湖南省名校聯(lián)合體2022-2023學年高二下學期第一次聯(lián)考數(shù)學試題(學生版+解析)

名校聯(lián)考聯(lián)合體2023年春季高二第一次聯(lián)考數(shù)學時量120min滿分150分一、選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則()A. B. C. D.2.如圖，在中，，則()A.9 B.18 C.6 D.123.的展開式中，常數(shù)項為()A. B.C. D.4.在平面直角坐標系中，已知點為角終邊上的點，則()A. B. C. D.5.已知等比數(shù)列的各項均為不等于1的正數(shù)，數(shù)列滿足，則數(shù)列前項和的最大值等于()A.126 B.130 C.131 D.1326.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加2022年杭州亞運會志愿者服務活動，有翻譯、導游、禮儀、司機四項工作可以安排，以下說法正確是()A.每人都安排一項工作的不同方法數(shù)為B.每人都安排一項工作，每項工作至少有一人參加，則不同的方法數(shù)為480C.如果司機工作不安排，其余三項工作至少安排一人，則這5名同學全部被安排的不同方法數(shù)為300D.每人都安排一項工作，每項工作至少有一人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是1267.在平面直角坐標系中，，，若圓：上存在點，使得，則的取值范圍是()A. B.C. D.8.已知圓在橢圓的內(nèi)部，點為上一動點.過作圓的一條切線，交于另一點，切點為，當為的中點時，直線的斜率為，則的離心率為()A. B. C. D.二、選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.從含有3道代數(shù)題和2道幾何題的5道試題中隨機抽取2道題，每次從中隨機抽出1道題，抽出的題不再放回，則()A.“第1次抽到代數(shù)題”與“第1次抽到幾何題”是互斥事件B.“第1次抽到代數(shù)題”與“第2次抽到幾何題”相互獨立C.第1次抽到代數(shù)題且第2次也抽到代數(shù)題的概率是D.在有代數(shù)題的條件下，兩道題都是代數(shù)題的概率是10.下列結(jié)論正確的有()A.若隨機變量滿足，則B.若隨機變量，且，則C.若樣本數(shù)據(jù)線性相關，則用最小二乘估計得到的經(jīng)驗回歸直線經(jīng)過該組數(shù)據(jù)的中心點D.根據(jù)分類變量X與Y的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到．依據(jù)的獨立性檢驗，可判斷X與Y有關且犯錯誤的概率不超過0.0511.已知函數(shù)，，則下列說法正確的是()A.在上增函數(shù)B.，不等式恒成立，則正實數(shù)的最小值為C.若有兩個零點，則D.若，且，則的最大值為12.數(shù)列滿足，，數(shù)列的前n項和為，且，則下列正確的是()A.B.數(shù)列的前n項和C.數(shù)列的前n項和D.三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)的定義域為，且函數(shù)為奇函數(shù)，若，則______．14.已知隨機變量,且，若,則的最小值為_________．15.已知數(shù)列滿足，其前項和為，則________．16.已知函數(shù)滿足，若方程有五個不相等實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為___________.四、解答題:本題共6小題，共70分．解答應寫出文宇說明、證明過程或演算步驟．17.已知是等差數(shù)列，是公比不為1的等比數(shù)列，．(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若集合，且，求中所有元素之和．18.小明參加一個挑戰(zhàn)游戲，他每次挑戰(zhàn)成功的概率均為．現(xiàn)有3次挑戰(zhàn)機會，并規(guī)定連續(xù)兩次挑戰(zhàn)均不成功即終止挑戰(zhàn)，否則繼續(xù)下一次挑戰(zhàn)．已知小明不放棄任何一次挑戰(zhàn)機會，且恰好用完3次挑戰(zhàn)機會的概率是．(1)求的值;(2)小明每挑戰(zhàn)成功一次，可以獲得500元獎勵，記其獲得的獎勵金額為，求的分布列及數(shù)學期望．19.直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，AA1＝8，點D在線段AB上．(1)當AC1平面B1CD時，確定D點的位置并證明；(2)當時，求二面角B－CD－B1的余弦值．20.2022年12月15至16日，中央經(jīng)濟工作會議在北京舉行.關于房地產(chǎn)主要有三點新提法，其中“住房改善”位列擴大消費三大抓手的第一位.某房地產(chǎn)開發(fā)公司旗下位于生態(tài)公園的樓盤貫徹中央經(jīng)濟工作會議精神，推出了為期10天的促進住房改善的惠民優(yōu)惠售房活動，該樓盤售樓部統(tǒng)計了惠民優(yōu)惠售房活動期間到訪客戶的情況，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：(注：活動開始的第i天記為，第i天到訪的人次記為，)(單位：天)1234567(單位：人次)12224268132202392(1)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，通過建模分析得到適合函數(shù)模型為(c，d均為大于零的常數(shù)).請根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)及下表中的數(shù)據(jù)，求活動到訪人次y關于活動開展的天次x的回歸方程，并預測活動推出第8天售樓部來訪的人次；參考數(shù)據(jù)：其中；參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：；(2)該樓盤營銷策劃部從有意向購房的客戶中，隨機通過電話進行回訪，統(tǒng)計有效回訪發(fā)現(xiàn)，客戶購房意向的決定因素主要有三類：A類是樓盤的品質(zhì)與周邊的生態(tài)環(huán)境，B類是樓盤的品質(zhì)與房子的設計布局，C類是樓盤的品質(zhì)與周邊的生活與教育配套設施.統(tǒng)計結(jié)果如下表：類別A類B類C類頻率0.40.20.4從被回訪的客戶中再隨機抽取3人聘為樓盤的代言人，視頻率為概率，記隨機變量X為被抽取的3人中A類和C類的人數(shù)之和，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.21.設函數(shù)．(1)求曲線在點處切線方程;(2)若對所有的，都有成立，求實數(shù)的取值范圍．22.設函數(shù).(Ⅰ)討論導函數(shù)的零點的個數(shù)；(Ⅱ)證明：當時.名校聯(lián)考聯(lián)合體2023年春季高二第一次聯(lián)考數(shù)學時量120min滿分150分一、選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化簡復數(shù)為，結(jié)合復數(shù)模的求解方法可得答案.【詳解】由題意，，，．則．故選：C2.如圖，在中，，則()A.9 B.18 C.6 D.12【答案】D【解析】【分析】由可得，則，代入化簡即可得出答案.【詳解】由可得：，所以，所以，，因為，所以.故選：D3.的展開式中，常數(shù)項為()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出展開式的通項公式，然后求出其一次項系數(shù)和常數(shù)項，從而可求得結(jié)果.【詳解】展開式的通項公式為，所以的展開式中，常數(shù)項為，故選：D4.在平面直角坐標系中，已知點為角終邊上的點，則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三角函數(shù)定義得，再根據(jù)二倍角公式計算即可.【詳解】解：因為點為角終邊上的點，所以，由三角函數(shù)的定義知，所以故選：A5.已知等比數(shù)列的各項均為不等于1的正數(shù)，數(shù)列滿足，則數(shù)列前項和的最大值等于()A.126 B.130 C.131 D.132【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)求出等比數(shù)列的首項和公比，求出，利用等差數(shù)列求出前項和，結(jié)合二次函數(shù)求解最值.【詳解】由題意可知，，．又，，則，，解得，．又為正項等比數(shù)列，∴，即為等差數(shù)列，且，．故．．又，故或12時，．故選：D．6.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加2022年杭州亞運會志愿者服務活動，有翻譯、導游、禮儀、司機四項工作可以安排，以下說法正確的是()A.每人都安排一項工作的不同方法數(shù)為B.每人都安排一項工作，每項工作至少有一人參加，則不同的方法數(shù)為480C.如果司機工作不安排，其余三項工作至少安排一人，則這5名同學全部被安排的不同方法數(shù)為300D.每人都安排一項工作，每項工作至少有一人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是126【答案】D【解析】【分析】根據(jù)乘法原理，結(jié)合排列和組合的定義逐一判斷即可.【詳解】每人都安排一項工作的不同方法數(shù)為，即選項A錯誤，每項工作至少有一人參加，則不同的方法數(shù)為，即選項B錯誤，如果司機工作不安排，其余三項工作至少安排一人，則這5名同學全部被安排的不同方法數(shù)為：，即選項C錯誤，每項工作至少有一人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是，即選項D正確，故選：D．7.在平面直角坐標系中，，，若圓：上存在點，使得，則的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設，由兩點距離公式結(jié)合可得，又點Р在圓C上，可得兩圓心距離范圍，即可列式求得的取值范圍.【詳解】設，所以，即，又點Р在圓C上，所以，解得，即的取值范圍是.故選：A.8.已知圓在橢圓的內(nèi)部，點為上一動點.過作圓的一條切線，交于另一點，切點為，當為的中點時，直線的斜率為，則的離心率為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】當點為中點時，由點差法可得，再由與圓相切可得，可解出；設為的左頂點，連接，則，根據(jù)正切的二倍角公式可解得，即得出，將和代入得，然后解出離心率.【詳解】設，，，則，.將，的坐標分別代入的方程，得，兩式相減，得，所以，即.當為的中點時，，則，故.如圖，設為的左頂點，連接，則，所以，整理得，解得或(舍去)，則，所以，所以，故的離心率.故選：C.【點睛】本題考查橢圓離心率的計算，難度較大，解答的關鍵在于根據(jù)題目條件解出和，然后運用點差法得出而得出，的關系求解離心率，其中難點在于根據(jù)得到，運用二倍角公式解出從而得出.二、選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.從含有3道代數(shù)題和2道幾何題的5道試題中隨機抽取2道題，每次從中隨機抽出1道題，抽出的題不再放回，則()A.“第1次抽到代數(shù)題”與“第1次抽到幾何題”是互斥事件B.“第1次抽到代數(shù)題”與“第2次抽到幾何題”相互獨立C.第1次抽到代數(shù)題且第2次也抽到代數(shù)題的概率是D.在有代數(shù)題的條件下，兩道題都是代數(shù)題的概率是【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件，獨立事件的定義判斷AB，利用條件概率公式計算判斷CD．【詳解】“第1次抽到代數(shù)題”與“第1次抽到幾何題”這兩個事件不可能同時發(fā)生，它們互斥，A正確；“第1次抽到代數(shù)題”這個事件發(fā)生與否對事件“第2次抽到幾何題”發(fā)生的概率有影響，“第1次抽到代數(shù)題”發(fā)生時，“第2次抽到幾何題”的概率是，“第1次抽到代數(shù)題”不發(fā)生時，“第2次抽到幾何題”的概率是，它們不獨立；B錯；第1次抽到代數(shù)題且第2次也抽到代數(shù)題的概率是，C正確；抽取兩次都是幾何題的概率是，因此有代數(shù)題的概率是，在有代數(shù)題的條件下，兩道題都是代數(shù)題的概率是，D正確．故選：ACD．10.下列結(jié)論正確的有()A.若隨機變量滿足，則B.若隨機變量，且，則C.若樣本數(shù)據(jù)線性相關，則用最小二乘估計得到的經(jīng)驗回歸直線經(jīng)過該組數(shù)據(jù)的中心點D.根據(jù)分類變量X與Y的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到．依據(jù)的獨立性檢驗，可判斷X與Y有關且犯錯誤的概率不超過0.05【答案】BCD【解析】【分析】對A，根據(jù)方差的性質(zhì)判斷即可；對B，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性判斷即可；對C，根據(jù)回歸直線的性質(zhì)判斷即可；對D，根據(jù)獨立性檢驗的性質(zhì)判斷即可【詳解】對A，由方差的性質(zhì)可知，若隨機變量滿足，則，故A錯誤；對B，根據(jù)正態(tài)分布的圖象對稱性可得，故B正確；對C，根據(jù)回歸直線過樣本中心點可知C正確；對D，由可知判斷X與Y有關且犯錯誤的概率不超過0.05，故D正確故選：BCD11.已知函數(shù)，，則下列說法正確的是()A.在上是增函數(shù)B.，不等式恒成立，則正實數(shù)的最小值為C.若有兩個零點，則D.若，且，則的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】A選項中，令，利用導數(shù)可求得單調(diào)性，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性的基本原則可知A正確；B選項中，利用導數(shù)可求得在上單調(diào)遞增，由此可將恒成立的不等式化為，令，利用導數(shù)可求得，由可知B正確；C選項中，利用導數(shù)可求得的單調(diào)性，由此確定，若，可等價轉(zhuǎn)化為，令，利用導數(shù)可求得單調(diào)性，從而得到，知，可得C錯誤；D選項中，采用同構(gòu)法將已知等式化為，從而可確定，結(jié)合單調(diào)性得到，由此化簡得到，令，利用導數(shù)可求得最大值，知D正確.【詳解】對于A，當時，，令，則，，，當時，恒成立，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞增，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性可知：在上為增函數(shù)，A正確；對于B，當時，，又為正實數(shù)，，，當時，恒成立，在上單調(diào)遞增，則由得：，即，令，則，當時，；當時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，則正實數(shù)的最小值為，B正確；對于C，，當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；，則；不妨設，則必有，若，則，等價于，又，則等價于；令，則，，，，，即，在上單調(diào)遞增，，即，，可知不成立，C錯誤；對于D，由，得：，即，由C知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；，，則，，，即，；令，則，當時，；當時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即的最大值為，D正確.故選：ABD.【點睛】方法點睛：本題C選項考查了導數(shù)中的極值點偏移問題；處理極值點偏移中的類似于()的問題的基本步驟如下：①求導確定的單調(diào)性，得到的范圍；②構(gòu)造函數(shù)，求導后可得恒正或恒負；③得到與的大小關系后，將置換為；④根據(jù)與所處的范圍，結(jié)合的單調(diào)性，可得到與的大小關系，由此證得結(jié)論.12.數(shù)列滿足，，數(shù)列的前n項和為，且，則下列正確的是()A.B.數(shù)列的前n項和C.數(shù)列的前n項和D.【答案】BCD【解析】【分析】求得數(shù)列的通項公式判斷選項A；求得數(shù)列的前n項判斷選項B；求得數(shù)列的前n項和，進而判斷選項C；求得數(shù)列的前項和進而判斷選項D.【詳解】由，有，又所以是首項為，公差為的等差數(shù)列，則，則，則，A錯誤；由，可得，解之得又時，，則，整理得則數(shù)列是首項為3公比為3的等比數(shù)列，則，則數(shù)列的前項和，B正確；，則數(shù)列的前項和，C正確；設數(shù)列的前項和，則，，兩式相減得整理得，則當時，，D正確.故選：BCD.三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)的定義域為，且函數(shù)為奇函數(shù)，若，則______．【答案】【解析】【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合代入法進行求解即可.【詳解】，因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以故答案為：．14.已知隨機變量,且，若,則的最小值為_________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可求，結(jié)合基本不等式可求答案.【詳解】，可得正態(tài)分布曲線的對稱軸為，又，，即．則，當且僅當，即時，等號成立故答案：.15.已知數(shù)列滿足，其前項和為，則________．【答案】##【解析】【分析】先對通項公式進行變形為，然后利用二項式定理進行求和.【詳解】因為，.故答案為：.16.已知函數(shù)滿足，若方程有五個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】令，則方程轉(zhuǎn)化為，原問題等價于有兩個根，再根據(jù)一元二次方程根的分布列出不等式組求解即可得答案.【詳解】令，則方程轉(zhuǎn)化為，作出函數(shù)的圖象如下圖所示，由題意，方程有五個不相等的實數(shù)根，即有一個根，一個根或有一個根，一個根令，當有一個根，一個根則解得：，當有一個根，一個根則解得：，綜上，實數(shù)m的取值范圍為故答案為：【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解四、解答題:本題共6小題，共70分．解答應寫出文宇說明、證明過程或演算步驟．17.已知是等差數(shù)列，是公比不為1的等比數(shù)列，．(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若集合，且，求中所有元素之和．【答案】(1)，(2)242【解析】【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式求解，可得答案；(2)先根據(jù)，以及得出的范圍，利用等比數(shù)列求和可得答案.【小問1詳解】設的公差為d，的公比為q，則由，，可得，解得．所以，.【小問2詳解】設，即，得，因為，所以，故，由于，所以，即，所以中所有元素之和為：．18.小明參加一個挑戰(zhàn)游戲，他每次挑戰(zhàn)成功的概率均為．現(xiàn)有3次挑戰(zhàn)機會，并規(guī)定連續(xù)兩次挑戰(zhàn)均不成功即終止挑戰(zhàn)，否則繼續(xù)下一次挑戰(zhàn)．已知小明不放棄任何一次挑戰(zhàn)機會，且恰好用完3次挑戰(zhàn)機會的概率是．(1)求的值;(2)小明每挑戰(zhàn)成功一次，可以獲得500元獎勵，記其獲得的獎勵金額為，求的分布列及數(shù)學期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，期望為.【解析】【分析】(1)利用對立事件以及所給概率值可求出的值；(2)先求的所有取值，分別求解每個取值對應的概率，可得分布列，利用期望公式可得期望.【小問1詳解】設事件A：“恰用完3次挑戰(zhàn)機會”，則其對立事件：“前兩次挑戰(zhàn)均不成功”，依題意，，解得．【小問2詳解】依題意，X的所有可能值為，，，；，,,故,X的概率分布列為：X050010001500P數(shù)學期望.19.直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，AA1＝8，點D在線段AB上．(1)當AC1平面B1CD時，確定D點的位置并證明；(2)當時，求二面角B－CD－B1的余弦值．【答案】(1)D是AB的中點，證明見解析(2)【解析】【分析】(1)連接BC1，交B1C于點E，連接DE，由題意證得DEAC1，再由線面平行的判定定理即可證明.(2)以C為原點建立如圖所示的空間直角坐標系C－xyz，分別求出平面和平面B1CD的法向量，再由二面角的向量公式即可得出答案.【小問1詳解】當D是AB的中點時，AC1平面B1CD．證明：連接BC1，交B1C于點E，連接DE.因為三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以側(cè)面BB1C1C為矩形，DE為的中位線，所以DEAC1.因為DE?平面B1CD，AC1?平面B1CD，所以AC1平面B1CD．【小問2詳解】由AB＝10，AC＝8，BC＝6得AC⊥BC．以C為原點建立如圖所示的空間直角坐標系C－xyz，則B(6，0，0)，A(0，8，0)，．設，因為點D在線段AB上，且，即.所以a＝4，b＝.所以＝(－6，0，－8)，＝(4，，0)．平面BCD的一個法向量為＝(0，0，1)，設平面B1CD的法向量為＝(x，y，1)，由·＝0，·＝0得所以，y＝2，，．設二面角B－CD－B1的大小為θ，cosθ＝，所以二面角B－CD－B1的余弦值為.20.2022年12月15至16日，中央經(jīng)濟工作會議在北京舉行.關于房地產(chǎn)主要有三點新提法，其中“住房改善”位列擴大消費三大抓手的第一位.某房地產(chǎn)開發(fā)公司旗下位于生態(tài)公園的樓盤貫徹中央經(jīng)濟工作會議精神，推出了為期10天的促進住房改善的惠民優(yōu)惠售房活動，該樓盤售樓部統(tǒng)計了惠民優(yōu)惠售房活動期間到訪客戶的情況，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：(注：活動開始的第i天記為，第i天到訪的人次記為，)(單位：天)1234567(單位：人次)12224268132202392(1)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，通過建模分析得到適合函數(shù)模型為(c，d均為大于零的常數(shù)).請根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)及下表中的數(shù)據(jù)，求活動到訪人次y關于活動開展的天次x的回歸方程，并預測活動推出第8天售樓部來訪的人次；參考數(shù)據(jù)：其中；參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：；(2)該樓盤營銷策劃部從有意向購房的客戶中，隨機通過電話進行回訪，統(tǒng)計有效回訪發(fā)現(xiàn)，客戶購房意向的決定因素主要有三類：A類是樓盤的品質(zhì)與周邊的生態(tài)環(huán)境，B類是樓盤的品質(zhì)與房子的設計布局，C類是樓盤的品質(zhì)與周邊的生活與教育配套設施.統(tǒng)計結(jié)果