高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 函數(shù)的值域

第2.4章函數(shù)的概念與性質(zhì)

2.4.2函數(shù)的值域

課程要求心中有敷

1理解函數(shù)值域的概念；

高中要求

2會求常見函數(shù)的值域。

Ll基礎(chǔ)1知識夯實基礎(chǔ)，■立完整知識體系

一函數(shù)的概念

1概念

設(shè)力、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系乃使對于集合a中的任意一個數(shù)X,在集合B中都有唯

一確定的數(shù)/（X）和它對應(yīng)，那么就稱f：A7B為從集合力到集合B的一個函數(shù).記作：y=fO）,xeA.其

中，％叫做自變量，久的取值范圍4叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合

V（x）|xCA｝叫做函數(shù)的值域.

2定義域

①概念：函數(shù)自變量x的取值范圍.

②求函數(shù)的定義域主要應(yīng)考慮以下幾點

（1）若/（久）為整式，則其定義域為實數(shù)集/?.

（2）若/"（X）是分式，則其定義域是使分母不等于0的實數(shù)的集合.

（3）若為偶次根式，則其定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于0的實數(shù)的集合.

（4）若八支）是由幾個部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)的定義域是使各部分都有意義的實數(shù)的集合，即交

集.

（5）實際問題中，定義域要受到實際意義的制約.

3值域

①概念：函數(shù)值y的取值范圍

②求值域的方法

（1）配方法（2）數(shù)形結(jié)合（3）換元法（4）函數(shù)單調(diào)性法（5）分離常數(shù)法（6）基本不等式法

腌^仝典例題從典例中見解建能力

【題型1】函數(shù)值域的概念

【典題1】函數(shù)—久)=%+1,%€{—1,1,2}的值域是()

A.0,2,3B.0<y<3C.{0,2,3}D.[0,3]

答案C

解析,??/(%)-x+1,XG{-1,1,2)

.?.當(dāng)％=—1時，f(-1)=0；當(dāng)x=l時，/(1)=2；當(dāng)x=2時，/(2)=3

二函數(shù)/(x)=x+l,xC{-1,1,2}的值域是{0,2,3},故選：C.

變式練習(xí)

l./(x)的圖像如右下圖，則f(久)的值域為:

2.函數(shù)y=%2-2的定義域是{-1,0,1,2},則其值域是.

答案{一1,一2,2}

解析：當(dāng)》取一1,0,1,2時，y=-1,-2,-1,2,故函數(shù)值域為{-1,一2,2}.

3.已知函數(shù)/(久)=則/Xx)的值域是.

答案(0,1］

2

解析X+2>2;0<^+2-p；?f(X)的值域為(。，］.

【題型2】求函數(shù)的值域

【典題1］求函數(shù)/(無)-x2-4x+2,x&［1,4］的值域.

由題意：函數(shù)/(x)=%2-4比+2,開口向上，對稱軸x=2,

畫出函數(shù)/(%)=x2-4x+2,xE[1,4]如下,

二函數(shù)/（%）=%2-4%+2在區(qū)間［1,4］上的值域為［-2,2］.

【典題2】求函數(shù)丫=第（久>0）的值域.

2(x+l)-33

解析y---------=ZQ

%+1%+1

X>0,X+1>1,

-1一3

0V----V1,―1<2-------V2.

%+1x+1

???函數(shù)y=若■（久>0）的值域為（一1,2）.

【典題3】求函數(shù)/（無）=x-2V1-x+1的值域.

解析令瓜三c=t,t>0,（要注意新變量t的取值范圍）

則x-1—t2,

則y=1—產(chǎn)―2t+1=-/―2t+2,其在［0,+8）上的值域是y<2,

（把函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)值域問題）

即函數(shù)/（%）=%-2V1-x+1的值域為（-8,2］.

變式練習(xí)

1.函數(shù)/（x）=x2-2x,xG［-1,2］的值域為.

答案［-1,3］

解析/（x）=（%-1）2—1在［—1,1）上遞減，在（1,2］上遞增,

所以X=1時，/（X）取得最小值f（l）=-1;

久=—1時，取得最大值/（—1）=3,故值域為［—1,3］.

2.函數(shù)/(%)=|2%-3|+1|的值域為.

答案［:,+8)

3%+4,%V1

解析/(%)=|2%—3|+|%—1|=(—-%+2,1工<黑%工<

3x—4,x>-

12

函數(shù)圖象如圖：

由圖可知，函數(shù)/(x)=|2比一3|+回一1|的值域為弓,+8).

3.若函數(shù)y=等的值域是____.

%+2

答案(一8,2)U(2,+00)

解析??,y=2一二，

XT—8時，y1+8,%7+8時，y-2,x->—2時，y->—oo,

???函數(shù)的值域是：(-8,2)U(2,+00),

4.已知函數(shù)f(x)=分的定義域和值域都是［2,b］(b>2),則實數(shù)b的值為

答案3

其圖象如圖,

由圖可知，函數(shù)f(x)=詈在［2,句上為增函數(shù)，

又函數(shù)/(%)=箸的定義域和值域都是［2,b］(b>2),

/(h)==b,解得：b=3.

故答案為：3.

5.若函數(shù)y=好一4%-4的定義域為[O,zn],值域為[一8,-4],則m的取值范圍是

答案[2,4]

解析函數(shù)y=/—4x-4的圖象是開口向上，且以直線x=2為對稱軸的拋物線

—(4)=一4,打2)=—8

?.?函數(shù)y=x2-4x-4的定義域為值域為[-8,-4],

2<m<4,即的取值范圍是[2,4].

6.函數(shù)-7.x-Nx-1的值域為.

答案黨y)

解析設(shè)[=Vx-1,則X=t2+1

2

f(t)=2(產(chǎn)+1)—一方+2=2(t—J+石(七之。)

.,?值域為僧，8).

o

7.已知二次函數(shù)f(x)=-)2+X,如果存在實數(shù)<n),使得/⑺的定義域和值域分別是和

[3m,3n],求m+n的值.

答案-4

解析根據(jù)題意，二次函數(shù)/0)=-9/+%=一*%一1)2+1的對稱軸為“=1,最大值為宗

分3種情況討論：

/(m)=--xm2+m=3m

：，

{f(n)=--xn2+n=3n

解可得血=-4,n=0,此時m+zi=-4；

②當(dāng)TH<1<n時，/(x)的最小值為/(l)=1=3n,解可得n=

LO

與mclvzi矛盾，不符合題意;

③當(dāng)lWznVTi時，/（%）在［m,用上遞減，

若/⑶的值域分別是［3犯3n］,必有3幾葉，則有n,，不符合題意;

故m+n=—4.

輕松訓(xùn)練通過捱習(xí)，媒事能力

1.函數(shù)y=ax+b在［1,2］上的值域為［0,1］,則Q+b的值為（

C.0或1

答案c

解析因為函數(shù)丫=。％+6為單調(diào)函數(shù)，

當(dāng)a>。為單調(diào)遞增函數(shù)時，若％=1,則y=0,所以a+b=0,

當(dāng)a<0為單調(diào)遞減函數(shù)時，若％=1,則y=l,所以a+b=l,

所以a+b=0或a+b=1,

故選：C.

2.設(shè)a>0,若函數(shù)y=g,當(dāng)xe［a,2a］時，y的范圍為貝!|a的值為（）

A.2B.4C.6D.8

答案B

解析a>0,函數(shù)y=g,當(dāng)久€［a,2a］時，y的范圍為［/2］,,

倍=2

.?一°na，解得a=4.故選：B.

3.函數(shù)y=正G豆的值域為（

C.(0,-]

答案c

■■-%+-

.??函數(shù)值域為：（0,日.

故選：C.

4.函數(shù)y=%+72一%的值域為()

A.(;Q,+oo)B.巳Q+8)C.(-oo,Q-)D.(-oo,-9]r

4444

答案D

解析由題意：函數(shù)y=x+，2—x,

令1=怎下，則函數(shù)t的值域為[0,+8),可得：x=2-t2,

那么：函數(shù)y=x+V2—x轉(zhuǎn)化為/(￡)=2-乎+如開口向下，對稱軸t=(，

??,t20,???當(dāng)t=g時，函數(shù)/(t)取得最大值為=，

即函數(shù)y-x+72-x的最大值為京

.?.函數(shù)y=X+V2-X的值域為(一8,三.

故選：D.

5.函數(shù)f(x)=/-4x(-l《x4a)的值域為[-4,5],則實數(shù)a的取值范圍為

答案[2,5]

解析/"(X)=(久一2)2-4,對稱軸為x=2,由。-2)2-4=5,得x=5或乂=-1,

???/(-1)=5,/(2)=-4,2<a<5,即實數(shù)a的取值范圍是[2,5].

6.函數(shù)f(x)=^|(x>1)的值域是.

答案［0,1)

解析/0)=號=^-喂=1-4?

x+3x+3%+3x+3

當(dāng)支21時，0<々41,0<1,即函數(shù)的值域為[0,1).

7.函數(shù)/(%)=[3制-3[%]的值域是.(注：其中[制表示不超過久的最大整數(shù))

答案(—L3)

解析根據(jù)高斯函數(shù)的性質(zhì)，%-1<[%]<%,

那么3%-3<3[%]<3%,則-3%<—3[%]<3—3x

由3%一1V[3x]<3%,?,?-1<[3x]—3[x]<3

函數(shù)/(%)=[3%]-3[對的值域為(-1,3).

8.若函數(shù)/(X)=三的定義域是[0,+8),則/(%)的值域是.

答案[一L1)

解析當(dāng)X》。時，/(X)=弓==1—三e[—1,1