2023屆高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)卷：離散型隨機(jī)變量（含解析）

2023屆高考數(shù)學(xué)三輪沖刺卷：離散型隨機(jī)變量

一、選擇題(共20小題；)

1.若隨機(jī)變量X的概率分布如下表所示，則表中α的值為()

X1234

111

P266ɑ

A1BC

??ΞIDl

2.已知某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量X描述1次試驗(yàn)成功的次數(shù)，則P(X=0)

等于()

A.0B.i11C.-2D.-

233

3.若隨機(jī)變量f~B(n,0.6),且E(f)=3,則P(f=l)的值是()

A.2×0.44B.2×0.4sC.3×0.44D.3×0.64

4.甲射擊時(shí)命中目標(biāo)的概率為0.75,乙射擊時(shí)命中目標(biāo)的概率為|,當(dāng)兩人同時(shí)射擊同一目標(biāo)時(shí)，

該目標(biāo)被擊中的概率為()

1Ii5

A.iB.1C.iiD.-

2126

5.在比賽中，如果運(yùn)動(dòng)員甲勝運(yùn)動(dòng)員乙的概率是|,那么在五次比賽中，運(yùn)動(dòng)員甲恰有三次獲勝的

概率是()

A.—B.史C,-D.空

243243243243

6.一個(gè)盒子里裝有相同大小的10個(gè)黑球，12個(gè)紅球，4個(gè)白球，從中任取2個(gè)，其中白球的個(gè)數(shù)

記為X,則下列概率等于嗎辱的是()

t26

A.P(O<X≤2)B.P(X≤1)

C.P(X=1)D.P(X=2)

7.一射手對(duì)靶射擊，直到第一次命中為止每次命中的概率為0.6,現(xiàn)有4顆子彈，命中后的剩余子

彈數(shù)目f的期望為()

A.2.44B.3.376C.2.376D.2.4

8.在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A恰好發(fā)生1次的概率不大于其恰好發(fā)生兩次的概率，則事件

4在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率P的取值范圍是()

A.[0.4,1]B.(0,0.4]C.(0,0.6]D.[0.6,1]

9.設(shè)隨機(jī)變量f的分布列為PG=i)=αQ',i=1,2,3,則實(shí)數(shù)ɑ的值為()

10.一袋中有5個(gè)白球，3個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個(gè)記下顏色后放回，直到紅球出

現(xiàn)10次時(shí)停止，設(shè)停止時(shí)共取了X次球，則P(X=I2)等于()

A"暗"GYB??G)902C-??9O2

11.已知隨機(jī)變量f,V滿足4=-2t+5,若EC)=3,D(ξ)=2,則(

A.E(η)y=-1,Ds)=8B.E(τj)=-1,D(η)=-4

CES)=3De)=2D.E(z∕)=-3,DS)=I

12.在一組樣本數(shù)據(jù)中，1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為pi，P2,P3,P4,且∑f=IPi=1，則下面四

種情形中，對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是()

A.Pl=P4=0.1,p2=p?=0.4B.Pl=P4=0.4jP2=P3=θ?i

C.Pl—pq=0.2,P2=p?=0?3D.Pl—?P4=0.3,P2=P3=0,2

13.一射手對(duì)靶射擊，直到第一次命中為止,每次命中的概率都為0.6,現(xiàn)有4顆子彈，則射擊停止

后剩余子彈的數(shù)目X的均值為()

A.2.44B.3.376C.2.376D.2.4

14.某群體中每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p,各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)X為該群體10

位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，D(X)=2.4,P(X=4)<P(X=6),則P=()

A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3

15.現(xiàn)有語(yǔ)文、數(shù)學(xué)課本共7本(其中語(yǔ)文課本不少于2本)，從中任取2本，至多有1本語(yǔ)文課

本的概率是會(huì)則語(yǔ)文課本的本數(shù)為()

A.2本B.3本C.4本D.5本

16.某人進(jìn)行一項(xiàng)試驗(yàn)，若試驗(yàn)成功，則停止試驗(yàn)；若試驗(yàn)失敗，則再重新試驗(yàn)一次；若試驗(yàn)3次

均失敗，則放棄試驗(yàn)，若此人每次試驗(yàn)成功的概率為|,則此人試驗(yàn)次數(shù)S的數(shù)學(xué)期望是()

BTc?l

17.函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，在區(qū)間［α,b］上可找到n(n≥2且n6N)個(gè)不同的數(shù)X］,X2,

,則九的取值范圍是()

C.{3,4,5}D.{2,3}

18.己知a1b,C為實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量X,丫的分布列如下：

X-1O1

111

P

326

Y-1O1

Pabc

若E(Y)=P(Y=-I),隨機(jī)變量Z滿足Z=XY,其中隨機(jī)變量X,y相互獨(dú)立，則E(Z)的取值范

圍是()

A?FJ-1B?[-^°c?[?1lD?M

19.在下列各函數(shù)中，最小值等于2的函數(shù)是()

A.y=%+?B.y=cos%+—(0<%<-)

/％JCosx\2/

J=瓷D.y=e'+:2

20.某地一條主于道上有46盞路燈，相鄰兩盞路燈之間間隔30米，有關(guān)部門想在所有相鄰路燈間

都新添一盞，假設(shè)工人每次在兩盞燈之間添新路燈是隨機(jī)，并且每次添新路燈相互獨(dú)立.新添

路燈與左右相鄰路燈的間隔都不小于10米是符合要求的，記符合要求的新添路燈數(shù)量為〈，則

。(<)=()

A.30B.15C.10D.5

二、填空題(共5小題；)

21.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為

XoI234

P0.20.10.10.30.3

若離散型隨機(jī)變量y滿足y=2x+ι,則E(y)=；o(y)=.

22.設(shè)3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率相等，若已知A至少發(fā)生一次的概率等于則事

件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是.

23.籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分.已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7,

則他連續(xù)罰球3次，得到的分?jǐn)?shù)X的期望為.

24.設(shè)離散型隨機(jī)變量S的可能取值為1,2,3,4,PG=k)=αk+b(k=l,2,3,4),又f的數(shù)學(xué)

期望E(f)=3,則α+b=.

25.一個(gè)盒子里有1個(gè)紅1個(gè)綠2個(gè)黃四個(gè)相同的球，每次拿一個(gè)，不放回，拿出紅球即停，設(shè)拿

出黃球的個(gè)數(shù)為f,則P(f=0)=；EG)=.

三、解答題(共5小題；)

26.某科研團(tuán)隊(duì)研發(fā)了一款快速檢測(cè)某種疾病的試劑盒.為了解該試劑盒檢測(cè)的準(zhǔn)確性，質(zhì)檢部門

從某地區(qū)(人數(shù)眾多)隨機(jī)選取了80位患者和100位非患者，用該試劑盒分別對(duì)他們進(jìn)行檢測(cè),

結(jié)果如下：

患者的檢測(cè)結(jié)果人數(shù)

陽(yáng)性76

陰性4

非患者的檢測(cè)結(jié)果人數(shù)

陽(yáng)性1

陰性99

(1)從該地區(qū)患者中隨機(jī)選取一人，對(duì)其檢測(cè)一次，估計(jì)此患者檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性的概率;

(2)從該地區(qū)患者中隨機(jī)選取3人，各檢測(cè)一次，假設(shè)每位患者的檢測(cè)結(jié)果相互獨(dú)立，以X表

示檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性的患者人數(shù)，利用(I)中所得概率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）假設(shè)該地區(qū)有10萬(wàn)人，患病率為0.01.從該地區(qū)隨機(jī)選取一人，用該試劑盒對(duì)其檢測(cè)一

次.若檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，能否判斷此人患該疾病的概率超過(guò)0.5?并說(shuō)明理由

27.某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100

位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如表所示.

一次購(gòu)物量/件1~45~89~1213~16≥17

顧客數(shù)/人X3025y10

結(jié)算時(shí)間/（分鐘/人）11.522.53

已知這100位顧客中一次購(gòu)物量超過(guò)8件的顧客占55%.

（1）確定X,y的值，并求顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

（2）若某顧客到達(dá)收銀臺(tái)時(shí)前面恰有2位顧客需結(jié)算，且各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立，求該顧客結(jié)

算前的等候時(shí)間不超過(guò)2.5分鐘的概率（注：將頻率視為概率）.

28.4B兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康復(fù)時(shí)間（單位：天）記錄如下：

4組：10,11,12,13,14,15,16

B組：12,13,15,16,17,14,a

假設(shè)所有病人的康復(fù)時(shí)間互相獨(dú)立，從A,B兩組隨幾各選1人，4組選出的人記為甲，B組選

出的人記為乙.

（1）求甲的康復(fù)時(shí)間不少于14天的概率.

（2）如果α=25,求甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長(zhǎng)的概率.

（3）當(dāng)α為何值時(shí)，A,B兩組病人康復(fù)時(shí)間的方差相等？（結(jié)論不要求證明）

29.已知某種動(dòng)物服用某種特藥一次后當(dāng)天出現(xiàn)A癥狀的概率為（為了研究連續(xù)服用該藥物后出現(xiàn)

A癥狀的情況，做藥物試驗(yàn).試驗(yàn)設(shè)計(jì)為每天用藥一次，連續(xù)用藥四天為一個(gè)用藥周期.假設(shè)

每次用藥后當(dāng)天是否出現(xiàn)A癥狀與上次用藥無(wú)關(guān).

（1）如果出現(xiàn)A癥狀即停止試驗(yàn)，求試驗(yàn)至多持續(xù)一個(gè)用藥周期的概率；

（2）如果在一個(gè)用藥周期內(nèi)出現(xiàn)3次或4次A癥狀，則這個(gè)用藥周期結(jié)束后終止試驗(yàn)，試驗(yàn)至

多持續(xù)兩個(gè)周期.設(shè)藥物試驗(yàn)持續(xù)的用藥周期數(shù)為心求4的期望.

30.從甲地到乙地要經(jīng)過(guò)3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概

率分別為J,^>

234

（1）設(shè)X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率.

答案

1.D

2.C【解析】“X=0”表示試驗(yàn)失敗，“X=l”表示試驗(yàn)成功.設(shè)失敗率為p,則成功率為2p,則

p+2p=1,得P=/

3.C【解析】利用二項(xiàng)分布期望公式求得n=5,利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式：P(f=1)=Cl×

0.44×0.61可求.

4.C【解析】所求概率P=I-(I-==

\3/4312

5.B

【解析】根據(jù)每次比賽中，運(yùn)動(dòng)員甲勝運(yùn)動(dòng)員乙的概率是|,故在五次比賽中，運(yùn)動(dòng)員甲恰有三次獲勝

的概率是CMIy(I一|)2=果

6.B【解析】本題相當(dāng)于至多取出1個(gè)白球的概率，即取到1個(gè)白球或沒(méi)有取到白球的概率.

7.C【解析】由題意知f=0,1,2,3,

因?yàn)楫?dāng)f=0時(shí)，表示前三次都沒(méi)射中，第四次還要射擊，但結(jié)果不計(jì)，

所以P(f=0)=0.43,

因?yàn)楫?dāng)§=1時(shí)，表示前兩次都沒(méi)射中，第三次射中，

所以P(f=I)=O.6X0.42,

因?yàn)楫?dāng)f=2時(shí)，表示第一次沒(méi)射中，第二次射中，

所以P(f=2)=0.6x0.4,

因?yàn)楫?dāng)f=3時(shí)，表示第一次射中，

所以P(f=3)=0.6,

所以Ef=2.376.

8.A【解析】設(shè)事件4發(fā)生的概率為p,則C和(I—p)3≤田p2(i-p)2,解得p≥0.4.

9.D【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量本的分布列為PG=D=ɑG)',i=1,2,3,

所以*+S+(護(hù)=L解得。=高

10.D

【解析】“X=12”表示第12次取到紅球，前11次有9次取到紅球，2次取到白球，

因此P(X=I2)=沁GyGy=咯鏟針.

H.A【解析】因?yàn)?7=—2f+5,所以Es)=-2E(f)+5,DS)=(-2ADG),

又E(f)=3,0(f)=2,所以Ee)=—LDS)=8.

12.B【解析】E(%)=1×0.1+2×0.4+3×0.4+4×0,1=2.5,所以

22

O(X)=(1-2.5)2×0.1+(2-2.5)2X04+(3-2.5)X0.4+(4-2.5)X0.1

=0.65;

同理選項(xiàng)B：E(X)=2.5,DOC)=1.85；

選項(xiàng)C：E(x)=2.5,D(x)=1.05；

選項(xiàng)D：EQ)=2.5,D(x)=1.45.

13.C

14.B【解析】某群體中每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p,可看做是獨(dú)立重復(fù)事件，該群體10

位成員的支付情況滿足X~B(10,p),

H中[D(X)=2.4,PoP(I-P)=2.4,

4664

'、TIP(X=4)<P(X=6)?(1-p)<Cf0p(l-p),

解得p=0.4或0.6,且p>0.5,故p=0.6.

15.C

【解析】設(shè)語(yǔ)文課本有m本，任取2本書中的語(yǔ)文課本數(shù)為X,

則X服從參數(shù)為N=7,M=m,n=2的超幾何分布，

其中X的所有可能取值為0,1,2,

pk「2-k

且P(X=Ii)=??≡(fc=0,1,2).

C7

由題意，得

P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)

「「

_u0mu27-mIpcrlnrv-?7l-m

1(7-τn)(6-m)m(7-m)

=-X---------------t1----------

22121

5

=—

7°

所以m2—m—12=0,

解得m=4或?n=-3.

即7本書中語(yǔ)文課本有4本.

16.B【解析】試驗(yàn)次數(shù)f的可能取值為1,2,3,

p(f=I)=2,P(ξ=2)^-×'-=~,P(ξ=3)=-×-×(-+^?-.

73V>7339V)733\33/9

所以，的分布列為

ξ123

221

P———

399

所以E(f)=lx|+2x|+3x；學(xué)

17.B【解析】設(shè)3=3=…=3=k,則y=f(x)的圖象與直線y=kx的交點(diǎn)的坐標(biāo)滿足

xlx2xn

題中等式.由題圖易知交點(diǎn)可以有。個(gè)，1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)或4個(gè)，又J1≥2且neN,故n的取值可

以是2,3,4.

18.B【解析】由已知得，fi,(r)=c-α,P(y=-l)=α,

所以c—α=α,即c=2α,

又α+b+c=l,故b=1—α—c=1-3α6[0,1],

所以αe[θ尚，

隨機(jī)變量Z的可能取值為-1,0,1,

i

p(Z=-l)=ic+α=-α,

366

P(Z=0)=∣b÷∣b+∣b+∣(α÷c)=1-∣Q,

P(Z=I)=XQ+*C=2Q,

κ7363

可得隨機(jī)變量Z的分布列為

Z-IO1

532

P-a1--a-a

623

所以E(Z)=—?Q+∣Q=—?ɑ∈[―?,θl.

O?OLIoJ

19.D【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)％<O時(shí)，A顯然不滿足條件；

選項(xiàng)B：y=cos%+—^—≥2,當(dāng)COSX=I時(shí)取等號(hào)，

COSX

當(dāng)O<%<T時(shí)，COSxH1,B顯然不滿足條件；

對(duì)于C:不能保證√≡E=*,故錯(cuò)；

√x2+2

對(duì)于D：因?yàn)閑x>θ,所以D+三一2≥2限二一2=2,

exy∣ex

故只有D滿足條件.

20.C

【解析】因?yàn)楣と嗣看卧趦杀K燈之間添新路燈是隨機(jī)，并且每次添新路燈相互獨(dú)立，

所以符合要求的新添路燈數(shù)量為<服從二項(xiàng)分布，

因?yàn)橄噜弮杀K路燈之間間隔30米，且新添路燈與左右相鄰路燈的間隔都不小于10米是符合要求的,

所以每次添路燈符合要求的概率PW

由題可知要添路燈45盞路燈，則《~B(45,

所以￡)?)=np(l-p)=45X：X(1-§=10.

21.5.8,8.96

22.-

3

23.2.1

24.—

10

25.?1

3

【解析】因?yàn)閒=O對(duì)應(yīng)事件為第一次拿紅球或第一次拿綠球，第二次拿紅球,

所以PG=O)=：+"3號(hào).

隨機(jī)變量f=0,1,2,

C“V、21,211,1211

P(W=1)=—X—I—×—×—I—X—X—=—,

7434324323

P(f=2)=1—三一三=3

所以E(f)=0×∣+l×∣+2×i=1.

26.(1)由題意知，80位患者中有76位用該試劑盒檢測(cè)一次，結(jié)果為陽(yáng)性.

所以從該地區(qū)患者中隨機(jī)選取一位，用該試劑盒檢測(cè)一次，結(jié)果為陽(yáng)性的概率估計(jì)為9=W

8020

(2)由題意可知X—B(n,p),其中九=3,P=奈

X的所有可能的取值為0,L2,3.

/I?0

/

P(X=O)=C弘第°X(-)

?√8OOO

210

/-257

P(X=I)=C哨1X(

?2108OO0

-

1

/2101O83

P(X=2)=Cf匿)2X(-

X08OO0

20

/\6859

3/

P(X=3)=CQX()

\/8OO0

所以X的分布列為

X0123

P---------------------------------

8000800080008000

故X的數(shù)學(xué)期望E(X)=np=j?.

(3)此人患該疾病的概率未超過(guò)0.5,理由如下：

由題意得，如果該地區(qū)所有人用該試劑盒檢測(cè)一次，那么結(jié)果為陽(yáng)性的人數(shù)為99000X*+IOOOX

100

1^=990+950=1940,其中患者人數(shù)為950.

若某人檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，那么他患該疾病的概率為需<翟=0.5,

19401940

所以此人患該疾病的概率未超過(guò)0.5.

27.(1)由己知得25+y+10=55,%+30=45,所以X=I5,y=20.

該超市所有顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體，所收集的100位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間可視為

總體的一個(gè)容量為100的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，將頻率視為概率得P(X=I)=蕓=5,P(X=I.5)=器=

?,p(x=2)=至=?,P(X=2.5)=-=-fP(X=3)=—=

10k71004k71005kj10010

X的分布列如表所示.

XlI.522.53

33111%

p一_______

20104510

的數(shù)學(xué)期望為E(X)=l×^-÷1.5×?+2×i+2.5×i+3×-i-=1.9.

/UXUT,OJLlU

(2)記4為事件“該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過(guò)2.5分鐘“，Xi(i=1,2)為該顧客前面第i位顧

士山人田仆rr,P(4)=P(XI=I且X2=1)+P(Xl=I且X2=1?5)

客的結(jié)算時(shí)間，貝IJ:12<v,

+P(X1=1.5且X2=1).

由于各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立，且Xi，X2的分布列都與X的分布列相同，所以

P(A)=P(XI=1)×P(X2=1)+P(Xl=1)×P(X2=1.5)

+P(Xι=1.5)×P(X2=1)

=A×ΛxΛ×A+Λ×±

202020101020

9

-80,

故該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過(guò)分鐘的概率為

2.5OU

28.(1)設(shè)“甲康復(fù)的時(shí)間不少于14天”為事件從

由“從4,B兩組隨機(jī)地各選1人”，可認(rèn)為基本事件數(shù)為7X7=49,其中滿足“甲康復(fù)的時(shí)間不少于

14天”的基本事件數(shù)為3x7=21,所以P(A)=g^=∣.

(2)設(shè)事件4為“甲是4組第i個(gè)人"，事件Bi為“乙是B組第i個(gè)人"，i=l,2,???,7.

由題知，當(dāng)甲是從4組中康復(fù)時(shí)間為10,11兩人中選或乙是從B組中康復(fù)時(shí)間為17,25兩人中選時(shí),

必不滿足“甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長(zhǎng)故甲是從A組中康復(fù)時(shí)間為12,13,14,15,16五人

中選取，且乙是從B組中康復(fù)時(shí)間為12,13,14,15,16五人中選取，

可認(rèn)為基本事件數(shù)為5×5=25,其中滿足“甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長(zhǎng)”的基本事件數(shù)為10.

設(shè)事件C為“甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長(zhǎng)”，因此P(C)=^×∣×g=g.

(3)α=11或18；

29.(1)方法一：設(shè)持續(xù)i天為事件4,i=1,2,3,4,

用藥持續(xù)最多一個(gè)周