畫(huà)法幾何制圖-平面投影與相對(duì)位置

小結(jié)一、各種位置直線的投影特性(三大類(lèi)七種位置直線)⒉投影面平行線（一斜兩平行）水平線、正平線、側(cè)平線

在其平行的投影面上的投影反映線段實(shí)長(zhǎng)及與相應(yīng)投影面的夾角。另兩個(gè)投影平行于相應(yīng)的投影軸。⒊投影面垂直線（一點(diǎn)兩垂直）鉛垂線、正垂線、側(cè)垂線

在其垂直的投影面上的投影積聚為一點(diǎn)。另兩個(gè)投影反映實(shí)長(zhǎng)且垂直于相應(yīng)的投影軸。●a

b

a(b)a

b

ba

aa

b

b

βγb

a

ab

ba

⒈一般位置直線（三斜無(wú)實(shí)長(zhǎng)）三個(gè)投影與各投影軸都傾斜。二、直線上的點(diǎn)⒈從屬性：點(diǎn)的投影在直線的同名投影上。⒉定比性：點(diǎn)分線段之比在投影中不變。AB:CB=a’c’:c’b’=a”c”:c”b”b

a

abcc

accbabca

b

c

三、兩直線的相對(duì)位置⒈平行⒉相交⒊交叉

同面投影互相平行(注意投影面平行線)。

同面投影相交，交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)，且符合點(diǎn)的投影特性。

同面投影可能相交，但“交點(diǎn)”不符合點(diǎn)的投影特性。所謂“交點(diǎn)”是兩直線上一對(duì)重影點(diǎn)的投影。b

abcdc

a

d

abcdb

a

c

d

kk

b

bc

d

dcXa

a3

(4

)341

2

1(2)四、相互垂直的兩直線的投影特性⒈兩直線同時(shí)平行于某一投影面時(shí)，在該投影面上的投影反映直角。⒉兩直線中有一條平行于某一投影面時(shí)，在該投影面上的投影反映直角。⒊兩直線均為一般位置直線時(shí)，在三個(gè)投影面上的投影都不反映直角。直角投影定理a

c

b

abc.即要在投影圖中畫(huà)垂直或判斷垂直，必須有投影面平行線。1.4平面的投影一、平面的表示法●●●●●●abca

b

c

不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)●●●●●●abca

b

c

abca

b

c

●●●●●●d●d

●兩平行直線abca

b

c

●●●●●●兩相交直線*●●●●●●abca

b

c

平面圖形1、用幾何元素表示平面直線及線外一點(diǎn)2.跡線表示法

空間平面與投影面的交線叫平面的跡線。平面P與H面的交線為水平跡線PH，與V面的交線為正面跡線PV，與W面的交線為側(cè)面跡線PW。a.一般位置平面的跡線表示法VHPPVPHPVPHb.特殊位置平面的跡線表示法QVPVPHVHPHQV平行垂直傾斜實(shí)形性類(lèi)似性積聚性⒈平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性二、平面的投影平面//投影面投影反映實(shí)形面平面⊥投影面投影積聚成直線平面∠投影面投影類(lèi)似原平面⒉各種位置平面的投影(三類(lèi)七種情況)投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個(gè)投影面與三個(gè)投影面都傾斜

鉛垂面(⊥H)

正垂面(⊥V)側(cè)垂面(⊥W)

水平面(//H)

正平面(//V)

側(cè)平面(//W)VWHPPH

鉛垂面投影特性：1.abc積聚為一條線，與OX、OYH的夾角反映

、

角；

2.a

b

c

、a

b

c

為

ABC的類(lèi)似形；ABCacb

a

b

a

b

bacc

c

1）投影面垂直面的投影VWHQQV

正垂面

投影特性：1.a

b

c

積聚為一條線，與OX、OZ的夾角反映α、

角；

2.abc、a

b

c

為ABC的類(lèi)似形。

αa

b

a

b

bac

c

cAc

Ca

b

BVWHSWS

側(cè)垂面投影特性：1、a

b

c

積聚為一條線，與OYW、OZ的夾角反映α、β角；2、abc、a

b

c

為

ABC的類(lèi)似形。Ca

b

ABc

a

b

b

baa

αβcc

c

abca

c

b

c

b

a

類(lèi)似性類(lèi)似性積聚性鉛垂面投影特性：1.在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。2.另兩個(gè)投影面上的投影有類(lèi)似性。γβ是什么位置的平面？投影特征：一斜兩類(lèi)似VWH水平面投影特性：1.a

b

c//OX、a

b

c//OYW，分別積聚為直線;2.水平投影abc反映

ABC實(shí)形。CABa

b

c

baca

b

c

ca

b

b

baa

c

c

2）投影面平行面的投影正平面VWH投影特性：1.abc//OX、a

b

c//OZ，分別積聚為直線；2.正面投影a

b

c

反映

ABC實(shí)形。

c

a

b

b

a

c

bcab

a

c

a

b

c

bcaCBA投影特性：1.abc//OYY、a

b

c//OZ，分別積聚為直線；2.側(cè)平面投影a

b

c

反映

ABC實(shí)形。

側(cè)平面VWHa

b

b

ba

c

c

cab

c

baca

b

c

CABa

a

b

c

a

b

c

abc積聚性積聚性實(shí)形性水平面投影特性：1.在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。2.另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。投影特征：兩線一實(shí)形一般位置平面投影特性

1.abc、a

b

c

、a

b

c

均為

ABC的類(lèi)似形；2.不反映

、

、

的真實(shí)角度。

a

b

c

baca

b

a

b

b

a

c

c

bacCAB3）一般位置平面的投影（三類(lèi)似）QHRV例：用有積聚性的跡線表示下列平面：過(guò)直線AB的正垂面P；過(guò)點(diǎn)C的正平面Q；過(guò)直線DE的水平面R。a’b’abPVPHbac水平正垂側(cè)垂投影面平行面:兩線一實(shí)形投影面垂直面:一斜兩類(lèi)似在平面內(nèi)取直線的方法

定理一若一直線過(guò)平面上的兩點(diǎn)，則此直線必在該平面內(nèi)。定理二若一直線過(guò)平面上的一點(diǎn)，且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。⒈平面上取任意直線三、平面上的直線和點(diǎn)abcb

c

a

abcb

c

a

d

mnn

m

d例1：已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內(nèi)任作一條直線。解法一解法二根據(jù)定理二根據(jù)定理一有無(wú)數(shù)解。例2：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到H面的距離為10mm。n

m

nm10c

a

b

cab

唯一解?、财矫嫔先↑c(diǎn)若點(diǎn)在平面內(nèi)的任一直線上，則此點(diǎn)一定在該平面上。即：點(diǎn)在線上，則點(diǎn)在面上。

先找出過(guò)此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。例1：已知K點(diǎn)在平面ABC上，求K點(diǎn)的水平投影。b①acc

a

k

b

●k●

面上取點(diǎn)的方法：首先面上取線②●abca’b

k

c

d

k●d利用平面的積聚性求解通過(guò)在面內(nèi)作輔助線(細(xì)實(shí)線)求解例2已知

ABC給定一平面,試判斷點(diǎn)D是否屬于該平面。d

da

b

c

abcee

點(diǎn)D不屬于平面ABCd

da

b

c

abcee

點(diǎn)D屬于平面ABC例3：作出三角形ABC平面內(nèi)三角形DEF的水平投影。de求線先找兩已知點(diǎn)，求點(diǎn)先找已知線。a’ab’c’cbfe’f’d’1’2’12bckada

d

b

c

ada

d

b

c

k

bc例4：AC為正平線，補(bǔ)全平行四邊形ABCD的水平投影。解法一解法二找點(diǎn)B先求線DB，求線DB先找點(diǎn)K。利用平行四邊形對(duì)邊平行例5：判斷點(diǎn)K是否在平面上（另判斷四點(diǎn)是否在同一平面*）點(diǎn)在面上點(diǎn)不在面上(*)點(diǎn)不在面上例6：已知平面ABCD的邊BC//H面，完成其正面投影。

b’c’11’a’d’abcdBC為水平線b’c’//OX分析：根據(jù)a’d’想辦法求b’c’a

b

c

bac例7已知

ABC給定一平面，試過(guò)點(diǎn)C作屬于該平面的正平線，過(guò)點(diǎn)A作屬于該平面的水平線。m

n

nm正平線上的點(diǎn)Y坐標(biāo)相同，水平線上的點(diǎn)Z坐標(biāo)相同，交點(diǎn)K是既滿足Y坐標(biāo)又滿足Z坐標(biāo)的點(diǎn)。k

kk’121’k例8：在△ABC內(nèi)確定K點(diǎn)，使K點(diǎn)距H面為18mm，距V面為15mm.

分別畫(huà)出：1.距H面18mm的水平線（Z相同=18）。2.距V面15mm的正平線（Y相同=15）。3.兩條線的交點(diǎn)滿足K點(diǎn)的條件。2’1815例9：在平面ABC上取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K在點(diǎn)A之下15mm（△Z）、在點(diǎn)A之前20mm處（△Y）。（思考題）K在點(diǎn)A之下15mm的水平線上K在點(diǎn)A之前20mm的正平線上四、圓的投影圓的投影特性：1、圓平面在所平行投影面上的投影反映實(shí)形；(實(shí)形性)2、圓平面在所垂直的投影面上的投影是直線，其長(zhǎng)度等于圓的直徑φ；(積聚性)3、圓平面在所傾斜的投影面上的投影是橢圓。其長(zhǎng)軸是圓的平行于這個(gè)投影面的直徑AB的投影（ab）；短軸是與上述直徑垂直的直徑DE的投影(de)。(類(lèi)似性)本節(jié)到此橢圓的近似畫(huà)法(四心法)：ABCDEF1234橢圓的畫(huà)法

一節(jié)到此1.CF=CE=OA-OCO2.作AF的中垂線,與兩軸交得1.2兩點(diǎn)，取對(duì)稱(chēng)點(diǎn)3.4。3.分別以1.2.3.4點(diǎn)為圓心，1A.3B.2C.4D為半徑作弧，拼成近似橢圓。四、相互垂直的兩直線的投影特性⒈兩直線同時(shí)平行于某一投影面時(shí)，在該投影面上的投影反映直角。⒉兩直線中有一條平行于某一投影面時(shí)，在該投影面上的投影反映直角。⒊兩直線均為一般位置直線時(shí)，在三個(gè)投影面上的投影不一定反映直角。直角投影定理a

c

b

abc.即要在投影圖中畫(huà)垂直或判斷垂直，必須有投影面平行線。小結(jié)一、各種位置平面的投影特性⒈一般位置平面（三類(lèi)似）⒉投影面垂直面（一斜兩類(lèi)似）⒊投影面平行面（兩線一實(shí)形）三個(gè)投影為邊數(shù)相等的類(lèi)似多邊形。在其垂直的投影面上的投影積聚成直線。另外兩個(gè)投影為類(lèi)似多邊形。

在其平行的投影面上的投影反映實(shí)形。另外兩個(gè)投影積聚為直線。

a

b

a

b

bacc

c

a

b

b

baa

c

c

cb

b

a

a

c

c

bac二、平面上的點(diǎn)與直線(P27-30)⒈平面上的點(diǎn)一定位于平面內(nèi)的某條直線上.⒉平面上的直線（求線先找已知點(diǎn)）

⑴過(guò)平面上的兩個(gè)點(diǎn)。

⑵過(guò)平面上的一點(diǎn)并平行于該平面上的某條直線。d

da

b

c

abcee

1.5直線與平面及兩平面的相對(duì)位置相對(duì)位置包括平行、相交（垂直）。一、平行問(wèn)題直線與平面平行

平面與平面平行⒈直線與平面平行定理:

若一直線平行于平面上的某一直線，則該直線與此平面必平行。即：將線面//，轉(zhuǎn)化為線線//⒈直線與平面平行

1.

當(dāng)直線與特殊位置平面相平行時(shí)，直線的投影平行于平面的具有積聚性的同面投影，如圖。g’g//2.當(dāng)直線與平面都為特殊情況且平行時(shí)，直線與平面的積聚性投影在同面投影上。特殊情況：例1：過(guò)A點(diǎn)作平面平行于線段BC。b’bc’ca’aXOdd’作圖：ad//bc，a′d′//b′c′故，BC//平面DAF分析：線線//，則線面//；過(guò)A點(diǎn)做直線AD//BC。f’f可過(guò)A點(diǎn)任意作直線AFn

●●a

c

b

m

abcmn有無(wú)數(shù)解分析:過(guò)M點(diǎn)作一條//平面內(nèi)的任意直線的直線,即得.例2：過(guò)M點(diǎn)作直線MN平行于平面ABC。

正平線c

●●b

a

m

abcmn唯一解n

分析:在平面ABC內(nèi)作一條正平線,MN//此正平線,即得.例3：過(guò)M點(diǎn)作直線MN平行于V面和平面ABC。

①若一平面上的兩相交直線對(duì)應(yīng)平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。②若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。f

h

abcdefha

b

c

d

e

c

f

b

d

e

a

abcdef2.兩平面平行//平行舉例例判斷下列兩平面是否平行不平行直線與平面相交平面與平面相交⒈直線與平面相交(實(shí)物)

直線與平面相交，其交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)，且交點(diǎn)是直線與平面可見(jiàn)與不可見(jiàn)的分界點(diǎn)。要討論的問(wèn)題：●求直線與平面的交點(diǎn)。

●判別兩者之間的相互遮擋的可見(jiàn)性。

我們只討論直線與平面中至少有一個(gè)元素處于特殊位置的情況（直線特殊或者平面特殊）。二、相交問(wèn)題(重點(diǎn)與難點(diǎn))（1）.直線與平面相交（平面為特殊位置）

VHPHPABCacbkNKMabcmnc

n

b

a

m

1.空間及投影分析

平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點(diǎn)即為K點(diǎn)的水平投影。

①求交點(diǎn)

②判別可見(jiàn)性（V面）

由水平投影可知，KN段在平面ABC前，故正面投影上k

n

為可見(jiàn)。再根據(jù):交點(diǎn)是可見(jiàn)與不可見(jiàn)的分界點(diǎn)，求得k

m

上一段不可見(jiàn)。還可通過(guò)重影點(diǎn)判別可見(jiàn)性。k

●1

(2

)2.作圖k●●2●1●抓住交點(diǎn)是共有點(diǎn)的特點(diǎn)例：求直線MN與平面ABC的交點(diǎn)K并判別可見(jiàn)性（2）直線為特殊位置

km(n)b●m

n

c

b

a

ac⑵直線為特殊位置1.空間及投影分析

直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，故交點(diǎn)K的水平投影也積聚在該點(diǎn)上。①求交點(diǎn)②判別可見(jiàn)性（V面）用重影點(diǎn)判斷

點(diǎn)Ⅰ位于平面上，在前；點(diǎn)Ⅱ位于MN上，在后。故k

2

為不可見(jiàn)。1

(2

)k

●2●1●●2.作圖用面上取點(diǎn)法⒉兩平面相交(實(shí)物)

兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時(shí)交線上的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn)，交線是兩平面可見(jiàn)與不可見(jiàn)的分界線。要討論的問(wèn)題：①

求兩平面的交線方法：⑴確定兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)。⑵確定一個(gè)共有點(diǎn)及交線的方向。

只討論兩平面中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況（即兩種情況：一個(gè)平面處于特殊，兩個(gè)平面都處于特殊）。②判別兩平面之間的相互遮擋的可見(jiàn)性。（1）兩平面都為特殊平面(書(shū))可通過(guò)正面投影直觀地進(jìn)行判別。abcdefc

f

d

b

e

a

m

(n

)1.空間及投影分析

平面ABC與DEF都為正垂面，它們的正面投影都積聚成直線。交線必為一條正垂線。①求交線②判別可見(jiàn)性（H面）2.作圖

從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見(jiàn)。n●m●●例1：求兩平面的交線MN，并判別可見(jiàn)性。⑴VH（2）.其中一平面為特殊平面

FBACEHabcMNmnPb

c

f

h

a

e

abcefh1.空間及投影分析

平面EFH是一水平面，它的正面投影有積聚性。a

b

與e

fh’的交點(diǎn)m

、b

c

與e’f

h

的交點(diǎn)n,即為兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)的正面投影，故m

n

是MN的正面投影。①求交線②判別可見(jiàn)性(H面)

m

nb’在e’f’h’上面，故水平投影mnb可見(jiàn)，其他可見(jiàn)性可根據(jù)投影特點(diǎn)得出。2.作圖m●n

●n●m

●（2）.其中一平面為特殊平面（求交線MN）c

d

e

f

a

b

abcdef⑶投影分析

N點(diǎn)的水平投影n位于Δdef的外面，說(shuō)明點(diǎn)N位于ΔDEF所確定的平面內(nèi)，但不位于ΔDEF這個(gè)圖形內(nèi)。所以ΔABC和ΔDEF的交線應(yīng)為MK。n●n

●m

●k●m●k

●互交KN后面的藍(lán)色平面的投影三、垂直問(wèn)題1.直線與平面

與鉛垂面垂直的直線為水平線,H面;與正垂面垂直的直線是正平線,V面.與鉛垂線垂直的平面是水平面,V;與正垂線垂直的平面是正平面,H.1）平面特殊

⊥投影面垂直面的直線是投影面平行線，并在平面積聚性投影上反映直角；即2）直線特殊

⊥投影面垂直線的平面是投影面平行面，并在平面積聚性投影上反映直角；即作點(diǎn)A到平面CDEF的距離？（EFD呢？）2.平面與平面垂直只介紹兩個(gè)投影面垂直面相垂直：它們的交線為投影面的垂直線，且在積聚性的投影反映直角;pqq’P’下面舉例垂直

垂直不垂直

ed(e’)1″k″1舉例此點(diǎn)是AB和MN的重影點(diǎn)k′例求直線與平面的交點(diǎn),并判別可見(jiàn)性.VW1′(2′)123′(4′)34本節(jié)到此小結(jié)：直線與平面及兩平面的相對(duì)位置⒈直線與平面平行直線平行于平面內(nèi)的一條直線。當(dāng)直線與特殊位置平面相平行時(shí)，直線的投影平行于平面的具有積聚性的同面投影。⒉兩平面平行若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。f

h

abcdefha

b

c

d

e

一、平行問(wèn)題（P38）二、相交問(wèn)題⒈求直線與平面⑴平面特殊，利用交點(diǎn)的一個(gè)投影為直線與平面積聚性投影的交點(diǎn)，另一個(gè)投影可投在直線的另一個(gè)投影上；可見(jiàn)性直接判斷。(P47)⑵直線特殊，利用交點(diǎn)的一個(gè)投影與直線的積聚性投影重合，另一個(gè)投影可利用平面上取點(diǎn)的方法求解；可見(jiàn)性用重影點(diǎn)判斷。(P49)km(n)b●n

c

b

a

ac1

(2

)k

●2●1●●abcmnc

n

b

a

m

k

●k●⒉兩平面相交⑵一平面特殊，可利用特殊位置平面的積聚性找出兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)，求出交線；可見(jiàn)性可直接判斷。(P54)⑴兩平面特殊，交線為投影面的垂直線，可見(jiàn)性可直接判斷(P52)。acdefc

f

d

b

e

a

m

(n

)n●m●●b

bacnlmc

m

a

l

n

fkf

k

三、垂直問(wèn)題1）.直線與投影面垂直面：與鉛垂面相垂直的直線是水平線，與正垂面相垂直的是正平線，并在平面積聚的投影面上反映直角。1.直線與平面垂直2）.投影面垂直線與平面：與鉛垂線垂直的是水平面，與正垂線垂直的是正平面，并在平面積聚的投影面上反映直角。垂直不垂直2.兩平面垂直

1）兩個(gè)投影面垂直面