當(dāng)且僅當(dāng)A,監(jiān)三點(diǎn)共線時，+|MF]取最小值3+|=|,

此時A,M,%三點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，所以點(diǎn)加的縱坐標(biāo)為2,

代入拋物線方程可得M(2,2).

故答案為：(2,2)

舉一

練習(xí)11.(2023?上海虹口?華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)校考三模)已知尸是拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)，P是拋物線C

上一動點(diǎn)，Q是曲線Y+y2-8x-2y+16=0上一動點(diǎn)，則怛同+|PQ|的最小值為.

【答案】4

【分析】根據(jù)題意，過點(diǎn)尸作PA，/,垂足為A,過點(diǎn)垂足為A，根據(jù)拋物線的定義，轉(zhuǎn)化為

\PF\+\P^\PA\+\PM\-1,結(jié)合圖象，得到，當(dāng)且僅當(dāng)在一條直線上時，|尸司+|尸。|的最小值，即可求

解.

【詳解】由拋物線C：V=4x,可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸(1,0),準(zhǔn)線方程為/:x=-l,

又由曲線爐+y2-8x-2y+16=0,可化為(x-4)2+(y-l『=i,

可得圓心坐標(biāo)為M(4,l),半徑廠=1,

過點(diǎn)尸作垂足為A,過點(diǎn)M作垂足為4,交拋物線于:，如圖所示，

根據(jù)拋物線的定義，可得|PF|+|PQ|=|到+|P"|-1,

要使得|出+|尸加|取得最小值，只需使得點(diǎn)P與《重合，此時A與A重合,

即I期+WM9用聞+|甲圖=5,當(dāng)且僅當(dāng)M,用2,A在一條直線上時,

所以|尸川+盧魚的最小值為5-1=4.

故答案為：4.

練習(xí)12.（2022秋.河南焦作.高三統(tǒng)考期末）已知尸是拋物線y?=4x上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)尸到直線4：3x-4y+12=。

和/?:x+2=0的距離之和的最小值是（）

22

A.3B.4C.—D.6

5

【答案】B

【分析】先判斷直線4與拋物線的位置關(guān)系，過點(diǎn)尸作于點(diǎn)PNLI于點(diǎn)、N,連接尸尸，根據(jù)拋物線的

定義，得到網(wǎng)二附,推出|四+忸閭=|用+忸叫，結(jié)合圖形,可得M,P,尸共線時，|「耳+|尸網(wǎng)最小,進(jìn)而

可得出結(jié)果.

【詳解】由-八消去x得/一學(xué)y+16=0,

[3x-4y+12=03

因為=卜5）-4X16<0,所以方程y-^丫+16=0無解,

即直線小3戈-4丁+12=。與拋物線無交點(diǎn)；

過點(diǎn)尸作于點(diǎn)M,PNLI于點(diǎn)、N,記拋物線V=4x的焦點(diǎn)為產(chǎn)（1,0）,連接尸尸,

因為4：x+2=0點(diǎn)尸到直線4：x+2=0的距離為|PN|+1,/：x+1=0為拋物線丁=4尤的準(zhǔn)線，根據(jù)拋物的定義可得,

|叫4P耳,

則P到直線4和4的距離之和為1PM+1+|尸叫=|尸尸|++1,

若加，P,尸三點(diǎn)不共線，貝!J有附|+歸則邛M，

當(dāng)M,P,尸三點(diǎn)共線，且尸位于MF之間時，\PF\+\PM\=\FM\,

則|尸尸|+|尸河以尸必，

又“|=_^2M=3

所以歸M+歸叫=|PF|+歸叫+123+1=4,即所求距離和的最小值為4.

練習(xí)13.（2023?江蘇南通?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)p（得,九）是拋物線V=4x上的動點(diǎn)，貝I垃與+禺-％+1|的最小

值為

【答案】2-應(yīng)/-應(yīng)+2

［分析］根據(jù)已知條件將問題轉(zhuǎn)化為拋物線V=4x上的動點(diǎn)P（%九）到直線/：Ay+l=0和y軸的距離之和的最

小值，作出圖形，利用拋物線的定義及點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.

【詳解】由題可知，過拋物線丁=4X上的動點(diǎn)尸（4,幾）作直線l:x-y+l=0的垂線交直線于M,過點(diǎn)戶（X。,幾）作

y軸的垂線交y軸于Q,交準(zhǔn)線于G點(diǎn)，廠為拋物線焦點(diǎn),

所以X。+也］尹U=儼@+歸閭=|PG|+-1=|尸制+-1,

當(dāng)且僅當(dāng)足P、M三點(diǎn)共線時，|PQ|+|PM|有最小值,即|尸&+|9|=|尸尸|+|尸網(wǎng)-以詆|-1（此時|MF|為點(diǎn)F到

直線/的距離）,

所以網(wǎng)1,0）到直線/X-y+l=O的距離為眼巴=號=a,

所以4+"。藍(lán)=

所以V2x0+|%-%+1|=/］毛+1°"---->2-也.

所以0尤0+民一為+1|的最小值為2-夜.

故答案為：2-6

練習(xí)14.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)P為拋物線C：產(chǎn)=4》上的動點(diǎn)，A（2,4）關(guān)于尸的對稱點(diǎn)為8,記P到

直線x=-Lx=-3的距離分另1」4，d2,則4+4+|AB|的最小值為（）

A.2717+2B.2713+2

C.Vn+2D.713+717+2

【答案】A

【分析】根據(jù)題意得到dl+d2+\AB\=24+2+2|PA|=2（4+|PA|）+2,再利用拋物線的定義結(jié)合三角不等式求解.

【詳解】解：如圖，

因為4=4+2,且A（2,4）關(guān)于尸的對稱點(diǎn)為B,所以照|=|P8|,拋物線焦點(diǎn)”