高中數(shù)學必修2課時素養(yǎng)評價13-2-2-2異面直線

課時素養(yǎng)評價二十七異面直線(20分鐘35分)1.在正方體ABCDA1B1C1D1中,與直線AA1A.2條 B.4條 C.6條 D.8條【解析】選D.在正方體ABCDA1B1C1D1中與AA1垂直的棱為A1B1,B1C1,C1D1,D1A12.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,與AD1異面且與AD1A.2條 B.1條 C.3條 D.4條【解析】選B.與AD1異面的面對角線分別為:A1C1,B1C,BD,BA1,C1D,其中只有B1C3.空間四邊形的對角線互相垂直且相等,順次連接這個四邊形各邊中點,所組成的四邊形是 ()A.梯形 B.矩形C.平行四邊形 D.正方形【解析】選D.連接AC,BD.因為E,F,G,H分別為各邊中點,如圖.所以FGEHQUOTEBD,HGEFQUOTEAC,所以四邊形EFGH是平行四邊形,又因為BD⊥AC且BD=AC,所以FG⊥HG且FG=HG,所以四邊形EFGH為正方形.4.點E,F分別是三棱錐PABC的棱AP,BC的中點,AB=6,PC=8,EF=5,則異面直線AB與PC所成的角為________.

【解析】如圖,取PB的中點G,連接EG,FG,則EGQUOTEAB,GFQUOTEPC,則∠EGF(或其補角)即為AB與PC所成的角,在△EFG中,EG=QUOTEAB=3,FG=QUOTEPC=4,EF=5,所以∠EGF=90°.答案:90°5.一個正方體紙盒展開后如圖所示,在原正方體紙盒中有如下結(jié)論:①AB⊥EF;②AB與CM所成的角為60°;③EF與MN是異面直線;④MN∥CD.以上結(jié)論正確的為________.(填序號)

【解析】把正方體的平面展開圖還原成原來的正方體可知,AB⊥EF,EF與MN是異面直線,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正確.答案:①③6.如圖所示,在正方體ABCDEFGH中,O為側(cè)面ADHE的中心,求:(1)BE與CG所成的角;(2)FO與BD所成的角.【解析】(1)因為CG∥BF,所以∠EBF(或其補角)為異面直線BE與CG所成的角,又在△BEF中,∠EBF=45°,所以BE與CG所成的角為45°.(2)如圖,連接FH,因為HD∥EA,EA∥FB,所以HD∥FB,又HD=FB,所以四邊形HFBD為平行四邊形.所以HF∥BD,所以∠HFO(或其補角)為異面直線FO與BD所成的角.連接HA,AF,易得FH=HA=AF,所以△AFH為等邊三角形,又知O為AH的中點.所以∠HFO=30°,即FO與BD所成的角為30°.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.在正方體ABCDA1B1C1D1中,CD的中點為M,AA1的中點為N,則異面直線C1A.30° B.60° C.90° D.120°【解析】選C.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,CD的中點為M,AA1的中點為N,取AB的中點P,連接B1P,則B1P∥C1M,易得B1P⊥BN,所以異面直線C1M2.如圖,點P,Q分別是正方體ABCDA1B1C1D1的面對角線AD1,BD的中點,則異面直線PQ和BC1A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】選C.連接AC,D1C由P,Q分別為AD1,BD的中點,知Q為AC中點,得PQ∥CD1.又BC1∥AD1,所以∠AD1C為異面直線PQ和BC1所成的角.因為△ACD1為等邊三角形,所以∠AD1C=60即異面直線PQ和BC1所成的角為60°.3.如圖,在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F分別是CC1,AD的中點.那么異面直線OE和FD1A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.取BC的中點G,連接GC1,則GC1∥FD1,再取GC的中點H,連接HE,OH,因為E是CC1的中點,所以GC1∥HE,所以∠OEH為異面直線OE和FD1所成的角.在△OEH中,OE=QUOTE,HE=QUOTE,OH=QUOTE,由余弦定理可得cos∠OEH=QUOTE=QUOTE.4.在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,側(cè)面都是矩形,底面四邊形ABCD是菱形,且AB=BC=2QUOTE,∠ABC=120°,若異面直線A1B和AD1所成的角是90°,則AA1的長度是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.2QUOTE D.2QUOTE【解析】選B.連接CD1,AC,由題意得,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,A1D1=BC,A1D1∥所以四邊形A1BCD1是平行四邊形,所以A1B∥CD1,所以∠AD1C(或其補角)為A1B和AD1因為異面直線A1B和AD1所成的角為90°,所以∠AD1C=90°因為在四棱柱ABCDA1B1C1D1AB=BC=2QUOTE,∠ABC=120°,所以AC=2QUOTEsin60°×2=6,所以AD1=QUOTEAC=3QUOTE,所以AA1=QUOTE=QUOTE=QUOTE.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.如圖,三棱柱ABCA1B1C1中,底面三角形A1B1CA.直線CC1與直線B1E相交B.CC1與AE共面C.AE與B1C1D.AE與B1C1【解析】選ACD.因為CE∥B1C1且CE=QUOTEB1C1,所以四邊形CEB1C1為梯形,CC1與B1E必相交,A正確.由幾何圖形可知B錯誤,C正確.AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角,又E為BC的中點,△ABC為正三角形,所以AE⊥BC,即AE與B1C1所成的角為90°,選項D正確.6.在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別是AD,C1D1A.直線EF,OD1是異面直線,且EF=OD1B.直線OD1,B1B是異面直線且OD1≠B1BC.直線EF,OD1是相交直線,且EF=OD1D.直線OD1,B1B是相交直線且OD1=B1B【解析】選ABD.因為正方體ABCDA1B1C1D1中,點E,F分別是AD,C1D1的中點,O為正方形ABCD的中心,如圖,四邊形D1EOF是矩形,直線EF,OD1是相交直線,A錯誤,直線OD1,B1B是相交直線,B錯誤;EF=OD1,OD1≠B1三、填空題(每小題5分,共10分)7.如圖,在三棱錐ABCD中,E,F,G分別是AB,BC,AD的中點,∠GEF=120°,則BD和AC所成角的度數(shù)為________.

【解題指南】求異面直線所成的角要找到它們的平行線,已知條件中的角會給解題提供方向.【解析】依題意知,EG∥BD,EF∥AC,所以∠GEF或其補角即為異面直線AC與BD所成的角,又∠GEF=120°,所以異面直線BD與AC所成的角為60°.答案:60°8.如圖,長方體ABCDA1B1C1D1(側(cè)棱垂直于底面內(nèi)的所有直線),其中ABCD是正方形且邊長為2,高為4,則異面直線BD1與AA1所成角的正弦值為________,異面直線BD1與AD所成角的正弦值是________【解析】因為AA1∥DD1,所以∠DD1B即為異面直線BD1與AA1所成的角,連接BD,在Rt△D1DB中,sin∠DD1B=QUOTE=QUOTE=QUOTE.因為AD∥BC,所以∠D1BC即為異面直線BD1與AD所成的角(或其補角),連接D1C,在△D1因為長方體ABCDA1B1C1D1高為4,所以D1B=2QUOTE,BC=2,D1C=2QUOTE,D1B2=BC2+D1C2,所以∠D1CB=90°所以sin∠D1BC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,故異面直線BD1與AD所成角的正弦值是QUOTE.答案:QUOTEQUOTE四、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖所示,在空間四邊形ABCD中,AD=BC=2,E,F分別是AB,CD的中點.若EF=QUOTE.求證:AD⊥BC.【證明】取BD的中點H,連接EH,FH,因為E是AB的中點,且AD=2,所以EH∥AD,EH=1.同理FH∥BC,FH=1,所以∠EHF(或其補角)是異面直線AD,BC所成的角,又因為EF=QUOTE,所以EH2+FH2=EF2,所以△EFH是等腰直角三角形,EF是斜邊,所以∠EHF=90°,即AD,BC所成的角是90°.故AD⊥BC.10.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別是棱CD,CC1的中點.求異面直線A1【解析】如圖,過點M作ME∥DN交CC1于點E,連接A1E,則∠A1ME為異面直線A1M與DN所成的角(或其補角).設(shè)正方體的棱長為a,則A1M=QUOTEa,ME=QUOTEa,A1E=QUOTEa,所以A1M2+ME2=A1E2,所以∠A1ME=90°,即異面直線A1M與DN所成的角為90°.1.如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1與AC,AB所成的角均為60°,∠BAC=90°,且AB=AC=AA1,E是B1C1的中點,則直線AE與BC所成的角為________,直線A1B與AC1所成角的余弦值為【解析】如圖所示,連接AB1,由三棱柱的性質(zhì)可得AC1=AB1,又因為E是B1C1的中點,所以AE⊥B1C1,又BC∥B1如圖所示,把三棱柱補為四棱柱ABDCA1B1D1C1,連接BD1,A1D1,AD,由四棱柱的性質(zhì)知BD1∥AC1,則∠A1BD1就是異面直線A1B與AC1所成的角(或其補角).設(shè)AB=a,因為AA1與AC,AB所成的角均為60°且AB=AC=AA1,所以A1B=a,BD1=AC1=2AA1·cos30°=QUOTEa.又∠BAC=90°,所以在矩形ABDC中,AD=QUOTEa,所以A1D1=QUOTEa,所以A1QUOTE+A1B2=BQUOTE,所以∠BA1D1=90°,所以在Rt△BA1D1中cos∠A1BD1=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:90°QUOTE2.如圖所示,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,BC=QUOTE,DA⊥AC,DA⊥AB,若DA=1,且E為DA的中點,求異面直線BE與CD所成角的余弦值.【解析】取AC的中點F,連接EF,BF.在△ACD中,E,F分別是AD,AC的中點,所以EF∥CD,所以∠BEF即為所求的異面直線BE與CD所成的角(或其補角).在Rt△ABC中,BC=QUOTE,AB=A