2023年數(shù)學(xué)中考一輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練-圓的綜合題

備考2023年中考數(shù)學(xué)《圓的綜合題》專題訓(xùn)練

一、綜合題

1.如圖，在RtABC中，ZACB=90°,以斜邊AB上的中線CD為直徑作。

O,與BC交于點(diǎn)M,與AB的另一個(gè)交點(diǎn)為E,過點(diǎn)M作。。的切線MN交

AB于點(diǎn)N.

r

3

(2)若。。的直徑為5,sinB=-，求即的長.

2.如圖，AB為。O的直徑，點(diǎn)C為AB上方的圓上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作。O的切線

1,過點(diǎn)A作直線1的垂線AD,交。O于點(diǎn)D,連接OC,CD,BC,BD,且BD與

(2)若AB=6,填空：

①當(dāng)CD的長度是時(shí)，aOBE是等腰三角形；

②當(dāng)BC=時(shí)，四邊形OADC為菱形.

3.請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

阿基米德折弦定理

阿基米德（Archimedes,公元前287~公元212年，古希臘是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)

家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子.

阿拉伯Al-Biruni（973年-1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇

聯(lián)在1964年根據(jù)Al-Biruni譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德

的折弦定理.

阿基米德折弦定理：如圖1,AB和8C是。的兩條弦（即折線ABC是

圓的一條折弦），AB>BC,。是ABC的中點(diǎn)，則從點(diǎn)。向AB所作垂線

的垂足E是折弦ABC的中點(diǎn)，即AE=EB+BC,

下面是運(yùn)用“補(bǔ)短法”證明AE=EB+BC的部分證明過程.

證明：如圖2,延長CB到點(diǎn)F,使得C尸=,連接DA,DB,DC和DF.

；D是ABC的中點(diǎn)

二DA=DC

任務(wù)：

（1）請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分：

（2）填空：如圖3,已知等邊內(nèi)接于。。，AB=6,。為。

上一點(diǎn)，=45°.AE±BD于點(diǎn)E，則BDC的周長是.

4.如圖，AABC內(nèi)接于半徑為石的。O,AC為直徑，AB=布，弦BD與AC交于

點(diǎn)E,點(diǎn)P為BD延長線上一點(diǎn)，且NPAD=ZABD,過點(diǎn)A作AF±BD于點(diǎn)F,連

接OF.

(1)求證：AP是。O的切線；

(2)求證：ZAOF=ZPAD；

(3)若tanZPAD=g，求OF的長.

5.如圖，。是AABC的外接圓，A3是O的直徑，點(diǎn)。在0。上，

AC平分NBAD,過點(diǎn)C的切線交直徑AB的延長線于點(diǎn)E,連接AD、

BC.

(2)若.)0的半徑長為r,AD^m，寫出求線段CE長的思路(不用求

出結(jié)果).

6.在圓0中，點(diǎn)A,B,C均在。0上,請(qǐng)僅用無刻度直尺按要求畫圖：

圖1

圖2

(1)在圖1中，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)作一銳角，使該銳角與NCAB互余；

(2)在圖2中，弦AD〃BC且ADrBC,過點(diǎn)A作一直線將△ABC的面積平分.

7.AABC中，AB=AC=10,BC=12,?0是4ABC的外接圓.

(1)如圖①，過A作MN〃BC,求證：MN與。。相切;

(2)如圖②，ZABC的平分線交半徑OA于點(diǎn)E,交。0于點(diǎn)D.求。0的半徑

和AE的長.

8.如圖，半徑為7的Q0上有一動(dòng)點(diǎn)B,點(diǎn)A為半徑OE上一點(diǎn)，且AB

最大為10,以AB為邊向外作正方形ABCD,連接DE.

(1)請(qǐng)直接寫出OA的長；

(2)過點(diǎn)A作AF1OE，且AF=OA，連接FD，在點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)過

程中，F(xiàn)D的長度會(huì)發(fā)生變化嗎？變化請(qǐng)說明理由，不變化請(qǐng)求出FD的長；

(3)當(dāng)點(diǎn)A,B,F三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫DE的長；

(4)請(qǐng)直接寫出OE的最大值和最小值.

9.如圖，AC是。O的直徑，P是。O外一點(diǎn)，連結(jié)PC交。O于B,連結(jié)PA、AB,

且滿足PC=50,PA=30,PB=18.

(1)求證：APAB^APCA；

(2)求證：AP是。0的切線.

10.如圖，ABC內(nèi)接于。O,ZBAC=45°,AD±BC,垂足為D,BD=6,DC=

4.

(2)求AD的長.

11.如圖，.AC。是。。的內(nèi)接三角形，AD是。O的直徑，點(diǎn)B是。。上的一

點(diǎn)，AB=CD，點(diǎn)E在A。的延長線上，射線EF經(jīng)過點(diǎn)C,

ZECD^ZACB;

(1)求證：￡尸是。。的切線；

(2)若N￡=45。，CE=4，求8C的長.

12.如圖

如圖1,正五邊形ABCDE內(nèi)接于。0，閱讀以下作圖過程，并回答下列問題：

作法如圖2.

L作直徑AF.

2.以F為圓心，F(xiàn)0為半徑作圓弧，與。0交于點(diǎn)M,N.

3.連結(jié)AM,MN,NA.

(1)求/ABC的度數(shù).

(2)AAMN是正三角形嗎？請(qǐng)說明理由.

(3)從點(diǎn)A開始，以DN長為半徑，在。0上依次截取點(diǎn)，再依次連結(jié)這些分

點(diǎn)，得到正n邊形，求n的值.

-TI

_X_l

-T-

_1_

T

l

i

t

-----------------------------------A

01234567891011x/cm

(1)點(diǎn)A在BC上的不同位置時(shí)，畫出相應(yīng)圖形，測(cè)量線段AB,AE,EC的

長度，得到下表的幾組對(duì)應(yīng)值

AB/cm01.02.03.04.05.06.07.08.09.010.0

AC/cm10.09.08.07.06.05.04.03.02.01.00

AE/cm10.08.46.85.23.93.12.72.62.52.20

EC/cm01.2.23.24.04.44.44.13.62.70

當(dāng)=時(shí)，AC的長為cm.

(2)將線段AB的長度作為自變量x,AE和EC的長度都是x的函數(shù)，分

別記為yAK和%c,并在平面直角坐標(biāo)系⑷中畫出了函數(shù)yAE的圖象，如圖

所示，請(qǐng)?jiān)谕蛔鴺?biāo)系中畫出函數(shù)加C的圖象；

(3)繼續(xù)在同一坐標(biāo)系中畫出所需的函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象直接寫出：當(dāng)&AEC

為等腰三角形時(shí)，線段AB長度的近似值(結(jié)果保留一位小數(shù)).

14.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,二0與BC,AC分別相切于點(diǎn)

E,F,B。平分ZABC，連接0A.

(1)求證：AB是。的切線；

(2)若BE=AC=3,。。的半徑是1,求圖中陰影部分的面積

15.如圖，AB為。O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E,且DE=OE.

(1)求證：ZBAC=3ZACD；

(2)點(diǎn)F在弧BD上，且NCDF=|ZAEC,連接CF交AB于點(diǎn)G,求證：

CF=CD；

(3)①在(2)的條件下，若OG=4,設(shè)OE=x,FG=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系

式；

②求出使得y有意義的x的最小整數(shù)值，并求出此時(shí)。。的半徑.

16.如圖，在矩形A8CO中，AB=6,AD=S，點(diǎn)。在對(duì)角線BD上(不與點(diǎn)B、D重

合)，以。為圓心，QB為半徑作圓。交BD于點(diǎn)E.

(1)sinZABD；

(2)若圓。經(jīng)過點(diǎn)A,求圓。的面積；

(3)若圓。與AACD的邊所在直線相切，求。8的長.

17.如圖，已知.ABCD,AB=46,BC=8上,NB=60。，其內(nèi)有一

個(gè)圓心角為240°扇形EOF，半徑OE=r

(1)發(fā)現(xiàn)：如圖1,當(dāng)E、F在BC邊上，扇形EOF與AD相切時(shí)，

①優(yōu)弧EF上的點(diǎn)與BC的最大距離為,r=,S扇形

EOF=；

②當(dāng)BE=CF時(shí)，優(yōu)弧EF上的點(diǎn)與點(diǎn)D的最小距離為；

(2)思考：如圖2,當(dāng)r=2時(shí)，扇形EOF在ABCD內(nèi)自由運(yùn)動(dòng)

①當(dāng)扇形EOF與ABCD的兩條邊同時(shí)相切時(shí)，求此時(shí)兩切點(diǎn)之間的距離是

多少？

②0E與AD垂直時(shí)，扇形EOF▲(填“有可能”或“不可能”)與

ABCD的邊切于點(diǎn)F;

(3)拓展：如圖3,將扇形的圓心0放在BC的中點(diǎn)處，點(diǎn)E在線段0B上運(yùn)

動(dòng)，點(diǎn)F在ABCD外,當(dāng)優(yōu)弧EF與.ABCD的邊有六個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直接寫出r

的取值范圍：.

18.如圖，在aABC中，AB=AC,AE是/BAC的平分線，經(jīng)過B點(diǎn)的圓0與AE相

切于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)F,FB恰好為圓O的直徑，連接BM.

(1)求證：BM平分/ABC.

(2)若BC=4,設(shè)BM=x,OB=y.

①試求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)x=娓時(shí)，求sinZBAC的值.

(3)BE+EM=272,求當(dāng)圓0的半徑最小時(shí)4ABC的面積.

4

19.如圖，已知在平行四邊形ABC。中，AB=10,BC=16,cosB=)，點(diǎn)P是邊

BC上的動(dòng)點(diǎn)，以CP為半徑的圓C與邊AD交于點(diǎn)E、F(點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè))，射線

CE與射線41交于點(diǎn)G.

(2)聯(lián)結(jié)AP,當(dāng)AP//CG時(shí)，求弦所的長

(3)當(dāng)aAGE是等腰三角形時(shí)，求圓。的半徑長.

20.(提出問題)

如圖1,直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)E,AB=10,CD=8，點(diǎn)P是CD

延長線上異于點(diǎn)D的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP交。。于點(diǎn)Q,連結(jié)CQ交于點(diǎn)

F,則點(diǎn)F的位置隨著點(diǎn)P位置的改變而改變.

當(dāng)DP=2時(shí)，求tanZP和線段AQ的長；

(2)(一般規(guī)律探究)

如圖2,連結(jié)AC,DQ.在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)DP=x,—^y.

BF

①求證：ZACQ=ZCPA;

②求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式：

（3）（解決問題）

當(dāng)。歹=1時(shí)，求-ACQ和一CDQ的面積之比.（直接寫出答案）

答案解析部分

1.【答案】（1）證明：連接OM，如圖1,

圖1

〈MN是。O的切線，

AOM1MN,

JNOMN=90。，

VOC=OM,

:.ZOCM=ZOMC,

在RtAABC中,CD是斜邊AB上的中線，

ACD=-AB=BD,

2

:.ZDCB=ZDBC,

:.ZOMC=ZDBC,

AOM/7BD,

AZOMN=ZMNB=90°,

AMN1BD;

(2)解：連接DM,CE,

r

圖2

VCD是。0的直徑,

，ZCED=90°,ZDMC=90°,

即DM_LBC,CE±AB,

由（1）知：BD=CD=5,

???M為BC的中點(diǎn)，

3

VsinB=—,

5

4

:.cosB=—.

5

在RtABMD中，BM=BDecosB=4,

ABC=2BM=8,

32

在RtACEB中，BE=BC*cosB=—,

327

AED=BE-BD=--5=-.

55

【解析】【分析】（1）先求出ZOCM=ZOMC,再求出OM〃BD,最后求解即

可；

4

（2）先求出cosB二y,再求出BC=2BM=8,最后利用銳角三角函數(shù)求解即

可。

2.【答案】（1）證明：??,過點(diǎn)C作OO的切線1,

VAD11,

???OC〃AD,

VAB為。O的直徑，點(diǎn)C為AB上方的圓上一動(dòng)點(diǎn)，

AAD1BD,

.\BD1OC,

ADE=BE,

AACDE^ACBE(SAS);

3

(2)-兀；3

4

【解析】【解答】解：(2)①連接0D,

VBE1OE,

AOE=BE,

AZOBE=ZEOB=45°,

VAD^OC,

AZA=45°z

???△ABD是等腰直角三角形，

AZCOD=45°,

VAB=6,

AAO=3,

45^x33

,e*CD的長度二

1804

3

故答案為-兀；

4

②??,四邊形OADC為菱形，

OA=OC=AD=CD=3,

VACDE^ACBE,

ACD=BC,

ABC=3,

故答案為3.

【分析】(1)由已知可得CE_LBD,則可知DE=BE,所以△CDE^^CBE(SAS);

(2)①連接OD,由已知可證明4ABD是等腰直角三角形，求得/COD=45。，即可

求CD的長度；②由已知可得OA=OC=AD=CD=3,再由4CDE也4CBE,則

CD=BC.

3.【答案】(1)證明：???。是ABC的中點(diǎn)

DA=DC

VZA=ZC,AE=CF

AADEACDF(SAS)

ADE=DF,ZF=ZDEA=9(f

在RtABDE和Rt/SBDF中

ZDE4=NF=9().

DB=DB,DE=DF

...Rt\BDEsRt\BDF{HL)

:..EB=FB

：.AE=CF=FB+BC=EB+BC

(2)6+60

【解析】【解答】解：(2)如圖，在BD上截取BF=CD,連接AF,AD,

根據(jù)題意得，AB=AC,ZABF^ZACD,

在4ABF和4ACD中，

AB=AC

ZABF=ZACD

BF=CD

.,.△ABF^AACD

，AF=AD

VAE±BD

，F(xiàn)E=DE

，CD+DE=BF+FE=BE

=45°

AB6rr

???如正=/=3&

；.BD+CD=2BE=65/2

AABC是等邊三角形，且AB=BC=6

\BDC的周長為：6+672

故答案為：6+6丘-

【分析】（1）利用弧的中點(diǎn)，可證得AD=DC,利用SAS證明△ADE^^CDF,利用

全等三角形的性質(zhì)可證得DE=DF,ZF=ZDEA=90°；再利用HL證明△BDE/4

BDF,利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，可得至?。軪B=FB,由此可證得結(jié)論；

（2）在BD上截取BF=CD,連接AF,AD,利用SAS證明△ABF^^ACD,利用全

等三角形的性質(zhì)可證得AF=AD,再證明CD+DE=BE,利用解直角三角形求出BE的

長；從而可求出BD+CD的長，利用等邊三角形的性質(zhì)可求出BC的長，然后求出^

BDC的周長.

4.【答案】（1）證明：???AC是。0的直徑，

.,.ZABC=90°,

BPZABD+ZCBD=90°,

CD=CD，

:.ZCAD=ZCBD,

ZPAD=ZABD,

AZPAD+ZCAD=ZABD+ZCBD=90°,

即PA±AC,

VAC是。O的直徑，

.?.AP是。O的切線；

(2)證明：?.?在RtZ^ABC中，AB=V10,AC=26,

..ABV2

??sinCr=-----=-----,

AC2

/.ZC=45°,

;AB=AB，

AZADB=ZC=45°,

VAF±BD,

AZFAD=ZADB=45°,

AFA=FD,

連接OD,

VOA=OD,OF=OF,FA=FD,

AAAOF^ADOF(SSS),

AZAOF=ZDOF,

AZAOD=2ZAOF,

AD=AD,

.\ZAOD=2ZABD,

AZAOF=ZABD,

VZABD=ZPAD,

AZAOF=ZPAD;

(3)解：延長OF交AD于點(diǎn)G,

VOA=OD,ZAOG=ZDOG,

AOG1AD,

VtanZPAD=",ZAOF=ZPAD,

3

八AG1

/.tanZAOF=-----=—

OG3

在Rt-OG中，AO=V5,

設(shè)AG=x,

.-.AG2+OG2=AO2,

x2+(3x)2=(75)2,

解得：x=￥

.-.AG=—,OG=—,

22

VZFAD=45°,OG1AD,

/.ZAFG=ZFAD=45°,

.*.FG=AG=—,

2

.,.OF=OG-FG=0.

【解析】【分析】(1)利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，可證得/ABC=90。，可得到/

ABD+ZCBD=90°,利用同弧所對(duì)的圓周角相等，可證得NCAD=/CBD,由此可證

得PALAC,然后利用切線的判定定理可證得結(jié)論；

(2)^RtAABC中，利用解直角三角形求出/C=45。，利用同弧所對(duì)的圓周角相等

得NADB=45。，由AF±BD,可證得AF=FD;連接OD,利用SSS證明△AOF9a

DOF,利用全等三角形的性質(zhì)可推出/AOD=2/AOF;再利用圓周角定理去證明/

AOF=ZABD,結(jié)合/ABD=/PAD,可證得結(jié)論；

(3)延長OF交AD于點(diǎn)G,利用等腰三角形的性質(zhì)可證得OGLAD,利用解直角

三角形可得到AG與0G的比值,設(shè)AG=x,可表示出0G的長，利用勾股定理可得到

關(guān)于x的方程，解方程求出x的值,可求出AG,0G的長；然后證明FG=AG,利用

OF=OG-FG，代入計(jì)算求出OF的長.

5.【答案】(1)證明：連接。C,

OCLCE,

.?.NOCE=90。,

:.NOCB+NBCE=90。,

AB是O的直徑，

:.ZACB=90°

ZCAB+ZOBC=90°,

OC=OB,

:./OCB=/OBC,

:"CAB=/BCE,

AC平分乙DAB,

：.ZCAD^ZCAB,

：.ZCAD=ZBCE

(2)解：連接8。,

I).

AB是。。的直徑,

ZADB=90°

AB=2r,AD—m,

在RtAADB中，

BD=yjAB2-AD2=J(2r>-加2=網(wǎng)產(chǎn)-m2

AC平分ZDAB

ZCAD^ZCAB,

:.CD=BC,

：.OC±BD,

?J4r2一機(jī)2

DH=BH=----------

2

又OA=OB,

：.OH=2="

22

OC1CE

:./OCE=/OHB=90。,

:.BD//CE,

:.NCEB=/HBO,

:^OHB~\OCE,

OHBH

"~OC~~CE'

mv4r2-nt

...5_2,

CE

r"戶-W

：.CE=--------------.

m

【解析】【分析】（1）連接OC,根據(jù)切線的性質(zhì)得到OCLCE，根據(jù)圓周角定理和等

腰三角形的性質(zhì)得到NCAB=NBCE,由角平分線的定義得NCAD=NCAB,等量代換

得到結(jié)論；（2）連接BD,根據(jù)圓周角定理得到NADB=90。，房間勾股定理得到

BD=8,求得OH=3,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論。

6.【答案】（1）解：如圖1,ZBCE為所作；

圖1

理由：.CB=CB

:"CAB=/BEC,

CE是直徑，

:.NBEC+NBCE=90。,

ZBCE+ZCAB=90°,

???ZBCE與NCAB互余;

(2)解：如圖2,直線AF為所作.

圖2

理由：?AD\\BC,

：.ZC=ZDCB,

AC=AC,

;.ZB=ZD,

：.ZDCB=ZB,

垂直平分BC,

則AF是ABC的中線，

???A尸將4ABC的面積平分.

【解析】【分析】（1）根據(jù)CB=CB,可得NC4B=NBEC,再結(jié)合

ZBEC+ZBCE=9Q°,可得/8。七+/045=90。，從而可得/BCE與/CAB互

余；

（2）根據(jù)要求作出圖形即可。

7.【答案】（1）證明：作直徑AD,連接DC,

；AB=AC且MN〃BC,

ZB=ZACB=ZNAC,

ZD=ZB,/.ZD=ZNAC,

AD是直徑，,ZD+ZDAC=90°,

ZNAC+ZDAC=90°,

ZOAN=90°,

又：點(diǎn)A在。。上，MN與。。相切

(2)解：作直徑AF,EG±AB,連接OB、OC,

VOB=OC,AB=AC

...O、A在BC的垂直平分線上，即AF垂直平分BC,

VBD平分NABC,EG±AB,FH±BC,

AEG=EH,BG=BH=6,

在RtAABH中，：AB=10,BH=6,由勾股定理得AH=8,

設(shè)。O的半徑為x,在RtAOBH中，

2525

由勾股定理得：（8-x）2+62=x2,.力=下，即。O的半徑為二-,

44

VAB=10,BG=6,，AG=4,

AGAE

由△AGEs^AHB得：——=—,

AHAB

代入解得：AE=5.

【解析】【分析】（1）作直徑AD,連接DC,根據(jù)等腰三角形和平行線的性質(zhì)得到/

B=ZACB=ZNAC,求得ND=/NAC,根據(jù)圓周角定理得到/OAN=90。，于是得到結(jié)

論；

（2）作直徑AF,EG1AB,連接OB、OC,根據(jù)線段垂直平分線的判定定理得到A、

。在BC的垂直平分線上，即AF垂直平分BC,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EG=EH,

BG=BH=6,再利用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)求解即可。

8.【答案】（1）解：如圖1所示，連接OB,

如圖1

則。4+032A5,當(dāng)且僅當(dāng)B點(diǎn)在。點(diǎn)左邊且B、0、A三點(diǎn)共線時(shí)“=”成立；

???AB的最大值為0A+0B;

...7+OA=10,

；.0A=3.

(2)解：FD的長度不變，值為7.

理由：如圖1,VAF10E,

如圖1

.,.ZOAB+ZBAF=90°

又..?正方形ABCD中有NBAD=90°,

ZBAF+ZFAD=90°,

ZOAB=ZFAD,

VOA=FA,AB=AD,

\OAB^\FAD(SAS)

.*.FD=0B=7,

；.FD的長不變，為7.

(3)解：OE=2廂一4或2麗+4

理由：當(dāng)點(diǎn)A,B,F三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，如圖2所示的兩種情況,

對(duì)于每種情況都有0B=7,0A=3,

,AB=dOB?-O曾=A/72-32=2710

AD=AB=2V10,

AE^OE-OA^l-3=4

；?當(dāng)B點(diǎn)在OE上方時(shí)，DE=AD-AE=2>/iQ-4；

當(dāng)B點(diǎn)在OE下方時(shí)，￡>E=AO+AE=2而+4.

(4)解：DE的最大值為12,最小值為2

理由：如圖3,延長AF到G使AG=4,連接BG,

ZBAD=ZGAE=90°,

ZBAG=ZDAE,

又：AG=AE=4,AB=AD,

AE4G會(huì)ADAE(SA5)

，DE=BG,

連接OB,OG,

=5

VOG+OB>BG,BG>OB-OG

所以當(dāng)B點(diǎn)位于圖中Bi處時(shí)，BG最大，此時(shí)BG=OG+OB=5+7=T2,

當(dāng)點(diǎn)B為于圖中B2處時(shí)，BG最小，此時(shí)BG=OB-OG=7-5=2,

綜上所述,BG的最大值為12,最小值為2.

【解析】【分析】(1)連接OB,利用三角形三邊關(guān)系定理可知當(dāng)且僅當(dāng)B點(diǎn)在。點(diǎn)左

邊且B、0、A三點(diǎn)共線時(shí)成立；可得至!]AB的最大值就是OA+OB,利用AB的最大

值為10,可求出OA的長.

(2)利用垂直的定義可證得/OAB+NBAF=90。，再利用正方形的性質(zhì)可證得NBAF+

ZFAD=90°；再利用余角的性質(zhì)可推出NOAB=NFAD,利用SAS可證得△OABgA

FAD,利用全等三角形的性質(zhì)可推出FD=OB,由此可得到FD的長，即可作出判斷.

(3)利用勾股定理求出AB的長，可求出AD,AE的長，再分情況討論：當(dāng)B點(diǎn)在

OE上方時(shí)，利用BE=AD-AE,可求出DE的長；當(dāng)B點(diǎn)在OE下方時(shí)，利用

DE=AD+AE可求出DE的長.

(4)延長AF到G使AG=4,連接BG,易證4BAG絲ZSDAE,利用全等三角形的性

質(zhì)可證得DE=BG;連接OB,OG,利用勾股定理求出OG的長，利用三角形的三邊關(guān)

系定理可得到當(dāng)B點(diǎn)位于圖中Bi處時(shí)，BG最大，求出BG的長；當(dāng)點(diǎn)B為于圖中B，

處時(shí)，BG最小，然后求出BG的長.

9.【答案】(1)證明：VPC=50,PA=30,PB=18,

?PC_50_5PA305

,?威一否一I詬-R-5'

?PCPA

又：NAPC=NBPA,

/.△PAB^APCA.

(2)證明:AC是。。的直徑，

:.ZABC=90°.

二ZABP=90°.

又?..△PABs—CA,

/.ZPAC=ZABP.

二ZPAC=90°.

.二PA是。O的切線.

【解析】【分析】(1)根據(jù)4PAB與4PCA的對(duì)應(yīng)邊成比例，夾角相等證得結(jié)論；

(2)欲證明AP是。O的切線，只需證得/PAC=90。，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角

得出ZABC=90°,故ZABP=90°,然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等得出ZPAC=

ZABP=90°,從而即可解決問題.

10.【答案】(1)解：如圖I,連接OB、OC,

圖1

VBD=6,DC=4,

ABC=10,

由圓周角定理得，ZBOC=2ZBAC=90°,

萬

.\OB=—BC=5V2；

2

(2)解：如圖2,連接OA,過點(diǎn)O作OE1AD于E,OF±BC于F,

A

；.BF=FC=5,

；.DF=1,

VZBOC=90°,BF=FC,

AOF=-BC=5,

2

VAD±BC,OE±AD,OF±BC,

四邊形OFDE為矩形，

.\OE=DF=1,DE=OF=5,

在RtAAOE中，AE=V0A2-（）E2=7,

AAD=AE+DE=12.

【解析】【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到/BOC=90。，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)

計(jì)算，求出OB;

（2）連接OA,過點(diǎn)O作OE,AD于E,OF_LBC于F,根據(jù)垂徑定理求出DF,根據(jù)

等腰直角三角形的性質(zhì)求出OF,根據(jù)勾股定理求出AE,結(jié)合圖形計(jì)算得到答案.

11.【答案】（1）證明：連接0C,

AB=CD,

：.ZACB=ZCAD,

■■AD是）0的直徑，

AZACD=90°,

VOC=OA,

/.ZOCA=ZCAD;

VZECD=ZACB,

：.ZOCA=ZECD;

ZACD=ZOCA+ZOCD=90°,

ZECD+ZOCD=90°，即：ZOCE=90°

/.OC±EF;

???OC是)0的半徑，

EF是o。的切線；

(2)解：過點(diǎn)。作OH±BC于點(diǎn)H,

VZE=45°,/OCE=90。,

...Z￡=NCQE=45。，

：?_OCE是等腰直角三角形；

：.OC=CE=4;

VZACB=ZCAD,

：.BC//AE;

...NCQE=N0C3=45。;

,/OH1BC,OH過圓心O,

；.NOHC=90。,BC=2CH,

在RtOHC中，C"=OCcosNOC"=4cos45°=2V^；

:?BC=2CH=4五.

【解析】【分析】(1)先求出NACB=NC4D,再求出NOCA=NECD，最后證

明求解即可；

(2)先求出NE=/COE=45。，再證明BC//AE,最后利用銳角三角函數(shù)進(jìn)

行計(jì)算求解即可。

12.【答案】(1)解：:lEE邊形ABCDE.

/.AB=BC=CD=DE=AE=^-=72：,

,ACE=3AE=3x72°=216°,

ZABC=-ACE=1x216°=108°.

22

(2)解：AAMN是正三角形，理由如下：

連結(jié)ON,FN,由作圖知：FN=FO

.\ON=OF=FN

...△OFN是正三角形，

二ZF=60°.

.".ZAMN=ZF=60°.

同理，ZANM=60°.

AZMAN=60°,即NAMN=NANM=NMAN

AAMN是正三角形.

(3)解：???△AMN是正三角形，

AN=2NAMN=120"?

AZ)=2AE=2x72°=144"

?*-DN=AD-AN=144°-120°=24°,

.?.〃工15.

24

【解析】【分析】(1)根據(jù)正五邊形的性質(zhì),可得各邊所對(duì)的弧相等，即可求得弧ACE

的度數(shù)，再根據(jù)弧、圓心角及圓周角定理可求出NABC的度數(shù)；

(2)AAMN是正三角形.由以F為圓心，F(xiàn)O為半徑作圓弧，與。O交于點(diǎn)M,N,

易得ON=OF=FN,即△OFN是正三角形，則NAMN=NF=60。，同理求得N

ANM=60°,即可判定4AMN是正三角形；

(3)由等邊三角性質(zhì)及弧、圓心角及圓周角定理可求出弧AN=120°,又弧AD的度數(shù)

為144。，再又弧DN的度數(shù)等于弧AD和弧AN度數(shù)之差，即弧DN=24。，再由

360-24。即可求出n值.

"【答案】⑴竽

(2)解：yAE的圖象如圖所示;

(3)解：%的圖象如圖所示；

當(dāng)線段C4、AE.EC出現(xiàn)兩條相等時(shí)，線段AB的長度約3.9cm或

5.6cm或7.4cm.

【解析】【解答】解：(1)■.ZDAC=ZDBA+NBDA,ADAC=ZDAE+ZEAC

N￡>B4=NZME=30°

：.ZBDA=ZEAC

在ABD與i.FCA中，

NBDA=ZEAC

</DBA=ZDCA

AD=AF

:.^ABD^FCA(AAS)

：.AC=BD

過點(diǎn)D作DH1BC,

ZB=ZC=30°

:.BD=DC

BDC是等腰三角形

SC=10

:.BH=5

/.cos/DBA-...

BD

G?___—5____

"2-BD

.?"=述

3

故答案為：業(yè)叵.

3

【分析】(1)根據(jù)三角形外角性質(zhì)解得，繼而證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，最

后由等腰三角形的三線合一性質(zhì)及余弦的定義解題；

(2)由表中的數(shù)據(jù)，描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)的圖象即可；

(3)在坐標(biāo)系中畫出力8、Lc所表示的圖象，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，即

兩個(gè)函數(shù)的圖象相交時(shí)，點(diǎn)M、N、P、Q滿足要求所對(duì)的韓準(zhǔn)備即為AB的長，用圖

象法解題.

14.【答案】(1)證明：如圖，過點(diǎn)。作QD_LAB于點(diǎn)D,連接0E,

BC與O0相切于點(diǎn)E,

..OE1BC,

B0平分ZABC,

ZOBD=ZOBE=-ZABC,

2

ZODB=4OEB=90°

在OBD和OBE中，<ZOBD=ZOBE

OB=OB

.?._OBD=OBE(AAS),

OD-OE,

：.OD是O的半徑,

又OD1AB,

：.AB是。。的切線

(2)解：如圖，設(shè)OAOB分別交。。于點(diǎn)M,N,連接OF,

的半徑是1,

.?.OD=OF=T,

AC與。0相切于點(diǎn)F,

:.0FLAC,

/OFC=/OEC=9QP=ZACB,

???四邊形0ECF是矩形，

：.CE=OF=1,

BE=AC=3,

:.BC=BE+CE=4,

:.AB=jAC2+BC2=5,

在RtOAD和RtQ4尸中，m，

OD-Or

Rt^OAD=Rt^OAF(HL),

ZOAD=ZOAF=-ABAC,

2

：.NOBD+ZOAD=1/ABC+1ABAC=1(ZABC+ABAC)=45°,

=180°-(ZOBD+ZOAD)=135°,

則圖中陰影部分的面積為SM-S扇形s=；A6.QD-U|詈1=

ZJoUZo

【解析】【分析】（1）過點(diǎn)o作ODLAB于點(diǎn)D,連接0E,利用切線的性質(zhì)可證得

OEJ_BC,利用角平分線的定義可證得NOBD=NOBE,利用AAS證明△OBD^A

OBE,利用全等三角形的性質(zhì)可證得OD=OE,然后利用切線的判定定理可證得結(jié)論.

（2）利用已知條件易證四邊形OECF是矩形，利用矩形的性質(zhì)可求出CE的長，從而

可求出BC的長，利用勾股定理求出AB的長；再利用HL證明△OADgZ\OAF,由此

證得NOAD=NOAF,再求出NAOB的度數(shù);然后根據(jù)陰影部分的面積"AAON的面

積-扇形MDON的面積，然后利用三角形和扇形的面積公式，可求出陰影部分的面積.

15.【答案】（1）證明：如圖1中，連接OD,OC,設(shè)ND=x.

VED=EO,

AZD=ZEOD=x,

VOD=OC,

:.ZD=ZOCD=x,

ZCEO=ZD+ZEOD=2x,ZCOB=ZOEC+ZOCD=3x,

VOA=OC,

AZA=ZACO,

VZA+ZACO=ZCOB=3x,

3

ZA=ZACO=—x.

2

:.ZACD=-x,

2

AZBAC=3ZACD;

(2)證明：連接CO,延長CO交DF于T.

VZAEC=2ZCDF,

，ZCDF=90°-x,

.??NCDF+NDCO=90。，

???CT_LDF,

ADT=TF,

???CD=CF;

(3)解：①連接CO,延長CO交DF于T,過點(diǎn)。作。M，CD于M,ONLCF于N.

由(2)可知，CD二CF,CT±DF,

：.ZDCO=ZFCO,

VON1CF,OMICD,

???OM=ON,

?：ZGEC=ZGCE,

???GE=GC=x+4,

，CD=CF=CG+FG=x+y+4,

VED=OE=x,

，EC=CD-DE=y+4,

s—CE,OM八萬

...SAOCE二2_OE

S^COG[CGON0G

2

.y+4「

"x+44'

1,

；.y=—x-+x-4.

4

②設(shè)OA=OB=R,

當(dāng)y>0時(shí)，yx2+x-4>0,

4

解得x>2V5-2或x<-275-2,

Ax的最小整數(shù)值為3,

5

.*.CG=7,FG=-,

4

VAG?GB=CGxFG,

...(R+4)(R-4)=7x：,

4

.,.R=—(負(fù)根已經(jīng)舍去)，

2

.??此時(shí)。O的半徑為各叵.

2

【解析】【分析】(1)連接OD,OC,設(shè)ND=x,易彳導(dǎo)ND二NEOD=x,ND=N

3

OCD=x,結(jié)合夕卜角的性質(zhì)可彳導(dǎo)NCEO=2x,ZCOB=3x,則NA=NACO=：x,ZACD=

；x,據(jù)此證明；

(2)連接CO,延長CO交DF于T,由(1)可知/AEC=18012x,結(jié)合已知條件可

得/CDF=9(T-x,貝！|/CDF+/DCO=90°,推出CT1DF,然后結(jié)合等腰三角形的判定

定理進(jìn)行證明；

(3)①連CO并延長交DF于T,過。作OM_LCD于M,ON1CF于N,由⑵知

CD=CF,CT±DF,貝[]/DCO=NFCO,由角平分線性質(zhì)得OM=ON,推出

GE=GC=x+4,貝!!CD=CF=x+y+4,EC=y+4,然后根據(jù)△OCE、AOCG的面積公式就

可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式；

②設(shè)OA=OB=R，令y>0,求出x的范圍，據(jù)此可得x的最小整數(shù)值為3,然后求出

CG、FG,根據(jù)AG?GB=CGxFG可得R的值.

4

16?【答案】(1)《

(2)解：連接OA,有OA=OB,

ZOAB=ZOBA,

VZOAB+ZOAD=90o,ZOBA+ZODA=90°,

ZOAD=ZODA,

.\OA=OD,

.?.OB=OD=-BD=5,

2

.,.圓O的面積=25兀;

(3)解：若圓O與AD相切，設(shè)切點(diǎn)為F,連接OF,則OF=OB,

ZBAD=90°,

AZBAD=ZOFD,

???AB〃OF,

.,.△OFD^ABAD,

ODOF10—OBOB

：.一=一，即nn-------=—

BDAB106

若圓O與CD相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)為G,連接OG,則OG=OB,

AOG1CDTG,

???NOGD=NO90。，

???OG〃BC,

AAOGD^ABCD,

OGODanOB10-OB

，?一=一，即一=------

BCDB810

若圓O與AC相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)H,連接OH,設(shè)AC、BD相交于Q,則OH=OB,

.，.BQ=~BD=5,

.\OQ=5-OB,

過點(diǎn)D作DPIAC于P,

VADxDC=DPxAC,

24

；.DP=—,

5

?.*/OQH=/DQP,ZOHQ=ZDPQ,

/.△OHQ^ADPQ,

?_O_H___D__P

"~OQ~QD'

24

OB:二,

5-OB~5

120

.,.OB=—;

49

15—40-120

綜上，OB的長為丁或不■或——

4949

【解析】【解答】解：（1）在矩形A8C。中,AB=6,AO=8,

=10,

..,AO84

??sin^.ABD==—=一,

BD105

4

故答案為：y；

【分析】（1）利用勾股定理求得BD的長，根據(jù)正弦函數(shù)的定義即可求解；

（2）求得圓的半徑為OB=OD=1BD=5,即可求解；

（3）分圓。與AD相切，圓O與CD相切時(shí)，圓。與AC相切時(shí)，利用相似三角形

的判定和性質(zhì)求解即可。

32萬

17.【答案】（1）6;4;??；2而-4

（2）解：①2或者26

理由：（i）如圖當(dāng)扇形與AB、AD邊相切時(shí)（當(dāng)扇形與CB、CD邊相切

時(shí)），過點(diǎn)。做OM_LA。，ONLAB，連接AO，易證

Rt.AMO^RtANO,NQM4=NOM4=60°

（ii）當(dāng)扇形與DC、AD邊相切時(shí)（當(dāng)扇形與AB、BC邊相切時(shí)），同理可

求得NM9M=120。，MN=2出

②有可能

(3)6<r<4>/3

【解析】【解答］解：（1）①

AH

D

圖1

設(shè)切點(diǎn)為H,連接OH并延長交BC于點(diǎn)G,HG即為扇形EOF上的點(diǎn)到BC的最大距

離，如圖所示；

扇形EOF與相切，0H1AD,

又四邊形ABCD是平行四邊形，HG1BC,

48=46,8c=8百,/8=60。，其內(nèi)有一個(gè)圓心角為240°扇形

EOF,

???HG=A3sinNB=4'口=6,NEOG=NFOG=60°,

2

1113

OE=r,—OE=—OH=OG=—r，即HG=HO+OG=—r=6,

2222

.??.°rtTir2240^-42327

..OE=r=4,S點(diǎn)舷“人.=----=---------=；

扇形EOF3603603

32%

故答案為6,4,??；

設(shè)切點(diǎn)為H,連接OH并延長交BC于點(diǎn)G,連接OD、AE,交扇形EOF于點(diǎn)M,即

MD為扇形EOF上的點(diǎn)到D的最短距離，如圖所示：

由①得OE=O"=OM=4,EG=FG,

BE=CF,BG=CG=；BC=4m,BE=EG=273,

???AE1BC,AH=EG=26,■-DH=6陋,

在Rt_DHO中，HD2+HO2=OD2,

即0D="+(6琦=2向,

MD=OD-OM=2y/Ti-4；

故答案為2而-4；(2)②有可能；如圖所示：

根據(jù)0E與AD垂直時(shí)，假設(shè)扇形EOF與ABCD的邊切于點(diǎn)F,

OE±AD,OF±CD,ZDEO+ZDFO=180°,

ZD+ZO=180°,與/B=/D=60。，NEOF=120。相符，

故答案為有可能；(3)6<r<；

因?yàn)閷⑸刃蔚膱A心0放在BC的中點(diǎn)處，點(diǎn)E在線段OB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F在

ABCD外，當(dāng)優(yōu)弧EF與^ABCD的邊有六個(gè)交點(diǎn)時(shí)，故