第4章計數(shù)原理+章末小結 高二上學期數(shù)學湘教版（2019）選擇性必修第一冊

第4章

計數(shù)原理第4章章末小結&1&

兩個計數(shù)原理的應用

CA.48

B.54

C.72

D.108

方法指導

設這五個區(qū)分別為①，②，③，④，⑤區(qū)，由分步乘法計數(shù)原理分步為每一個區(qū)進行涂色，當給④區(qū)涂色時，分為④區(qū)與②區(qū)同色和④區(qū)與②區(qū)不同色這兩個情況，討論即可得出答案..

小結（1）應用分類加法計數(shù)原理，要明確分類的標準，做到不重不漏，每一類中的每一種方法都能獨立地“完成這件事情”；（2）應用分步乘法計數(shù)原理，應準確理解“分步”的含義，完成這件事，需要分成若干步驟，只有每個步驟都完成了，這件事情才能完成.求解過程滲透了數(shù)學運算、直觀想象的核心素養(yǎng).&3&

排列組合應用題例2（1）

（2022年新高考全國Ⅱ卷）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有(

).BA.12種

B.24種

C.36種

D.48種

（2）（2020年新高考全國Ⅱ卷）6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有(

).CA.120種

B.90種

C.60種

D.30種

小結

將具體問題抽象為排列問題或組合問題，是解排列、組合應用題的關鍵一步.（1）正確分類或分步，恰當選擇兩個計數(shù)原理.（2）有限制條件的排列組合問題應優(yōu)先考慮“受限元素”或“受限位置”.而排列組合討論的問題的共同點是“元素不相同”，不同點是排列與順序有關，組合與順序無關.本題滲透了數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)學建模的核心素養(yǎng).&4&

二項式定理的應用

（1）若展開式后三項的二項式系數(shù)的和等于67，求展開式中二項式系數(shù)最大的項；

小結

二項式定理的問題類型及解答策略：（1）確定二項展開式中的指定項或指定項系數(shù)：先寫出其通項公式，建立方程，確定項數(shù)，然后代入通項公式求解.（2）求二項展開式中各項系數(shù)的和與差：賦值代入.（3）確定二項展開式中的系數(shù)最大或最小項：利用二項式系數(shù)的性質，滲透了數(shù)學運算的核心素養(yǎng).&5&

二項式定理中的“賦值”問題

D

小結

賦值法的應用規(guī)律與二項式系數(shù)有關，包括求展開式中二項式系數(shù)最大的項、各項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和、奇數(shù)項或者偶數(shù)項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和以及各項系數(shù)的絕對值的和，主要方法是賦值法，通過觀察展開式右邊的結構特點和所求式子的關系，確定給字母所賦的值，有時賦值后得到的式子比所求式子多一項或少一項，此時要專門求出這一項，而在求奇數(shù)項或者偶數(shù)項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和時，往往要賦值兩次，再由方程組求出結果.數(shù)學文化與計數(shù)原理

數(shù)學文化是國家文化素質教育的重要組成部分，是數(shù)學史、數(shù)學與文化學、社會學的交叉學科.其內涵是一種理性思維方法在實踐過程中不斷探索形成的數(shù)學史、數(shù)學精神及其應用.

縱觀近幾年高考，計數(shù)原理部分以數(shù)學文化為背景的問題層出不窮，讓人耳目一新.同時考生們也受困于背景陌生，使閱讀受阻，思路無法打開.下面通過對典型例題的剖析，讓同學們增加對數(shù)學文化的認識，進而加深對數(shù)學文化的理解，提升數(shù)學核心素養(yǎng).一、以古代文化經(jīng)典為素材例1

如圖，洛書（古稱龜書）是陰陽五行術數(shù)之源，在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上有此圖象，結構是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四角黑點為陰數(shù).若從四個陰數(shù)和五個陽數(shù)中隨機選取3個數(shù)，則選取的3個數(shù)之和為奇數(shù)的方法數(shù)為(

).BA.30

B.40

C.42

D.44

小結

本題滲透了古代數(shù)學文化，在悠久燦爛的中國古代文化中，數(shù)學文化是其中一朵絢爛的奇葩.數(shù)學不僅是中國古代實用科學的基石，而且含有神秘的文化色彩，有著深厚的文化積淀，它滲透在數(shù)學的各個章節(jié)，有待我們去挖掘.二、以數(shù)學家為素材

35

小結

“楊輝三角”出現(xiàn)在楊輝編著的《詳解九章算法》一書中，此書還說明表內除“1”以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和.楊輝指出這個方法出于《釋鎖》算書，且我國北宋數(shù)學家賈憲（約公元11世紀）已經(jīng)用過它，這表明我國發(fā)現(xiàn)這個表不晚于11世紀.三、以古建筑為背景例3

永定土樓位于中國東南沿海的福建省龍巖市，是世界上獨一無二的神奇的山區(qū)居民建筑，是中國古建筑的一朵奇葩.2008年7月，永定土樓成功列入世界遺產(chǎn)名錄.它歷史悠久、風格獨特、規(guī)模宏大、結構精巧.土樓具體有圓形、方形、五角形、八角形、日字形、回字形、吊腳樓等類型.現(xiàn)有某大學建筑系學生要重點對這七種主