第02講 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 高頻考點(diǎn)-精講(解析版)備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練(藝考生基礎(chǔ)版)_第1頁
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第第頁第02講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系(精講)目錄第一部分:知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分:典型例題剖析題型一:基本事實(shí)的應(yīng)用題型二:空間兩條直線的位置關(guān)系題型三:立體幾何中的截面問題題型四:異面直線所成角第一部分:知第一部分:知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識(shí)點(diǎn)一:與平面有關(guān)的基本事實(shí)及推論1、與平面有關(guān)的三個(gè)基本事實(shí)(1)基本事實(shí)1:過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn),有且只有一個(gè)平面

數(shù)學(xué)語言:,,三點(diǎn)不共線有且只有一個(gè)平面,使,,.(2)基本事實(shí)2:如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)

數(shù)學(xué)語言:,,且,(3)基本事實(shí)3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線

數(shù)學(xué)語言:,且,且2、基本事實(shí)1的三個(gè)推論推論1:經(jīng)過一條直線與這條直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面;

推論2:經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面;

推論3:經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面.

知識(shí)點(diǎn)二:空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語言符號(hào)語言相交關(guān)系圖形語言圖形語言獨(dú)有關(guān)系圖形語言圖形語言與是異面直線知識(shí)點(diǎn)三:平行公理和等角定理1、基本事實(shí)4:平行于同一條直線的兩條直線平行數(shù)學(xué)符號(hào)語言;若直線,則2、等角定理①文字語言:如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)②圖形語言:③符號(hào)語言:,或④作用:判斷或證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ)知識(shí)點(diǎn)四:異面直線所成角(1)異面直線的概念不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線(2)異面直線的畫法畫異面直線時(shí),為了體現(xiàn)它們不共面的特點(diǎn),常借助一個(gè)或兩個(gè)平面來襯托(3)異面直線的判定①定義法②兩直線既不平行也不相交(4)異面直線所成角取值范圍:第二部分:典型例題剖析第二部分:典型例題剖析題型一:基本事實(shí)的應(yīng)用典型例題例題1.(2022·山東·高密三中高二階段練習(xí))已知空間四點(diǎn)中,無三點(diǎn)共線,則經(jīng)過其中三點(diǎn)的平面有(

)A.一個(gè) B.四個(gè) C.一個(gè)或四個(gè) D.無法確定平面的個(gè)數(shù)【答案】C【詳解】若空間中的四點(diǎn)共面,則經(jīng)過其中的三點(diǎn)的平面只有一個(gè),若空間中的四點(diǎn)不共面,設(shè)這四點(diǎn)為,由于無三點(diǎn)共線,所以由公理2,可知過三點(diǎn)確定一個(gè)平面,過三點(diǎn)確定一個(gè)平面,過三點(diǎn)確定一個(gè)平面,過三點(diǎn)確定一個(gè)平面,所以經(jīng)過其中三點(diǎn)的平面有4個(gè),綜上,空間四點(diǎn)中,無三點(diǎn)共線,則經(jīng)過其中三點(diǎn)的平面有1個(gè)或4個(gè),故選:C例題2.(2022·河南三門峽·高一期末)下列命題正確的是(

)A.三點(diǎn)確定一個(gè)平面 B.一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面C.兩條直線確定一個(gè)平面 D.梯形可確定一個(gè)平面【答案】D【詳解】解:A.由于在一條直線上的三點(diǎn)不能確定一個(gè)平面,所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤;B.一條直線和該直線外的一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面,所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤;C.兩條異面直線不能確定一個(gè)平面,所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤;D.梯形可確定一個(gè)平面,所以該選項(xiàng)正確.故選:D題型歸類練1.(2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí))三條兩兩平行的直線可以確定平面的個(gè)數(shù)可能為______個(gè).【答案】1或3【詳解】當(dāng)三條平行線不共面時(shí),如下圖示可確定3個(gè)平面;當(dāng)三條平行線共面時(shí),如下圖示確定1個(gè)平面.故答案為:1或3題型二:空間兩條直線的位置關(guān)系典型例題例題1.(2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí))若直線和沒有公共點(diǎn),則與的位置關(guān)系是(

)A.相交 B.平行 C.異面 D.平行或異面【答案】D【詳解】因?yàn)閮芍本€相交只有一個(gè)公共點(diǎn),兩直線平行或異面沒有公共點(diǎn),故選:D.例題2.(多選)(2022·廣東廣州·高一期中)若一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平行,則這條直線與另一個(gè)平面的位置關(guān)系為(

)A.平行 B.相交 C.直線在平面內(nèi) D.相切【答案】AC【詳解】如圖1所示,與平行,,而直線在平面內(nèi),如圖2所示,與平行,,而.綜上:若一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平行,則這條直線與另一個(gè)平面的位置關(guān)系為平行或直線在平面內(nèi).故選:AC例題3.(多選)(2022·云南師大附中高三階段練習(xí))《蝶戀花·春景》是北宋大文豪蘇軾所寫的一首詞作.其下闕為:“墻里秋千墻外道,墻外行人,墻里佳人笑,笑漸不聞聲漸悄,多情卻被無情惱”.如圖所示,假如將墻看做一個(gè)平面,墻外的道路?秋千繩?秋千板簡(jiǎn)單看做是直線.那么道路和墻面線面平行,秋千靜止時(shí),秋千板與墻面線面垂直,秋千繩與墻面線面平行.那么當(dāng)佳人在蕩秋千的過程中(

)A.秋千繩與墻面始終平行 B.秋千繩與道路始終垂直C.秋千板與墻面始終垂直 D.秋千板與道路始終垂直【答案】ACD【詳解】顯然,在蕩秋千的過程中,秋千繩與墻面始終平行,但與道路所成的角在變化.而秋千板始終與墻面垂直,故也與道路始終垂直.故選:ACD.題型歸類練1.(2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試)空間三個(gè)平面如果每?jī)蓚€(gè)都相交,那么它們的交線有(

)A.1條 B.2條 C.3條 D.1條或3條【答案】D【詳解】三個(gè)平而可能交于同一條直線,也可能有三條不同的交線,如圖所示:故選:D2.(多選)(2022·云南大理·模擬預(yù)測(cè))若直線∥平面,直線,則與的位置關(guān)系可以是(

)A.與相交 B. C. D.與異面【答案】BCD【詳解】直線∥平面,直線與平面無公共點(diǎn),又直線,直線與直線無公共點(diǎn),由線與線的位置關(guān)系可知,直線與直線平行或者異面,也可能異面垂直.故選:BCD題型三:立體幾何中的截面問題典型例題例題1.(多選)(2022·河北·衡水市第十四中學(xué)高二階段練習(xí))平面以任意角度截正方體,所截得的截面圖形可能為(

)A.等腰梯形 B.非矩形的平行四邊形 C.正五邊形 D.正六邊形【答案】ABD【詳解】解:畫出截面圖形如圖:C,D分別是所在棱的中點(diǎn),四邊形ABCD為等腰梯形,故A有可能;如圖作截面EFGH,E,G分別是所在棱的中點(diǎn),由平面與平面平行的性質(zhì)可得EFGH,F(xiàn)GEH,四邊形EFGH為平行四邊形,但不是矩形,故B有可能;經(jīng)過正方體的一個(gè)頂點(diǎn)去切正方體可得五邊形,一定不是正五邊形,故C不可能;六邊形的頂點(diǎn)為正方體各棱的中點(diǎn),六邊形為正六邊形,故D有可能.故選:ABD.例題2.(2022·上海大學(xué)附屬南翔高級(jí)中學(xué)高二開學(xué)考試)正方體中,棱長(zhǎng)為分別是、的中點(diǎn),是底面的中心,過作截面,則所得截面的面積為___________.【答案】##【詳解】連接,因?yàn)榉謩e是、的中點(diǎn),所以,因?yàn)?,所以,因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以過作截面,所得截面為梯形,因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為,所以,,,所以梯形的高為,其面積為,故答案為:題型歸類練1.(2022·山西長(zhǎng)治·高三階段練習(xí))正方體中,用平行于的截面將正方體截成兩部分,則所截得的兩個(gè)幾何體不可能是(

)A.兩個(gè)三棱柱 B.兩個(gè)四棱臺(tái)C.兩個(gè)四棱柱 D.一個(gè)三棱柱和一個(gè)五棱柱【答案】B【詳解】在正方體中,連接,因?yàn)?,平面,平面,所以平面,則截面把正方體截成兩個(gè)三棱柱;分別取的中點(diǎn),連接,則可得,又平面,平面,∴平面,則截面把正方體截成一個(gè)三棱柱和一個(gè)五棱柱;分別在上取點(diǎn)使,同理可得平面,則截面把正方體截成兩個(gè)四棱柱;不存在平行于的截面將正方體截成兩個(gè)四棱臺(tái).故選:B.2.(2022·江西省萬載中學(xué)高一階段練習(xí)(文))用一個(gè)平面去截直三棱柱,交分別于點(diǎn).若,則截面的形狀可以為________.(把你認(rèn)為可能的結(jié)果的序號(hào)填在橫線上)①一般的平行四邊形;②矩形;③菱形;④正方形;⑤梯形【答案】②④⑤【詳解】為直三棱柱,則面面,截面過面、面,則交線,當(dāng)不與平行時(shí),此時(shí)截得的EH不平行于FG,四邊形為梯形;當(dāng)時(shí),此時(shí)截得的,,當(dāng)時(shí),四邊形為矩形;當(dāng)時(shí),四邊形為正方形;故答案為:②④⑤題型四:異面直線所成角典型例題例題1.(2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí))如圖,在三棱錐中,,,分別是的中點(diǎn).若,則異面直線與所成角的大小為(

)A. B. C. D.【答案】B【詳解】因?yàn)?,,所以異面直線與所成角即或其補(bǔ)角,因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍為,所以異面直線與所成角的大小為.故選:B.例題2.(2022·新疆·和碩縣高級(jí)中學(xué)高一期末)在正方體中,直線與所成角的大小為(

)A. B. C. D.【答案】B【詳解】畫出圖象如下圖所示,根據(jù)正方體的性質(zhì)可知,所以是直線與所成角,由于三角形是等邊三角形,所以,即直線與所成角的大小為.故選:B例題3.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))如圖所示,直三棱柱中,分別是的中點(diǎn),,則與所成角的余弦值為(

)A. B. C. D.【答案】A【詳解】取的中點(diǎn)的中點(diǎn),則,∴為與所成角,由題可知直三棱柱為正棱柱,設(shè),則,在中,可得,∴與所成角的余弦值為.故選:A.例題4.(2022·山東·高密三中高二階段練習(xí))如圖,在正方體中,是側(cè)面的中心,則異面直線與的夾角大小為______.【答案】##【詳解】如圖,連接,則,則即為所求異面直線夾角(或其補(bǔ)角),連接,,,則,所以是等邊三角形,則.O是中點(diǎn),則由等邊三角形的性質(zhì)可知平分,即.故答案為:題型歸類練1.(2022·河北唐山·高一期末)在正方體中,E為的中點(diǎn),則異面直線與所成角的余弦值為(

)A. B. C. D.【答案】A【詳解】平移到,再連接,則或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,易得,,,由余弦定理得故選:A.2.(2022·內(nèi)蒙古包頭·高一期末)正方體中,P、Q分別為棱、的中點(diǎn),則異面直線與BD所成角的大小為(

)A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】C【詳解】連接,∵P、Q分別為棱、的中點(diǎn),∴,故即為所求,由正方體的性質(zhì)可知為等邊三角形,所以,即異面直線與BD所成角的大小為.故選:C.3.(2022·山西省長(zhǎng)治市第二中學(xué)校高一期末)正方體中,異面直線與所成角為(

)A. B. C. D.【答案】B【詳解】由題意,作正方體,如

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