第10講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（精講）【一輪復習講義】2024年高考數(shù)學高頻考點

【一輪復習講義】2024年高考數(shù)學高頻考點題型歸納與方法總結(新高考通用)

第10講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)(精講)

題型目錄一覽

①指數(shù)寨的化簡與求值

②指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

③解指數(shù)方程與不等式

④指數(shù)函數(shù)的綜合應用

★【文末附錄-指數(shù)運算和指數(shù)函數(shù)思維導圖】

、知識點梳理

1.指數(shù)及指數(shù)運算

(1)根式的定義：

一般地，如果x"=a,那么X叫做。的〃次方根，其中5>1,neN*),記為折，”稱為根指數(shù)，。稱為根

底數(shù).

(2)根式的性質(zhì)：

當"為奇數(shù)時，正數(shù)的"次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的“次方根是一個負數(shù).

當〃為偶數(shù)時，正數(shù)的"次方根有兩個，它們互為相反數(shù).

(3)指數(shù)的概念：指數(shù)是鬲運算"'(axO)中的一個參數(shù)，。為底數(shù)，〃為指數(shù)，指數(shù)位于底數(shù)的右上角，>

運算表示指數(shù)個底數(shù)相乘.

(4)有理數(shù)指數(shù)鬲的分類

〃個

①正整數(shù)指數(shù)幕.a(〃eN*)；②零指數(shù)鬲a°=l("°)；

③負整數(shù)指數(shù)幕才"=十("0,nwN")；④0的正分數(shù)指數(shù)零等于()，0的負分數(shù)指數(shù)易沒有意義.

(5)有理數(shù)指數(shù)零的性質(zhì)

①a"‘a(chǎn)"=a"'+"(a>0,m,；②="""(a>0,m,neQ)-

③觸)=a""(a>0,b>0,旌。)；④"=涓(">(),

2.指數(shù)函數(shù)

y=ax

0<a<ia>l

q

收4L

o\~

-511x

圖象

①定義域R,值域（0,+8）

②*=i,即時x=o,y=i,圖象都經(jīng)過即，i）點

性質(zhì)③優(yōu)=a,即x=1時，）'等于底數(shù)”

④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)

⑤x<0時，ax>];%>0時，0<ax<1%<0時，Ova’vl;x>0時，ax>1

⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)

【常用結論】

1.指數(shù)函數(shù)常用技巧

（1）當?shù)讛?shù)大小不定時，必須分和兩種情形討論.

⑵當0＜。＜1時，Xf+OO,y-O；”的值越小，圖象越靠近）’軸，遞減的速度越快.

當時Xf+8,y.O；。的值越大，圖象越靠近）’軸，遞增速度越快.

（3）指數(shù)函數(shù)y=能與y=（%的圖象關于）'軸對稱.

a

二、題型分類精講

刷真題明導向

一、單選題

1.（2022?北京?統(tǒng)考高考真題）己知函數(shù)/5）=3統(tǒng)，則對任意實數(shù)x,有（）

A./(-x)+/(x)=0B./(-x)-/(x)=0

C./(—x)+/(x)=lD./(-x)-/(x)=-

【答案】C

【分析】直接代入計算，注意通分不要計算錯誤.

112,1

【詳解】/(-%)+/(%)=----1---=----1---1,故A錯誤，C正確;

l+2-x1+2*1+2*1+2*

112X12x-\1」

/(-x)-/(x)=,不是常數(shù)，故BD錯誤

1+2一、1+2、1+2,1+2'2'+12'+1

故選：C.

2.(2020?全國?統(tǒng)考高考真題)設。144=2,則4一〃=()

■111

一---

A.B.98D.6

16

【答案】B

【分析】根據(jù)已知等式，利用指數(shù)對數(shù)運算性質(zhì)即可得解

【詳解】由。1隔4=2可得1嗚4"=2,所以4"=9,

所以有4-"=，

故選：B.

【點睛】本題考查的是有關指對式的運算的問題，涉及到的知識點有對數(shù)的運算法則，指數(shù)的運算法則,

屬于基礎題目.

3.(2020?山東?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù)，當xe(0,*o)時，y="(O<a<l),則該函數(shù)

在(-8,0)上的圖像大致是()

【分析】根據(jù)偶函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的知識確定正確選項.

【詳解】當xe(0,+oo)時,y=a'(O<a<l),所以在(0,也)上遞減,

f(x)是偶函數(shù)，所以/(x)在(-應0)上遞增.

注意到“°=1,

所以B選項符合.

故選：B

4.(2021.全國.統(tǒng)考高考真題)下列函數(shù)中最小值為4的是()

=sin%+

A.y=x2+2x+4B.ll

4

C.y=2'+22TD.y=lnx+——

Inx

【答案】c

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷A選項不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等”，即可得出

不符合題意，C符合題意.

【詳解】對于A,y=x2+2x+4=(x+l)2+3>3,當且僅當尸-1時取等號，所以其最小值為3,A不符合

題意；

對于B,因為0<卜出耳41,y=kinx|+島224=4,當且僅當卜inx|=2時取等號，等號取不到，所以其

最小值不為4,B不符合題意；

對于C,因為函數(shù)定義域為R,而2，>0,)，=2'+2"=2'+2224=4,當且僅當2，=2,即x=l時取

等號，所以其最小值為4,C符合題意；

對于D,y=\nx+-^—,函數(shù)定義域為(0,1)(l,+<x>),而InxwR且InxwO,如當lnx=—l,y=-5,D不

Inx

符合題意.

故選：c.

【點睛】本題解題關鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等”的意義，再結合有關函數(shù)的

性質(zhì)即可解出.

5.（2022?浙江?統(tǒng)考高考真題）已知2"=5,1%3=b,則4"融=（）

255

A.25B.5C.—D.—

93

【答案】c

【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，褰的運算性質(zhì)以及對數(shù)的運算性質(zhì)即可解出.

14"（2"）5225

【詳解】因為2〃=5,。=1。以3=§1幅3,即23〃=3,所以4".=不3.

故選：C.

6.（2020?全國?統(tǒng)考高考真題）若2*-2><3-*-3一>,則（）

A.ln（y-x+l）>0B.ln（y-x+l）<0C.ln|x-j|>0D.In|x-y|<0

【答案】A

【分析】將不等式變?yōu)?；3T根據(jù)/（。=2'-3T的單調(diào)性知以此去判斷各個選項中真

數(shù)與1的大小關系，進而得到結果.

【詳解】由2*—2y<3r-3r得：2X-3T<2y-3一,

令/⑺=2'-3、

.y=2'為R上的增函數(shù)，y=3-'為R上的減函數(shù)，.,./（，）為R上的增函數(shù)，

Q.y-x>0,，ln（y-x+l）>0,則A正確，B錯誤；

Q|x-y|與1的大小不確定，故CD無法確定.

故選：A.

【點睛】本題考查對數(shù)式的大小的判斷問題，解題關鍵是能夠通過構造函數(shù)的方式，利用函數(shù)的單調(diào)性得

到x,y的大小關系，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想.

7.（2022.全國.統(tǒng)考高考真題）設a=0.1e°」,6=/c=-In0.9,則（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】C

【分析】構造函數(shù)f(x)=ln(l+x)-x,導數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定a,"C的大小.

【詳解】方法一：構造法

設/(x)=ln(l+x)-x(x>-l),因為/'(幻=丁^--1=—上，

1+X1+X

當xe(—1,0)時,f'(x)>0,當xw(0,+oo)時r(x)<0,

所以函數(shù)/。)=皿1+無)7在(0,”)單調(diào)遞減，在(-1,0)上單調(diào)遞增，

所以/(3<〃0)=0,所以In9-1vO,故">ln?=-ln0.9,即b>c,

所以/(-而)</(0)=0,所以In而+而<0,故木<”,所以木*。<?

故a<6,

設g(x)=xe*+ln(l-x)(O<x<l),則g,(%)=(x+l)ev+-^=—~

令力(x)=e*(x2-1)+1,h'(x')=ex(x2+2x-l),

當0<x<近一1時，//(x)<0,函數(shù)九(勸=/，-1)+1單調(diào)遞減，

當時,h'(x)>0,函數(shù)〃(x)=e*，-l)+l單調(diào)遞增，

又取0)=0,

所以當0<x<&_]時，h(x)<0,

所以當0<x-1時，g'(x)>0,函數(shù)g(x)=xe*+ln(l-x)單調(diào)遞增，

所以g(0.1)>g(0)=0,即0.1e°」>-ln0.9,所以

故選：C.

方法二：比較法

解：a=O.le°',&=7^7,c=-ln(1-(M),

1-U.1

①In67-ln^=OJ+ln(l-O.l),

令/(x)=x+ln(l—jf),XG((),0.1],

則r(x)=i-3=F<°，

l-xl-x

故f(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞減，

可得/(0.1)</(0)=0,即lna-\nb<0,所以a<h；

②0=0.1網(wǎng)+ln(l-0.1),

令g(x)=xex4-ln(l-x),xe(0,0.1],

貝！Jg\x)=xex+ex一一匚=。+/。一'""一】,

-1-x1-x

令k(x)=(1+x)(l-x)ex-1,所以k\x)=(1-x2-2x)ex>0,

所以伙x)在(0,0.1］上單調(diào)遞增，可得'(%)>"(0)>0,即g'(x)>0,

所以g(x)在(0.0.11上單調(diào)遞增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a-c>0,所以〃>c.

故c<a<b.

題型一指數(shù)幕的化簡與求值

―一藕方法指睛藕的一般原則

⑴有括號的先算括號里的，無括號的先算指數(shù)運算.

(2)先乘除后加減，負指數(shù)霖化成正指數(shù)嘉的倒數(shù).

(3)底數(shù)是負數(shù)，先確定符號；底數(shù)是小數(shù)，先化成分數(shù)；底數(shù)是帶分數(shù)的，先化成假分數(shù).

⑷若是根式，應化為分數(shù)指數(shù)嘉，盡可能用嘉的形式表示，運用指數(shù)寨的運算性質(zhì)來解答.

【典例1】計算:

⑴_8%正+27'-出；

⑵已知：/+/=3,求慝趨的值?

【答案】(1)4(2)1

【分析】(D利用指數(shù)幕的運算性質(zhì)可求得所求代數(shù)式的值；

(2)在等式,5+城=3兩邊平方可得出a+a1,再利用平方關系可求得如+a2,代入計算可得出”優(yōu)上:

a+air+az-1

的值.

312

【詳解】⑴解：原式=1一2口27+(33尸-22=1-2+9-4=4.

r2?V

⑵解：因為〃則a2+a2=a+a~i+2=9,所以，a+a'=7>

LI?Ci-J

所以，(a+a-1=々2+〃-2+2=49,可得，a24-a~2=47>

a+a~i+27+2_1

因此,

47-2-5,

【題型訓練】

一、單選題

＜"、療+3

1.（2023春湖南?高三校聯(lián)考階段練習）—=（）

?巧

A.9B.-C.3D.也

99

【答案】B

【分析】利用指數(shù)的運算性質(zhì)可求得所求代數(shù)式的值.

1

2=

3-9-

故選：B.

2.（2023?全國?高三專題練習）下列結論中，正確的是（）

A.設貝IJ，./=“B.若M=2,貝1］切=±啦

C.若0+1=3,貝■+/=±石D.《（2-萬『=2-萬

【答案】B

【分析】根據(jù)分式指數(shù)幕及根式的運算法則，正確運算，即可判斷出正誤.

【詳解】對于A,根據(jù)分式指數(shù)幕的運算法則，可得尷,「一選項A錯誤；

對于B,W=2,故6=±啦，選項B正確；

對于C,^+—=3,（/+a^）2=a+a'+2=3+2=5＞因為。＞0,所以/+尸=石,選項C錯誤;

對于D,—萬『=|2_司==一2,選項D錯誤.

故選：B.

二、填空題

3.（2023?全國?高三專題練習）若加+工=3,則“P+3二

mm

【答案】7

【分析】在等式機+工=3兩邊平方，可得出機?+工的值.

mnr

【詳解】在等式，〃+'=3兩邊平方可得（m+—|=ni2+-^-+2m-=tn2+-^-+2=9,

,nvm）m~mtn~

因此，/H—工=7.

故答案為：7.

4.（2023?全國?高三專題練習）已知“<0,化簡二次根式衛(wèi)尤的值是

y

【答案】Q.

【分析】利用根式的性質(zhì)進行化簡.

【詳解】由歸7可知，%<o,又犯<0,所以y>o,

所以虧二y口,所以上t=Q.

y

故答案為：口.

5.（2023?全國?高三專題練習）已知a"=&+l，則""+1"二

。+a

【答案】20-1

【分析】利用立方和公式化簡，再代入求值即可.

【詳解】於=近+1,

=\^2+1-1-1—j=J=2y—1?

ax+a~xV2+1

故答案為：20-1

6.（2023?全國?高三專題練習）已知a>6>0,a2+b2=4ab,則土二竺的值為.

ab

【答案】2G

【分析】將蘇+攵=4。。變形為，+2=4,設/=：,求出t的值，之土可化為-1,即可求得答案.

bababt

【詳解】由a>6>0,a2+b2=4ah,可得^±￡=4,;.g+2=4,

abba

設，=:，貝卜>1,貝!jr+l=4,.?.r-4r+l=0,

bt

解得，=2+6，（r=2-6舍去），

故-—=---=?—=2+6--------『=2+也-2+下!=2#,故答案為：25/3

abhat2+J3

三、解答題

111

7.（2023?全國?高三專題練習）（1）計算0。27-3-（」）-2+8產(chǎn)+（_1）。-3-1；

69

（2）若￡+■="，求/+了2的值.

【答案】⑴-5；（2）14.

【分析】（D由題意利用分數(shù)指數(shù)塞的運算法則，計算求得結果.

（2）由題意兩次利用完全平方公式，計算求得結果.

［詳解］（1）0.027飛-（--）-2+81075+（-）0-3-1=0.3-1-36+33+1-1=--36+27+1--=-5.

69333

（2）若藍/.x+—+2=6,x+—=4,.*.x2+x-2+2=16,Ax2+x-2=14.

」1___立

8.（2023?全國?高三專題練習）⑴計算：

(2)已知。力(。>份是方程V-5x+5=0的兩根，求半二嗎+冬邛的值.

【答案】(1)16；(2)2亞.

【分析】(D把根式化為分數(shù)指數(shù)塞，然后由幕的運算法則計算.

(2)由韋達定理箱出。+4必，求出求值式變形后代入已知值即可得.

I41IcXT4-

【詳解】(1)原式=25己X—+(2^x6^)4~4^=5x—+4x6+42=4+12=16；

55

\/

(2)由題意a+Z?=5,ab=5,yL(a-b)2=(a+b)2-4ab=52-4x5=5,而a>b,所以。一6=百，

所以—++\[h_—y[b)"+{>[ci+y/hy_62—2ylab+Z?+a+2y!ab+h

yfa+yfb>[a—y[b+4b){yla—>Jb)a—h

2(a+Z?)10廠

=~b=-r=2V5,

V5a-b

題型二指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

備策略方法解決指數(shù)函數(shù)有關問題，思路是從它們的圖像與性質(zhì)考慮，按照數(shù)形結合的思

路分析，從圖像與性質(zhì)找到解題的突破口，但要注意底數(shù)對問題的影響.

【典例1］函數(shù)f（x）=x2—依+1有兩個不同的零點，則y（a>0且"1）的圖象可能為（）

【分析】根據(jù)函數(shù)〃x）=x2-依+1有兩個不同的零點，求出。的范圍，再根據(jù)函數(shù)y="-a的圖象是由函

數(shù)^=。、的圖象向下平移。個單位得到的，作出函數(shù)y=的大致圖象，即可得解.

【詳解】因為函數(shù)/（x）=f-必+1有兩個不同的零點，

所以解得a>2或。<-2,

則在函數(shù)y=a*-a中a>2,

函數(shù)y=a'-a的圖象是由函數(shù)y=a，的圖象向下平移。個單位得到的,

作出函數(shù)y=a'-a的大致圖象，如圖所示，

所以y=（a>0且awl）的圖象可能為B選項.

故選：B.

【典例2］已知函數(shù)/（6=優(yōu)-2+1（〃>。,。工1）的圖像恒過一點P,且點P在直線根1=0（〃?〃>0）的

圖像上，則工+工的最小值為()

mn

A.4B.6C.7D.8

【答案】D

【分析】求出函數(shù)/(x)的圖象所過的定點坐標，由此建立〃?，”的關系，再利用均值不等式“1”的妙用求解

作答.

【詳解】函數(shù)"，)=*2+1(。>0,?！?)中,當x—2=0,即x=2時，恒有〃x)=2,則點戶(2,2),

依題意，2/力+2〃一1=0,即m+〃=；,又nm>0,因此m

-+-=2(m+n\-+1)=2(2+-+-)>2(2+2.1--)=8,當且僅當"=即能=〃=,時取等號，

mnmnmn\mnmn4

所以工+工的最小值為8.

mn

故選：D

【典例3］比較下列幾組值的大?。?/p>

(1)(-2.5"和(-2.5戶；(2)(|)?和(0.4/；

⑶和圖2；(4)0.4-2.5,2~2.5%

I

【答案】⑴(-2.5戶>(-2.5)3(2)(|)2<(0.4尸

(4)0.4*>2S6>2?"2

【分析】(D(2)(3)(4)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析比較大小即可

2244

⑴由于(-2.5)3=2于，(-2.5)5=2.55.

42

???y=25在R上為增函數(shù)，且§>§，

，2.5：>2.5:，即(-2.5金>(_2.5金；

(2)由于(0.4。=(|1

；尸自,在尺上為減函數(shù),且fl.

<(0.4P；

⑶???￥=（￡!'在R上為減函數(shù)，y=（gj在R上為增函數(shù)，且-g<0.

(4)?；0.4乜5=2.52J,y=2.5'在R上為增函數(shù)，且2.5>1.6>0>-0.2

:.2.525>2.516>1>2,5^2,

/.0.4-25>2.5,6>2-02.

【題型訓練】

一、單選題

1.（2023?天津河東?一模）如圖中，①②③④中不屬于函數(shù)y=3"y=2\j=[lj中一個的是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象的特征即可得答案.

【詳解】解：由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：

①是y=的部分圖象；③是y=2,的部分圖象；④是>=3,的部分圖象;

所以只有②不是指數(shù)函數(shù)的圖象.

故選：B.

2.（2023?全國?高三專題練習）函數(shù)y=or+。（a>0且awl）與函數(shù)y=a*+b的圖象可能是（）

【答案】A

【分析】分析各選項中兩函數(shù)的單調(diào)性及其圖象與y軸的交點位置，即可得出合適的選項.

【詳解】A選項，函數(shù)），=優(yōu)+匕為減函數(shù)，貝（

且函數(shù)丫=優(yōu)+6的圖象交，軸正半軸點（0,。+1）,則l+b>o,可得〃>-1,

函數(shù)y=or+。為增函數(shù)，且函數(shù)y=ax+。交y軸正半軸于點（0,6）,貝（Ja>0,b>0,A滿足；

對于B選項，函數(shù)），=優(yōu)+6交y軸于點（0力+1）,函數(shù)y=or+b交y軸于點（0力），

顯然b+l>A,B不滿足；

對于c選項，函數(shù)尸優(yōu)+方交）'軸于點（0S+1）,函數(shù)y="x+6交），軸于點（0⑼，

顯然b+l>b,C不滿足；

對于D選項，函數(shù)y=。'+6為減函數(shù)，貝

函數(shù)y=ox+人為減函數(shù)，則。<0,D不滿足.

故選：A.

3.（2023?云南紅河?云南省建水第一中學?？寄M預測）函數(shù)f（x）=“'-2+l（其中。>0,a=l）的圖象恒

過的定點是（）

A.（2,1）B.（2,2）C.（1,1）D.（1,2）

【答案】B

【分析】令x-2=（）可得定點.

【詳解】令X—2=0,即x=2,得y=2,

函數(shù)/"）=優(yōu)一2+1（其中a>0,a=1）的圖象恒過的定點是（2,2）.故選：B.

4.(2023?全國?高三專題練習)4知函數(shù)/(力=優(yōu)々-5(。>0且"1)的圖象過定點(，",〃)，則不等式

Y+/nr+〃+l<0的解集為()

A.(1,3)B.(-3,-1)C.(-co,-3)u(l,+oo)D.(-3,1)

【答案】D

【分析】根據(jù)指數(shù)型函數(shù)的定點求解也〃，代入后再求解一元二次不等式.

【詳解】當工=2時，/(2)=?2-2-5=?°-5=1-5=-4,故加=2,〃=Y,所以不等式為/+2萬一3<0,解

得-3<X<1,所以不等式的解集為(-3,1).

故選：D

5.(2023?全國?高三專題練習)函數(shù)y=dT(a>0,aHl)的圖像恒過定點A,若點A在雙曲線

22

土-2_=1(〃7>0,〃>0)上，則m〃的最大值為()

mn

A.6B.-2C.1D.4

【答案】D

Q1

【分析】令3-x=0,求得A(3,l,由點A在雙曲線上，得到三-±=1,然后由“1”的代換，利用基本不等

mn

式求解.

【詳解】令3-x=0,解得》=3,y=l,

所以A(3,l),

22

因為點A在雙曲線三-匕=1(〃?>0,〃>0)上,

mn

91

所以」-±=1,

m

<10-2/-一二4A,

nVtnn

等號成立,

所以m-n的最大值為4

故選：D

23I

6.（2023?天津?一模）已知a=3”6=23c=4^，則（）

A.c<a<bB.h<c<a

C.b<a<cD.c<b<a

【答案】D

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，幕函數(shù)的性質(zhì)即可判斷人<4,c〈a,再對〃，c進行取對數(shù)，結合對數(shù)函數(shù)的性

質(zhì)即可判斷c<b,進而即可得到答案.

【詳解】由4=3^=9與，6=2，=8rc=4。

則b=84<83<9§<a，C<a,

13i2

43

又log2b=log,8=-,log,c=log,4=-,

則log2c<log?b,即C<匕,

所以c<b<a.

故選：D.

2"r</7

7.（2023?北京東城?統(tǒng)考二模）設函數(shù)/（尢）=2,"，若人幻為增函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是（）

x,x>a

A.（0,4]B.[2,4]

C.⑵+oo）D.[4,+oo）

【答案】B

【分析】首先分析函數(shù)在各段函數(shù)的單調(diào)性，依題意可得〃>0且/N2",結合y=x?與>=2"的函數(shù)圖象

及增長趨勢求出參數(shù)的取值范圍.

【詳解】因為/（x）=[21X'",當時f（x）=2,函數(shù)單調(diào)遞增，

[A-,x>a

又y=V在（0,+8）上單調(diào)遞增，在（7,0）上單調(diào)遞減，

要使函數(shù)f（x）為增函數(shù)，貝1]。>0且〃*2",

又函數(shù)y=x2^y=2*在（O,y）上有兩個交點（2,4）和（4,16）,

且y=2*的增長趨勢比y=V快得多，

y=V與y=2,的函數(shù)圖象如下所示：

所以當x>4時2，>/,當2<x<4時》2>2”,當0<x<2時2*>,

所以24。<4,即實數(shù)。的取值范圍是241.

故選：B

8.（2023?浙江?高三專題練習）已知a=3p2,T=i,2L3,c=1.3",則（）

A.c<b<aB.a<b<c

C.c<a<bD.a<c<b

【答案】B

【分析】利用中間值1.212比較a,b的大小,再讓b,c與中間值13比較，判斷b,c的大小，即可得解.

（WW）a=lA'2<1,2'2<1.2'3=b,又因為通過計算知1.2,<1.33,所以（1.2*廣〈”，廠，即

又1.2°,所以1.2L3<13<L3"=c,所以a<b<c.

故選：B

二、多選題

9.（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中校考二模）點在函數(shù)y=e”的圖象上，當玉40,1）,則也二j■可

能等于（）

A.-1B.-2C.-3D.0

【答案】BC

【分析】根據(jù)目標式的幾何意義為y=e'在xe[o,l）部分圖象上的動點與點所成直線的斜率

k,即可求范圍.

【詳解】由刊■表示加（和耳）與點所成直線的斜率3

又”（5,〉）是〉=/在xe[0,l）部分圖象上的動點，圖象如下:

如上圖，B（Le）,貝!|-2],只有B、C滿足.

故選：BC

三、填空題

10.（2023?全國?高三專題練習）請寫出一個同時滿足下列條件①②③的函數(shù)/'（》）=

①f（0）=0；②對任意當歷＜々時，/（xl）＜/（x2）；③

【答案】1（答案不唯一）.

【分析】根據(jù)/（X）的圖像經(jīng)過原點，且在R上單調(diào)遞增，又利用指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)構造函數(shù)

即可.

【詳解】根據(jù)題意知/（X）的圖像經(jīng)過原點，且在R上單調(diào)遞增，又.考慮到圖像有“漸近線”的指數(shù)

函數(shù)，構造〃x）=l-（￡）,符合題意.

故答案為：〃x）=l一償J（答案不唯一）

11.（2023秋?吉林松原?高三前郭爾羅斯縣第五中學?？计谀┘褐狝x）為R上的奇函數(shù)，當xelO,”）時，

/（x）=2*],則不等式/（3x-l）＜的解集為___________.

X+1

【答案】（Y°q）

【分析】由函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性轉(zhuǎn)化后求解，

【詳解】由函數(shù)y=2"與丫=-一二均在[0,茁）上單調(diào)遞增，

X+1

故/（X）在[0,”）上單調(diào)遞增,

而/（X）為R上的奇函數(shù)，故f（x）在R上單調(diào)遞增，

〃3x-l）＜/（D等價于得*＜；，

故答案為：（-°0，]）

12.（2023.全國?高三專題練習）若函數(shù)y="T在（f,月上單調(diào)遞減，則k的取值范圍為.

【答案】（-8,0]

【分析】先畫出函數(shù)y=|4'-i|,再根據(jù)函數(shù)在（眉上單調(diào)遞減求解.

【詳解】解：因為函數(shù),=的圖象是由函數(shù)y=4,的圖象向下平移一個單位后，再把位于x軸下方的

圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的，

由圖象知，其在（F,0]上單調(diào)遞減，所以k的取值范圍是（-%01.

故答案為：（7,0]

四、解答題

13.（2023?全國?高三練習）已知函數(shù)/（X）=2'+G2T（。為常數(shù)）和函數(shù)g（x）=2,-2T,且〃（》）=先為

奇函數(shù).

（1）求實數(shù)”的值；

（2）設不等式V（x）＞g（x）恒成立，試求實數(shù)2的范圍.

【答案】（1）1

⑵工+?）

【分析】（D根據(jù)奇函數(shù)的定義求出a；

（2）運用參數(shù)分離法，構造函數(shù)，運用函數(shù)的單調(diào)性求解.

【詳解】(1).3)=?=212：=科??/*)+//(-犬)=0,即乎+支之=

g(x)2'-24'-14r-l4-'-I

(4'-1)(1-?)=q)解得”=i,

4'-1

經(jīng)檢驗符合題意；

(2)由W(x)>g(x),得〃2'+2-')>2r2~,則4>二竺，

'72X+2-X

—2、一2一、4V-14x+l-2,2八2c

2工+2-*4*+14X+14A+14+1

???實數(shù)幾的取值范圍是口，轉(zhuǎn))；

題型三解指數(shù)方程與不等式

令策略方法指數(shù)方程或不等式的解法

(1)解指數(shù)方程或不等式的依據(jù)

①/a)=律⑴弓(x)=g(x).

@aM>a^x\當時，等價于/(x)>g(x)；

當OVaVl時,等價于/(x)Vg(x).

(2)解指數(shù)方程或不等式的方法

先利用嘉的運算性質(zhì)化為同底數(shù)嘉，再利用函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解.

【典例1］不等式<2公對于以W0,2］恒成立，則。的取值范圍是.

【答案】(-",。)

【分析】由題意結合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得a<f+4x對于近?0,2］恒成立，設/(力=/-以，結合二次

函數(shù)的性質(zhì)可求得答案.

【詳解】由(gj“<24、得2a"<24，，得-f+a<4x,即a<d+以對于Vxe［0,2］恒成立，

設〃X)=X2+4X=(X+2)2-4,顯然/(x)開口向上，對稱軸為》=一2,

所以〃x)在［0,2］上單調(diào)遞增，當x=0時，f(x)取得最小值0,

則。<。，即a的取值范圍為(-8,0).

故答案為：(-8,0).

【題型訓練】

一、單選題

1.(2023.海南.統(tǒng)考模擬預測)已知集合4=卜，<2'<4卜B={x|0<x<3},則A「8=()

A.{x[0<xv2}B.{x|-l<x<3|

C.{x|0<x<3|D.{x|-l<x<2j

【答案】A

【分析】先求出集合A,集合的交集運算即可求出

【詳解】集合A={xg<2'<4}={x|-1<x<2},

8={x[0<x<3},

Ac8={x[0<x<2}.

故選：A.

Tr<1

2.(2023?河北?高三學業(yè)考試)設函數(shù)f(x)=〈2'：-，則滿足/(力42的x取值范圍是

1-log,X,X>1

A.[-1,2]B.[0,2]C.[l,+8)D.[0,+oo)

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，結合指對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，討論不同區(qū)間對應/(x)<2的x范圍，然后取并.

[x<\fx>1

【詳解】由ci.可得04x41；或一打，可得x>l；

[2<2[l-log2x<2

綜上，，。)42的工取值范圍是[0,*0).

故選：D

3.(2023.全國?高三專題練習)若關于x的不等式葉2禺>2兇+l(xeR)有實數(shù)解,則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(1,+(?)B.(2,+00)C.[L+00)D.[2,+<?)

【答案】A

【分析】分離參數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為。>1+，有解，計算即可.

【詳解】由題知//>2W+l（xeR）,而2心1，所以。>1+/，

又。<#1，所以1<1+#2.

因為關于x的不等式。?小>2忖+1（》￡可有實數(shù)解，

即a>l+^（xeR）有實數(shù)解，所以。>1,即ae（l,田））.

故選：A

4.（2023?全國?高三專題練習）若不等式恒成立，則實數(shù)〃的取值范圍是（）

A.（0,-1）B.￡+8）C.（0,）D.

【答案】B

【詳解】分析：首先根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為丁-26>-（3》+/）恒成立，利用判別式

△=（3-2。）2-4/<0,從而求得實數(shù)。的取值范圍.

詳解：不等式（；了"6<23"/恒成立，即（；）*-2&<（；嚴,2）,即丁-2以>_（3x+〃）恒成立，即

/+（3-2〃》+〃2>0恒成立，所以A=（3-2a）2-4a2<0,解得0>所以實數(shù)。的取值范圍是（：,y）,故

44

選B.

點睛：該題考查的是有關不等式恒成立，求參數(shù)的取值范圍的問題，在解題的過程中，需要明確指數(shù)式的

運算法則，注意應用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得到指數(shù)所滿足的大小關系，利用二次不等式恒成立問題，結合

式子的判別式，求得結果.

二、填空題

5.（2023?全國?高三專題練習）<1,/<i，則實數(shù)。的取值范圍為.

【答案】（0，；）

【分析】分別根據(jù)對數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，再求交集即可.

【詳解】10g“；<l=10gj<10g“4,

當。>1時logH；<log?a成立；

當0<“<1時，解得0<“<g.所以"(0,￡|51,+8)

2

<1o\[a<1<=>0<a<1

.'a的取值范圍是(0,￡|.

故答案為：(o,g)

3

6.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)/。)=21+。2]的圖象關于原點對稱，若f(2x-l)>5,則x的取

值范圍為.

【答案】x>l

【分析】先求得a的值，再利用函數(shù)單調(diào)性把不等式/(2x-l)>3^轉(zhuǎn)化為2x-l>l,解之即可求得x的取值

范圍.

【詳解】定義在R上函數(shù)/(%)=2'+小2-，的圖象關于原點對稱，

則/(0)=2°+/2°=。，解之得。=-1,經(jīng)檢驗符合題意

J=2\>=-2-*均為區(qū)上增函數(shù)，則f(x)=2，-2T為R上上函數(shù),

又/⑴=2-2T=1，

3

則不等式等價于解之得x>l

故答案為：x>l

三、解答題

7.(2023?全國?高三練習)解下列方程：

(1)2^+3-2^1-1=0;

(2)3x4'+2x9'=5x6x;

⑶10或,+/*=20；

(4)lg(2r+x-54)=x(l-lg5).

【答案】⑴戶-1;

(2)x=0或x=1；

(3)X=卡或x=10；

(4)x=54

【分析】(D(2)根據(jù)指數(shù)幕的運算法則結合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即得；

(3)(4)根據(jù)對數(shù)的運算律結合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即得.

【詳解】⑴由2"+3-2*T-l=0,可得2x(2、y+3x2'-2=0,

所以(2x2*-l)(2*+2)=0,

所以2?2*1=0,即2向=1，

所以4-1;

(2)3x4'+2x9'=5x6',可得3x(2、y-5x2*x3*+2x(3]=0,

所以(25)(3x2，-2x3")=0,

所以2*-3*=0或3x2*-2x3*=0,

由2*-3*=0,可得(|)=1，故》=()，

由3x2*-2x3*=0,可得2*T=3*T,即(g)=1>所以*一1=0，即x=l,

所以x=0或x=l；

(3)因為]產(chǎn)=(10吁、—

所以原方程可化為2?不，=20,即*'10,

兩邊取對數(shù)可得lg2x=l,即1gx=±1,

所以*=10或》=￡,

經(jīng)檢驗了=10或》=，是原方程的解，

所以x=10或x=L；

(4)由Ig(2'+x-54)=x(l-lg5),可得lg(2，+x—54)=xlg2=lg2、，

所以2*+x-54=2*,

即x=54,經(jīng)檢驗滿足題意，

所以x=54.

8.（2023秋?江西鷹潭?高三貴溪市實驗中學校考階段練習）已知函數(shù)/（x）=5、（a€R），與/（月的圖象

關于直線y=x對稱的圖象過點（2,1）.

⑴求。的值；

（2）求不等式的解集.

【答案】（1）。=一1;

⑵{x|x<log23且xwO}.

【分析】（D由對稱性知"X）的圖象過點（1,2）,代入后可得。值；

（2）結合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)解不等式.

【詳解】（1）由題意，*）的圖象過點（L2）,所以/⑴=4=2,a=-\i

2+a

乃

（2）由（1）f（x）=——,顯然xwO,

2*-1

32*3

不等式/（x）>：為島■>（化簡得2*<3,x<log32,

所以不等式的解集為{x|x<log?3且XHO}.

題型四指數(shù)函數(shù)的綜合應用

畬策略方法指數(shù)函數(shù)通過平移、伸縮及翻折等變換，或與其他函數(shù)進行結合形成復合函數(shù)

時，我們對這類問題的解決方式是進行還原分離，化繁為簡，借助函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對

稱性及周期性解決問題.

【典例1】函數(shù)/（X）=（；）TF，+3單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.B.（-8,-1）C.（1,+8）D,（3,+8）

【答案】C

【分析】根據(jù)復合函數(shù)同增異減，即可判斷出單調(diào)遞增區(qū)間.

【詳解】由/（》）=（；尸‘山+3,設〃（X）=-2+2X+3,貝（“）=（』”為減函數(shù),

求f(X)=(5孑+2*+3的單調(diào)遞增區(qū)間，等價于求“(X)=-2+2X+3的單調(diào)遞減區(qū)間，

因為“(x)=-(x-l)2+4在(l,+oo)單調(diào)遞減，

所以函數(shù)/(X)=(；)*+2Z的單調(diào)遞增區(qū)間是

故選：C.

【典例2】當xe(-8,1]時，不等式l+2'+(a-a?4，>0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.卜2,jB.—J