專題5.1 平面向量的概念、線性運算與基本定理及坐標(biāo)表示【六大題型】（舉一反三）（新高考專用）（解析版）2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

第第頁專題5.1平面向量的概念、線性運算與基本定理及坐標(biāo)表示【六大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1平面向量的基本概念】 2【題型2平面向量的線性運算】 4【題型3向量共線定理的應(yīng)用】 6【題型4平面向量基本定理的應(yīng)用】 8【題型5平面向量的坐標(biāo)運算】 11【題型6向量的線性運算的幾何應(yīng)用】 131、平面向量的概念、線性運算與基本定理及坐標(biāo)表示平面向量是高考的熱點內(nèi)容，屬于高考的必考內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，平面向量的線性運算、平面向量基本定理、平面向量的坐標(biāo)運算是高考的熱點內(nèi)容，主要以選擇題、填空題的形式考查，難度較易；有時也會與三角函數(shù)、解析幾何結(jié)合出現(xiàn)在綜合性大題中，難度中等.學(xué)生在高考復(fù)習(xí)中應(yīng)注意加強對向量的線性運算法則、向量共線與垂直的條件的理解，熟記平面向量的相關(guān)公式，靈活求解.【知識點1平行向量有關(guān)概念的歸納】1.平行向量有關(guān)概念的四個關(guān)注點(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān).(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函數(shù)圖象的平移混淆.(4)非零向量與的關(guān)系：是與同方向的單位向量.【知識點2平面向量線性運算問題的解題策略】1.平面向量線性運算問題的求解思路：(1)解決平面向量線性運算問題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化；(2)在求向量時要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則及三角形中位線定理、相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為用已知向量線性表示.2.向量線性運算的含參問題的解題策略：與向量的線性運算有關(guān)的參數(shù)問題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量運算的三角形法則進行加法或減法運算，然后通過建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值.3.利用共線向量定理解題的策略：(1)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運用.(2)當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線，即A,B,C三點共線共線.(3)若與不共線且，則.(4)(λ,μ為實數(shù))，若A,B,C三點共線，則λ+μ=1.【知識點3平面向量基本定理的探究】1.應(yīng)用平面向量基本定理求向量的實質(zhì)應(yīng)用平面向量基本定理求向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算.一般將向量“放入”相關(guān)的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關(guān)系.2.用平面向量基本定理解決問題的一般思路：用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.注意同一個向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個基底下的分解都是唯一的.【知識點4平面向量坐標(biāo)運算的方法技巧】1.平面向量坐標(biāo)運算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).(2)解題過程中，常利用向量相等其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解.【題型1平面向量的基本概念】【例1】（2023·北京大興·?？既＃┰O(shè)a，b是非零向量，“aa=bb”是“a=b”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)向量相等、單位向量判斷條件間的推出關(guān)系，結(jié)合充分、必要性定義即知答案.【解答過程】由aa=bb表示單位向量相等，則由a=b表示a,所以“aa=b故選：B.【變式1-1】（2023·福建南平·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正方形ABCD的邊長為1，點M滿足AB+BC=2AM，則A．12 B．1 C．22 【解題思路】根據(jù)幾何關(guān)系求解.【解答過程】如圖，AB+BC=AC=2AM，所以故選：C.【變式1-2】（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）已知ABCD是平面四邊形，設(shè)p：AB=2DC，q：ABCD是梯形，則p是q的條件（A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【解題思路】根據(jù)向量共線的性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【解答過程】在四邊形ABCD中，若AB=2則AB∥DC，且AB=2DC，即四邊形ABCD為梯形，充分性成立；若當(dāng)AD，BC為上底和下底時，滿足四邊形ABCD為梯形，但AB=2故p是q的充分不必要條件.故選：A.【變式1-3】（2022·云南昆明·統(tǒng)考模擬預(yù)測）下列有關(guān)四邊形ABCD的形狀判斷錯誤的是（

）A．若AD=BC，則四邊形B．若AD=13C．若AB=DC，且|ABD．若AB=DC，且AC⊥【解題思路】根據(jù)向量共線、相等的知識確定正確答案.【解答過程】A選項，AD=BC，則AD//B選項，AD=13BC，則C選項，AB=DC，則AB//DC,AB=DC，四邊形ABCD是平行四邊形；由于D選項，AB=DC，則AB//DC,AB=DC，所以四邊形ABCD為平行四邊形；由于故選：D.【題型2平面向量的線性運算】【例2】（2023·浙江·統(tǒng)考二模）設(shè)M是平行四邊形ABCD的對角線的交點，則MA+2MB+2A．AB B．CD C．2AB D．【解題思路】根據(jù)平行四邊形對角線平分及向量加減法計算可得.【解答過程】M是平行四邊形ABCD的對角線的交點，則MA=?所以MA+2故選：A.【變式2-1】（2023·寧夏石嘴山·平羅中學(xué)?？级＃┤鐖D，已知△ABC中，D是AB邊上一點，若DB=12AD，3CD

A．?2 B．2 C．?1 D．3【解題思路】根據(jù)平面向量加減法運算求解即可.【解答過程】連接CD，如圖所示：

因為DB=所以CD=所以3CD=CA故選：B.【變式2-2】（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在△ABC中，D是線段BC上一點，滿足BD=2DC,M是線段AD的中點，設(shè)BM=xAB+yA．x?y=?12 C．x?y=12 【解題思路】利用向量的線性運算，求出BM=?56【解答過程】因為D是線段BC上一點，滿足BD=2DC，所以AD=又M是線段AD的中點，所以AM=所以BM=所以x=?56,y=故選：B.【變式2-3】（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）已知等腰梯形ABCD滿足AB//CD，AC與BD交于點P，且AB=2CD=2BC，則下列結(jié)論錯誤的是（A．AP=2PC C．AP=23【解題思路】根據(jù)題意，由平面向量的線性運算，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.【解答過程】依題意，顯然△APB∽△DPC，故有ABCD即AP=2PC，PB=2PD，則AP=2又四邊形ABCD是等腰梯形，故AP=PB，即AP=2在△ABD中，AP=又AC=故選：D.【題型3向量共線定理的應(yīng)用】【例3】（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，EB=3DE，若AO=λAE+μBCA．?12 B．?2 C．12【解題思路】由EB=3DE，得到E為OD的中點，化簡得到AE=12AO+【解答過程】因為平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，可得O為BD的中點，由EB=3DE，可得E為OD的中點，所以可得AO=2又由AO=λAE+μBC，所以故選：B．【變式3-1】（2023·甘肅武威·統(tǒng)考一模）已知正三角形ABC的邊長為6，AP=λAB+μAC，λ∈0,1，μ∈0,1且3λ+4μ=2，則點A．23 B．3 C．33 【解題思路】由AP=32λAD+2μAE結(jié)合32λ+2μ=1【解答過程】因為3λ+4μ=2，所以32所以AP=λAB+μAE=12AC，則AP=所以點P在線段DE上運動，顯然，當(dāng)點P與點E重合時，點P到直線BC的距離取得最大值33故選：D.【變式3-2】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）如圖，在△ABC中，M為線段BC的中點，G為線段AM上一點，AG=2GM，過點G的直線分別交直線AB，AC于P，Q兩點，AB=xAPx>0，ACA．34 B．94 C．3【解題思路】先利用向量的線性運算得到AG=x3【解答過程】因為M為線段BC的中點，所以AM=12(AB又AB=xAPx>0，AC又P,G,Q三點共線，所以x3+y所以4x當(dāng)且僅當(dāng)xy+1=4(y+1)故選：B.【變式3-3】（2024·廣東廣州·鐵一中學(xué)?？家荒＃┤鐖D所示，O點在△ABC內(nèi)部，D,E分別是AC,BC邊的中點，且有OA+2OB+3OC=0，則A．32 B．23 C．43【解題思路】由題意可知O,D,E三點共線，且DEOD【解答過程】由OA+2OB+3又因為D,E分別是AC,BC邊的中點，所以O(shè)A+OC=2所以2OD=?4OE所以O(shè),D,E三點共線，且DEOD所以E到AC的距離與O到AC的距離之比也為32又△AEC的面積與△AOC的面積都以AC為底，所以△AEC的面積與△AOC的面積的比為32故選：A.【題型4平面向量基本定理的應(yīng)用】【例4】（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，AN=tNC(t>0)，BP=λPN(λ>0)，若A．7 B．6 C．5 D．4【解題思路】表達(dá)出AP，利用平面向量基本定理求出λ,t，即可求出λ+t的值.【解答過程】由題意及圖可得，∵BP=λ∴AP=∵AN=t∴AN=tt+1∵AP=∴11+λ=14，tλ(1+t)(1+λ)=1故選：C．【變式4-1】（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）如圖，點D、E分別AC、BC的中點，設(shè)AB=a，AC=b，F(xiàn)是DE的中點，則A．12a+12b B．?【解題思路】根據(jù)向量的運算，利用基底向量a,b表示【解答過程】因為點D、E分別AC、BC的中點，F(xiàn)是DE的中點，所以AF=AD+即AF=故選：C.【變式4-2】（2023·四川成都·校聯(lián)考一模）已知平行四邊形ABCD，若點M是邊BC的三等分點（靠近點B處），點N是邊AB的中點，直線BD與MN相交于點H，則BHBD=（A．23 B．25 C．15【解題思路】設(shè)BM=a,BN=b，設(shè)BH=λ【解答過程】

設(shè)BM=a,BN=設(shè)BH=λBD，則BH=3λa+2λ因為BH=所以3λ=1?μ2λ=μ，解得λ=所以BH=15故選：C.【變式4-3】（2022·安徽·蕪湖一中校聯(lián)考三模）平面上有△ABC及其內(nèi)一點O，構(gòu)成如圖所示圖形，若將△OAB，△OBC，△OCA的面積分別記作Sc，Sa，Sb，則有關(guān)系式Sa?OA+Sb?OB+Sc?OC=0．因圖形和奔馳車的logo很相似，常把上述結(jié)論稱為“奔馳定理”．已知△ABC的內(nèi)角A，A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【解題思路】根據(jù)平面向量基本定理可得SbSa=ba，ScSa=ca，延長CO交AB于E，延長BO交AC于F，根據(jù)面積比推出【解答過程】由Sa?OA由a?OA+b?OB根據(jù)平面向量基本定理可得?SbS所以SbSa延長CO交AB于E，延長BO交AC于F，則SbSa=|AE||BE|，又所以CE為∠ACB的平分線，同理可得BF是∠ABC的平分線，所以O(shè)為△ABC的內(nèi)心.故選：B.【題型5平面向量的坐標(biāo)運算】【例5】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知向量a=(x,1)，b=(2,y)，c=(x,y).若(a+b)⊥(A．2 B．3 C．5 D．6【解題思路】利用向量的數(shù)量積運算將向量垂直的條件轉(zhuǎn)化為(a+b)?(a【解答過程】因為a=(x,1)，b由(a+b即x2+1?又因為a∥b，所以聯(lián)立x2?y2=3故|c故選C.【變式5-1】（2023·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考三模）如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB=120°，∠DAC=30°，AB=1，AC=3，AD=2，AC=xAB+yAD，則

A．23 B．2 C．3 【解題思路】建立平面直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點坐標(biāo)，求得相關(guān)向量的坐標(biāo)，根據(jù)AC=x【解答過程】以A為坐標(biāo)原點，以AD為x軸，過點A作AD的垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

則A(0,0),B(?1故AC=(則由AC=xAB+y即33故x+y=23故選：A.【變式5-2】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測）已知向量a=?2,cosα，b=1,sinA．23 B．32 C．?2【解題思路】根據(jù)兩個向量共線的坐標(biāo)表示得出tanα，化簡所求分式，再代入tan【解答過程】已知向量a=?2,cosα，則?2sinα?cossin=?1故選：A.【變式5-3】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知向量a=1,?1,b=?1,2,c=A．3 B．13 C．?13【解題思路】利用平面向量的坐標(biāo)運算、向量共線的充要條件計算即可.【解答過程】由題意可知，na+b因為na+b整理得n=3m，即nm故選:A．【題型6\t"/gzsx/zj168399/_blank"\o"向量的線性運算的幾何應(yīng)用"向量的線性運算的幾何應(yīng)用】【例6】（2023·全國·模擬預(yù)測）在如圖所示的五角星中，以A、B、C、D、E為頂點的多邊形為正五邊形，且AT=5+12TS，設(shè)ES

A．5+12 B．?5+12 【解題思路】將ES+PA轉(zhuǎn)化為【解答過程】在五角星中，ES=RC，PA=∵AT∴DR∴RQ∴λ=1?故選：C.【變式6-1】（2023·吉林·統(tǒng)考一模）在直角三角形ABC中，A=90°，△ABC的重心、外心、垂心、內(nèi)心分別為G1，G2，G3，G4，若AGi=λiA．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】利用△ABC的重心、外心、垂心、內(nèi)心的位置特征，結(jié)合向量的線性運算，求出λi【解答過程】直角三角形ABC中，A=90°，D為BC中點，△ABC的重心為G1

AG則λ1=μ直角三角形ABC中，A=90°，△ABC的外心為G2，則G2為

AG2=12直角三角形ABC中，A=90°，△ABC的垂心為G3，則G3與A點重合，則λ3=μ直角三角形ABC中，A=90°，△ABC的內(nèi)心為G4，則點G

直角三角形ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，則S△ABC=1AGλ=ba+b+c,μ=λ2+μ2=1故選：B.【變式6-2】（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在正方形ABCD中，動點E從點B出發(fā)，經(jīng)過C，D，到達(dá)A，AE=λAB+μAC，則A．?1,1 B．0,1 C．?1,2 D．0,2【解題思路】建立平面直角坐標(biāo)系，寫成點的坐標(biāo)，分點E在BC，CD，AD三種情況，求出λ+μ的取值范圍.【解答過程】以B為坐標(biāo)原點，AB，BC所在直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=1，則B0,0當(dāng)點E在BC上時，設(shè)E0,m則?1,m=λ?1,0+μ?1,1，即當(dāng)點E在CD上時，設(shè)Et,1則t?1,1=λ?1,0+μ?1,1，即故λ+μ=1?t∈0,1當(dāng)點E在AD上時，設(shè)E1,u則0,u=λ?1,0+μ?1,1綜上，λ+μ的取值范圍是λ+μ∈0,1故選：B.【變式6-3】（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？寄M預(yù)測）如圖所示，梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2AD=2CD=2CB=2，點P在線段BC上運動，若AP=xAB+yAD，則A．54