第02講 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 高頻考點(diǎn)-精講（解析版）備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練（藝考生基礎(chǔ)版）

第第頁第02講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系(精講）目錄第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：典型例題剖析題型一：基本事實(shí)的應(yīng)用題型二：空間兩條直線的位置關(guān)系題型三：立體幾何中的截面問題題型四：異面直線所成角第一部分：知第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識(shí)點(diǎn)一：與平面有關(guān)的基本事實(shí)及推論1、與平面有關(guān)的三個(gè)基本事實(shí)（1）基本事實(shí)1：過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn),有且只有一個(gè)平面

數(shù)學(xué)語言：,,三點(diǎn)不共線有且只有一個(gè)平面,使,,.（2）基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)

數(shù)學(xué)語言：,,且,（3）基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線

數(shù)學(xué)語言：,且,且2、基本事實(shí)1的三個(gè)推論推論1:經(jīng)過一條直線與這條直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面;

推論2:經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面;

推論3:經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面.

知識(shí)點(diǎn)二：空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語言符號(hào)語言相交關(guān)系圖形語言圖形語言獨(dú)有關(guān)系圖形語言圖形語言與是異面直線知識(shí)點(diǎn)三：平行公理和等角定理1、基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線平行數(shù)學(xué)符號(hào)語言；若直線,則2、等角定理①文字語言：如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)②圖形語言：③符號(hào)語言：,或④作用：判斷或證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ)知識(shí)點(diǎn)四：異面直線所成角（1）異面直線的概念不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線（2）異面直線的畫法畫異面直線時(shí),為了體現(xiàn)它們不共面的特點(diǎn)，常借助一個(gè)或兩個(gè)平面來襯托（3）異面直線的判定①定義法②兩直線既不平行也不相交（4）異面直線所成角取值范圍：第二部分：典型例題剖析第二部分：典型例題剖析題型一：基本事實(shí)的應(yīng)用典型例題例題1．（2022·山東·高密三中高二階段練習(xí)）已知空間四點(diǎn)中，無三點(diǎn)共線，則經(jīng)過其中三點(diǎn)的平面有（

）A．一個(gè) B．四個(gè) C．一個(gè)或四個(gè) D．無法確定平面的個(gè)數(shù)【答案】C【詳解】若空間中的四點(diǎn)共面，則經(jīng)過其中的三點(diǎn)的平面只有一個(gè)，若空間中的四點(diǎn)不共面，設(shè)這四點(diǎn)為，由于無三點(diǎn)共線，所以由公理2，可知過三點(diǎn)確定一個(gè)平面，過三點(diǎn)確定一個(gè)平面，過三點(diǎn)確定一個(gè)平面，過三點(diǎn)確定一個(gè)平面，所以經(jīng)過其中三點(diǎn)的平面有4個(gè)，綜上，空間四點(diǎn)中，無三點(diǎn)共線，則經(jīng)過其中三點(diǎn)的平面有1個(gè)或4個(gè)，故選：C例題2．（2022·河南三門峽·高一期末）下列命題正確的是（

）A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面 B．一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面C．兩條直線確定一個(gè)平面 D．梯形可確定一個(gè)平面【答案】D【詳解】解：A.由于在一條直線上的三點(diǎn)不能確定一個(gè)平面，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.一條直線和該直線外的一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.兩條異面直線不能確定一個(gè)平面，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.梯形可確定一個(gè)平面，所以該選項(xiàng)正確.故選：D題型歸類練1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）三條兩兩平行的直線可以確定平面的個(gè)數(shù)可能為______個(gè)．【答案】1或3【詳解】當(dāng)三條平行線不共面時(shí)，如下圖示可確定3個(gè)平面；當(dāng)三條平行線共面時(shí)，如下圖示確定1個(gè)平面.故答案為：1或3題型二：空間兩條直線的位置關(guān)系典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若直線和沒有公共點(diǎn)，則與的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．平行 C．異面 D．平行或異面【答案】D【詳解】因?yàn)閮芍本€相交只有一個(gè)公共點(diǎn)，兩直線平行或異面沒有公共點(diǎn)，故選：D.例題2．（多選）（2022·廣東廣州·高一期中）若一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平行，則這條直線與另一個(gè)平面的位置關(guān)系為（

）A．平行 B．相交 C．直線在平面內(nèi) D．相切【答案】AC【詳解】如圖1所示，與平行，，而直線在平面內(nèi)，如圖2所示，與平行，，而.綜上：若一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平行，則這條直線與另一個(gè)平面的位置關(guān)系為平行或直線在平面內(nèi).故選：AC例題3．（多選）（2022·云南師大附中高三階段練習(xí)）《蝶戀花·春景》是北宋大文豪蘇軾所寫的一首詞作.其下闕為：“墻里秋千墻外道，墻外行人，墻里佳人笑，笑漸不聞聲漸悄，多情卻被無情惱”.如圖所示，假如將墻看做一個(gè)平面，墻外的道路?秋千繩?秋千板簡(jiǎn)單看做是直線.那么道路和墻面線面平行，秋千靜止時(shí)，秋千板與墻面線面垂直，秋千繩與墻面線面平行.那么當(dāng)佳人在蕩秋千的過程中（

）A．秋千繩與墻面始終平行 B．秋千繩與道路始終垂直C．秋千板與墻面始終垂直 D．秋千板與道路始終垂直【答案】ACD【詳解】顯然，在蕩秋千的過程中，秋千繩與墻面始終平行，但與道路所成的角在變化.而秋千板始終與墻面垂直，故也與道路始終垂直．故選：ACD.題型歸類練1．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）空間三個(gè)平面如果每?jī)蓚€(gè)都相交，那么它們的交線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．1條或3條【答案】D【詳解】三個(gè)平而可能交于同一條直線，也可能有三條不同的交線，如圖所示：故選：D2．（多選）（2022·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）若直線∥平面，直線，則與的位置關(guān)系可以是（

）A．與相交 B． C． D．與異面【答案】BCD【詳解】直線∥平面，直線與平面無公共點(diǎn)，又直線，直線與直線無公共點(diǎn)，由線與線的位置關(guān)系可知，直線與直線平行或者異面，也可能異面垂直.故選：BCD題型三：立體幾何中的截面問題典型例題例題1．（多選）（2022·河北·衡水市第十四中學(xué)高二階段練習(xí)）平面以任意角度截正方體，所截得的截面圖形可能為（

）A．等腰梯形 B．非矩形的平行四邊形 C．正五邊形 D．正六邊形【答案】ABD【詳解】解：畫出截面圖形如圖：C，D分別是所在棱的中點(diǎn)，四邊形ABCD為等腰梯形，故A有可能；如圖作截面EFGH，E，G分別是所在棱的中點(diǎn)，由平面與平面平行的性質(zhì)可得EFGH，F(xiàn)GEH，四邊形EFGH為平行四邊形，但不是矩形，故B有可能；經(jīng)過正方體的一個(gè)頂點(diǎn)去切正方體可得五邊形，一定不是正五邊形，故C不可能；六邊形的頂點(diǎn)為正方體各棱的中點(diǎn)，六邊形為正六邊形，故D有可能.故選：ABD.例題2．（2022·上海大學(xué)附屬南翔高級(jí)中學(xué)高二開學(xué)考試）正方體中，棱長(zhǎng)為分別是、的中點(diǎn)，是底面的中心，過作截面，則所得截面的面積為___________.【答案】##【詳解】連接，因?yàn)榉謩e是、的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以過作截面，所得截面為梯形，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，所以，，，所以梯形的高為，其面積為，故答案為：題型歸類練1．（2022·山西長(zhǎng)治·高三階段練習(xí)）正方體中，用平行于的截面將正方體截成兩部分，則所截得的兩個(gè)幾何體不可能是（

）A．兩個(gè)三棱柱 B．兩個(gè)四棱臺(tái)C．兩個(gè)四棱柱 D．一個(gè)三棱柱和一個(gè)五棱柱【答案】B【詳解】在正方體中，連接，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，則截面把正方體截成兩個(gè)三棱柱；分別取的中點(diǎn)，連接，則可得，又平面，平面，∴平面，則截面把正方體截成一個(gè)三棱柱和一個(gè)五棱柱；分別在上取點(diǎn)使，同理可得平面，則截面把正方體截成兩個(gè)四棱柱；不存在平行于的截面將正方體截成兩個(gè)四棱臺(tái).故選：B.2．（2022·江西省萬載中學(xué)高一階段練習(xí)（文））用一個(gè)平面去截直三棱柱，交分別于點(diǎn).若，則截面的形狀可以為________.（把你認(rèn)為可能的結(jié)果的序號(hào)填在橫線上）①一般的平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形【答案】②④⑤【詳解】為直三棱柱，則面面，截面過面、面，則交線，當(dāng)不與平行時(shí)，此時(shí)截得的EH不平行于FG，四邊形為梯形；當(dāng)時(shí)，此時(shí)截得的，，當(dāng)時(shí)，四邊形為矩形；當(dāng)時(shí)，四邊形為正方形；故答案為：②④⑤題型四：異面直線所成角典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，分別是的中點(diǎn)．若，則異面直線與所成角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，，所以異面直線與所成角即或其補(bǔ)角，因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍為，所以異面直線與所成角的大小為.故選：B.例題2．（2022·新疆·和碩縣高級(jí)中學(xué)高一期末）在正方體中，直線與所成角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】畫出圖象如下圖所示，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，所以是直線與所成角，由于三角形是等邊三角形，所以，即直線與所成角的大小為.故選：B例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，，則與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，則，∴為與所成角，由題可知直三棱柱為正棱柱,設(shè)，則，在中，可得,∴與所成角的余弦值為．故選：A．例題4．（2022·山東·高密三中高二階段練習(xí)）如圖，在正方體中，是側(cè)面的中心，則異面直線與的夾角大小為______．【答案】##【詳解】如圖，連接，則，則即為所求異面直線夾角（或其補(bǔ)角），連接，，，則，所以是等邊三角形，則．O是中點(diǎn)，則由等邊三角形的性質(zhì)可知平分，即．故答案為：題型歸類練1．（2022·河北唐山·高一期末）在正方體中，E為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】平移到,再連接，則或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，易得，，，由余弦定理得故選：A.2．（2022·內(nèi)蒙古包頭·高一期末）正方體中，P、Q分別為棱、的中點(diǎn)，則異面直線與BD所成角的大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【詳解】連接，∵P、Q分別為棱、的中點(diǎn)，∴，故即為所求，由正方體的性質(zhì)可知為等邊三角形，所以，即異面直線與BD所成角的大小為.故選：C.3．（2022·山西省長(zhǎng)治市第二中學(xué)校高一期末）正方體中，異面直線與所成角為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，作正方體，如