復(fù)習(xí)01空間向量及其運(yùn)算（九大考點(diǎn)）

復(fù)習(xí)01空間向量及其運(yùn)算一、空間直角坐標(biāo)系及有關(guān)概念1．空間直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系，如圖所示.2．空間兩點(diǎn)間的距離公式、中點(diǎn)公式（1）距離公式①設(shè)點(diǎn)，為空間兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的距離.②設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O之間的距離為.（2）中點(diǎn)公式設(shè)點(diǎn)為，的中點(diǎn)，則.3．空間向量的有關(guān)概念空間向量：在空間中，具有大小和方向的量單位向量：長(zhǎng)度(或模)為1的向量零向量：長(zhǎng)度(或模)為0的向量相等向量：方向相同且模相等的向量二、空間向量的有關(guān)定理及運(yùn)算1.共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量，的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得推論：對(duì)空間任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線AB上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使（其中）.2.共面向量定理如果兩個(gè)向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使.推論：空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使；或?qū)臻g任意一點(diǎn)O，有.3.空間向量基本定理如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在有序?qū)崝?shù)組，使得.其中，{}叫做空間的一個(gè)基底，都叫做基向量.注意：（1）空間任意三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成基底；（2）基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示；（3）不能作為基向量.4.空間向量的運(yùn)算設(shè)，則，，，，，，.考點(diǎn)01空間向量的線性運(yùn)算【方法點(diǎn)撥】用已知向量表示未知向量,是向量線性運(yùn)算的基礎(chǔ)類型,解決這類問題,要注意兩個(gè)方面:①熟練掌握空間向量線性運(yùn)算法則和運(yùn)算律；②要注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用【例1】如圖，在空間四邊形中，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖形，利用向量的線性運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】，故選：C.【例2】如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，若，，，是的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接利用向量的運(yùn)算法則計(jì)算得到答案.【詳解】是的中點(diǎn)，.故選：B.【變式11】在平行六面體中，，點(diǎn)P在線段上，且，則下列向量中與相等的向量是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，作圖，結(jié)合幾何性質(zhì)，利用向量的運(yùn)算，可得答案.【詳解】在平行六面體中，四邊形為平行四邊形，且，易知，同理，由且，則，.故選：A.【變式12】（多選）如圖，空間四邊形中，，分別是邊，上的點(diǎn)，且，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則以下向量表示正確的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】利用空間向量的基底表示向量，再結(jié)合空間向量線性運(yùn)算，逐一對(duì)各項(xiàng)計(jì)算判斷即可得出結(jié)果.【詳解】空間四邊形中，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，，所以選項(xiàng)D正確；對(duì)于選項(xiàng)A，，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，，所以選項(xiàng)C正確，故選：CD.【變式13】在四面體中，分別為的中點(diǎn)，則【答案】【分析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算，將用來表示，即可求得答案.【詳解】由題意得，故答案為：考點(diǎn)02空間向量的基底問題【方法點(diǎn)撥】用基底表示向量的三個(gè)步驟：①定基底:根據(jù)已知條件,確定三個(gè)不共面的向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底；②找目標(biāo):用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量,需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則,結(jié)合相等向量的代換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變形、化簡(jiǎn),最后求出結(jié)果.③下結(jié)論:利用空間向量的一個(gè)基底可以表示出空間所有向量.表示要徹底,結(jié)果中只能含有,不能含有其他形式的向量.【例3】（多選）在四棱臺(tái)中，空間的一個(gè)基底可能是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)基底的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，所以不可能是空間的一個(gè)基底，錯(cuò)誤.因?yàn)?，所以不可能是空間的一個(gè)基底，C錯(cuò)誤.不共面、不共面，所以B，D均正確.故選：BD【例4】如圖，在四面體中，點(diǎn)為底面三角形的重心，為的中點(diǎn)，設(shè)，，則在基底下的有序?qū)崝?shù)組為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】取的中點(diǎn)，連接.由重心的性質(zhì)可知，且三點(diǎn)共線.因?yàn)?，所?所以在基底下的有序?qū)崝?shù)組為.故選：【變式21】已知三棱錐，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的重心（三角形三條中線的交點(diǎn)叫三角形的重心）設(shè)，，，則向量用基底可表示為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】記BC的中點(diǎn)為E，連接AE，然后根據(jù)重心性質(zhì)和空間向量的線性運(yùn)算可得.【詳解】記BC的中點(diǎn)為E，連接AE，則，又，所以，由重心性質(zhì)可知，所以，所以.故選：B【變式22】（多選）已知是空間中不共面的三個(gè)向量，則下列向量能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)空間向量的基底向量的定義結(jié)合共面向量的定義逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)：因?yàn)?，所以三個(gè)向量共面，故不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)：因?yàn)?，所以三個(gè)向量共面，故不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故D錯(cuò)誤；因?yàn)槭强臻g中不共面的三個(gè)向量，對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)，顯然不存在實(shí)數(shù)使得該式成立，所以不共面，可以作為基底向量，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)，則，方程無解，即不存在實(shí)數(shù)使得該式成立，所以不共面，可以作為基底向量，故C正確；故選：BC.【變式23】如圖，在梯形ABCD中，，，點(diǎn)為空間任一點(diǎn)，設(shè)，，，則向量用，，表示為.【答案】【分析】利用空間向量的基本定理及運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意知：在梯形中，，，可得：，所以：，即：，所以：.故答案為：.考點(diǎn)03空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例5】在軸上且與點(diǎn)和點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)該點(diǎn)坐標(biāo)為，利用距離相等列方程求解即可.【詳解】設(shè)該點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)樵擖c(diǎn)與兩點(diǎn)和距離相等，所以解得故該點(diǎn)為，故選:C．【例6】，，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)，由向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示，得點(diǎn)C的坐標(biāo).【詳解】設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為，因?yàn)?，，所以，，又因?yàn)?，所以，，，即，，，所以C坐標(biāo)為.故選：A.【變式31】已知，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)求模判斷A，根據(jù)向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算判斷BC，根據(jù)向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算及向量共線的判定判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，故B正確；因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以不正確，故D錯(cuò)誤.故選：B【變式32】已知向量，，，若，則與的夾角為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出，且.然后根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算求解，即可得出答案.【詳解】由已知可得，且.又，所以，即有，所以，.又，所以.故選：C.【變式33】向量，向量在向量上的投影向量坐標(biāo)是.【答案】【分析】根據(jù)投影向量的概念計(jì)算即可.【詳解】向量在向量上的投影向量坐標(biāo)為：.故答案為：.考點(diǎn)04空間向量的共線問題【方法點(diǎn)撥】（1）應(yīng)用向量的方法判定兩直線平行,只需判斷兩直線的方向向量是否共線.（2）已知向量平行,可設(shè),建立關(guān)于參數(shù)的方程，盡量選擇坐標(biāo)形式，以達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.【例7】設(shè)向量不共面，已知，，若三點(diǎn)共線，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】把A、C、D三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為滿足，列方程組，求出即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在唯一的，使得,即，即，解得：.故選：A.【例8】如圖，在三棱柱中，為空間一點(diǎn)，且滿足，，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在棱上B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在棱上D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上【答案】B【分析】由空間向量共線定理逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，，所以，則點(diǎn)在棱上，故正確；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，，即，即所以點(diǎn)在線段上，故錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以，即，所以點(diǎn)在棱上，故正確；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，所以，，所以，即，即，所以點(diǎn)在線段上，故正確．故選：．【變式41】已知非零向量，，且、、不共面．若，則（

）．A．B．C．D．【答案】B【解析】先由向量平行，得到，利用系數(shù)對(duì)應(yīng)相等構(gòu)建關(guān)系，即求得x，y，即得結(jié)果.【詳解】且，∴，即，又、、不共面，∴，解得，，.故選：B.【變式42】如圖所示，在正方體中，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)在體對(duì)角線上，且．求證：，，三點(diǎn)共線．【答案】證明見解析【分析】把用基底表示后證明它們共線，再由共頂點(diǎn)可得三點(diǎn)共線．【詳解】連接，，∵，，∴，∴，又，∴，，三點(diǎn)共線．【變式43】已知向量，，不共面，，，．求證：B，C，D三點(diǎn)共線．【答案】證明見解析【分析】將三點(diǎn)共線問題轉(zhuǎn)化為求證向量共線問題求證即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以，，所以，所以，又為公共點(diǎn)，所以B，C，D三點(diǎn)共線．考點(diǎn)05空間向量的共面問題【方法點(diǎn)撥】對(duì)空間任意四點(diǎn)，可通過證明下列結(jié)論來證明四點(diǎn)共面：①；②對(duì)空間任意一點(diǎn)；③對(duì)空間任意一點(diǎn).【例9】已知空間向量,若共面，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】利用三個(gè)向量共面，即可列出方程求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)楣裁妫源嬖趯?shí)數(shù)對(duì),使得,即，所以解得故選：D．【例10】已知三棱錐的體積為15，是空間中一點(diǎn)，，則三棱錐的體積是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根據(jù)題意，由空間向量的運(yùn)算可得，再由空間向量基本定理可得，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋瑒t，即，即，所以，因?yàn)?，由空間向量基本定理可知，在平面內(nèi)存在一點(diǎn)，使得成立，即，所以，即，則，又三棱錐的體積為15，則.故選：C【變式51】已知點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，為平面外一點(diǎn)，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用空間向量共面的基本定理化簡(jiǎn)可得出的值.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，設(shè)，其中、，即，所以，，所以，，所以，.故選：B.【變式52】已知A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外的任一點(diǎn)O，若點(diǎn)M滿足．(1)判斷，，三個(gè)向量是否共面；(2)判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi)．【答案】(1)，，共面(2)點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)【分析】（1）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，結(jié)合平面向量基本定理證明即可；（2）根據(jù)（1）結(jié)合平面向量的基本定理判斷即可．【詳解】（1）由題知，則，即，所以，，共面．（2）由（1）知，，共面且基線過同一點(diǎn)M，所以M，A，B，C四點(diǎn)共面，即點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)．【變式53】如圖，在正四棱錐中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，．(1)證明：B，E，G，F(xiàn)四點(diǎn)共面．(2)記四棱錐的體積為，四棱錐的體積為，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由空間向量的運(yùn)算可得，即可證明B，E，G，F(xiàn)四點(diǎn)共面；（2）根據(jù)題意，由棱錐的體積公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）證明：設(shè)為空間的一組基底，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PA，PC的中點(diǎn)，所以，．又，所以．故B，E，G，F(xiàn)四點(diǎn)共面．（2）由正四棱錐的對(duì)稱性知，，．設(shè)點(diǎn)E到平面PBG的距離為，點(diǎn)A到平面PBD的距離為，由E是PA的中點(diǎn)得．由，得，則．考點(diǎn)06空間向量的數(shù)量積運(yùn)算【方法點(diǎn)撥】在幾何體中求空間向量的數(shù)量積，首先要充分利用向量所在的圖形,將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式；其次利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開,轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積；最后利用數(shù)量積的定義求解即可.注意挖掘幾何體中的垂直關(guān)系或者特殊角.【例11】在正四面體中，棱長(zhǎng)為2，且是棱中點(diǎn)，則的值為（

）A． B．1 C．3 D．7【答案】A【分析】利用正四面體的性質(zhì)，結(jié)合空間向量數(shù)量積的運(yùn)算法則即可得解.【詳解】將正四面體放在正方體中，如圖，因?yàn)樵谡拿骟w中，棱長(zhǎng)為2，兩兩夾角為，所以，因?yàn)槭抢庵悬c(diǎn)，所以，又，所以.故選：A.【例12】已知正方體的棱長(zhǎng)為2，球是正方體的內(nèi)切球，點(diǎn)是內(nèi)切球表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，取中點(diǎn)為，則，再結(jié)合向量的運(yùn)算，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】取中點(diǎn)為，因?yàn)?，，所以，又，則，又正方體的棱長(zhǎng)為2，則正方體的內(nèi)切球半徑為1，則，，所以，所以，所以當(dāng)，反向時(shí)，，有最小值為；當(dāng)，同向時(shí)，，有最大值為.故選：D.【變式61】已知正四面體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則的值為．【答案】【分析】由向量的位置關(guān)系及加減法的幾何意義有，，應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及定義求.【詳解】由題設(shè)，，所以.故答案為：【變式62】正多面體也稱柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.已知一個(gè)正八面體ABCDEF的棱長(zhǎng)都是2（如圖），P，Q分別為棱AB，AD的中點(diǎn)，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)正八面體的性質(zhì)得到，然后利用線性運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可.【詳解】由正八面體的性質(zhì)可得，，則，.故選：A.【變式63】平行六面體中，，，，則；若動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為.【答案】/【分析】以為基底表示出，即可求得，設(shè)，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律可得，可求得其最小值.【詳解】根據(jù)題意可得，所以，即可得；設(shè)，則，；所以，由二次函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，取到最小值為.故答案為：；考點(diǎn)07空間向量的垂直問題【方法點(diǎn)撥】（1）判斷兩直線是否垂直,關(guān)鍵是判斷兩直線的方向向量是否垂直,即判斷兩向量的數(shù)量積是否為0.；（2）已知向量垂直,則,建立關(guān)于參數(shù)的方程，盡量選擇坐標(biāo)形式，以達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.【例13】已知空間中三點(diǎn).(1)已知向量與互相垂直，求的值；(2)求以為鄰邊的平行四邊形的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，得到，由向量與互相垂直，列出方程，即可求解；（2）由向量的夾角公式，求得，得到，結(jié)合面積公式，即可求解.【詳解】（1）解：由空間中三點(diǎn)，可得，且，因?yàn)橄蛄颗c互相垂直，所以，解得.（2）解：由，可得，所以，，所以，所以為鄰邊的平行四邊形的面積為.【例14】點(diǎn)，，，若在線段上，且滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】結(jié)合題意，利用,建立方程組解出即可.【詳解】設(shè)的坐標(biāo)為，則，,，因?yàn)樵诰€段上，且滿足，所以,即，解得：，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：.【變式71】已知空間中三點(diǎn)，，.設(shè)，.(1)求和；(2)若與互相垂直，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用空間向量的加減運(yùn)算和模長(zhǎng)計(jì)算，即可求解.（2）分別先算出、利用垂直求實(shí)數(shù)的值即可.【詳解】（1）∵，，，，.∴，于是，，.（2）∵，，又與互相垂直，∴.即.∴，.【變式72】已知點(diǎn)，，，向量.(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)求向量在向量方向上的投影向量.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量垂直的坐標(biāo)表達(dá)式解方程即可；（2）利用投影向量公式計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意，，，因?yàn)?，所以，即，?（2）由題意，，，所以向量在向量上上的投影向量為：.【變式73】如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).(1)試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并確定、、三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求證：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得出、、三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、.（2）證明：依題意可得、，則，，所以，，所以.考點(diǎn)08空間向量的模長(zhǎng)問題【方法點(diǎn)撥】（1）可以選擇合適的基底，然后先對(duì)其進(jìn)行平方算出對(duì)應(yīng)的值，最后開根；（2）可以建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫出向量的坐標(biāo)，結(jié)合模長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算【例15】已知空間三點(diǎn)，，，則以、為鄰邊的平行四邊形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量求出兩向量夾角的余弦值，確定夾角的度數(shù)，利用正弦定理求出，即可求出平行四邊形面積為.【詳解】因?yàn)?，，，所?，所以，，所以，所以，平行四邊形面積為，在中與正弦定理有：，設(shè)平行四邊形的面積為，所以.故選：B【例16】如圖，在三棱錐中，，，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的重心，與相交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，結(jié)合三點(diǎn)共線可得，即可根據(jù)模長(zhǎng)公式求解.【詳解】設(shè)，由題意得，則.設(shè)，則,故.由得，得，所以，故選：D【變式81】已知空間中三點(diǎn)，，.(1)求；(2)求中邊上中線的長(zhǎng)度.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用空間向量的夾角公式運(yùn)算即可得解；（2）先根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出邊的中點(diǎn)坐標(biāo)，可得坐標(biāo)，再利用向量模長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】（1）由題，，，.（2）設(shè)邊的中點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，，.所以邊的中線長(zhǎng)為.【變式82】已知空間中三個(gè)單位向量?jī)蓛蓨A角均為60°．OA的中點(diǎn)為M，BC的中點(diǎn)為N，則．【答案】【分析】利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算律求解.【詳解】如圖，,所以，所以，故答案為:.【變式83】如圖，已知四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為4的菱形，.(1)若四棱錐是正四棱錐，求四棱錐的體積；(2)若平面，求的長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合錐體的體積公式運(yùn)算求解；（2）由垂直關(guān)系可得，由數(shù)量積可得，在中，利用余弦定理運(yùn)算求解.【詳解】（1）因?yàn)樗睦忮F是正四棱錐，取正方形的中心，則平面，且平面，可得，則，，所以四棱錐的體積.（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，而∥，所以，由，可得，又因?yàn)?，則，在中，由余弦定理可得：，所以.考點(diǎn)09空間向量的夾角問題【方法點(diǎn)撥】盡量建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫出向量的坐標(biāo)，結(jié)合夾角公式進(jìn)行計(jì)算【例17】已知空間向量，，滿足，，且，則與的夾角大小為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【分析】由，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律有，即可求與的夾角大小.【詳解】由題設(shè)，則，所以，又，可得，即.故選：C【例18】（多選）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是線段上一點(diǎn)，則可以為（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求的余弦值，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)得出其范圍．從而可得正確選項(xiàng)．【詳解】如圖，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，．，，，在線段上，則，，即，，，易知時(shí)，為最小值，又時(shí)，，時(shí)，，所以，從而，即，而，所以，故選：BD．【變式91】如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱的長(zhǎng)為2，且.求：

(1)的長(zhǎng)；(2)直線與所成角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解；（2）利用空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算律以及夾角公式求解.【詳解】（1）因?yàn)?所以.（2）,,,,所以,因?yàn)橹本€與所成角，所以直線與所成角的余弦值為.【變式92】為了測(cè)量一斜坡的坡度，小明設(shè)計(jì)如下的方案：如圖，設(shè)斜坡面與水平面的交線為，小明分別在水平面和斜坡面選取，兩點(diǎn)，且，到直線的距離，到直線的距離，，則斜坡面與水平面所成角的大小為．【答案】/【分析】利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解．【詳解】設(shè)與的夾角為，因?yàn)?，所以，又，即，所以，又，所以，所以斜坡面與水平面所成的角為.故答案為：【變式93】已知向量，，，若向量與所成角為銳角，則實(shí)數(shù)的范圍是.【答案】【分析】根據(jù)題意，利用向量的夾角公式，求得，再由向量與所成角為銳角，得到，求得，當(dāng)向量與共線時(shí)，求得，即可得到實(shí)數(shù)的范圍.【詳解】由向量，，可得，因?yàn)椋傻?，解得，所以，所以與，又因?yàn)橄蛄颗c所成角為銳角，所以，解得，若向量與共線，則，解得，所以實(shí)數(shù)的范圍是.故答案為：.一、單選題1．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若三點(diǎn)共線，則的值為（

）A． B． C．10 D．13【答案】B【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線，可得空間向量共線，即存在實(shí)數(shù)，使得，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可得答案.【詳解】因?yàn)?，且三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得，解得．故選：B.2．對(duì)于任意空間向量，，，下列說法正確的是（

）A．若且，則 B．C．若，且，則 D．【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可判斷BCD，根據(jù)向量共線的性質(zhì)即可求解A.【詳解】對(duì)于A，若，則且，不能得到，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，B正確，對(duì)于C，若，且，則，則，無法得出，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，表示與共線的向量，而表示與共線的向量，所以與不一定相等，故D錯(cuò)誤，故選：B3．已知四棱柱的底面是平行四邊形，點(diǎn)E在線段DC上滿足，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，集合空間基底向量表示，以及空間向量線性運(yùn)算，即可求解．【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在線段上滿足,由向量的運(yùn)算法則，可得，因?yàn)?，所以，所?故選：A.4．如圖所示的四棱錐中，底面為正方形，且各棱長(zhǎng)均相等，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，以為空間向量的一個(gè)基底，再利用空間向量夾角公式求解即得.【詳解】令四棱錐的各條棱長(zhǎng)均為2，則，由是的中點(diǎn)，得,顯然不共面，，又，，因此，所以則異面直線與所成角的余弦值為.故選：D5．如圖，在空間四邊形中，若向量，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段的中點(diǎn)，則的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知可得出，.進(jìn)而根據(jù)圖形關(guān)系，表示可得，代入坐標(biāo)運(yùn)算，即可得出答案.【詳解】因?yàn)镋，F(xiàn)分別為線段的中點(diǎn)，所以，，.因?yàn)椋?，，所以，，所以?故選：B.6．已知空間向量，則“四點(diǎn)共面”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】結(jié)合充要條件的性質(zhì)與四點(diǎn)共面的性質(zhì)，借助空間向量運(yùn)算即可得.【詳解】（方法一）由四點(diǎn)共面，可得共面，設(shè)，則，解得，所以，得，反之亦成立，故“四點(diǎn)共面”是“”的充要條件．（方法二）設(shè)平面的法向量為，則，令，得，由四點(diǎn)共面，得，即，反之亦成立，故“四點(diǎn)共面”是“”的充要條件．故選：B.二、多選題7．在正方體中，下列結(jié)論中正確的是（

）A．四邊形的面積為 B．與的夾角為C． D．【答案】AC【分析】利用正方體的幾何性質(zhì)結(jié)合空間向量的數(shù)量積可判斷各選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：由正方體可知平面，所以，所以四邊形為矩形，，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：由正方體可知，所以與的夾角即為與的夾角，又，所以，所以與的夾角為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：由設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，，所以成立，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：由已知得，，則，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AC.8．如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，且.給出下列四個(gè)命題，其中正確的命題是（

）A． B．C．與的夾角為 D．三棱錐的體積為【答案】AB【分析】A選項(xiàng)，利用空間向量數(shù)量積公式得到A正確；B選項(xiàng)，變形得到；C選項(xiàng)，求出及，利用向量夾角余弦公式求出答案；D選項(xiàng)，推出三棱錐體積為，D錯(cuò)誤.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)閮蓛纱怪保?，故，A正確；B選項(xiàng)，，B正確；C選項(xiàng)，，，由勾股定理得，所以與的夾角余弦為，故與的夾角為，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，因?yàn)?，所以三棱錐的體積為，由于，D錯(cuò)誤.故選：AB9．已知三棱錐，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若，則在上的投影向量為B．若是三棱錐的底面的重心，則C．若，則四點(diǎn)共面D．設(shè)，則構(gòu)成空間的一個(gè)基底【答案】AB【分析】利用投影向量的定義根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算可得A正確，畫出幾何體由空間向量加