湘豫名校聯(lián)考2024屆高三年級(jí)上冊(cè)一輪復(fù)習(xí)診斷12月考試數(shù)學(xué)試題

姓名____________

準(zhǔn)考證號(hào)____________

絕密★啟用前

湘豫名校聯(lián)考

2023年12月高三一輪復(fù)習(xí)診斷考試（三）

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.本試卷共6頁(yè)。時(shí)間120分鐘，滿分150分。答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證

號(hào)填寫在試卷指定位置，并將姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，然

后認(rèn)真核對(duì)條形碼上的信息，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。作答非選擇題時(shí)，將答案

寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并收回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.集合乂={無(wú)￡2|無(wú)（1-2）=8},卜乂={1,0},則MUN=

A.{1,0}B.{-2,4}C,{-2,0,1,4}D.無(wú)法確定

9

2.設(shè)復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)為5，若1+藥=2z+3i,則:=

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

3.已知是兩條不同的直線,a4是兩個(gè)不同的平面，若則WB

是a_L6的

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知橢圓C=+4=1（。>6>0）的離心率為］，若經(jīng)過(guò)橢圓C的上頂點(diǎn)和

abZ

右頂點(diǎn)的直線2經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4,一"）,則橢圓。的短軸長(zhǎng)為

A.#B.2C.273D.4

數(shù)學(xué)試題第1頁(yè)（共6頁(yè)）

5.已知向量a,b滿足|a|=|b|=3,且2a+b=（3,4），則cos〈a,b〉=

A.gB.yC.-yD-

6.已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,NBCD=60°,若該菱形以AB為軸旋轉(zhuǎn)一周,

則所形成的幾何體的體積為

A.4乃nB.6兀C77rD.87r

7.已知函數(shù)/（公為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)0<1&1時(shí),/（2）=5；當(dāng)x>l

時(shí)，2）=H（z—2）,則猾）=

A.-24B.-12C—1QD.-fQ

10O

:=

8.已知數(shù)列｛〃〃｝滿足：“1：牝：。3=4：32,且牝=若V9pdn-qa〃-i

2（夕，qGR）恒成立，則a6+ag+aio=

9

A.-24B.-6C.D.-4

Lt

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得

0分.

9.已知角a終邊上一點(diǎn)P（花，點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是

A._710口（,7r^710-375'

A.sina----B.cos=-------

bI3J10

C.若tan2a+而a=0,則a=2D.2a屬于第二象限角

10.雙曲線C捺一方=1（4°/>°）的一條漸近線方程為廣一2處半焦距為

c,則下列論述錯(cuò)誤的是

A.雙曲線C的離心率為3

B.頂點(diǎn)到漸近線的距離與焦點(diǎn)到漸近線的距離之比為西

C.直線y=z+l與雙曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)

D.過(guò)點(diǎn)（c,乃6）有兩條直線與雙曲線。相切

數(shù)學(xué)試題第2頁(yè)（共6頁(yè)）

11.黎曼函數(shù)（Riemannfunction）是一個(gè)特殊的函數(shù)，由德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)現(xiàn)并

"甘」…、口」九=2,0，461^*,2為既約真分?jǐn)?shù)，,、、

提出，其基本定義是：R（K）=qqq（汪：

.0,2=0,1或（0,1）上的無(wú)理數(shù)

分子與分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)，稱為既約分?jǐn)?shù)），則下列結(jié)論正確的是

AR圖T

B.黎曼函數(shù)的定義域?yàn)閇0,1]

C.黎曼函數(shù)的最大值為得

LJ

D.若了（1）是奇函數(shù)，且/（I—幻=/（幻，當(dāng)1￡[0,□時(shí)，/（G=K（i）,則

/|^yj+/（732+6）=y

12.已知三棱錐S—ABC,則下列論述正確的是

A.若點(diǎn)S在平面ABC內(nèi)的射影點(diǎn)為△ABC的外心，則SA=^SB=SC

B.若點(diǎn)S在平面ABC內(nèi)的射影點(diǎn)為A,則平面SBC與平面ABC所成角

的余弦值為言跑

C.若NBAC=90°,點(diǎn)S在平面ABC內(nèi)的射影點(diǎn)為BC的中點(diǎn)H,則S,A,

B,C四點(diǎn)一定在以H為球心的球面上

D.若NBAC=90°,S,A,B,C四點(diǎn)在以BC的中點(diǎn)H為球心的球面上，且

S在平面ABC內(nèi)的射影點(diǎn)的軌跡為線段BC（不包含B,C兩點(diǎn)），則點(diǎn)S

在球H的球面上的軌跡為圓

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若aC（0,2）,6G（l,4）,且a+6=4,則（a+2）（6—1）的最大值為.

J2

14.已知圓G：/十丁一2a^+46?+4=0,則直線ax—2by+2=0與圓C2：:+

y=i的位置關(guān)系是.

15.若函數(shù)/（6=25由（3+內(nèi)（”>0）在2=期處取得最大值，且/（幻的圖象

乙

在（0,/）上有4個(gè)對(duì)稱中心，則3的取值范圍為.

16.若函數(shù)/（比）=sinicos2久，2G-，則函數(shù)/（比）的極小值

為.

數(shù)學(xué)試題第3頁(yè)（共6頁(yè)）

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算

步驟.

17.(本小題滿分10分)

一建筑物CE垂直聳立于△ABC所在的水平面，如圖，在觀測(cè)點(diǎn)B處測(cè)得

頂點(diǎn)E的仰角(視線與水平線的夾角)為60°,在觀測(cè)點(diǎn)。處測(cè)得頂點(diǎn)E的

仰角為30°,AD1平面ABC.

(1)若AD=100,NDBE=NBE)E,求建筑物CE的高；

(2)若AD=警,NABD=45°,求cos/ACB的值.

18.(本小題滿分12分)

如圖甲，在直角梯形ABCD中，CD/AB,AD，AB,2CD=2AD=AB,

△ABE是等邊三角形.現(xiàn)將梯形ABCD沿AB折起至梯形AEC'D)使平

面ABCD'與平面ABE所成二面角為直二面角，如圖乙所示.

(1)證明：AB_LC'E；

(2)求平面BC'E與平面AD'E'夾角的余弦值.

甲乙

數(shù)學(xué)試題第4頁(yè)(共6頁(yè))

19.(本小題滿分12分)

設(shè)數(shù)列｛九而｝的前n項(xiàng)和為S,,，數(shù)列｛S,J是遞增的等比數(shù)列，且&+S8=

10,S3,Su=16.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列出的前〃項(xiàng)和入

20.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(i)=alnx~x2.

(1)若/(1)在(8,+8)上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)Q的取值范圍；

升__七12X4X6X???義2口/過(guò)《2(+1)uiv

(2)右■a=2,求證：InI><3X5X…X(2附一1)<2，九*'

教學(xué)試題第5,頁(yè)《共:6；頁(yè))

21.(本小題滿分12分)

已知直線Zi"z相交于點(diǎn)一晉)，且分別與拋物線。：X2=22八力＞0)

相切于A3,g),B(亞,北)兩點(diǎn),AD±BD.

(1)求拋物線C的方程；

(2)過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F的直線Z3,4分別與拋物線C相交于點(diǎn)P,Q，M,

N,直線石兒的斜率分別為q，跖,，且也十島=0,若四邊形PMQN的

面積為2,求直線Z3,/4夾角的大小.

22.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)2aln2,aGR.

(1)若a=e,求/(2)的最小值;

(2)若aG(0,3e2],且關(guān)于a的方程/(a)=Aa有實(shí)數(shù)根，6的最小值為S,

證明：SG(4—21n2,5—21n2).

數(shù)學(xué)試題第6頁(yè)(共6頁(yè))

湘豫名校聯(lián)考

2023年12月高三一輪復(fù)習(xí)診斷考試（三）

數(shù)學(xué)參考答案

題號(hào)123456789101112

答案CAACDBDCBCDABDBCAB

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1c【命題意圖】本題考查集合的并集、補(bǔ)集運(yùn)算，解方程，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

【解析】由題易得”={-2,4},又CNM={1,0},所以MUN,N={-2,0,1,4}.所以M|JN=N.故選C.

2.A【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、復(fù)數(shù)相等，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

【解析】設(shè)2=。+/（a,6CR）,則z~a—bi.因?yàn)閘+w=2z+3i,所以1+a—6i=2a+（26+3）i.易得

u+1==2a,(a==1922(l+i)

解得所以z=l-i.所以上■=l+i.故選A.

-6=26+3,16=-1,%(l-i)(l+i)

3.A【命題意圖】本題考查線面位置關(guān)系，充分、必要條件，考查邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng).

【解析】若a//￡,a〃a,6j_￡,則反之，若aj_6,a〃a,b_\_/3,則a〃0或aPl0.所以a〃0是a的充分不必

要條件.故選A.

4.C【命題意圖】本題考查橢圓的方程及相關(guān)概念、直線的方程，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng).

【解析】因?yàn)閑=攵■，所以=26.由題意知直線I的方程為——+-7-=1,即bx+ay—=0,所以

ab

用久事23一展a=0.因?yàn)橹本€I經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4,一JT）,所以聲X4+2XC—，^）—JTa=0,解得a=2.所以聲義2=

24所以6=，？，所以橢圓C的短軸長(zhǎng)為26=273.故選C.

5.D【命題意圖】本題考查向量的模、數(shù)量積運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

【解析】因?yàn)閨2a+"='32+42=5,等式兩邊平方得4|a|2+|t|z+4|a|?防|85〈。，6〉=25,又|。|=出|=

3,所以4X9+9+4X3X3cos〈a,6〉=25,解得cos<a,fe>=-y.故選D.

6.B【命題意圖】本題考查旋轉(zhuǎn)幾何體、圓柱的體積，考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)B作CD的垂線，交CD于點(diǎn)E,將直角△BCE剪去，并補(bǔ)到點(diǎn)

A處，使BC與AD重合，則組成邊長(zhǎng)分別為2,傷的矩形.旋轉(zhuǎn)所得幾何體為圓

柱，其底面圓的半徑為高為2,所以該幾何體的體積為TTX（V3）2X2=6TT.故

選B.

7.D【命題意圖】本題考查函數(shù)的求值、周期性，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心

素養(yǎng).

【解析】/（￥）=曲（1―2）=和（號(hào)-2）=—2）=—Xf（一'）.因?yàn)榘硕。槠婧瘮?shù)，所以

/（_十）=_八上）=_3,所以/支）=+*（_3）=_卷.故選口.

8.C【命題意圖】本題考查恒成立問(wèn)題、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

數(shù)學(xué)參考答案第1頁(yè)（共8頁(yè)）

31IPa2—qaI=2,

：

【解析】因?yàn)?：即々3=4：3：2,所以〃2=丁%,a3=-r-a1.因?yàn)樗詙化簡(jiǎn)

4乙pa~qa=2,

z2工pa\-彳gm=2,

9919

得力=如且力，q不為0.所以an—an-\=工，所以數(shù)列｛a〃｝是等差數(shù)列.因?yàn)轫ザ一77=方一;■，所以田=

PP乙P

4114214

2a3—1—.因?yàn)椤?=虧，所以-1——+3X—,解得力=—4,即公差d=—3■.所以m=1——-=2.所

p乙乙ppZ一4

以a^=a\+7c/=2+7X（一）——，所以沏+恁+a］o=3々8=3x（一）——故選C..

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.BCD【命題意圖】本題考查三角函數(shù)的定義，正、余弦的和角公式，正切的倍角公式，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心

素養(yǎng).

【解析】由題易知廠=〃（&V+=遂■，所以sina=g=^￡,A錯(cuò)誤；因?yàn)閏osa=g=4^,所以

V55A/55

cos（a+—）=cosQCOS——sinasm—=---X———--X—=--------,B正確；因?yàn)閠ana=—=

v3733525210

依2X啰

華，所以tan2a=----尸二=一刃石，所以一2#+同a=0,解得a=2,C正確；因?yàn)閍屬于第一象限角，所以

2后穴＜。＜夕+2后"，A￡Z,所以44兀＜2。＜式十4日"GZ,且tan2a——2v份＜0，即2Q屬于第二象限角，D正確.

故選BCD.

10.ABD【命題意圖】本題考查雙曲線的方程及性質(zhì)、直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核

心素養(yǎng).

【解析】由題易得《=2,所以e=Jl+（^y=A錯(cuò)誤；根據(jù)三角形的相似性，知頂點(diǎn)到漸近

線的距離與焦點(diǎn)到漸近線的距離之比為-，&=°=卓，B錯(cuò)誤；因?yàn)橹本€、=2①+1與漸近線，=2①平

cce5

行，所以直線y=2z+l與雙曲線C的左支僅有1個(gè)交點(diǎn)，與右支沒(méi)有交點(diǎn).又直線，=丁+1與直線y=

2^+1都過(guò)點(diǎn)（0,1）,且直線＞=^+1的傾斜角比直線？=2z十1的傾斜角小，結(jié)合圖形可知，直線》=Z十1

2072

與雙曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，C正確；因?yàn)榱σ皇?5—3=2＞1,所以點(diǎn)（c,①6）位于雙曲線C右支的右

側(cè)位置，顯然過(guò)點(diǎn)（c,Jl6）的直線不可能與雙曲線C相切，D錯(cuò)誤.故選ABD.

11.BC【命題意圖】本題考查新概念、數(shù)學(xué)文化、函數(shù)的性質(zhì)，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

【解析】R（/）=R（卷）=:,A錯(cuò)誤.因?yàn)椤癵GN*,且是既約真分?jǐn)?shù)，H=看，0,1或（0,1）上的無(wú)理數(shù)，

所以黎曼函數(shù)的定義域?yàn)椋?,l］，B正確.又p,qCN*,且為既約真分?jǐn)?shù)，所以上的最大值為4，C正確.因

q＜72

為/（1一"u/Xx）,所以/（—1）=/（Z+1）,所以/（一1—1）=/（1+2）.因?yàn)閒（%）是奇函數(shù)，所以/（一1一1）=

一/（無(wú)+1）=—/（-2）=/（①），所以/（2）=/殳+2）,即/（①）是以2為周期的周期函數(shù)"（三）=/（18一4）=

數(shù)學(xué)參考答案第2頁(yè)（共8頁(yè)）

/（一春）=_/（9）=一卷，/■（@+6）="4回=_6）=_/（6_4?=0,所以/'修）+

/（V/32+6）=一卷,D錯(cuò)誤.故選BC.

12.AB【命題意圖】本題考查立體幾何中的線面位置關(guān)系、二面角、軌跡問(wèn)題、球體，考查直觀想象、邏輯推理、

數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

【解析】設(shè)△ABC的外心為點(diǎn)O,則0A=OB=OC,所以RtZ\SOA9RtZ\SOB9RtZSSOC,所以SA=SB=

SC,A正確；過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線AT,交BC于點(diǎn)T,連接ST,則STJ_BC,所以/ATS是平面SBC與平面

AT4-AT.BC

ABC所成角的平面角，則cosZATS=f4=3---------=衿些，B正確；因?yàn)閆BAC=90°,H是BC的中

yST-BCSasbc

點(diǎn)，所以HC=HB=HA,但HS=HA不一定成立，C錯(cuò)誤；依題知點(diǎn)S的軌跡是以零為半徑的圓，且不包

括B,C兩點(diǎn)，D錯(cuò)誤.故選AB.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.Y【命題意圖】本題考查基本不等式，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

［解析］析+2）?―1）4.+2）”（6—1）［2=\+:+1）2=苧，當(dāng)且僅當(dāng)0=1_"=孑時(shí)等號(hào)成立.

J乙」'乙，4乙乙

14.相交【命題意圖】本題考查圓與直線的方程、直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

【解析】因?yàn)椋ǘ∫弧埃?+（，+26）2=/+462—4表示圓C,的方程，所以.2+4〃一4>0,即a2+462>4.因?yàn)?/p>

-/L==,__?=所以直線a_r—2〃y+2=0與圓C2：J:2+>2=1相交.

4^+支2

15.（3,5］【命題意圖】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

【解析】依題知2sm（竿+a）=2,所以等+3=受+2版小CZ,解得火=—%+￡+2日#CZ,所以于⑺=

'乙/乙乙乙乙

2sin（ozr—器+9+2氏n）=2cos3（1—.因?yàn)?>0,所以當(dāng)文￡（0,冗）時(shí)，儂（1—）G（一塔，岬）.依

題知與〈詈〈浮解得3VS&5.

16.一當(dāng)【命題意圖】本題考查三角恒等變換、導(dǎo)函數(shù)、極值，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

【解析】f（z）=sinx（.1—2sin2j：）=-2sin3sin無(wú)，設(shè)Z=sinx,因?yàn)閦C［企，$］,所以—1,1］令

g（r）=-2z3+t,tG］—1,□，所以g'Q）=-6/+1.令g'（t）=0,則t=呼或一恪.因?yàn)樵?/p>

（―1,—g）上g'G）<。，在（一上g'C）>0,在（g,l）上g'GXO,所以gC）在（一1,—g）上單

調(diào)遞減，在（一恪,勺）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以gG）的極小值為g（—g）=-2X

（—絡(luò)）,—胃=器—g=一洛'即八支）的極小值為一手.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.【命題意圖】本題考查解三角形，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

數(shù)學(xué)參考答案第3頁(yè)（共8頁(yè)）

Xx273

【解析】（1）設(shè)CE=x,則BE=sinZEBC=sin60°==①'

o-AO

但索"(iO).2分

因?yàn)镹DEE=NBDE,所以DE=BE.

所以哈尤=2（丁一100）,

解得z=15O+5O#,即CE=150+5(\/3.5分

rpCF

(2)由(1)設(shè)CE=z，因?yàn)锳D=受，NABD=45°,所以AD=AB=費(fèi).

x

因?yàn)锽C=x,AC=8分

tan/EBCtan60°32tan30o=T'r,

所以由余弦定理得

32I1212

AC2+BC2~AB2工廠+至”—工廠5

cosZACB=示7~—.....=-------------------------=-T-.10分

2ACBC

-9VV3VV36

乙0

18.【命題意圖】本題考查空間幾何體的線面位置關(guān)系、平面與平面的夾角問(wèn)題，考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)

運(yùn)算的核心素養(yǎng).

【解析】（D取AB的中點(diǎn)O,連接C'O,OE.

因?yàn)镃'D'〃AB,2C'D'=BA,所以C'D'=OA,

所以四邊形AOC'D'是平行四邊形.

所以C'O〃D'A.

因?yàn)锳Df±AO,

所以C'O^AO,即C'OLAB............................................................................................

因?yàn)椤鰽BE是等邊三角形，所以O(shè)EJ_AB.

因?yàn)閏/onoE=o,

所以AB_L平面C'OE.

所以ABJ_C'E...............................................................................................................................................................6分

(2)以點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O—xyz,

不妨設(shè)C'D'=1,則ADr=OB=OA=1,OE=43.

所以A(-l,0,0),B(l,0,0),C，(0,0,l),D/(-l,0,l),E(0，V3,0).

所以於=(一1,0,1),或=(-1,西，0),48=(0,0,1),4方=(1,，1,0).

設(shè)平面BC'E的法向量為鼠=(Z1,?1,Z1),

(n,BC*=0,f—■無(wú)1+,=0,

則f即V廣

n,BE=0,l—zi+V^\yi=0.

令?=聲，則Zi=翼=1,

所以平面BC'E的一個(gè)法向量為“=（用,1,.8分

設(shè)平面AD'E的法向量為m={xz,y2,zz),

Im-AE=0,(j：+73=O,

則__4即<2>2

\m?AD=0,［七=0.

數(shù)學(xué)參考答案第4頁(yè)（共8頁(yè)）

令”=-1,則了2,Z?=0,

所以平面AD'E的一個(gè)法向量為m—(43,—1,0).10分

設(shè)平面BC'E與平面AD'E的夾角為九則

_\n'm\_|V3XV3+1X(-1)+V3X0|_#

cos0Q-~\p-jr~~~?.

\n\\m\77X27

故平面BC'E與平面AD'E夾角的余弦值為，...................................................12分

19.【命題意圖】本題考查數(shù)列的前”項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系、等比數(shù)列的定義、數(shù)列累乘求通項(xiàng)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)

算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

【解析】(D因?yàn)閿?shù)列｛S,,｝是等比數(shù)列,

所以S3?S”=S6?Sg=16.

因?yàn)镾6+S8=10,S6?S8=16,

所以S69S8是方程/—io①+16=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

(Se—2,[Sg—8?

所以(或

IS&=8,〔$8=2.

($6=2,

因?yàn)椋鸖〃｝是遞增的等比數(shù)列，所以

IS&=8.

設(shè)｛S“｝的公比為q,

則Q2=I1=4,

解得＜7=2,或q=-2(舍去)........................................................................3分

所以S”=2X2"i=2"-5.

因?yàn)?2ci2+3。3+…~\~na?=2°-5,

所以(21+2。2+3。3+…+(〃—1)a?-1=2"~s(〃)2),

兩式相減得na?=2"-5-2"-6=2"-e,

6

所以a?=---,刀＞2.

n

當(dāng)n=l時(shí)，?i=Si=2-4,

r1_

Y7,〃=1,

16

所以Q"='.........................................................................6分

O/J—6

---,刀)2.

In

1%

(2)因?yàn)樯?5

234n

所以當(dāng)時(shí)，7“=16+/7+舟+六+-+券，

所以9T,=8+3+弱+看+…+戲........................................................9分

兩式相減得;T,,=8+言+上+志+…+/一號(hào)

乙乙乙乙乙乙

數(shù)學(xué)參考答案第5頁(yè)(共8頁(yè))

=56-券.

所以T?=112-|±^.

當(dāng)7?=1時(shí)，滿足上式，

故T”=U2一部.12分

20.【命題意圖】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、從函數(shù)角度來(lái)證明不等式，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、直

觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng).

【解析】（1）由題易知函數(shù)/（力）的定義域?yàn)椋?,+8）"'（］）=2—21=佇產(chǎn)

當(dāng)a<0時(shí)，/'（z）CO,所以/（丁）在（8,+8）上單調(diào)遞減.

當(dāng)a>0時(shí)，令f（①）=0,得

因?yàn)?（了）在（8,+8）上單調(diào)遞減，所以4^&8.

所以a<128.

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為0Va&128.

綜上所述，實(shí)數(shù)Q的取值范圍為（一8,12816分

9—2

（2）方法一：因?yàn)閍=2,所以/（^）=-

X

因?yàn)樵?1,+8)上/(GVO,所以/(其)在[1,+8)上單調(diào)遞減...8分

所以/(2)</(1),/(4)</(3),/(6)</(5),/(2??)</(2n-l),

即2In2-22<21n1~12,21n4-42<21n3~32,21n6-62<21n5-52,-,21n(2n)-(2?)2<21n(2?-1)-

(2n-l)2,〃CN*

21n2<2+b21n462w

所以TX+3,21n1<6+5,...,21n舟<2〃+2I,

2X4X6X???X2〃2〃(2"+1)

所以]<l+2+3+4H-----1-2?=?(2n+l),

LlX3X5X-X(2n-l)2

2X4X6X…X2、〃⑵+1)

所以n1X3X5X…X(2〃-l)<T~12分

方法二：當(dāng)a=2時(shí)，/(1)=21nJC-X2

2-2/

所以/'(H)

x,

因?yàn)樵冢?,+8）上/（GVO,所以/（了）在［1,+8）上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)了>1Bt,/(^X/(1)=-1,

即工>1時(shí)，21nx<Zx2—1.................8分

2Tl277

令H=產(chǎn)入，〃6?4*,則21n#4V2n24n—171

Ln—1Ln—1277-1

/462〃

所以2(ln2+lnq+ln號(hào)+…+ln而=1<3+7+lH-----F4n-1,

.2X4X6X-X2/?%(2/?+1)

Fn1X3X5X???X(27L1)<212分

21.【命題意圖】本題考查拋物線的方程與性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究切線問(wèn)題、幾何的對(duì)稱性，考查直觀想象、邏輯推

理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

數(shù)學(xué)參考答案第6頁(yè)（共8頁(yè)）

72

【解析】（1）由/=2"，得）=二，所以V=丁.

2PP

設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為伍，整；）,則切線方程為？一莖=亭（無(wú)一①））.....................................2分

\2p）2Pp

因?yàn)辄c(diǎn)。（1,一白）在切線上，所以y=玄（1一%），

化簡(jiǎn)得2曷-4工0—/>=0,所以為?涇=—

因?yàn)锳DJ_B。，所以以?巡=一1,即方程的兩根??亞=一"，

PP

所以一加=一￡.

因?yàn)閼?gt;0,所以/，=y.

所以拋物線C的方程為工？=?...................................................................4分

（2）拋物線C的焦點(diǎn)為尸（0,卷），設(shè)經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F的直線方程為y=kx+^.

yJZJCI.,

聯(lián)立14得4/一4髭r—1=0.

設(shè)P（13，）3），Q（m,?4），

（上+7=3

貝|J<]....................6分

13?XA=——.

因?yàn)殡H3+M=°，所以直線k，4關(guān)于y軸對(duì)稱.

不妨令P,M關(guān)于）軸對(duì)稱，N,Q關(guān)于V軸對(duì)稱.

設(shè)M（力5，?5）,N（力6,）6），

因?yàn)椤?一15，所以々1%?

所以|24—%I=｛（久4+23）2-474?13=，公+1,

I）4—?3I=1^4—與I=1^4一了3II%+131=1^1+1,

四邊形PMQN的面積S=+x2g—z311yl1=1■（公+1）.

不妨設(shè)4>0