湘教版七年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項講練 專題4.25 《相交線與平行線》平行線、角平分線問題（提高篇）（專項練習(xí)）

專題4.25《相交線與平行線》平行線、角平分線問題（提高篇）（專項練習(xí)）一、解答題1．如圖所示，，為上方一點，分別為上兩點，，，和的角平分線交于點，求的值.2．（1）如圖，，平分，若，，求的度數(shù)；（2）如圖，，，平分，若的2倍與的補(bǔ)角的和為，求的度數(shù).（3）如圖，為（2）中射線上一點，是上任一點，平分，，平分，求的度數(shù).3．如圖，已知，，點P是射線AM上一動點（與點A不重合），BC，BD分別平分和，分別交射線AM于點C，D．（1）求的度數(shù)（2）當(dāng)點P運(yùn)動時，的比值是否隨之變化？若不變，請求出這個比值；若變化，請找出變化規(guī)律；（3）當(dāng)點P運(yùn)動到某處時，，求此時的度數(shù)．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A在X軸正半軸上，B在Y軸的負(fù)半軸，過點B畫MN∥x軸;C是Y軸上一點，連接AC,作CD⊥CA．（1）如圖（1），請直接寫出∠CA0與∠CDB的數(shù)量關(guān)系.（2）如圖(2)，在題（1）的條件下，∠CAO的角平分線與∠CDB的角平分線相交于點P，求∠APD的度數(shù)．（3）如圖（2）,在題（1）、（2）的條件下，∠CAX的角平分線與∠CDN的角平分線相交于點Q,請直接寫出∠APD與∠AQD數(shù)量關(guān)系．（4）如圖（3），點C在Y軸的正半軸上運(yùn)動時，∠CAO的角平分線所在的直線與∠CDB的角平分線相交于點P，∠APD的大小是否變化？若不變，直接寫出其值；若變化，說明理由．5．如圖，點C、M、N在射線DQ上，點B在射線AP上，且AP∥DQ，∠D=∠ABC=80°，∠1=∠2，AN平分∠DAM．（1）試說明AD∥BC的理由；（2）試求∠CAN的度數(shù)；（3）平移線段BC．①試問∠AMD：∠ACD的值是否發(fā)生變化？若不會，請求出這個比值；若會，請找出相應(yīng)變化規(guī)律；②若在平移過程中存在某種位置，使得∠AND=∠ACB，試求此時∠ACB的度數(shù)．6．如圖①，已知AB∥CD，點E、F分別是AB、CD上的點，點P是兩平行線之間的一點，設(shè)∠AEP=α，∠PFC=β，在圖①中，過點E作射線EH交CD于點N，作射線FI，延長PF到G，使得PE、FG分別平分∠AEH、∠DFl，得到圖②．（1）在圖①中，過點P作PM∥AB，當(dāng)α=20°，β=50°時，∠EPM=度，∠EPF=度；（2）在（1）的條件下，求圖②中∠END與∠CFI的度數(shù)；（3）在圖②中，當(dāng)FI∥EH時，請直接寫出α與β的數(shù)量關(guān)系．7．閱讀材料：如圖1，點是直線上一點，上方的四邊形中，，延長，，探究與的數(shù)量關(guān)系，并證明.小白的想法是：“作（如圖2），通過推理可以得到，從而得出結(jié)論”.請按照小白的想法完成解答：拓展延伸：保留原題條件不變，平分，反向延長，交的平分線于點（如圖3），設(shè)，請直接寫出的度數(shù)（用含的式子表示）.8．（1）如圖1，AC平分DAB，12，試說明AB與CD的位置關(guān)系，并予以證明：（2）如圖2，在（1）的結(jié)論下，AB的下方點P滿足ABP30，G是CD上任一點，PQ平分BPG，PQ∥GN，GM平分DGP，下列結(jié)論：①DGPMGN的值不變；②MGN的度數(shù)不變．可以證明，只有一個是正確的，請你做出正確的選擇并求值．9．如圖，已知直線l1∥l2，點A、B在直線l1上，點C、D在直線l2上，點C在點D的右側(cè)，∠ADC＝80°，∠ABC＝n°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，直線BE、DE交于點E．（1）寫出∠EDC的度數(shù)_____；（2）試求∠BED的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）；（3）將線段BC向右平行移動，其他條件不變，請直接寫出∠BED的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）10．已知AM∥CN，點B為平面內(nèi)一點，AB⊥BC于B（1）如圖1，直接寫出∠A和∠C之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，過點B作BD⊥AM于點D，求證：∠ABD=∠C；（3）如圖3，在（2）問的條件下，點E.F在DM上，連接BE.BF.CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠ABF=2∠ABE，求∠EBC的度數(shù).11．已知射線與直線交于點，平分，于點，．（1）如圖1，若；①求的度數(shù)；②試說明平分．如圖2，設(shè)的度數(shù)為，當(dāng)為多少度時，射線是的三等分線？并說明理由．12．如圖，若要判定紙帶兩條邊線a，b是否互相平行，我們可以采用將紙條沿AB折疊的方式來進(jìn)行探究．（1）如圖1，展開后，測得，則可判定a//b，請寫出判定的依據(jù)_________；（2）如圖2，若要使a//b，則與應(yīng)該滿足的關(guān)系是_________；（3）如圖3，紙帶兩條邊線a，b互相平行，折疊后的邊線b與a交于點C，若將紙帶沿（，分別在邊線a，b上）再次折疊，折疊后的邊線b與a交于點，AB//，，求出的長．13．（1）如圖1，AB∥CD，點M為直線AB，CD所確定的平面內(nèi)的一點，若∠A105，∠M108，請直接寫出∠C的度數(shù)；（2）如圖2，AB∥CD，點P為直線AB，CD所確定的平面內(nèi)的一點，點E在直線CD上，AN平分∠PAB，射線AN的反向延長線交∠PCE的平分線于M，若∠P30，求∠AMC的度數(shù)；（3）如圖3，點P與直線AB，CD在同一平面內(nèi)，AN平分∠PAB，射線AN的反向延長線交∠PCD的平分線于M，若AMC180P，求證：AB∥CD．14．在綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“三條平行線m，n，l（即始終滿足m∥n∥l）和一副直角三角尺ABC，DEF（∠BAC＝∠EDF＝90°，∠FED＝60°，∠DFE＝30°，∠ABC＝∠ACB＝45°）”為主題開展數(shù)學(xué)活動．操作發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，展翅組把三角尺ABC的邊BC放在l上，三角尺DEF的頂點F與頂點B重合，邊EF經(jīng)過AB，頂點E恰好落在m上，頂點D恰好落在n上，邊ED與n相交所成的一個角記為∠1，求∠1的度數(shù)；（2）如圖2，受到展翅組的啟發(fā)，高遠(yuǎn)組把直線m向下平移后使得兩個三角尺的兩個直角頂點A、D分別落在m和l上，頂點C恰好落在n上，邊AC與l相交所成的一個角記為∠2，邊DF與m相交所成的一個角記為∠3，請你說明∠2﹣∠3＝15°；結(jié)論應(yīng)用（3）老師在點評高遠(yuǎn)組的探究操作時提出，在（2）的條件下，若點N是直線n上一點，CN恰好平分∠ACB時，∠2與∠3之間存在一個特殊的倍數(shù)關(guān)系，請你直接寫出它們之間的倍數(shù)關(guān)系，不需要說明理由．15．閱讀下面材料：彤彤遇到這樣一個問題：已知：如圖甲，ABCD，E為AB，CD之間一點，連接BE，DE，得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D．彤彤是這樣做的：過點E作EFAB，則有∠BEF＝∠B．∵ABCD，∴EFCD．∴∠FED＝∠D．∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．即∠BED＝∠B+∠D．請你參考彤彤思考問題的方法，解決問題：如圖乙．已知：直線ab，點A，B在直線a上，點C，D在直線b上，連接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直線交于點E．（1）如圖1，當(dāng)點B在點A的左側(cè)時，若∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，求∠BED的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)點B在點A的右側(cè)時，設(shè)∠ABC＝α，∠ADC＝β，直接寫出∠BED的度數(shù)（用含有α，β的式子表示）．16．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，，且滿足，過作軸于．（1）求的面積．（2）若過作交軸于，且分別平分，如圖2，求的度數(shù)．（3）在軸上存在點使得和的面積相等，請直接寫出點坐標(biāo)．17．如圖，已知AM∥BN，∠A＝64°．點P是射線AM上一動點（與點A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線AM于點C，D．（1）①∠ABN的度數(shù)是；②∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠；（2）求∠CBD的度數(shù)；（3）當(dāng)點P運(yùn)動時，∠APB與∠ADB之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請寫出它們之間的關(guān)系，并說明理由：若變化，請寫出變化規(guī)律；（4）當(dāng)點P運(yùn)動到使∠ACB＝∠ABD時，∠ABC的度數(shù)是．18．如圖，，點、分別在直線、上，點在直線、之間，．（1）求的值；（2）如圖2，直線交、的角平分線分別于點、，求的值；（3）如圖3，在內(nèi)，，在內(nèi)，．直線交、分別于點、，若，則的值是__________．

參考答案1．.【分析】先設(shè)，，由題意可得，，，由，，從而求出x,y；根據(jù)題意得，，從而得到的值.解：設(shè)，，由題意可得，，，由，，解得，；由靴子圖AEGFC知，，由靴子圖AEHFC知，，即，，.點撥本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是設(shè)，，由題意得到x，y的關(guān)系式.2．（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由兩直線平行同位角相等和三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和來證明即可；（2）設(shè)∠ABF=x，∠DCF=y，先由角平分線的性質(zhì)可得∠EBF=2x，∠ECF=y，然后再由兩直線平行的性質(zhì)及三角形的外角的性質(zhì)和已知條件來求解即可；（3）設(shè)∠BPQ=x，∠MGN=y，由角平分線的性質(zhì)可得∠QPG=∠NGP=x，∠DGM=x+y，再由平行線的性質(zhì)可求得∠MGN.解：解：（1）∵AB∥CD，∴，，，；（2）設(shè)，，∴，，∵AB∥CD，∴，即，①，由鳥嘴圖DVFBA知，，即，②，由已知得③，將①、②代入③得，∴；（3）設(shè)，，∴，，由鳥嘴圖知得，，即.點撥本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵.3．（1）60°；（2）不變，∠APB：∠ADB=2：1；（3）30°【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義只要證明∠CBD=∠ABN即可；（2）不變．可以證明∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN=∠PBN．

（3）想辦法證明∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN即可解決問題；解：解：（1）∵AM∥BN，

∴∠ABN=180°-∠A=120°，

又∵BC，BD分別平分∠ABP和∠PBN，

∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=（∠ABP+∠PBN）=∠ABN=60°，（2）不變．理由如下：

∵AM∥BN，

∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，

又∵BD平分∠PBN，

∴∠ADB=∠DBN=∠PBN=∠APB，∴∠APB：∠ADB=2：1．（3）∵AM∥BN，

∴∠ACB=∠CBN，

又∵∠ACB=∠ABD，

∴∠CBN=∠ABD，

∴∠ABC=∠ABD-∠CBD=∠CBN-∠CBD=∠DBN，

∴∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN，

∴∠ABC=∠ABN=30°，點撥本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．4．（1）∠CAO+∠CDB=90o；（2）∠APD=45o；（3）∠APD+∠AQD=180o；（4）∠APD的大小不變，為45o【分析】（1）根據(jù)CD⊥CA、∠AOC=90°知∠DCB=∠OAC，由∠CBD=90°可得∠DCB+∠CDB=90°，即∠CAO+∠CDB=90°；

（2）延長AP交MN于點E，結(jié)合（1）中結(jié)論，利用角平分線可得∠1+∠2=45°，再由平行線的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可得；

（3）由AP平分∠OAC、AQ平分∠CAx且∠OAC+∠CAx=180°可得∠PAQ=90°，同理知∠PDQ=90°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和可得結(jié)論；

（4）設(shè)∠CAQ=2α、∠CQA=2β，由∠ACD=90°得2α+2β=90°即α+β=45°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)及平行線性質(zhì)可得∠QDP=β，∠CAQ＝∠CAQ=α，由∠CQA=90°-α利用外角性質(zhì)可得答案．解：（1）如圖，∵CD⊥CA，

∴∠ACO+∠DCB=90°，

∵∠AOC=90°，

∴∠ACO+∠OAC=90°，

∴∠DCB=∠OAC，

又∵∠CBD=90°，

∴∠DCB+∠CDB=90°，

∴∠CAO+∠CDB=90°；

（2）如圖2，延長AP交MN于點E，

∵AP平分∠CAO、DP平分∠CDB，

∴∠1=∠CAO、∠2=∠CDB，

∵∠CAO+∠CDB=90°，

∴∠1+∠2=45°，

∵M(jìn)N∥OA，

∴∠1=∠3，

∴∠APD=∠2+∠3=∠1+∠3=45°；

（3）∵AP平分∠OAC、AQ平分∠CAx，

∴∠PAC=∠OAC、∠QAC=∠CAx，

∵∠OAC+∠CAx=180°，

∴∠PAQ=∠PAC+∠CAQ=（∠OAC+∠CAx）=90°，

同理得∠PDQ=90°，

∴∠APD+∠AQD=360°-（∠PAQ+∠PDQ）=180°；

（4）∠APD的大小不變，為45°；

設(shè)∠CAQ=2α，∠CQA=2β，

∵∠ACD=90°，

∴∠CAQ+∠CQA=90°，即2α+2β=90，α+β=45，

∵AO∥MN，

∴∠CQA=∠CDB=2β，

∵AQ平分∠CAQ、DB平分∠CDB，

∴∠QDP=∠CDB=β，∠CAQ＝∠CAQ=α，

則∠CQA=90°-∠CAQ=90°-α，

∴∠APD=∠CQA-∠CDB=90°-α-β=45°．點撥：考查角平分線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識點，熟練掌握角平分線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（1）見解析；(2)∠CAN＝50°；(3)①不會,∠AMD：∠ACD＝2；②∠ACB＝75°．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)和判定即可得到結(jié)論；（2）由角平分線的定義和角的和差可以得到結(jié)論；（3）①不會．根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②由平行線的性質(zhì)和∠AND＝∠ACB，得到∠NAB＝∠DAC，進(jìn)而得到∠1＝∠DAN，即可得到結(jié)論．解：（1）∵AP∥DQ，∴∠D＋∠DAB＝180°．∵∠D＝80°，∴∠DAB＝100°．∵∠ABC＝80°，∴∠DAB＋∠ABC＝180°，∴AD∥BC．（2）∵AN平分∠DAM，∴∠NAM＝∠NAD＝∠DAM．∵∠1＝∠2，∴∠CAM＝∠BAM．∴∠NAM＋∠CAM＝∠DAM＋∠BAM，即：∠CAN＝∠DAB∵∠DAB＝100°，∴∠CAN＝50°．（3）①不會．∵AP∥DQ，∴∠AMD＝∠MAB＝2∠1，∠ACD＝∠1，∴∠AMD：∠ACD＝2．②∵AP∥DQ，AD∥BC，∴∠AND＝∠NAB，∠ACB＝∠DAC．∵∠AND＝∠ACB，∴∠NAB＝∠DAC，∴∠NAB－∠NAC＝∠DAC－∠NAC，即：∠1＝∠DAN，∴∠1＝∠2＝∠DAN＝∠MAN＝25°，∴∠ACB＝∠DAC＝75°．點撥：靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定是解答本題的關(guān)鍵．6．（1）20，70；（2）80°；（3）90°；【分析】（1）由PM∥AB根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠EPM=∠AEP=20°，根據(jù)平行公理的推論可得PM∥CD，繼而可得∠MPF=∠CFP=50°，從而即可求得∠EPF；（2）由角平分線的定義可得∠AEH=2α=40°，再根據(jù)AD∥BC，由兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠END=∠AEH=40°，由對頂角相等以及角平分線定義可得∠IFG=∠DFG=β=50°，再根據(jù)平角定義即可求得∠CFI的度數(shù)；（3）由（2）可得，∠CFI=180°-2β，由AB∥CD，可得∠END=2α，當(dāng)FI∥EH時，∠END=∠CFI，據(jù)此即可得α+β=90°．解：（1）∵PM∥AB，α=20°，∴∠EPM=∠AEP=20°，∵AB∥CD，PM∥AB，∴PM∥CD，∴∠MPF=∠CFP=50°，∴∠EPF=20°+50°=70°，故答案為20，70；（2）∵PE平分∠AEH，∴∠AEH=2α=40°，∵AD∥BC，∴∠END=∠AEH=40°，又∵FG平分∠DFI，∴∠IFG=∠DFG=β=50°，∴∠CFI=180°-2β=80°；（3）由（2）可得，∠CFI=180°-2β，∵AB∥CD，∴∠END=∠AEN=2α，∴當(dāng)FI∥EH時，∠END=∠CFI，即2α=180°-2β，∴α+β=90°．點撥本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.7．閱讀材料：，見解析；拓展延伸：.【分析】（1）作，，，由平行線性質(zhì)可得，結(jié)合已知，可證，進(jìn)而得到，從而，，將代入可得.（2）過H點作HP∥MN，可得∠CHA=∠PHA+∠PHC，結(jié)合（1）的結(jié)論和CG平分∠ECD可得∠PHC=∠FCH=120°-，即可得.解：【閱讀材料】作，，（如圖1）.∵，∴.∴.∵，∴.∴.∴.∵，∴.∵，∴.∴，.∴.∵，∴.【拓展延伸】結(jié)論：.理由：如圖，作，過H點作HP∥MN，∴∠PHA=∠MAH=，由（1）得FC∥MN，∴FC∥HP，∴∠PHC=∠FCH，∵,CG平分∠ECD，∴∠ECG=20°+，∴∠FCH==180°-()-(20°+)=120°-∴∠CHA=∠PHA+∠PHC=+（120°-）=120°-即：.【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)錯角，運(yùn)用等角的余角（補(bǔ)角）相等進(jìn)行推導(dǎo)．余角和補(bǔ)角計算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián)．解題時注意方程思想的運(yùn)用．8．（1）見詳解；（2）②正確，MGN的度數(shù)為15°，理由見詳解．【分析】（1）由AC平分DAB，12，可得∠2=∠BAC,進(jìn)而即可得到結(jié)論；（2）由角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)，可得∠MGP=（∠BPG+∠B），由PQ∥GN，得∠NGP=∠GPQ=∠BPG，進(jìn)而由∠MGN=∠MGP-∠NGP，即可得到結(jié)論．解：（1）AB∥CD，理由如下：∵AC平分DAB，∴∠1=∠BAC，∵12，∴∠2=∠BAC,∴AB∥CD；（2）②MGN的度數(shù)不變是正確的，理由如下：∵PQ平分BPG，GM平分DGP，∴∠GPQ=∠BPG，∠MGP=∠DGP，∵AB∥CD，∴∠1=∠DGP，∵∠1=∠BPG+∠B，∴∠MGP=∠1=（∠BPG+∠B），∵PQ∥GN，∴∠NGP=∠GPQ=∠BPG，∴∠MGN=∠MGP-∠NGP=（∠BPG+∠B）-∠BPG=∠B=×30°=15°，∴MGN的度數(shù)不變，度數(shù)為15°．點撥本題主要考查角平分線的性質(zhì)定理與平行線的性質(zhì)和判定定理，理清角的和差倍分關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．9．（1）40°；（2）∠BED＝n°+40°；（3）∠BED的度數(shù)變化，度數(shù)為n°+40°或220°﹣n°或n°﹣40°．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義，即可得到；

（2）過點作，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得，，根據(jù)角平分線的定義求出，，然后求解即可；

（3）過點作，然后分類討論：①點在點的左邊，根據(jù)角平分線的定義求出，，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得，，然后求解；②點在點的右邊時，根據(jù)角平分線的定義求出，，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出，然后求解即可．解：（1）∵平分，，∴，故答案為：；（2）如圖1：過點作，∵，∴，∴，，∵平分，平分，，，∴，，∴；（3）過點作，①如圖1：點在點的右邊時，過點作，∵，∴，∴，，∵平分，平分，，，∴，，∴；②如圖2：點在點的左邊時，若點在直線和之間，則過點作，∵平分，平分，，，∴，，∵，∴，∴，，∴，③如圖3：點在點的左邊時，若點在直線的上方，則，∵平分，平分，，，∴，，∵，∴，∴．④如圖4：點在點的左邊時，若點在直線的下方，則∵平分，平分，，，∴，，∵，∴，∵，∴．∴將線段BC向右平行移動，其他條件不變，∠BED的度數(shù)為或或．點撥本題考查的是角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及分類討論，根據(jù)題意作出平行線，再由平行線的性質(zhì)及三角形外角、對頂角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．10．(1)90°；(2)詳見解析;(3)105°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；

（2）先過點B作BG∥DM，根據(jù)同角的余角相等，得出∠ABD=∠CBG，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出∠C=∠CBG，即可得到∠ABD=∠C；

（3）先過點B作BG∥DM，根據(jù)角平分線的定義，得出∠ABF=∠GBF，再設(shè)∠DBE=α，∠ABF=β，根據(jù)∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，根據(jù)AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程組即可得到∠ABE=15°，進(jìn)而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．解：解：（1）如圖1，AM與BC的交點記作點O，∵AM∥CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB=90°，∴∠A+∠C=90°；（2）如圖2，過點B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG=90°，又∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，BG∥AM，∴CN∥BG，∴∠C=∠CBG，∴∠ABD=∠C；（3）如圖3，過點B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，由（2）可得∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，設(shè)∠DBE=α，∠ABF=β，則∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=3∠DBE=3α，∴∠AFC=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，①由AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，②由①②聯(lián)立方程組，解得α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°.點撥本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)錯角，運(yùn)用等角的余角（補(bǔ)角）相等進(jìn)行推導(dǎo)．余角和補(bǔ)角計算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián)．解題時注意方程思想的運(yùn)用．11．（1）①150°；②說明見解析；（2）18°或45°，說明見解析.【分析】（1）①根據(jù)題意可求∠BOF=30°，由平角定義可求∠DOF的度數(shù)②通過題意可求∠AOD=∠BOG=60°，即可得OD平分∠AOG（2）設(shè)∠AOD=β，分∠AOD=2∠DOG，或∠DOG=2∠AOD，兩種情況討論，根據(jù)題意可列方程，可求β的值，即可得α的值．解：（1）①∵AE∥OF∴∠A=∠BOF∵OF平分∠COF∴∠BOC=60°，∠COF=30°∴∠DOF=180-30°=150°②∵∠BOC=60°∴∠AOD=60°∵OF⊥OG∴∠BOF+∠FOG=90°∴∠BOG=60°∵∠BOG+∠DOG+∠AOD=180°∴∠DOG=60°=∠AOD∴OD平分∠AOG（2）設(shè)∠AOD=β∵射線OD是∠AOG的三等分線∴∠AOD=2∠DOG，或∠DOG=2∠AOD若∠AOD=2∠DOG∴∠DOG=β∵∠BOC=∠AOD，OF平分∠BOC∴∠BOF=β∵OF⊥OG∴∠BOG=90-α∵∠BOG+∠DOG+∠AOD=180°∴β+90-β+β=180°∴∠β=90°∴∠BOF=45°∵OF∥AE∴∠A=∠BOF=45°即α=45°若∠DOG=2∠AOD=2β∵∠BOC=∠AOD，OF平分∠BOC∴∠BOF=β∵OF⊥OG∴∠BOG=90-α∵∠BOG+∠DOG+∠AOD=180°∴2β+90-β+β=180°∴∠β=36°∴∠BOF=18°∴OF∥AE∴∠A=∠BOF=18°∴α=18°綜上所述α為18°或45°點撥本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題意列方程是本題的關(guān)鍵．12．（1）內(nèi)錯角相等，兩直線平行；（2）∠1+2∠2=180°；（3）4或10【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理，即可得到答案；（2）由折疊的性質(zhì)得：∠3=∠4，若a∥b，則∠3=∠2，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，即可得到答案；（3）分兩種情況：①當(dāng)B1在B的左側(cè)時，如圖2，當(dāng)B1在B的右側(cè)時，如圖3，分別求出的長，即可得到答案．解：（1）∵，∴a∥b（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），故答案是：內(nèi)錯角相等，兩直線平行；（2）如圖1，由折疊的性質(zhì)得：∠3=∠4，若a∥b，則∠3=∠2，∴∠4=∠2，∵∠2+∠4+∠1=180°，∴∠1+2∠2=180°，∴要使a∥b，則與應(yīng)該滿足的關(guān)系是：∠1+2∠2=180°．故答案是：∠1+2∠2=180°；（3）①當(dāng)B1在B的左側(cè)時，如圖2，∵AB//，a∥b，∴AA1=BB1=3，∴=AC-AA1=7-3=4；②當(dāng)B1在B的右側(cè)時，如圖3，∵AB//，a∥b，∴AA1=BB1=3，∴=AC+AA1=7+3=10．綜上所述：=4或10．點撥本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)定理，折疊的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，掌握“平行線間的平行線段長度相等”是解題的關(guān)鍵．13．（1）；（2）；（3）證明過程見解析【分析】（1）直接添加輔助線AC，結(jié)合三角形的內(nèi)角和以及平行線的同旁內(nèi)角即可求解；（2）延長BA與CP交于Q，記CQ和AM交于點H，先根據(jù)AN平分∠PAB，利用三角形的外角和對頂角，用含∠BAN的式子來表示∠MHC，再∵AB∥CD，得到，通過CM平分∠PCE，得到∠MCH可以用含∠BAN的式子來表示，最后利用三角形的內(nèi)角和即可求出答案；（3）添加輔助線AC，則，，結(jié)合已知AMC180P，得到，即可求到的值，通過角平分線就知道了，即可求到，就得到了AB∥CD．解：（1）如圖，連接AC，在中，，∵AB∥CD，，，∵∠A105，∠M108，∴；（2）如圖，延長BA與CP交于Q，記CQ和AM交于點H，∵AN平分∠PAB，，，∵∠P30，∴，，∵AB∥CD，，∵CM平分∠PCE，，，；（3）如圖，連接AC，則，，∵AMC180P，，，即，∵AN平分∠PAB，MC平分∠PCD，，，，∴AB∥CD．點撥本題考查的平行線及三角形的綜合知識，在這里要注意添加根據(jù)題意添加合適的輔助線，這里需要用到三角形的內(nèi)角和、平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及對頂角等綜合性質(zhì)，難度稍大．14．（1）75°；（2）見解析；（3）∠2＝3∠3【分析】（1）利用三角板的度數(shù)，求出∠DBC的度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)得到∠BDN的度數(shù)，由此得到∠1的度數(shù)；（2）過B點作BG∥直線m，利用平行線的性質(zhì)可得到∠3＝DBG和∠LAB＝∠ABG，再利用等量代換得到∠3+∠LAB＝75°，利用余角性質(zhì)得到∠LAB＝90°-∠2，由此證明結(jié)論；（3）結(jié)論：∠2＝3∠3．利用（2）中結(jié)論，結(jié)合平行線的性質(zhì)得到∠2和∠3的度數(shù)由此證明結(jié)論．解：（1）∵直線n∥直線l，∴∠DBC＝∠BDN，又∵∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝45°﹣30°＝15°，∴∠BDN＝15°，∴∠1＝90°﹣15°＝75°．（2）如圖所示，過B點作BG∥直線m，∵BG∥m，l∥m，∴BG∥l（平行于同一直線的兩直線互相平行），∵BG∥m，∴∠3＝DBG，又∵BG∥l，∴∠LAB＝∠ABG，∴∠3+∠LAB＝∠DBA＝30°+45°＝75°，又∵∠2和∠LAB互為余角，∴∠LAB＝90°﹣∠2，∴∠3+90°﹣∠2＝75°，∴∠2﹣∠3＝15°．（3）結(jié)論：∠2＝3∠3．理由：在（2）的條件下，∠2﹣∠3＝15°，又∵CN平分∠BCA，∴∠BCN＝∠CAN＝22.5°，又∵直線n∥直線l，∴∠2＝22.5°，∴∠3＝7.5°，∴∠2＝3∠3．點撥考查平行線的性質(zhì)并結(jié)合了三角板中的特殊角度，學(xué)生需要作輔助線利用平行線的傳遞性將特殊的角的關(guān)系聯(lián)系起來，熟悉掌握平行線之間角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．15．（1）65°；（2）【分析】（1）如圖1，過點E作EF∥AB，當(dāng)點B在點A的左側(cè)時，根據(jù)∠ABC=60°，∠ADC=70°，參考彤彤思考問題的方法即可求∠BED的度數(shù)；（2）如圖2，過點E作EF∥AB，當(dāng)點B在點A的右側(cè)時，∠ABC=α，∠ADC=β，參考彤彤思考問題的方法即可求出∠BED的度數(shù)．解：（1）如圖1，過點E作EF∥AB，有∠BEF=∠EBA．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED=∠EDC．∴∠BEF+∠FED=∠EBA+∠EDC．即∠BED=∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA=∠ABC=30°，∠EDC=∠ADC=35°，∴∠BED=∠EBA+∠EDC=65°．答：∠BED的度數(shù)為65°；（2）如圖2，過點E作EF∥AB，有∠BEF+∠EBA=180°．∴∠BEF=180°﹣∠EBA，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED=∠EDC．∴∠BEF+∠FED=180°﹣∠EBA+∠EDC．即∠BED=180°﹣∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA=∠ABC=，∠EDC=∠ADC=，∴∠BED=180°﹣∠EBA+∠EDC=180°﹣+．答：∠BED的度數(shù)為180°﹣+．點撥本題考查了平行線的判定與性質(zhì)以及角平分線的定義，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)．16．（1）4；（2）；（2）或．【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)易得，，然后根據(jù)三角形面積公式計算；（2）過作，根據(jù)平行線性質(zhì)得，且，，所以；然后把代入計算即可；（3）分類討論：設(shè)，當(dāng)在軸正半軸上時，過作軸，軸，軸，利用可得到關(guān)于的方程，再解方程求出；當(dāng)在軸負(fù)半軸上時，運(yùn)用同樣方法可計算出．解：解：（1），，，，，，，，的面積；（2）解：軸，，，又∵，∴，過作，如圖①，，，，，分別平分，，即：，，；（3）或．解：①當(dāng)在軸正半軸上時，如圖②，設(shè)，過作軸，軸，軸，，，解得，②當(dāng)在軸負(fù)半軸上時，如圖③，解得，綜上所述：或．點撥本題考查了平行線的判定與性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．也考查了非負(fù)數(shù)的性