向量的基本運(yùn)算與性質(zhì)

向量的基本運(yùn)算與性質(zhì)目錄CONTENCT向量基本概念與性質(zhì)向量的加法與減法運(yùn)算向量的數(shù)乘運(yùn)算向量的點(diǎn)積運(yùn)算向量的叉積運(yùn)算向量空間與基向量01向量基本概念與性質(zhì)01020304定義表示方法向量的模特殊向量向量的定義及表示方法向量的大小，即向量的長度，記作|→a|。印刷體記作a，書寫體記作→a（可省略箭頭）。向量是具有大小和方向的量，常用有向線段表示。零向量（模為0的向量）、單位向量（模為1的向量）。向量的模由起點(diǎn)指向終點(diǎn)的射線所確定的方向。向量的方向模的計(jì)算公式方向角與方向余弦01020403用于描述向量在坐標(biāo)系中的方向。表示向量的大小，是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)。對(duì)于二維向量→a=(x,y)，其模|→a|=√(x^2+y^2)。向量的模與方向零向量模為0的向量，沒有方向。單位向量模為1的向量，方向任意。相等向量大小相等且方向相同的向量。相反向量大小相等但方向相反的向量。零向量、單位向量及相等向量80%80%100%向量的共線與平行關(guān)系方向相同或相反的兩個(gè)非零向量。方向相同或相反的兩個(gè)向量，也稱為共線向量。對(duì)于非零向量→a和→b，若存在實(shí)數(shù)λ使得→a=λ→b，則→a與→b共線。共線向量平行向量判定定理02向量的加法與減法運(yùn)算交換律A+B=B+A定義向量加法遵循平行四邊形法則或三角形法則。若有兩個(gè)向量A和B，它們的和向量C是由A的終點(diǎn)連接到B的終點(diǎn)的向量。結(jié)合律(A+B)+C=A+(B+C)存在負(fù)向量對(duì)于任意向量A，存在負(fù)向量-A，使得A+(-A)=0存在零向量對(duì)于任意向量A，有A+0=A向量加法的定義及性質(zhì)向量減法的定義及性質(zhì)向量減法定義為加上一個(gè)向量的負(fù)向量。即，A-B=A+(-B)定義(A-B)-C=A-(B+C)結(jié)合律(A+B)-C=(A-C)+(B-C)分配律A-B=-(B-A)反向性三角形法則平行四邊形法則三角形法則與平行四邊形法則若有兩個(gè)向量A和B，它們的和向量可以通過將A的終點(diǎn)與B的起點(diǎn)相連得到。兩個(gè)向量A和B，可以構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，其對(duì)角線即為兩向量的和。在幾何上，向量的加法可以看作是位移的合成。例如，一個(gè)人先朝一個(gè)方向走了一定的距離（向量A），然后立刻改變方向走另一段距離（向量B），最終的位置可以通過向量加法得到（即A+B）。向量的減法在幾何上表示兩個(gè)位移的差異。例如，如果某人從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B（向量A），然后又從點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)C（向量B），那么從點(diǎn)A直接到點(diǎn)C的位移（向量C）可以通過向量減法得到，即C=A-B。加法與減法的幾何意義03向量的數(shù)乘運(yùn)算定義數(shù)乘是指一個(gè)實(shí)數(shù)與一個(gè)向量相乘，結(jié)果是一個(gè)與原向量共線的向量。記作$lambdavec{a}$，其中$lambda$是實(shí)數(shù)，$vec{a}$是向量。$(lambdamu)vec{a}=lambda(muvec{a})$$(lambda+mu)vec{a}=lambdavec{a}+muvec{a}$，$lambda(vec{a}+vec)=lambdavec{a}+lambdavec$若$lambdaneq0$，則$lambda(vec{a}-vec)=lambdavec{a}-lambdavec$$|lambdavec{a}|=|lambda||vec{a}|$結(jié)合律數(shù)因子分配律單位向量的數(shù)乘分配律數(shù)乘的定義及性質(zhì)方向當(dāng)$lambda>0$時(shí)，$lambdavec{a}$與$vec{a}$方向相同；當(dāng)$lambda<0$時(shí)，$lambdavec{a}$與$vec{a}$方向相反；當(dāng)$lambda=0$時(shí)，$lambdavec{a}=vec{0}$。長度$|lambdavec{a}|=|lambda||vec{a}|$，即數(shù)乘的結(jié)果向量的模等于數(shù)乘的絕對(duì)值與原向量模的乘積。數(shù)乘的幾何意義數(shù)乘與向量模的關(guān)系對(duì)于任意實(shí)數(shù)$lambda$和向量$vec{a}$，有$|lambdavec{a}|=|lambda||vec{a}|$。特別地，當(dāng)$lambda=-1$時(shí)，$-vec{a}$表示與$vec{a}$方向相反、模相等的向量。要點(diǎn)三物理應(yīng)用在力學(xué)中，數(shù)乘常用來表示力的大小和方向。例如，一個(gè)力可以表示為$vec{F}=mvec{a}$，其中$m$是質(zhì)量，$vec{a}$是加速度，$vec{F}$是力。要點(diǎn)一要點(diǎn)二幾何應(yīng)用在平面幾何和立體幾何中，數(shù)乘常用來表示點(diǎn)的位置、向量的長度和方向等。例如，在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)點(diǎn)可以表示為$vec{r}=xvec{i}+yvec{j}$，其中$x$和$y$是坐標(biāo)，$vec{i}$和$vec{j}$是單位向量。計(jì)算機(jī)圖形學(xué)應(yīng)用在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，數(shù)乘常用來進(jìn)行向量的縮放、旋轉(zhuǎn)和平移等操作。例如，一個(gè)圖形可以通過數(shù)乘進(jìn)行等比例縮放。要點(diǎn)三數(shù)乘在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用04向量的點(diǎn)積運(yùn)算1定義兩個(gè)向量a和b的點(diǎn)積定義為a·b=|a|*|b|*cosθ，其中|a|和|b|分別是向量a和b的模長，θ是向量a和b之間的夾角。性質(zhì)1交換律，即a·b=b·a。性質(zhì)2分配律，即(a+b)·c=a·c+b·c。性質(zhì)3數(shù)乘結(jié)合律，即(ka)·b=k(a·b)=a·(kb)，其中k是標(biāo)量。點(diǎn)積的定義及性質(zhì)點(diǎn)積的幾何意義是向量a在向量b上的投影與向量b的模長的乘積。當(dāng)θ為銳角時(shí)，點(diǎn)積為正；當(dāng)θ為直角時(shí)，點(diǎn)積為零；當(dāng)θ為鈍角時(shí)，點(diǎn)積為負(fù)。點(diǎn)積還可以表示兩個(gè)向量的相似程度。當(dāng)兩個(gè)向量方向相同時(shí)，點(diǎn)積最大；當(dāng)兩個(gè)向量方向垂直時(shí)，點(diǎn)積為零；當(dāng)兩個(gè)向量方向相反時(shí)，點(diǎn)積最小。點(diǎn)積的幾何意義010203在物理中，點(diǎn)積可以用來計(jì)算力在某一方向上的分量，或者計(jì)算兩個(gè)力的合力。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，點(diǎn)積可以用來計(jì)算光照強(qiáng)度或者判斷兩個(gè)多邊形是否相交。在機(jī)器學(xué)習(xí)中，點(diǎn)積可以用來計(jì)算特征之間的相似度或者進(jìn)行文本分類等任務(wù)。點(diǎn)積在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用VS點(diǎn)積與向量夾角之間的關(guān)系可以通過cosθ=(a·b)/(|a|*|b|)來表示。這個(gè)公式可以用來計(jì)算兩個(gè)向量之間的夾角。當(dāng)兩個(gè)向量的點(diǎn)積為正時(shí)，它們之間的夾角為銳角；當(dāng)點(diǎn)積為零時(shí)，它們之間的夾角為直角；當(dāng)點(diǎn)積為負(fù)時(shí)，它們之間的夾角為鈍角。這個(gè)性質(zhì)可以用來判斷兩個(gè)向量的相對(duì)位置關(guān)系。點(diǎn)積與向量夾角的關(guān)系05向量的叉積運(yùn)算對(duì)于兩個(gè)三維向量a和b，它們的叉積c是一個(gè)向量，其方向垂直于a和b所在的平面，大小等于a和b構(gòu)成的平行四邊形的面積。叉積滿足反交換律，即a×b=-b×a；叉積對(duì)加法滿足分配律，即a×(b+c)=a×b+a×c。叉積的定義及性質(zhì)叉積的性質(zhì)叉積的定義向量a和b的叉積的模等于以a和b為鄰邊的平行四邊形的面積。叉積的模根據(jù)右手定則，四指從a轉(zhuǎn)向b時(shí)，大拇指所指的方向就是c的方向。叉積的方向叉積的幾何意義判斷點(diǎn)在線段的哪一側(cè)判斷兩線段是否相交計(jì)算三角形的面積叉積在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用通過分別計(jì)算兩線段所在直線的方向向量與另一線段兩端點(diǎn)構(gòu)成的向量的叉積，可以判斷兩線段是否相交。通過計(jì)算三角形三邊向量的叉積的模的一半，可以得到三角形的面積。通過計(jì)算點(diǎn)與線段兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的向量的叉積，可以判斷點(diǎn)在線段的哪一側(cè)。兩向量垂直的充要條件是它們的點(diǎn)積為零。由于叉積的結(jié)果向量垂直于原向量，因此兩向量垂直時(shí)，它們的叉積為零向量。當(dāng)兩向量不垂直時(shí)，它們的叉積不為零向量，且叉積的模越大，說明兩向量的夾角越小。叉積與向量垂直的關(guān)系06向量空間與基向量向量空間定義向量空間是一個(gè)集合，其中的元素稱為向量，滿足特定的加法和數(shù)乘運(yùn)算規(guī)則。向量空間的性質(zhì)封閉性、結(jié)合律、交換律、分配律、零元存在性、負(fù)元存在性。子空間向量空間的子集，若滿足向量空間的性質(zhì)，則稱為子空間。向量空間的概念及性質(zhì)基向量坐標(biāo)表示法坐標(biāo)變換向量空間中的一組線性無關(guān)的向量，可以線性表示出該空間中的任意向量。通過基向量，將向量表示為坐標(biāo)形式，即向量的分量表示。在不同基向量下，向量的坐標(biāo)表示會(huì)發(fā)生變化?；蛄颗c坐標(biāo)表示法向量空間中基向量的個(gè)數(shù)，表示空間的“大小”。向量空間的維度從一個(gè)基向量組到另一個(gè)基向量組的變換，可以通過過渡矩陣實(shí)現(xiàn)。基變換可逆、唯一確定等。過渡矩陣的性質(zhì)