湖北省部分地區(qū)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期元月期末數(shù)學(xué)試題(學(xué)生版+解析)

2022-2023學(xué)年高二元月期末考試數(shù)學(xué)試卷本試卷全卷滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)戰(zhàn)均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.經(jīng)過點(diǎn)且與直線平行的直線方程為()A. B.C. D.2.焦點(diǎn)在軸的正半軸上，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A. B. C. D.3.已知空間向量，，，若向量共面，則實(shí)數(shù)()A. B. C. D.4.在棱長為2的正方體中，點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線BE的距離為()A.3 B. C. D.5.曲線與直線的公共點(diǎn)的個數(shù)為()A. B. C. D.6.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，M為雙曲線C右支上任意一點(diǎn)，D點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為()A.3 B.1 C. D.7.為建設(shè)宜居之城，某市決定每年按當(dāng)年年初住房總面積的建設(shè)新住房，同時(shí)拆除面積為單位：的舊住房已知該市年初擁有居民住房的總面積為單位：，則到年末，該市住房總面積為()參考數(shù)據(jù)：，A. B.C. D.8.已知橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，，離心率分別為，，點(diǎn)為橢圓與雙曲線在第一象限的公共點(diǎn)，且.若，則的取值范圍為()A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)“第一枚正面朝上”為事件A，“第二枚反面朝上”為事件，“兩枚硬幣朝上的面相同”為事件，則()A. B.事件A與事件互斥C.事件與事件對立 D.事件A與事件相互獨(dú)立10.已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，其前項(xiàng)和為，則()A.數(shù)列的公差為B時(shí)，取得最大值C.D數(shù)列中任意三項(xiàng)均不能構(gòu)成等比數(shù)列11.已知圓和圓，則()A.直線與圓有兩個公共點(diǎn)B.圓被直線截得的弦長可能為C.圓心在直線上D.圓與圓有且僅有條公切線12.若數(shù)列滿足，，則稱該數(shù)列為斐波那契數(shù)列如圖所示的“黃金螺旋線”是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的曲線圖中的長方形由以斐波那契數(shù)為邊長的正方形拼接而成，在每個正方形中作圓心角為的扇形，連接起來的曲線就是“黃金螺旋線”記以為邊長的正方形中的扇形面積為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則()A. B.是奇數(shù)C. D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.已知數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，且，則____.14.已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且過點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為____.15.如圖所示，在棱長均為的平行六面體中，，點(diǎn)為與的交點(diǎn)，則的長為_____.16.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且，點(diǎn)為點(diǎn)在直線上的射影，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為______.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.為弘揚(yáng)憲法精神，某校舉行憲法知識競賽.在初賽中，已知甲同學(xué)晉級概率為，乙同學(xué)晉級的概率為，甲、乙兩人是否晉級互不影響.(1)求甲、乙兩人同時(shí)晉級的概率；(2)求甲、乙兩人中至少有一人晉級的概率.18.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．19.已知點(diǎn)和直線點(diǎn)是點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn).(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)為坐標(biāo)原點(diǎn)，且點(diǎn)滿足.若點(diǎn)的軌跡與直線有公共點(diǎn)，求的取值范圍.20.如圖，在四棱錐中，底面ABCD，四邊形ABCD是正方形，且，E是棱BC上的動點(diǎn)，F(xiàn)是線段PE的中點(diǎn)．(1)求證：平面ADF；(2)是否存在點(diǎn)E，使得平面DEP與平面ADF所成角的余弦值為？若存在，請求出線段BE的長；若不存在，請說明理由．21.在數(shù)列中，已知，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使得的整數(shù)的最大值.22.已知平面內(nèi)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)連線斜率之積等于．(1)求點(diǎn)P的軌跡連同點(diǎn)所構(gòu)成的曲線C的方程；(2)設(shè)不過坐標(biāo)原點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為弦AB的中點(diǎn)．①求證：直線OM與直線l的斜率之積為定值；②過點(diǎn)M作直線l的垂線交曲線C于D、E兩點(diǎn)，點(diǎn)N為弦DE的中點(diǎn)．設(shè)直線ON與直線l交于點(diǎn)T，若有，求的最大值．

2022-2023學(xué)年高二元月期末考試數(shù)學(xué)試卷本試卷全卷滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)戰(zhàn)均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.經(jīng)過點(diǎn)且與直線平行的直線方程為()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平行得到斜率，結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)得到答案.【詳解】直線的斜率為，兩直線平行，故所求直線方程為.整理得：.故選：D2.焦點(diǎn)在軸的正半軸上，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接由焦點(diǎn)位置及焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離寫出標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【詳解】由焦點(diǎn)在軸的正半軸上知拋物線開口向上，又焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：A.3.已知空間向量，，，若向量共面，則實(shí)數(shù)()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意和空間向量的基本定理列出方程組，解之即可.【詳解】因?yàn)槿蛄?、、共面，設(shè)，其中、，則，解得.故選：C.4.在棱長為2的正方體中，點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線BE的距離為()A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，得到各點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)向量公式計(jì)算得到距離.【詳解】如圖所示：以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，點(diǎn)到直線BE的距離為.故選：C.5.曲線與直線的公共點(diǎn)的個數(shù)為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)以及分別得曲線為橢圓以及雙曲線的一部分，根據(jù)直線與其關(guān)系即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，曲線的方程為，表示橢圓的上半部分含與軸的交點(diǎn)，此時(shí)曲線與的交點(diǎn)為(0,3),(4,0),當(dāng)時(shí)，曲線的方程為，表示雙曲線在軸下方的部分，其一條漸近線方程為：，故直線與無交點(diǎn)，曲線與直線的公共點(diǎn)的個數(shù)為.故選：B6.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，M為雙曲線C右支上任意一點(diǎn)，D點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為()A.3 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】由雙曲線定義把轉(zhuǎn)化為到右焦點(diǎn)的距離，然后由平面幾何性質(zhì)得結(jié)論．【詳解】設(shè)雙曲線C的實(shí)半軸長為，右焦點(diǎn)為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)M為的延長線與雙曲線交點(diǎn)時(shí)取等號.故選：C．7.為建設(shè)宜居之城，某市決定每年按當(dāng)年年初住房總面積的建設(shè)新住房，同時(shí)拆除面積為單位：的舊住房已知該市年初擁有居民住房的總面積為單位：，則到年末，該市住房總面積為()參考數(shù)據(jù)：，A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可得，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式即可化簡求值.【詳解】由題意，年末的住房面積為，年末的住房面積為，年末的住房面積為，……年末的住房面積為.到年末，該市住房總面積為.故選：A8.已知橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，，離心率分別為，，點(diǎn)為橢圓與雙曲線在第一象限的公共點(diǎn)，且.若，則的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線定義可得，，進(jìn)而在焦點(diǎn)三角形中由余弦定理即可得，由即可得的范圍.【詳解】由題意設(shè)焦距為，橢圓長軸長為，雙曲線實(shí)軸長為，在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義，由橢圓定義，可得，，又，由余弦定理得，可得，得，即，可得，即，又時(shí)，可得，即，亦即，得.故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)“第一枚正面朝上”為事件A，“第二枚反面朝上”為事件，“兩枚硬幣朝上的面相同”為事件，則()A. B.事件A與事件互斥C.事件與事件對立 D.事件A與事件相互獨(dú)立【答案】AD【解析】【分析】對A：根據(jù)古典概型的計(jì)算公式分析運(yùn)算；對B：根據(jù)互斥事件的概念分析判斷；對C：根據(jù)對立事件的概念分析判斷；對D：根據(jù)獨(dú)立事件的概念分析判斷.【詳解】對A：由題意可知：一枚硬幣有兩個等可能結(jié)果：正面朝上、反面朝上，則，兩枚硬幣有兩個等可能結(jié)果：正正、正反、反正、反反，則，A正確；對B：事件A與事件可以同時(shí)發(fā)生，即事件A與事件不是互斥，B錯誤；對C：事件對立事件包含兩種情況：正反、反正，事件僅有一種情況：正反，故事件與事件不對立，C錯誤；對D：∵，故事件A與相互獨(dú)立，D正確.故選：AD.10.已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，其前項(xiàng)和為，則()A.數(shù)列的公差為B.時(shí)，取得最大值C.D.數(shù)列中任意三項(xiàng)均不能構(gòu)成等比數(shù)列【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列基本量的計(jì)算可判斷AB,根據(jù)求和公式可判斷C，根據(jù)等比中項(xiàng)的關(guān)系，結(jié)合不等式即可求解D.【詳解】對于,設(shè)公差為則，解得，選項(xiàng)正確；對于B,，，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，B選項(xiàng)錯誤.對于C,，C選項(xiàng)正確.對于D,假設(shè)中三項(xiàng)，，成等比數(shù)列，則有；整理得：，由①知，將其代入中得這與矛盾，故假設(shè)不成立，數(shù)列中任意三項(xiàng)均不能構(gòu)成等比數(shù)列，D選項(xiàng)正確.故選：ACD11.已知圓和圓，則()A.直線與圓有兩個公共點(diǎn)B.圓被直線截得的弦長可能為C.圓心直線上D.圓與圓有且僅有條公切線【答案】AC【解析】【分析】確定直線過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)得到A正確；計(jì)算最短弦長為得到B錯誤；計(jì)算圓心代入直線方程得到C正確；舉反例得到D錯誤，得到答案.【詳解】對選項(xiàng)A：直線即，過定點(diǎn)，則，即點(diǎn)在圓內(nèi)，因此直線與圓有兩個公共點(diǎn)，正確；對選項(xiàng)B：由選項(xiàng)A可知當(dāng)垂直于直線時(shí)，所截得的弦長最短且為，因此圓被直線截得的弦長不可能為，錯誤；對選項(xiàng)C：圓的圓心為，則，即圓心坐標(biāo)滿足方程，即圓心在直線上，正確；對選項(xiàng)D：取，圓的方程為，即，其圓心為，半徑為，，此時(shí)圓與圓外切，有條公切線，錯誤.故選：AC12.若數(shù)列滿足，，則稱該數(shù)列為斐波那契數(shù)列如圖所示的“黃金螺旋線”是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的曲線圖中的長方形由以斐波那契數(shù)為邊長的正方形拼接而成，在每個正方形中作圓心角為的扇形，連接起來的曲線就是“黃金螺旋線”記以為邊長的正方形中的扇形面積為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則()A. B.是奇數(shù)C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)遞推公式求出即可判斷A；觀察數(shù)列的奇偶特點(diǎn)即可判斷B；根據(jù)遞推公式，結(jié)合累加法即可判斷C；根據(jù)遞推公式可得，結(jié)合累加法計(jì)算即可判斷D.【詳解】對于A，由，且，可得斐波那契數(shù)列：，，，，，，，，故故A正確；對于B：由斐波那契數(shù)列：，，，，，，，，，，，，可得每三個數(shù)中前兩個為奇數(shù)，后一個偶數(shù)，且，所以是奇數(shù)，故B正確；對于C：因?yàn)?，相加可得：，故C錯誤；對于D：因?yàn)殪巢瞧鯏?shù)列總滿足，且，所以，，，類似的有，，其中累加得，，故：，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.已知數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，且，則____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)得到，計(jì)算得到答案.【詳解】數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，..故答案為：14.已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且過點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為____.【答案】【解析】【分析】設(shè)雙曲線方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算得到答案.【詳解】雙曲線即，雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，所以雙曲線的方程可設(shè)為：，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，可得，則雙曲線的方程為，即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：15.如圖所示，在棱長均為的平行六面體中，，點(diǎn)為與的交點(diǎn)，則的長為_____.【答案】【解析】【分析】設(shè)，，為基底，，，平方計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)，，為基底，，則，所以，故.故答案為：16.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且，點(diǎn)為點(diǎn)在直線上的射影，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)直線：，聯(lián)立方程得到根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)垂直計(jì)算得到，考慮和兩種情況，得到的軌跡，計(jì)算距離得到答案.【詳解】由題可知直線斜率存在，設(shè)直線：，，，聯(lián)立方程：，整理得：，，，，，得或(舍)，滿足，故直線：.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，點(diǎn)到直線為；當(dāng)時(shí)，直線，又直線：，消去整理得：，，圓心為，半徑，點(diǎn)到直線距離的最大值為圓心到直線的距離加半徑，即，綜上所述：點(diǎn)到直線的距離的最大值為.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.為弘揚(yáng)憲法精神，某校舉行憲法知識競賽.在初賽中，已知甲同學(xué)晉級的概率為，乙同學(xué)晉級的概率為，甲、乙兩人是否晉級互不影響.(1)求甲、乙兩人同時(shí)晉級的概率；(2)求甲、乙兩人中至少有一人晉級的概率.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)相互對立事件的乘法計(jì)算公式即可求解，(2)根據(jù)相互對立事件的乘法公式以及對立事件的概率即可求解.【小問1詳解】設(shè)“甲晉級”為事件，“乙晉級”為事件，設(shè)“甲、乙兩人同時(shí)晉級”為事件，則；【小問2詳解】設(shè)“甲、乙兩人中至少有一人晉級”事件，由題事件，相互獨(dú)立，則，也相互獨(dú)立，所以，則.18.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)【解析】【分析】(1)利用公式求解；(2)根據(jù)第(1)的結(jié)論，再利用錯位相減法求解.【小問1詳解】因?yàn)棰?，所以時(shí)，②，由①②相減，可得，，當(dāng)時(shí)，，滿足，故的通項(xiàng)公式為，．【小問2詳解】因?yàn)?，所以③，則④，由③-④，得，∴，∴.19.已知點(diǎn)和直線點(diǎn)是點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn).(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)為坐標(biāo)原點(diǎn)，且點(diǎn)滿足.若點(diǎn)的軌跡與直線有公共點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)設(shè)點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對稱可列出方程，聯(lián)立解得答案；(2)設(shè)點(diǎn)，根據(jù)求得P點(diǎn)軌跡方程，根據(jù)點(diǎn)的軌跡與直線有公共點(diǎn)，可知圓心到直線距離小于等于半徑，解不等式可得答案.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)，由題意知線段的中點(diǎn)在直線上，故：，①又直線垂直于直線，故，②聯(lián)立①②式解得：，故點(diǎn)的坐標(biāo)為；【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)，由題，則，故，化簡得，又直線與圓有公共點(diǎn)，故，解得

.20.如圖，在四棱錐中，底面ABCD，四邊形ABCD是正方形，且，E是棱BC上的動點(diǎn)，F(xiàn)是線段PE的中點(diǎn)．(1)求證：平面ADF；(2)是否存在點(diǎn)E，使得平面DEP與平面ADF所成角的余弦值為？若存在，請求出線段BE的長；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)不存在，理由見解析.【解析】【分析】(1)根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理作答.(2)由(1)中坐標(biāo)系，求出平面DEP與平面ADF的法向量，再利用面面角的向量求法計(jì)算判斷作答.【小問1詳解】在四棱錐中，底面ABCD，四邊形ABCD是正方形，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，，設(shè)，，則，，，于是，，有，，又，平面，平面，因此平面.【小問2詳解】由(1)平面ADF的法向量為，又，，設(shè)平面的法向量為，則，不妨令，則，故平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面所成角為，則，解得或，此時(shí)點(diǎn)在線段的延長上，所以，不存在這樣的點(diǎn).21.在數(shù)列中，已知，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使得的整數(shù)的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)5【解析】【分析】(1)計(jì)算，，得到等比數(shù)列的證明.(2)確定，，根據(jù)裂項(xiàng)相消法得到，代入不等式計(jì)算得到答案