圓的基本概念與性質(zhì)

圓的基本概念與性質(zhì)目錄圓的基本定義與性質(zhì)圓的方程與圖形表示圓的對(duì)稱性與切線性質(zhì)圓的面積與周長(zhǎng)計(jì)算直線與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系01圓的基本定義與性質(zhì)平面上所有與定點(diǎn)（中心）距離等于定長(zhǎng)（半徑）的點(diǎn)的集合。圓的定義圓的定義及元素圓的中心，通常用字母$O$表示。圓心從圓心到圓上任意一點(diǎn)的線段，通常用字母$r$表示。半徑連接圓上任意兩點(diǎn)的線段。弦通過(guò)圓心且兩端點(diǎn)都在圓上的線段，長(zhǎng)度是半徑的兩倍。直徑圓上任意兩點(diǎn)間的部分。弧對(duì)稱性等距性切線性質(zhì)相交弦定理圓的性質(zhì)圓是完全對(duì)稱的圖形，對(duì)于圓心$O$，任意兩點(diǎn)$A$和$B$，如果$OA=OB$，則點(diǎn)$A$和$B$關(guān)于圓心對(duì)稱。從圓外一點(diǎn)引圓的切線，切線與半徑垂直。圓上任意一點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑。如果兩條弦相交于圓內(nèi)，則它們分別截得的兩條線段的乘積相等。

圓心、半徑和直徑圓心的性質(zhì)圓心是圓的對(duì)稱中心，任何經(jīng)過(guò)圓心的直徑都將圓分成兩個(gè)完全相等的部分。半徑的性質(zhì)所有半徑都相等，并且都等于從圓心到圓上任意一點(diǎn)的距離。直徑的性質(zhì)直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，它通過(guò)圓心，且其長(zhǎng)度是半徑的兩倍。直徑上的任意一點(diǎn)到圓心的距離都等于該點(diǎn)到直徑另一端點(diǎn)的距離。02圓的方程與圖形表示在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)$O(a,b)$為圓心，$r$為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$。定義圓心與半徑方程的特點(diǎn)圓心$O(a,b)$和半徑$r$是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個(gè)基本要素，它們唯一確定了一個(gè)圓。圓的標(biāo)準(zhǔn)方程體現(xiàn)了圓上任意一點(diǎn)$P(x,y)$到圓心$O(a,b)$的距離等于半徑$r$的性質(zhì)。030201圓的標(biāo)準(zhǔn)方程在平面直角坐標(biāo)系中，一般形式的圓方程為$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，其中$D,E,F$是常數(shù)。定義通過(guò)配方，一般方程可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，從而求出圓心坐標(biāo)為$(-frac{D}{2},-frac{E}{2})$，半徑$r=frac{sqrt{D^2+E^2-4F}}{2}$。圓心與半徑圓的一般方程適用于表示任意位置的圓，但需要注意當(dāng)$D^2+E^2-4F<0$時(shí)，方程不表示任何圖形。方程的特點(diǎn)圓的一般方程平面直角坐標(biāo)系中的圖形表示01在平面直角坐標(biāo)系中，可以通過(guò)描點(diǎn)法或利用計(jì)算機(jī)繪圖軟件繪制出圓的圖形。極坐標(biāo)系中的圖形表示02在極坐標(biāo)系中，以圓心為極點(diǎn)，極軸為任意一條經(jīng)過(guò)圓心的直線，則圓的極坐標(biāo)方程為$rho=2rcostheta$或$rho=2rsintheta$，其中$theta$為極角。空間直角坐標(biāo)系中的圖形表示03在空間直角坐標(biāo)系中，可以通過(guò)三個(gè)平面的交線來(lái)表示一個(gè)圓。例如，三個(gè)平面的方程分別為$z=0$，$x^2+y^2=r^2$，$z=a$（$a$為常數(shù)），則它們的交線就是一個(gè)圓心在$z$軸上、半徑為$r$的圓。圓的圖形表示方法03圓的對(duì)稱性與切線性質(zhì)軸對(duì)稱性圓關(guān)于經(jīng)過(guò)其中心的任意直線（即直徑）軸對(duì)稱。對(duì)于圓上任意一點(diǎn)P和直徑AB，點(diǎn)P關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P'也在圓上。中心對(duì)稱性圓關(guān)于其中心點(diǎn)對(duì)稱，即對(duì)于圓上任意一點(diǎn)P，都存在一個(gè)點(diǎn)P'與P關(guān)于圓心O中心對(duì)稱，且OP=OP'。旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性圓具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，即繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度后，圓的形狀和大小不變。圓的對(duì)稱性123與圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線稱為圓的切線。切線的定義圓的切線在切點(diǎn)處與經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直。即如果直線l是圓O的切線，P是切點(diǎn)，則l與經(jīng)過(guò)P的半徑OP垂直。切點(diǎn)與半徑垂直從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，且這一點(diǎn)與圓心的連線平分兩條切線的夾角。切線長(zhǎng)定理切線與切點(diǎn)的性質(zhì)從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等。這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。切線長(zhǎng)定理如果兩條切線分別由兩個(gè)不同的點(diǎn)引出，且這兩個(gè)點(diǎn)與圓心的連線分別平分兩條切線的夾角，則這兩條切線的長(zhǎng)度相等。推論1如果一條直線與圓的兩條切線分別相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，且這兩個(gè)點(diǎn)與圓心的連線分別平分這兩條切線的夾角，則這條直線經(jīng)過(guò)圓心。推論2切線長(zhǎng)定理及其推論04圓的面積與周長(zhǎng)計(jì)算0102圓的面積計(jì)算公式該公式用于計(jì)算圓的面積，是圓的基本性質(zhì)之一。通過(guò)該公式，我們可以輕松地求出給定半徑的圓的面積。圓的面積計(jì)算公式為：A=πr2，其中A表示圓的面積，r表示圓的半徑，π是一個(gè)常數(shù)，約等于3.14159。圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式為：C=2πr，其中C表示圓的周長(zhǎng)，r表示圓的半徑，π是一個(gè)常數(shù)，約等于3.14159。該公式用于計(jì)算圓的周長(zhǎng)，也是圓的基本性質(zhì)之一。通過(guò)該公式，我們可以方便地求出給定半徑的圓的周長(zhǎng)。圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式扇形面積計(jì)算公式為S=(θ/360)×πr2，其中S表示扇形面積，θ表示扇形的中心角（以度為單位），r表示圓的半徑?；￠L(zhǎng)計(jì)算公式為L(zhǎng)=(θ/360)×2πr，其中L表示弧長(zhǎng)，θ表示弧對(duì)應(yīng)的中心角（以度為單位），r表示圓的半徑。扇形面積和弧長(zhǎng)計(jì)算05直線與圓的位置關(guān)系圓心到直線的距離小于圓的半徑直線方程與圓方程聯(lián)立后，有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解直線穿過(guò)圓內(nèi)部，與圓有兩個(gè)交點(diǎn)直線與圓相交的條件直線方程與圓方程聯(lián)立后，有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，即切點(diǎn)圓心到直線的距離等于圓的半徑直線與圓相切的條件圓心到直線的距離大于圓的半徑直線方程與圓方程聯(lián)立后，無(wú)實(shí)數(shù)解直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，即直線在圓外部直線與圓相離的條件06圓與圓的位置關(guān)系兩圓的圓心距小于兩圓半徑之和，且大于兩圓半