復(fù)數(shù)的三角表示教案 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修第二冊(cè)

《復(fù)數(shù)的三角表示》教案課題3.3復(fù)數(shù)的三角表示單元第三單元學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：了解復(fù)數(shù)的三角表示；2.邏輯推理：通過(guò)課堂探究逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.3.數(shù)學(xué)建模：掌握復(fù)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，為復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)的同時(shí)，也能學(xué)習(xí)利用復(fù)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題。4.直觀想象：了解復(fù)數(shù)的旋轉(zhuǎn)任意角以及復(fù)數(shù)的三角表示方法；5.數(shù)學(xué)運(yùn)算:能夠正確表示復(fù)數(shù)的三角形式；6.數(shù)據(jù)分析:通過(guò)經(jīng)歷提出問(wèn)題—推導(dǎo)過(guò)程—得出結(jié)論—例題講解—練習(xí)鞏固的過(guò)程，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性和嚴(yán)密性。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：i2=?1難點(diǎn)：i2教學(xué)過(guò)程教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)新課導(dǎo)入情境導(dǎo)入：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的幾何表示，那復(fù)數(shù)可以用三角表示嗎？新知探究新知探究（一）：i2如圖，設(shè)平面向量OP=(x,y)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z=x+yi，則OQ=(-x,-y)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)-z=(-1)z。由于OQ=-OP=(-1)OP，因此OQ可由OP繞起點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到。于是，由(-1)z=-z可知，-1乘復(fù)數(shù)z的幾何意義是將復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量OP繞起點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°變成OQ。按照這樣的思路，將z連乘兩個(gè)-1得到(-1)2z，就是將OP連續(xù)旋轉(zhuǎn)兩個(gè)180°，也就是旋轉(zhuǎn)360°，仍得到OP自己。這就是說(shuō)(-1)2OP=OP，(-1)2z=z，(-1)2=1.既然用(-1)2乘復(fù)數(shù)z的幾何意義是將復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量OP旋轉(zhuǎn)連個(gè)180°，很自然會(huì)猜測(cè)：用-1的一個(gè)平方根i乘z的幾何意義應(yīng)該是將OP旋轉(zhuǎn)半個(gè)180°，也就是旋轉(zhuǎn)90°，得到的向量OP與復(fù)數(shù)iz對(duì)應(yīng)。下面我們來(lái)驗(yàn)證上述猜測(cè)是否正確：由于每個(gè)虛數(shù)z=x+yi(x,y∈R,y≠0)可以分解為實(shí)數(shù)x與純虛數(shù)yi之和，因而我們先來(lái)討論實(shí)數(shù)或純虛數(shù)乘i的幾何意義。練一練將正實(shí)數(shù)a連續(xù)4次乘i得到ai,-a,-ai,a,并將這些數(shù)用復(fù)平面上的點(diǎn)B、C、D、A表示。觀察這些點(diǎn)的相互位置，你發(fā)現(xiàn)了什么？解：由于ai,-a,-ai,a的模都等于a，且它們?cè)趶?fù)平面上對(duì)應(yīng)的向量OA,OB,OC,OD的模都等于a，方向分別為x軸正方向、y軸正方向、x軸負(fù)方向、y軸負(fù)方向，如圖，將OA依次旋轉(zhuǎn)90°，旋轉(zhuǎn)4次，則依次得到OB、OC、OD、OA。于是，可發(fā)現(xiàn)向量每旋轉(zhuǎn)90°，其所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)就相應(yīng)乘i。如圖，設(shè)復(fù)平面上的點(diǎn)P表示復(fù)數(shù)z=a+bi，將點(diǎn)P繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°得到的點(diǎn)P′表示哪一個(gè)復(fù)數(shù)？解：設(shè)向量OA、OB分別表示a、bi，由z=將矩形OAPB繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°，則OA、OB分別變?yōu)镺A′、OB′，矩形OAPB變成OA′PB′。于是OA′、OB′所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)應(yīng)分別由OA、OB所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)乘i得到，即OA′對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為i?a=ai.OB′對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為i(bi)=-b.因此，矩形OA′PB′的對(duì)角線表示的向量OP′=OA′+OB′所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為ai-b=-b+ai,即點(diǎn)P′表示復(fù)數(shù)-b+ai.由此可得：虛數(shù)單位i乘任意復(fù)數(shù)z的幾何意義是：將復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的平面向量旋轉(zhuǎn)90°.新知探究（二）：旋轉(zhuǎn)任意角前面已經(jīng)知道，把復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量OP分別旋轉(zhuǎn)90°和180°，相當(dāng)于將復(fù)數(shù)z分別乘復(fù)數(shù)i和一1，如果要將向量OP旋轉(zhuǎn)任意角度，又是用哪個(gè)復(fù)數(shù)乘z呢?當(dāng)OP=0時(shí)，OP對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是0，無(wú)論乘哪個(gè)復(fù)數(shù)仍是0。因而以下只考慮OP≠0的情形。如圖，把復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量OP旋轉(zhuǎn)角α得到OP′，把OP旋轉(zhuǎn)90°得到OQ，則由平面向量基本定理可知，OP′可寫(xiě)成OP，OQ方向上的單位向量e1，e2的實(shí)數(shù)倍之和，即OP′=ae1設(shè)r=|OP|，則|OP′|=|OQ|=r,OP=re1,OQ=re所以cosα=ar,sinα=即a=rcosα,b=rsinα.于是OP′=(rcosα)e1+(rsinα)=cosα·OP+sinα·OQ所以O(shè)P′對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為cosα·z+sinα·iz,可看作是由cosα+isinα由此可得：用cosα+isinα乘任意復(fù)數(shù)z的幾何意義是：將復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的平面向量旋轉(zhuǎn)角α.新知探究（三）：復(fù)數(shù)的三角表示如圖，將任意復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)在復(fù)平面內(nèi)用對(duì)應(yīng)的向量OP表示出來(lái)，則|OP|=r=a2我們將以x軸的正半軸為始邊，以O(shè)P為終邊的角θ,稱(chēng)為復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角，記作argz=θ,如圖。從圖中可以看出，a=rcosθ所以a+bi=rcosθ+irsinθ=r(cosθ+isinθ)其中r=a2+b2，cosθ=ar，我們將r(cosθ+isinθ)稱(chēng)為復(fù)數(shù)a+bi的三角形式。如果z=0，則|z|=0，輻角θ可以取任意值，對(duì)每個(gè)值仍有z=r(cosθ+isinθ)。因此，兩個(gè)復(fù)數(shù)z1=|z1|(cosθ1+isinθ1)，z2=|z2|z1|=|z2|=0，或|z1|=|z2|>0且θ2=新知探究（四）：復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算復(fù)數(shù)z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2

(cosz1·z2上式表明，兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們模的乘積，乘積的輻角等于它們的輻角之和。復(fù)數(shù)z1=r1

(cosθ1+isinθ1)，z2=r2

(cosθ2+z上式表明，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除（除數(shù)不為0），商的模等于它們模的商，商的輻角等于它們的輻角之差。典型例題典型例題1、計(jì)算：4(cos解：原式=4(cos=2=2=2(0+i)=2i2、求(解：先將z=3+i化為三角形式，得z=2(cos原式=2=2100(cos=299(3、把下列復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化成三角形式：（1）3+i（2）i.解：（1）因?yàn)閞=3+1=2,所以cosθ=32又3+i因而θ=π6所以3+i=2(cosπ6+isin（2）因?yàn)閞=1,而θ=π2所以i=cosπ2+isinπ拓展提高解方程x3解：設(shè)x=r(cosθ+isinθ)，r>0，則x3=r3

(cos3θ+isin3θ)=1=cos2k?r3=1且3θ?r=1且θ=2kπ3(由于正弦、余弦函數(shù)的周期均是2π，為避免復(fù)數(shù)根重復(fù)，θ只在[0，2π)范圍內(nèi)取值，于是k取0