蘇教版2023-2024學(xué)年六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)尖子生培優(yōu) 第二單元第5課時(shí)圓錐的認(rèn)識(shí)解決問題（知識(shí)精講+典題精練）

第二單元第5課時(shí)圓錐的認(rèn)識(shí)解決問題板塊一：知識(shí)精講核心知識(shí)點(diǎn)圓錐的特征【知識(shí)點(diǎn)歸納】圓錐是由一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面兩部分組成的，它的底面是一個(gè)圓，側(cè)面是一個(gè)曲面．關(guān)聯(lián)知識(shí)點(diǎn)圓柱的特征【知識(shí)點(diǎn)歸納】圓柱就是由兩個(gè)大小相同的圓和一個(gè)側(cè)面組成的．它的底面是完全相同的兩個(gè)圓，側(cè)面是一個(gè)曲面．板塊二：典題精練1．將一個(gè)底面直徑是、高是的圓錐形木塊分成形狀、大小完全相同的兩個(gè)木塊后，表面積比原來(lái)增加了多少平方厘米？2．有一個(gè)圓錐見下圖，AB和BC長(zhǎng)均為10cm，底面積周長(zhǎng)為10π厘米，有一只小蟲準(zhǔn)備從A點(diǎn)出發(fā)，沿著錐面爬到線段BC上，那么，它爬行的最短距離是多少厘米？3．一個(gè)圓錐的底面半徑2厘米，高是7厘米，沿著高并垂直于底面將圓錐切成完全相同的兩塊，每個(gè)切面的面積是多少平方厘米？4．一個(gè)直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)分別是4cm和3cm，如果以一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周會(huì)得到一個(gè)圓錐．怎樣旋轉(zhuǎn)得到的圓錐的底面積最大？最大是多少？5．將下圖中的直角三角形以一條直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，可以得到一個(gè)圓錐，圓錐的底面直徑和高分別是多少？6．以下圖直角三角形的一條直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，可以得到一個(gè)什么圖形？所得的圖形的底面直徑和高各是多少厘米？7．如圖，有一個(gè)圓錐形沙堆的底面直徑BC為4厘米，圓錐的側(cè)面展開圓心角為120度，母線AC的長(zhǎng)度為6厘米．請(qǐng)問：（1）如果一只螞蟻想從B點(diǎn)去C點(diǎn)，最短路線應(yīng)該怎么走？請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出一條最短路線（螞蟻只能在圓錐表面走）；（2）如果一只螞蟻需要由B點(diǎn)出發(fā)到達(dá)線段AC上（可以到其上的任意一點(diǎn)），那么最短路線應(yīng)該怎么走？8．將一個(gè)底面直徑18厘米，高是8厘米的圓錐形木塊分成形狀、大小完全相同的兩個(gè)木塊后，表面積比原來(lái)增加了多少平方厘米？9．一個(gè)圓錐的底面周長(zhǎng)是15.7厘米，高是3厘米。從圓錐的頂點(diǎn)沿著高將它切成兩半后，表面積之和比原圓錐的表面積增加了多少平方厘米？10．一個(gè)圓錐的底面周長(zhǎng)是18.84厘米，高是4厘米．從圓錐的頂點(diǎn)沿著高將它切成兩半后，表面積比原來(lái)的圓錐增加了多少平方厘米？11．一個(gè)圓柱形水桶里水面高度是12cm。在桶里放入一個(gè)圓錐形鋼坯（浸沒水中），這時(shí)水面高度上升至15cm，如果水桶的底面直徑是20cm。這個(gè)鋼坯的體積是多少？12．學(xué)校夢(mèng)想畫社要舉行斗笠彩繪比賽，青青媽媽給青青網(wǎng)購(gòu)了一頂?shù)酌姘霃?0厘米，高25厘米的圓錐形斗笠。商家用一個(gè)長(zhǎng)方體紙盒包裝起來(lái)快遞，這個(gè)盒子至少需要多大面積的紙板？13．把圓錐的側(cè)面按如圖所示的方式剪開，然后將它展開．想一想，它是一個(gè)什么圖形？14．把一個(gè)直徑為20分米的圓形鐵皮剪下一半圍成一個(gè)圓錐，該圓錐的用鐵皮多少平方分米？該圓錐的底面圓半徑是多少分米？（接頭不計(jì)，π取兩位小數(shù)）15．如下圖，在等腰三角形ABC中，AD＝6dm，BC＝8dm，以AD所在直線為軸旋轉(zhuǎn)半周．（1）可以得到一個(gè)什么立體圖形？（2）這個(gè)立體圖形的底面積是多少？高是多少？16．如圖是一個(gè)等腰直角三角形，將這個(gè)三角形以直角邊AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)圓錐。圓錐的高和底面直徑分別是多少厘米？17．如今自帶帳篷旅游越來(lái)越受人們歡迎。如圖，一種近似圓錐形帳篷的底面直徑是5米，高是2.4米。這種圓錐形帳篷占地面積是多少？18．一個(gè)圓錐的底面直徑是15厘米，高是18厘米。將這個(gè)圓錐沿著高切成兩半，表面積增加了多少平方厘米？參考答案：1．【分析】要把圓錐形木塊分成形狀、大小完全相同的兩個(gè)木塊，應(yīng)沿著圓錐的高切開，得到兩個(gè)切面，切面是兩個(gè)相同的等腰三角形。切開后，表面積比原來(lái)增加的部分為兩個(gè)等腰三角形的面積。等腰三角形的高是圓錐的高，等腰三角形的底是圓錐的底面直徑。根據(jù)三角形的面積＝底×高÷2可求出兩個(gè)等腰三角形的面積，也就是表面積比原來(lái)增加的部分?！驹斀狻?6×6÷2×2＝78×2＝156（平方厘米）答：表面積比原來(lái)增加了?！军c(diǎn)睛】本題考查圓錐的認(rèn)識(shí)和立體圖形的切拼，理解把圓錐分成完全相同的兩部分后，表面積增加了兩個(gè)等腰三角形的面積是解題的關(guān)鍵。2．10cm【詳解】小蟲從A點(diǎn)出發(fā)，沿著底面的直徑爬行到B點(diǎn)，也就是爬到了BC上；得：10π÷π＝10（cm）答：它爬行的最短距離是10厘米。3．14平方厘米【分析】沿著高并垂直于底面將圓錐切成完全相同的兩塊，每一塊的切面都是一個(gè)等腰三角形，而且這個(gè)三角形的底是圓錐底面直徑，高是圓錐的高，也就是說底是4厘米，高是7厘米，所以每個(gè)切面的面積是14平方厘米。【詳解】2×2×7÷2＝14（平方厘米）答：每個(gè)切面的面積是14平方厘米?！军c(diǎn)睛】關(guān)鍵是熟悉圓錐特征，確定切面圖形的形狀。4．以長(zhǎng)是3cm的直角邊為軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，得到的圓錐的底面積最大

3.14×42＝50.24（cm2）【詳解】略5．底面直徑8厘米，高或底面直徑6厘米，高【分析】直角三角形有兩條直角邊，以不同的直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，可以得到不同的圓錐。圓錐的高等于為軸的直角邊的長(zhǎng)，圓錐的底面直徑等于另一條直角邊長(zhǎng)度的2倍，據(jù)此解答。【詳解】可以得到兩種圓錐：（1）以長(zhǎng)的直角邊所在的直線為軸得到的圓錐。底面直徑：4×2＝8（厘米）高：3厘米（2）以長(zhǎng)的直角邊所在的直線為軸得到的圓錐。底面直徑：高：【點(diǎn)睛】根據(jù)圓錐的特征，運(yùn)用空間想象力解答此題。6．圓錐；底面直徑為16cm，高為6cm或底面直徑為12cm，高為8cm【分析】直角三角形繞著一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周可以得到一個(gè)圓錐，繞著旋轉(zhuǎn)的直角邊是圓錐的高，另一條直角邊是底面半徑，據(jù)此解答?！驹斀狻恳灾苯侨切蔚囊粭l直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，可以得到一個(gè)圓錐。（1）以6cm長(zhǎng)的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)8×2＝16（厘米）底面直徑是16厘米，高是6厘米。（2）以8cm長(zhǎng)的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)6×2＝12（厘米）底面直徑是12厘米，高是8厘米。答：以6cm長(zhǎng)的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，得到一個(gè)底面直徑是16厘米，高是6厘米的圓錐，以8cm長(zhǎng)的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，得到一個(gè)底面直徑是12厘米，高是8厘米的圓錐?！军c(diǎn)睛】以直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)時(shí)該直角邊就是圓錐的高，另一條直角邊就是圓錐的底面半徑。7．（1）B′C即為最短路線．（2）線段B′D即為最短路線．解答作圖如下：【分析】（1）要求螞蟻爬行的最短距離，將圓錐的側(cè)面展開，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”線段B′C即為最短路線．（2）根據(jù)“垂線段最短”，在圓錐的側(cè)面展開圖中，從點(diǎn)B′向AC所在的直線作垂線，垂線段B′D即為最短路線?！驹斀狻拷獯鹱鲌D如下：【點(diǎn)睛】圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，此扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)，運(yùn)用弧長(zhǎng)公式即可求出扇形的圓心角。8．144平方厘米【分析】將圓錐切成完全相同的兩塊，每一塊的切面都是一個(gè)等腰三角形，而且這個(gè)三角形的底是直徑，高是圓錐的高，也就是說底是18厘米，高是8厘米，所以每個(gè)切面的面積是72平方厘米，而現(xiàn)在的表面積比原來(lái)增加了2個(gè)切面，所以增加了144平方厘米?！驹斀狻?8×8÷2×2＝144÷2×2＝72×2＝144（平方厘米）答：表面積比原來(lái)增加了144平方厘米。【點(diǎn)睛】本題考查立體圖形表面積的變化，切一刀增加兩個(gè)面的面積。9．15平方厘米【分析】從圓錐的頂點(diǎn)沿著高把他切成兩半后，表面積比原來(lái)圓錐的表面積增加了2個(gè)以圓錐的底面直徑為底，以圓錐的高為高的三角形的面積，由此利用圓錐的底面周長(zhǎng)15.7厘米求出它的底面直徑即可解決問題?！驹斀狻?5.7÷3.14＝5（厘米）5×3÷2×2＝15÷2×2＝15（平方厘米）答：表面積之和比原來(lái)圓錐表面積增加15平方厘米?！军c(diǎn)睛】抓住圓錐的切割特點(diǎn)，得出增加部分的面積是2個(gè)以底面直徑為底，以圓錐的高為高的三角形的面積是解決此類問題的關(guān)鍵。10．24平方厘米【分析】從圓錐的頂點(diǎn)沿著高把他切成兩半后，表面積比原來(lái)圓錐的表面積增加了2個(gè)以圓錐的底面直徑為底，以圓錐的高為高的三角形的面積，由此利用圓錐的底面周長(zhǎng)18.84厘米求出它的底面直徑即可解決問題．【詳解】圓錐的底面直徑為：18.84÷3.14=6（厘米），則切割后表面積增加了：6×4÷2×2=24（平方厘米）；答：表面積之和比原來(lái)圓錐表面積增加24平方厘米．【點(diǎn)睛】抓住圓錐的切割特點(diǎn)，得出增加部分的面積是2個(gè)以底面直徑為底，以圓錐的高為高的三角形的面積是解決此類問題的關(guān)鍵．11．942cm3【分析】鋼坯的體積就是上升的水的體積，求出底面直徑20cm，高（15-12）cm的圓柱的體積，即是鋼坯體積。【詳解】20÷2=10（cm）3.14××（15-12）=3.14×100×3=942（cm3）答：這個(gè)鋼坯的體積是942cm3?！军c(diǎn)睛】本題考查了體積的等積變形，要理解水與放入水中物體的轉(zhuǎn)變。12．7200平方厘米【分析】這個(gè)長(zhǎng)方體紙盒子的長(zhǎng)和寬應(yīng)該等于圓錐的底面直徑，長(zhǎng)方體的高等于圓錐的高，然后根據(jù)長(zhǎng)方體的表面積公式計(jì)算即可。【詳解】半徑＝20厘米，直徑＝40厘米；＝（1600＋1000＋1000）×2＝×2＝（平方厘米）答：這個(gè)盒子至少需要7200平方厘米的紙板?！军c(diǎn)睛】這個(gè)題目重點(diǎn)是知道長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)和寬都等于圓錐的底面直徑，高等于圓錐的高。13．扇形【詳解】略14．15.7平方分米;62.8分米

【分析】通過分析，先求得半圓面積，就是圓錐側(cè)面積；根據(jù)圓周長(zhǎng)的一半為圓錐底面圓的周長(zhǎng)再求圓錐底面圓的半徑．【詳解】()2π÷2＝15.7（平方分米）20π÷2÷2π＝5（分米）答：用鐵皮15.7平方分米；底面圓半徑是5分米．15．（1）圓錐

（2）底面積：3.14×（）2＝50.24（dm2）

高：6dm【詳解】略16．5cm；10cm【分析】如果以直角邊AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的是一個(gè)高為5cm，底面半徑為5cm的圓錐。【詳解】如果以直角邊AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的是一個(gè)高為5cm，底面半徑為5cm的圓錐，這個(gè)圓錐的底面直徑是：5×2＝10（cm）答：圓錐的高是5cm，底面直徑是10cm?！军c(diǎn)睛】本題考查圓錐的特征，主要是掌握直角三形繞一直角邊旋轉(zhuǎn)一周可得到一個(gè)以旋轉(zhuǎn)的直角邊為高，另一直角邊為底面半徑的圓錐。17．19.625平方米【分析】求圓錐的占地面積，就是求直徑是5米的圓的面積，根據(jù)圓的面積＝πr2，代入數(shù)據(jù)，即可解答?！驹斀狻?.14×（5÷2）2＝3.14×2.52＝19.625（平方米）這種圓錐形帳篷占地面積是19.625平方米?！军c(diǎn)睛】熟練掌握?qǐng)A