人教版高中數(shù)學(xué)必修二 平面與平面垂直的性質(zhì)學(xué)案

人教版高中數(shù)學(xué)必修二第2章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

2.3.4平面與平面垂直的性質(zhì)學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解平面與平面垂直的性質(zhì)定理.（重點(diǎn)）

2.能靈活應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理證明空間中線、面的垂直關(guān)系.（重點(diǎn)、

難點(diǎn)）

3.理解線線垂直、線面垂直、面面垂直的內(nèi)在聯(lián)系.（重點(diǎn)）

【要點(diǎn)梳理夯實(shí)基礎(chǔ)】

知識(shí)點(diǎn)平面與平面垂直的性質(zhì)定理

［思考辨析學(xué)練結(jié)合］

1.（1）如果a，B，則a內(nèi)的直線必垂直于p內(nèi)的無數(shù)條直線嗎？

［答案］正確.若設(shè)anp=l,aua,bcp,b±l,則aJ_b,

故0內(nèi)與b平行的無數(shù)條直線均垂直于a內(nèi)的任意直線.

（2）如果a，p,過B內(nèi)的任意一點(diǎn)作a與0交線的垂線，則這條直線必垂直

于a嗎？

［答案］錯(cuò)誤.垂直于交線的直線必須在平面p內(nèi)才與平面a垂直，否則不垂

直.

2.在長(zhǎng)方體ABCD-A］B］CiD］的棱AB上任取一點(diǎn)E,作EF±AiB］于F,則

EF與平面AJCQi的關(guān)系是()

A.平行B.EFu平面

C.相交但不垂直D.相交且垂直

［解析］在長(zhǎng)方體ABCZX4向G2中,平面平面A盧且平面

一14叫0平面AiBiCiDl=A［Bl,

又Ebu面A|AB8］,EF^AXBX,

...EF_L平面4片￡。］,答案D正確.

［答案］D

【合作探究析疑解難】

考點(diǎn)1面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用

［典例1］如圖所示，P是四邊形A6C。所在平面外的一點(diǎn)，四邊形A8CO是

邊長(zhǎng)為。的菱形且ND4B=60。，側(cè)面外。為正三角形，其所在平面垂直于底面

ABCD.

⑴若G為的中點(diǎn)，求證：平面公。；

(2)求證：AD1PB.

［分析］

(1)|菱形ABC。,ZDAB=60°\—“△A8O為~正三角形|

面以0,底面極力

—>\BG1AD\-------------->\BG1^PAD\

(2)要證只需證AZ)_L平面P3G即可.

［解答］(1)如圖，在菱形ABC。中，連接6。，由已知ND4B=60。,

.?.△A3。為正三角形，

?.'G是A。的中點(diǎn)，

：.BG1AD.

?.?平面玄。，平面ABCD,

且平面以DC平面ABCD=AD,

...36_1_平面PAD.

⑵如圖,連接PG.

?.?△以。是正三角形，G是A。的中點(diǎn)，

J.PGA.AD,由(1)知BGLAO.又?.?PGryBG=G.

...A0，平面PBG.

而P8u平面PBG.：.AD1PB.

［方法總結(jié)］

1.證明或判定線面垂直的常用方法

(1)線面垂直的判定定理；

(2)面面垂直的性質(zhì)定理；

(3)若a〃〃，a_La,則b_La(a、b為直線，a為平面)；

(4)若a//P，則a_L￡(a為直線，a,4為平面).

2.兩平面垂直的性質(zhì)定理告訴我們要將面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂

直，方法是在其中一個(gè)面內(nèi)作(找)與交線垂直的直線.

跟蹤練習(xí)］

1.如圖，四棱錐V-A6C。的底面是矩形，側(cè)面以山，底面又V8_L

平面例￡).求證：平面V5C_L平面VAC.

［證明］?.?平面底面A8C。，且

,8C_L平面以8,：.BC±VA,

又V8J_平面VAD,：.VBLVA,又VBHBC=B,

平面VBC,

?.?%u平面VAC.

平面平面VAC.

考點(diǎn)2垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

探究1如圖，A,B,C,D為空間四點(diǎn).在AABC中，AB=2,AC=BC

=#,等邊△AO8以A5為軸轉(zhuǎn)動(dòng).當(dāng)平面AZ)B_L平面ABC時(shí)，能否求C0的

長(zhǎng)度？

［解析］取的中點(diǎn)E,連接。區(qū)CE,因?yàn)椤鰽08是等邊三角形，所以

當(dāng)平面408,平面ABC時(shí)，因?yàn)槠矫媪?。Bfl平面ABC=AB,所以0E_L

平面ABC,可知￡>E_LCE,由已知可得。E=/，EC=\,在RSOEC中，CD

=yjDE2+EC2=2.

D

探究2在上述問題中，當(dāng)AAOB轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，是否總有ABLCO?證明你的結(jié)

論.

［解析］①當(dāng)。在平面ABC內(nèi)時(shí)，因?yàn)锳C=BC,AO=B￡>,

所以C,。都在線段A3的垂直平分線上，AB±CD.

②當(dāng)。不在平面ABC內(nèi)時(shí)，由探究1知A8LOE

又因AC=BC,所以ABLCE.又DE,CE為相交直線，所以A3,平面C0E,

由COu平面C0E,得A8_LCD綜上所述，總有A3,CD

探究3試總結(jié)線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系.

［分析］垂直問題轉(zhuǎn)化關(guān)系如下所示：

面面垂直的定義

L_￡劃定定理^.判定義跳,,

［典例2］如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD,AB1AD,CD=2AB,平

面以。_1_底面ABC。，PA±AD,E和尸分別是CD和PC的中點(diǎn).求證：(1)勿1_

底面ABCD；

(2)BE〃平面PAD^

(3)平面平面PCD.

［分析］(1)利用性質(zhì)定理可得以，底面ABCD-,

(2)可證8E〃A0,從而得BE〃平面B4O；

(3)利用面面垂直的判定定理.

［解答］(1)因?yàn)槠矫嬉?。，底面ABC￡>,S.PALAD,所以勿，底面A8CD

(2)因?yàn)锳8〃C￡>,CD=2AB,E為CO的中點(diǎn),

所以A8〃OE,且A8=D￡

所以四邊形ABED為平行四邊形.

所以BE〃AD.

又因?yàn)锽EC平面布。，4￡>u平面?LD,

所以BE〃平面PAD.

(3)因?yàn)锳BLA。，而且A5E0為平行四邊形,

所以BE_LC￡>,ADLCD.

由(1)知外，底面ABC。，

所以R1LCD

又A￡>"4=A,

所以C￡>J_平面PAD.

所以CDLPD.

因?yàn)镋和尸分別是CD和PC的中點(diǎn)，

所以P0〃ER所以C0LEF.

又EFCBE=E,

所以平面BEF.又COu平面PCD,

所以平面8EF,平面PCD.

「方法總結(jié)］

1.證明線面垂直，一種方法是利用線面垂直的判定定理，另一種方

法是利用面面垂直的性質(zhì)定理.本題已知面面垂直，故可考慮面面垂直的

性質(zhì)定理.

2.利用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直的問題時(shí)，要注意以下三

點(diǎn)：（1）兩個(gè)平面垂直；（2）直線必須在其中一個(gè)平面內(nèi)；（3）直線必須垂直

于它們的交線.

［跟蹤練習(xí)］

2.如圖，在三棱錐P-4BC中，E,尸分別為AC,的中點(diǎn).

（1）求證：￡尸〃平面以8；

（2）若平面平面ABC,且以=PC,ZABC=90°.

求證：平面PEF,平面PBC

［證明］(1)：E,產(chǎn)分別為AC,8C的中點(diǎn)，又ERt平面附8,

ABu平面PAB,

...EF〃平面PAB.

(2)；E4=PC,E為AC的中點(diǎn)，

：.PE.LAC.

又?平面PACL平面ABC,

.?.尸￡_1_平面ABC,：.PE±BC.

義?：F為BC的中點(diǎn),：.EF//AB.

"：ZABC=90°,：.BC±EF.

，：EFQPE=E,.?.BC，平面PEE

又?.'BCu平面PBC,

，平面P5C，平面PEF.

【學(xué)習(xí)檢測(cè)鞏固提高】

題型一平面與平面垂直的性質(zhì)及應(yīng)用

1.如圖，在三棱錐S-ABC中，平面SAB，平面SBC,AB±BC,過點(diǎn)A作

AF_LSB,垂足為F.求證：BC±SA.

［證明］⑴因?yàn)槠矫鍿AB,平面SBC,平面SABA平面SBC=SB,AFu平面SAB,

AF_LSB,

所以AF_L平面SBC.

又因?yàn)锽Cu平面SBC,所以AFLBC.

因?yàn)锳B_LBC,AFf!AB=A,

所以BC,平面SAB.

又因?yàn)镾Au平面SAB,所以BCLSA.

2.如圖，在三棱錐V-ABC中，平面VAB,平面ABC,△VAB為等邊三角形,

ACLBC且AC=BC=V5,0,M分別為AB,VA的中點(diǎn).

(1)求證：VB〃平面M0C；

(2)求證：平面M0C_L平面VAB；

(3)求三棱錐V—ABC的體積.

［證明］(1)；0,M分別為AB,VA的中點(diǎn)，

，0M〃VB.

?.?VBC平面MOC,OMu平面M0C,

...VB〃平面MOC.

(2)VAC=BC,。為AB的中點(diǎn)，AOCIAB.

又?.?平面VAB_L平面ABC,且平面VABA平面ABC=AB,OCu平面ABC,

.?.0（：_1_平面VAB.

'.'OCu平面MOC,

平面MOC_L平面VAB.

(3)解：在等腰三角形ABC中，AC=BC=q2,

，AB=2,OC=1,

,'S&VABAB2=y/3.

4

?.,OC_L平面VAB,

???Vv_ABC=Vc—VAB=f

［解題感悟］

I.證明或判定線面垂直的常用方法：

(1)線面垂直的判定定理；

(2)面面垂直的性質(zhì)定理；

(3)若a〃b,a_La,則b_La(a,b為直線，a為平面)；

(4)若a_La,a〃0,則a_L|3(a為直線,a,0為平面)；

2.兩平面垂直的性質(zhì)定理告訴我們要將面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，方法

是在其中一個(gè)面內(nèi)作(找)與交線垂直的直線.

題型二線線、線面、面面垂直的綜合應(yīng)用

3.如圖，直四棱柱ABCD—A|B[C]D]中，AB〃CD,ADJ_AB,AB=2,AD=75，

AA］=3,E為CD上一點(diǎn)，DE=1,EC=3.

(1)證明：BE_L平面BB［C］C；

(2)求點(diǎn)B,到平面EAQi的距離.

［證明］(1)過B作CD的垂線交CD于F,

則BF=AD=&EF=AB-DE=1,FC=2.

在RtABFE中，BE=76.

在RtACFB中，BC=76.

在△BEC中，因?yàn)锽E2+BC2=9=EC2,

故BE±BC.

由BB|_L平面ABCD得BE，BB1,

又BBQBC=B,所以BE,平面BB|C]C.

(2)三棱錐E—A]B[C]的體積

=

V=QA]A/SAA|B1C1\/2?

在RtAA,D,C,中，A,C,=j'AD2D=3淄.

11111v11+11

同理，EC]=JEC2+CC2=372,

A1E={'A產(chǎn)+AD2+DE2=26.

故SAAICIE=34.

設(shè)點(diǎn)B1到平面A|C|E的距離為d,

則三棱錐B1-A|C|E的體積

V=ldSAAIC|E=V5d.

從而d=yi2,d=.

即點(diǎn)B1到平面EAgi的距離為岸.

4.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的菱形，ZDAB=60°,

側(cè)面PAD為等邊三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.

(1)求證：AD±PB；

(2)若E為BC邊上的中點(diǎn)，能否在PC棱上找到一點(diǎn)F,使平面DEF_L平面

ABCD?并證明你的結(jié)論.

(1)［證明］過設(shè)G為AD的中點(diǎn)，連接PG,BG,如圖.

因?yàn)椤鱌AD為等邊三角形，

所以PG±AD.

在菱形ABCD中，ZDAB=60°,

G為AD的中點(diǎn)，所以BGLAD.

又因?yàn)锽GnPG=G,

所以AD,平面PGB.

因?yàn)镻Bu平面PGB,所以AD_LPB.

(2)［解］過當(dāng)F為PC的中點(diǎn)時(shí)，滿足平面DEF,平面ABCD.

如圖，設(shè)F為PC的中點(diǎn)，則在△PBC中，EF〃PB.

在菱形ABCD中，GB〃DE,

4B

而EFu平面DEF,DEu平面DEF,EFCDE=E,

所以平面DEF〃平面PGB.

由（1）,得PG_L平面ABCD,

而PGu平面PGB,

所以平面PGB_L平面ABCD.

所以平面DEF_L平面ABCD.

［解題感悟］

證明線面垂直，一種方法是利用線面垂直的判定定理，另一種方法

是利用面面垂直的性質(zhì)定理.本題已知面面垂直，故可考慮面面垂直的性

質(zhì)定理.利用面面垂直的性質(zhì)定理.證明線面垂直的問題時(shí)，要注意以下三

點(diǎn)：（1）兩個(gè)平面垂直；（2）直線必須在其中一個(gè)平面內(nèi)；（3）直線必須垂直

于它們的交線.

人教版高中數(shù)學(xué)必修二第2章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

2.3.4平面與平面垂直的性質(zhì)課時(shí)檢測(cè)

一、選擇題

1.平面a_L平面6直線a〃a,則（）

A.aA./3B.a///3

C.a與《相交D.以上都有可能

［答案］D

2.平面an平面4=/,平面W，則（）

A.l//yB.luy

C.I與y斜交D.Z±y

［解析］在丫面內(nèi)取一點(diǎn)0,

作0E，m,0F±n,

由于「_1_丫，ynp=m,

所以0E上面0,所以O(shè)ELl,

同理0FL1,OEAOF=O,

所以l±y.

［答案］D

3.下列命題中錯(cuò)誤的是（）

A.如果平面a,平面夕，那么平面a內(nèi)一定存在直線平行于平面夕

B.如果平面a不垂直于平面夕，那么平面a內(nèi)一定不存在直線垂直于平面

C.如果平面aJ_平面平面AL平面-aC￡=l,那么/J_平面/

D.如果平面。，平面夕，那么平面a內(nèi)所有直線都垂直于平面夕

［解析］如果平面aJ_平面夕，那么平面a內(nèi)垂直于交線的直線都垂直于平面夕，

其他與交線不垂直的直線均不與平面夕垂直，故D項(xiàng)敘述是錯(cuò)誤的.

［答案］D

4.若平面a與平面尸不垂直，那么平面a內(nèi)能與平面用垂直的直線有（）

A.0條B.1條C.2條D.無數(shù)條

［解析］若存在1條，則a，B，與已知矛盾.］

［答案］A

5.設(shè)a—l—R是直二面角,直線aua,直線bu§,a,b與I都不垂直，那么（）

A.。與6可能垂直，但不可能平行

B.。與〃可能垂直，也可能平行

C.。與匕不可能垂直，但可能平行

D.。與6不可能垂直，也不可能平行

［答案］C

6.已知兩個(gè)平面互相垂直，那么下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（）

①一個(gè)平面內(nèi)的直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線

②一個(gè)平面內(nèi)垂直于這兩個(gè)平面交線的直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的任意

一條直線

③過一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)垂直于另一個(gè)平面的直線，垂足必落在交線上

④過一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此直線必垂直于另一個(gè)平面

A.4B.3C.2D.1

［答案］B

7.如圖所示，平面a_L平面夕，Ada,BG}A8與兩平面a、4所成的角分別

為g和a過A、8分別作兩平面交線的垂線，垂足分別為A'、B',則

等于（）

A.2：1

B.3：1

C.3：2

D.4：3

［角窣析］如圖：由已知得AA」面P，

,71

/ABA，、

7t

BBU面a,NBAB，=4，

設(shè)AB=a,則BA'=?a,BB'="a,

在RM.BA'B'中，A'B'=ga,

［答案］A

二、填空題

8.四棱錐P—ABC。的頂點(diǎn)P在底面ABC。中的投影恰好是A,其三視圖如圖:

(1)根據(jù)圖中的信息，在四棱錐產(chǎn)一A5C。的側(cè)面、底面和棱中，請(qǐng)把符合要

求的結(jié)論填寫在空格處(每空只要求填一種)：

①一對(duì)互相垂直的異面直線;

②一對(duì)互相垂直的平面;

③一對(duì)互相垂直的直線和平面;

(2)四棱錐P—ABCD的表面積為

［解析］(2)依題意：正方形的面積是a2,

S&PAB-PAD_232,

又PB=PD=^a,..SAPBC-S&PCD

所以四棱錐p—ABCD的表面積是S=2a2+娘a2.

［答案］(1)①PALBC(或PA±CD或AB±PD)②平面PAB_L平面ABCD(或平

面PAD,平面ABCD或平面PAB,平面PAD或平面PCD,平面PAD或平面

PBCJ_平面PAB)③PAJ_平面ABCD(或AB_L平面PAD或CD,平面PAD或

AD_L平面PAB或BCL平面PAB)

(2)2a2+，2a2

9.如圖，空間四邊形ABC。中，平面平面8C。，N8A0=9O。，且A6=

AD,則AO與平面68所成的角是.

［解析］過A作AO,8。于。點(diǎn),

?.?平面平面BCD,

.,.AO_L平面BCD,

則NA。。即為A。與平面8C￡>所成的角.

'：ZBAD=90°,AB=AD.

：.NA￡>O=45°.

［答案］45°

10.若a邛,aC/3=l,點(diǎn)、PGa,PD/&1,則下列命題中正確的為.（只

填序號(hào)）

①過P垂直于I的平面垂直于做

②過P垂直于I的直線垂直于3,

③過P垂直于a的直線平行于小

④過P垂直于B的直線在a內(nèi).

［解析］由性質(zhì)定理知②錯(cuò)誤.

［答案］①③④

11.a、夕、>是兩兩垂直的三個(gè)平面，它們交于點(diǎn)。，空間一點(diǎn)尸到a、4、y的

距離分別是2cM、3cM、6cM,則點(diǎn)P到O的距離為.

［解析］P到O的距離恰好為以2cm,3cm,6為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體的對(duì)角線

的長(zhǎng).

［答案］7cm

12.在斜三棱柱ABC—中，NBAC=90。,BCtlAC,則點(diǎn)g在底面ABC

上的射影H必在________.

［解析］由AC_LBC］,ACLAB,

得又ACu面ABC,

.?.面ABCJ面ABC.

AC,在面ABC上的射影H必在交線AB上.

［答案］直線AB上

三'解答題

13.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。是矩形，平面PC￡>J_平面A5CD

求證：平面PCD.

［證明］在矩形ABC。中，AO_LC0,因?yàn)槠矫鍼C0_L平面A5C0,

平面peon平面ABC￡>=C￡>,A￡>u平面ABC。，所以AO_L平面PCD.

10.如圖，在三棱錐產(chǎn)一ABC中，用，平面48C,平面平面PBC.

求證：BCLAB.

證明：在平面PAB內(nèi)，作ADLPB于D.

?.?平面PAB，平面PBC,

且平面PABC平面PBC=PB.

.?.AD_L平面PBC.

又BCu平面PBC,

AADIBC.

又YPA，平面ABC,BCu平面ABC,

APA1BC,，BCJ_平面PAB.

又ABu平面PAB,ABC1AB.

15.如圖所示，P是四邊形ABC。所在平面外的一點(diǎn)，四邊形A8C0是ND48

=60。且邊長(zhǎng)為。的菱形.側(cè)面以。為正三角形，其所在平面垂直于底面A8CD

(1)若G為A0邊的中點(diǎn)，求證：8G,平面以0；

證明：(1)連接PG,由題知△PAD為正三角形，G是AD的中點(diǎn),

/.PG±AD.

又平面PAD，平面ABCD,

.?.PG_L平面ABCD,APG1BG.

又?.?四邊形ABCD是菱形且NDAB=60°,:.BG±AD.

又ADCIPG=G,，BGJ_平面PAD.

(2)由(1)可知BGJ_AD,PG±AD.

所以AD_L平面PBG,所以ADLPB.

16.如圖所示，△ABC為正三角形，EC_L平面ABC,BD//CE,且CE=C4=2B。,

M是E4的中點(diǎn)，求證：

(l)DE=DA；

(2)平面平面ECA；

⑶平面￡>EA_L平面ECA.

［證明］(1)如圖所示，

取EC的中點(diǎn)F,連接DF,'.'EC，平面ABC,

AECIBC,又由已知得DF〃BC,ADF1EC.

在/?/△EFD和R3DBA中，

VEF=1EC=BD,

FD=BC=AB,

?./?/△EFD絲RSDBA,

故ED=DA.

(2)取CA的中點(diǎn)N,連接MN、BN,則MN然;EC,

，MN〃BD,，N在平面BDM內(nèi)，

?.,EC_L平面ABC,/.EC±BN.又CA_LBN,

，BN，平面ECA,BNu平面MNBD,

平面MNBDJ_平面ECA.

即平面BDM_L平面ECA.

(3)VBD=^EC,MN=^EC,

ABD然MN,

AMNBD為平行四邊形，

，DM〃BN,'.?BN，平面ECA,

...DM，平面ECA,又DMu平面DEA,

平面DEA_L平面ECA.

17.如圖，棱柱如5。一45c的側(cè)面5CCI4是菱形,B］C_LA/.

(1)證明：平面平面&BG；

(2)設(shè)。是4G上的點(diǎn)且從盧〃平面81C。，求緇的值.

R